材料力学的基本概念
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第二篇 材料力学
第四章 材料力学的基本概念
2020/5/25
1
几个概念
在工程静力学中，忽略了物体的变形，将所研 究的对象抽象为刚体。实际上，任何固体受力后其内 部质点之间均将产生相对移动，使其初始位置发生改 变 ， 称 之 为 位 移 (displacement) ， 从 而 导 致 物 体 发 生变 形(deformation)。
大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例 如金属材料，其单个晶粒呈结晶各向异性(anisotropy of crystallographic)，但当它们形成多晶聚集体的金 属 时，呈随机取向，因而在宏观上表现为各向同性。
2020/5/25
5
4.1.3 小变形假定
小变形假定：假定物体在外力作用下所产生的变形
力与变形之间的物性关系。
这是材料力学与工程静力学的重要区别。
关于工程静力学概念与原理在材料力学中的可用
性与限制性
2020/5/25
28
2020/5/25
29
内容 种类
轴向拉伸 及 压缩
Axial Tension
杆件变形的基本形式
外力特点
变形特点
剪切 Shear
扭转 Torsion
平面弯曲 Bending
构件或零部件的合理形状和尺寸。以保证它们具有足够
2的020强/5/25度、刚度和稳定性。
3
4.1 关于材料的基本假定 4.1.1 均匀连续性假定
homogenization and continuity assumption
假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。
认为物体的全部体积内材料是均匀、连续分布的。
这种受力与变形形式称为剪切(shear)。剪切时，杆 件横截面上只有剪力FQ，FQv或FQz一个内力分量。
2020/5/25
23
4.7.3 扭转
当作用面互相平行的两个力偶作用在杆件的两个横截 面内时，杆件的横截面将产生绕杆件轴线的相互转动，这 种变形称为扭转变形。
杆 件 的 这 种 受 力 与 变 形 形 式 称 为 扭 转 (torsion or
主要承受扭转的杆件统称为轴；
axis
主要承受弯曲的杆件统称为梁。
2020/5/25
beam
27
4.8 结论与讨论
关于工程静力学模型与材料力学模型
刚体与变形体都是工程构件在确定条件下的力学简化模型。
关于弹性体受力与变形特点
弹性体在载荷作用下，将产生连续分布的内力。
弹性体内力应满足：与外力的平衡关系；弹性体自身变形协调关系；
互作用力，
而是指构件受力后发生变形，其内部各点(宏观上的点)的
相对位置发生变化，由此而产生的附加内力，即变形体因变形
而产生的内力。
这种内力确实存在，例如受拉的弹簧，其内力力图 使弹
簧恢复原状；人用手提起重物时，手臂肌肉便产生内力等等。
2020/5/25
8
4.2.3 截面法(section method) 具体操作：
twist)。 杆件承受扭转变形时, 其横截面上只有扭矩Mx一 个内力分量。
2020/5/25
24
4.7.4 平面弯曲
当外加力偶或横向力作用于杆件纵向的某一平面内时， 杆件的轴线将在加载平面内弯曲成曲线。这种变形形式称为 平面弯曲(plane bending)，简称弯曲(bending)
纯弯曲
pure bending
11
截面法步骤：
首先应用工程静力学方法，确定作用在杆件上的所 有未知的外力。
在所要考察的横截面处，用假想截面将杆件截开， 分为两部分。
考察其中任意一部分的平衡，在截面形心处建立合 适的直角坐标系，由平衡方程计算出各个内力分量的 大小与方向。
考察另一部分的平衡，以验证所得结果的正确性。
2020/5/25
12
需要指出的是，当用假想截面将杆件截开，考察其
中任意一部分平衡时。实际上已经将这一部分当作
刚体。所以所用的平衡方法与在工程静力学中的刚
体平衡方法完全相同。
4.3 弹性体受力与变形特征
作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，组成
平衡力系。这是弹性体受力、变形的第一个特征。这表明，弹件
体由变形引起的内力不能是任意的。
2020/5/25
10
内力偶My和Mz将使杆件的两个相邻截面产生绕横截 面上的某一轴线的相对转动，从而使杆件在xz、xy平 面 内 发 生 弯 曲 变 形 ， 这 两 个 内 力 偶 为 弯 矩 (bending moment)。
举例：
A FAx＝0
FAy
2020/5/25
F
FP
M’
mM
F’
FBy
体力分布于整个物体内，并作用在物体的每一个质
点上。重力、磁力以及由子运动加速度在质点上产生 的惯性力都是体力。
面力是研究对象周围物体直接作用在其表面上的力。
2020/5/25
7
4.2.2 内力与内力分量
材料力学中的内力不同于工程静力学中物体系统中各个
部分之间的相互作用力，也不同于物理学中基本粒子之间的相
弹 性 体 受 力 后 发 生 的 变 形 也 不 是 任 意 的 ， 必 须 满 足 协 调
(compatibility)一致的要求。这是弹性体受力、变形的第二个特 征。
此外，弹性体受力后发生的变形还与材料的力学性能有关，这
表明，受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系。
2020/5/25
13
变形后两部分相互重叠
2020/5/25
17
4.5 正应变与切应变
微元体或微元(element)
如果将弹性体看作由许多微单元体所组成，这些微 单元体简称微元体或微元。
弹性体整体的变形则是所有微元变形累加的结果。 而微元的变形则与作 用在其上的应力有关。
正应变
对于正应力作用下的微元，沿着正应力方向和垂直
于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线
好处：
物体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐 标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。
2020/5/25
4
4.1.2 各向同性假定
各向同性假定(isotropy assumption):假定弹性 体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据 这一假定，可以用一个参数描写各点在各个方向上的 某种力学性能。
lim FQ
A0 A
单位均为Pa(N/m2)或MPa (MN/m2)
2020/5/25
16
4.4.2 正应力、切应力与内力分量之间的关系
内力分量是截面上分布内力系的简化结果。
dA FN dA y M z dA z M y
如果仅仅根据平衡条件，只能确定横截面上的内力分量与 外力之间的关系，不能确定各点处的应力。因此，确定横 截面上的应力还需 增加其他条件。
拉伸和压缩时，杆横截面上只有轴力FN 一个内力分量。
2020/5/25
22
4.7.2 剪切
作用线垂直于杆件轴线的力，称为横向力(transverse force)
大小相等、方向相反、作用线互相 平行、相距很近两个横向力作用在杆 件上，当这两个力相互错动并保持二 者作用线之间的距离不变时，杆件的 两个相邻截面将产生相互错动， 这种 变形称为剪切变形。
变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为
线应变或正应变(normal strain)，用 x 表示。根据
微元变形前、后x 方向长度 dx的相对改变量，有：
2020/5/25
18
正应变
x
du dx
dx表示变形前微元在正应力作用方向的长度
du为微元体变形后相距 dx的两截面沿正应力 方向的相对位移。
横向弯曲
transverse bending
2020/5/25
25
4.7.5 组合受力与变形
q
F
在一定条件下，可以将组合受力杆件简化为 基本受力形式的组合。
2020/5/25
26
重申几个概念
工程上将只承受拉伸的杆件统称为杆，
bar
只承受压缩的杆件统称为压杆或柱；
compression bar column
用一假想截面将处于平衡状态下的承载物体截为A、B两部分， 如图所示。为了使其中任意一部分保持平衡，必须在所截的截 面上作用某个力系，这就是A、B两部分相互作用的内力。
根据牛顿第三定律， 作用在A部分截面上的内力与作用在B部 分同一截面上的内力在对应的点上，大小相等、方向相反。
2020/5/25
9
由材料的连续性假定，截面 上连续分布的内力系可以向 截面形心简化为一个合力和 主矩
与物体本身的几何尺寸相比是很小的。根据这一假定，
当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形的
影响，因而可以直接应用工程静力学方法。
2020/5/25
6
4.2 弹性杆件的外力与内力
4.2.1 外力
作用在结构构件上的外力包括外加载荷和约束力，
二者组成平衡力系。
外力分为体积力和表面力，简称体力和面力。
内力分量FN将使杆件产生沿轴线方向的伸长或压缩 变形，称为轴向力，简称轴力(normal force)
内力分量FQy和FQz将使两个相邻截面分别产生沿y和z 方向的相互错动，这种变形称为剪切变形，这两个内力
ห้องสมุดไป่ตู้分量称为剪力(shearing force)。
内力偶Mx将使杆件的两个相邻截面产生绕杆件轴线的 相对转动，这种变形称为扭转变形，该内力偶为扭矩。
胡克定律(Hooke law)
x E x
x G x
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E为弹性模量或杨氏模量 Modulus of elasticity Young modulus
G为切变模量(Shearing modulus)
21
4.7 杆件受力与变形的基本形式
4.7.1 拉伸或压缩
当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时，杆件 将产生轴向伸长或压缩变形。这种受力与变形形式称为轴向 拉伸 或压缩，简称拉伸或压缩(tension or compression)
组合受力（Combined Loading）与变形
2020/5/25
30
作业： 4-2
2020/5/25
31
平均应力(average stress) 即内力在某一区域的平均值
FR A
当该面积无限小时，其极值便能反应该点处的内力强弱程度，
也即集度(density), 应力就是内力在一点处的集度。
2020/5/25
15
正应力(normal stress)
lim FN
A0 A
切应力(shear stress)
变形后两部分相互分离 变形后两部分协调一致
在外力作用下，弹性体的变形应使弹性体各相 邻部分，既不能断开，也不能 发生重叠的现象，
2020/5/25
14
4.4 杆件横截面上的应力
材料力学不仅要确定其系统内 力系的合力及其分量，而且还 要确定横截面上的内力分布情 况，确定那些位置的内力最大， 即最危险的位置。
的下标
x
x表示应变方向。
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19
切应变
切应力作用下的微元体将发生 剪切变形，剪切变形程度用微 元体直角的改变量度量。微元 直角改变量称为切应变(shear strain)，用γ表示。
γ =α+β, γ的单位为弧度(rad)。
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20
4.6 线弹性材料的应力－应变关系
对于工程中常用材料，实验结果表 明：若在弹性范围内加载(应力小于 某一极限值)，对于只承受单方向正 应力或承受切应力的微元体，正应 力与正应变以及切应力与切应变之 间存在着线性关系
工程上、绝大多数物体的变形均被限制在弹性范 围内，即当外加载荷消除后，物体的变形随之消失， 这时的变形称为弹性变形(elastic deformation)，相 应的物体称为弹性体(elastic body)。
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2
一是固体力学(solid mechanics)，即研究物体
材
在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力
料
分析(stress analysis)。 但是，材料力学又不同
力
于固体力学，材料力学所研究的固体仅限于杆类
学 物体，例如杆、轴、梁等。
的
二是材料科学(Materials Science)中的材料的力
研
学行为 (behavior of materials)，即研究材料在
(en究内容g以ine上er两外(但宏inm观是g方e力c力，hd和面a学材ens温行的料icigs为度力结n，p学)作的r合不o所用p重涉研使er下要及究ti材e材组所的s)料料力和成表的学失力部现微行效分学观出为(f机，a成的仅i理l即u限力为r。e于设学)工行材计性为料程出。能的设杆状计
第四章 材料力学的基本概念
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1
几个概念
在工程静力学中，忽略了物体的变形，将所研 究的对象抽象为刚体。实际上，任何固体受力后其内 部质点之间均将产生相对移动，使其初始位置发生改 变 ， 称 之 为 位 移 (displacement) ， 从 而 导 致 物 体 发 生变 形(deformation)。
大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例 如金属材料，其单个晶粒呈结晶各向异性(anisotropy of crystallographic)，但当它们形成多晶聚集体的金 属 时，呈随机取向，因而在宏观上表现为各向同性。
2020/5/25
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4.1.3 小变形假定
小变形假定：假定物体在外力作用下所产生的变形
力与变形之间的物性关系。
这是材料力学与工程静力学的重要区别。
关于工程静力学概念与原理在材料力学中的可用
性与限制性
2020/5/25
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内容 种类
轴向拉伸 及 压缩
Axial Tension
杆件变形的基本形式
外力特点
变形特点
剪切 Shear
扭转 Torsion
平面弯曲 Bending
构件或零部件的合理形状和尺寸。以保证它们具有足够
2的020强/5/25度、刚度和稳定性。
3
4.1 关于材料的基本假定 4.1.1 均匀连续性假定
homogenization and continuity assumption
假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。
认为物体的全部体积内材料是均匀、连续分布的。
这种受力与变形形式称为剪切(shear)。剪切时，杆 件横截面上只有剪力FQ，FQv或FQz一个内力分量。
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4.7.3 扭转
当作用面互相平行的两个力偶作用在杆件的两个横截 面内时，杆件的横截面将产生绕杆件轴线的相互转动，这 种变形称为扭转变形。
杆 件 的 这 种 受 力 与 变 形 形 式 称 为 扭 转 (torsion or
主要承受扭转的杆件统称为轴；
axis
主要承受弯曲的杆件统称为梁。
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beam
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4.8 结论与讨论
关于工程静力学模型与材料力学模型
刚体与变形体都是工程构件在确定条件下的力学简化模型。
关于弹性体受力与变形特点
弹性体在载荷作用下，将产生连续分布的内力。
弹性体内力应满足：与外力的平衡关系；弹性体自身变形协调关系；
互作用力，
而是指构件受力后发生变形，其内部各点(宏观上的点)的
相对位置发生变化，由此而产生的附加内力，即变形体因变形
而产生的内力。
这种内力确实存在，例如受拉的弹簧，其内力力图 使弹
簧恢复原状；人用手提起重物时，手臂肌肉便产生内力等等。
2020/5/25
8
4.2.3 截面法(section method) 具体操作：
twist)。 杆件承受扭转变形时, 其横截面上只有扭矩Mx一 个内力分量。
2020/5/25
24
4.7.4 平面弯曲
当外加力偶或横向力作用于杆件纵向的某一平面内时， 杆件的轴线将在加载平面内弯曲成曲线。这种变形形式称为 平面弯曲(plane bending)，简称弯曲(bending)
纯弯曲
pure bending
11
截面法步骤：
首先应用工程静力学方法，确定作用在杆件上的所 有未知的外力。
在所要考察的横截面处，用假想截面将杆件截开， 分为两部分。
考察其中任意一部分的平衡，在截面形心处建立合 适的直角坐标系，由平衡方程计算出各个内力分量的 大小与方向。
考察另一部分的平衡，以验证所得结果的正确性。
2020/5/25
12
需要指出的是，当用假想截面将杆件截开，考察其
中任意一部分平衡时。实际上已经将这一部分当作
刚体。所以所用的平衡方法与在工程静力学中的刚
体平衡方法完全相同。
4.3 弹性体受力与变形特征
作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，组成
平衡力系。这是弹性体受力、变形的第一个特征。这表明，弹件
体由变形引起的内力不能是任意的。
2020/5/25
10
内力偶My和Mz将使杆件的两个相邻截面产生绕横截 面上的某一轴线的相对转动，从而使杆件在xz、xy平 面 内 发 生 弯 曲 变 形 ， 这 两 个 内 力 偶 为 弯 矩 (bending moment)。
举例：
A FAx＝0
FAy
2020/5/25
F
FP
M’
mM
F’
FBy
体力分布于整个物体内，并作用在物体的每一个质
点上。重力、磁力以及由子运动加速度在质点上产生 的惯性力都是体力。
面力是研究对象周围物体直接作用在其表面上的力。
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4.2.2 内力与内力分量
材料力学中的内力不同于工程静力学中物体系统中各个
部分之间的相互作用力，也不同于物理学中基本粒子之间的相
弹 性 体 受 力 后 发 生 的 变 形 也 不 是 任 意 的 ， 必 须 满 足 协 调
(compatibility)一致的要求。这是弹性体受力、变形的第二个特 征。
此外，弹性体受力后发生的变形还与材料的力学性能有关，这
表明，受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系。
2020/5/25
13
变形后两部分相互重叠
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17
4.5 正应变与切应变
微元体或微元(element)
如果将弹性体看作由许多微单元体所组成，这些微 单元体简称微元体或微元。
弹性体整体的变形则是所有微元变形累加的结果。 而微元的变形则与作 用在其上的应力有关。
正应变
对于正应力作用下的微元，沿着正应力方向和垂直
于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线
好处：
物体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐 标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。
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4.1.2 各向同性假定
各向同性假定(isotropy assumption):假定弹性 体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据 这一假定，可以用一个参数描写各点在各个方向上的 某种力学性能。
lim FQ
A0 A
单位均为Pa(N/m2)或MPa (MN/m2)
2020/5/25
16
4.4.2 正应力、切应力与内力分量之间的关系
内力分量是截面上分布内力系的简化结果。
dA FN dA y M z dA z M y
如果仅仅根据平衡条件，只能确定横截面上的内力分量与 外力之间的关系，不能确定各点处的应力。因此，确定横 截面上的应力还需 增加其他条件。
拉伸和压缩时，杆横截面上只有轴力FN 一个内力分量。
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4.7.2 剪切
作用线垂直于杆件轴线的力，称为横向力(transverse force)
大小相等、方向相反、作用线互相 平行、相距很近两个横向力作用在杆 件上，当这两个力相互错动并保持二 者作用线之间的距离不变时，杆件的 两个相邻截面将产生相互错动， 这种 变形称为剪切变形。
变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为
线应变或正应变(normal strain)，用 x 表示。根据
微元变形前、后x 方向长度 dx的相对改变量，有：
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18
正应变
x
du dx
dx表示变形前微元在正应力作用方向的长度
du为微元体变形后相距 dx的两截面沿正应力 方向的相对位移。
横向弯曲
transverse bending
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4.7.5 组合受力与变形
q
F
在一定条件下，可以将组合受力杆件简化为 基本受力形式的组合。
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重申几个概念
工程上将只承受拉伸的杆件统称为杆，
bar
只承受压缩的杆件统称为压杆或柱；
compression bar column
用一假想截面将处于平衡状态下的承载物体截为A、B两部分， 如图所示。为了使其中任意一部分保持平衡，必须在所截的截 面上作用某个力系，这就是A、B两部分相互作用的内力。
根据牛顿第三定律， 作用在A部分截面上的内力与作用在B部 分同一截面上的内力在对应的点上，大小相等、方向相反。
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由材料的连续性假定，截面 上连续分布的内力系可以向 截面形心简化为一个合力和 主矩
与物体本身的几何尺寸相比是很小的。根据这一假定，
当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形的
影响，因而可以直接应用工程静力学方法。
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4.2 弹性杆件的外力与内力
4.2.1 外力
作用在结构构件上的外力包括外加载荷和约束力，
二者组成平衡力系。
外力分为体积力和表面力，简称体力和面力。
内力分量FN将使杆件产生沿轴线方向的伸长或压缩 变形，称为轴向力，简称轴力(normal force)
内力分量FQy和FQz将使两个相邻截面分别产生沿y和z 方向的相互错动，这种变形称为剪切变形，这两个内力
ห้องสมุดไป่ตู้分量称为剪力(shearing force)。
内力偶Mx将使杆件的两个相邻截面产生绕杆件轴线的 相对转动，这种变形称为扭转变形，该内力偶为扭矩。
胡克定律(Hooke law)
x E x
x G x
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E为弹性模量或杨氏模量 Modulus of elasticity Young modulus
G为切变模量(Shearing modulus)
21
4.7 杆件受力与变形的基本形式
4.7.1 拉伸或压缩
当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时，杆件 将产生轴向伸长或压缩变形。这种受力与变形形式称为轴向 拉伸 或压缩，简称拉伸或压缩(tension or compression)
组合受力（Combined Loading）与变形
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作业： 4-2
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31
平均应力(average stress) 即内力在某一区域的平均值
FR A
当该面积无限小时，其极值便能反应该点处的内力强弱程度，
也即集度(density), 应力就是内力在一点处的集度。
2020/5/25
15
正应力(normal stress)
lim FN
A0 A
切应力(shear stress)
变形后两部分相互分离 变形后两部分协调一致
在外力作用下，弹性体的变形应使弹性体各相 邻部分，既不能断开，也不能 发生重叠的现象，
2020/5/25
14
4.4 杆件横截面上的应力
材料力学不仅要确定其系统内 力系的合力及其分量，而且还 要确定横截面上的内力分布情 况，确定那些位置的内力最大， 即最危险的位置。
的下标
x
x表示应变方向。
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切应变
切应力作用下的微元体将发生 剪切变形，剪切变形程度用微 元体直角的改变量度量。微元 直角改变量称为切应变(shear strain)，用γ表示。
γ =α+β, γ的单位为弧度(rad)。
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4.6 线弹性材料的应力－应变关系
对于工程中常用材料，实验结果表 明：若在弹性范围内加载(应力小于 某一极限值)，对于只承受单方向正 应力或承受切应力的微元体，正应 力与正应变以及切应力与切应变之 间存在着线性关系
工程上、绝大多数物体的变形均被限制在弹性范 围内，即当外加载荷消除后，物体的变形随之消失， 这时的变形称为弹性变形(elastic deformation)，相 应的物体称为弹性体(elastic body)。
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一是固体力学(solid mechanics)，即研究物体
材
在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力
料
分析(stress analysis)。 但是，材料力学又不同
力
于固体力学，材料力学所研究的固体仅限于杆类
学 物体，例如杆、轴、梁等。
的
二是材料科学(Materials Science)中的材料的力
研
学行为 (behavior of materials)，即研究材料在
(en究内容g以ine上er两外(但宏inm观是g方e力c力，hd和面a学材ens温行的料icigs为度力结n，p学)作的r合不o所用p重涉研使er下要及究ti材e材组所的s)料料力和成表的学失力部现微行效分学观出为(f机，a成的仅i理l即u限力为r。e于设学)工行材计性为料程出。能的设杆状计