弹性力学-03平面问题的直角坐标解答

0
2
a
2M h3
x
12M h3
y
x
M I
y
其中： I 1 h3 12
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
说明：
(1) 仅当梁端的法向面力线性分布， 且在端面形心处为零，而切向面 力亦为零时，结果才是精确解。
(2) 若按其它形式分布，如： 则按圣维南原理，此结果 仅在两端误差较大，而离 端部较远处误差较小。为 “圣维南意义下的精确 解”。
（1）两端简支
其边界条件：
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
u x0 0 v x0 0 v xl 0
y0
y0
y0
将其代入(f)式，有
u0 0 v0 0
Ml 2 2EI
l
v0
0
Ml
2EI
将其代回(f)式，有
u M (x l )y
EI 2
(3-3)
1
ql
(1) 分析：
h/2
x —— 主要由弯矩引起； h/2
z
xy—— 主要由剪力引起；
y
y——由 q 引起（挤压应力）。
q ql
x
ly l
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y不随 x 变化。
可设：
y f (y)
(2) 由应力分量表达式确定应力函数 (x, y) 的形式：
y
2 x2
l
M
M
h2
h2
x
y
1
x
M I
y y
0
xy 0
问题：
按应力求解平面问题，其基本未知量为： x , y , xy ，下一步如何
由 x , y , xy 求出形变分量、位移分量？
位移分量的求解：
（1） 将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量 x , y , xy 的表达式；
边界条件改写为：
u xl 0, v xl 0
y0
y0
v 0 x xl
h/2 h/2
y0
（中点不动） （轴线在端部不转动）
代入式（f），有
u0 0
M 2EI
l2
l
v0
0
可求得： u0 0
v0
Ml 2 2EI
u M (l x) y EI
M l 0
EI
Ml
EI
v M (l x)2 M y2
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分量： (设 fx = fy = 0 )
x
2 y2
2cx
6dy
y
2 x2
6ax
2by
xy
2 2bx 2cy xy
结论： 三次多项式对应于线性应力分布。
4. 四次多项式
（1） ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
2EI
2EI
u M (l x) y
EI
(3-4)
h/2
v M (l x)2 M y2
h/2
2EI
2EI
挠曲线方程：
v
|y0
M 2EI
(l
x)2
与材料力学中结果相同
说明：（1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程：
x
1 E
( x
y)
y
1 E
(
y
x)wk.baidu.com
xy
xy
G
（b）再将应变分量代入几何方程积分求位移；
f
( y)
积分得：
x xf ( y) f1( y)
(a)
x2 2
f ( y) xf1( y)
f2 ( y)
(b)
f ( y), f1( y), f2 ( y) —— 待定函数
x
xf
(y)
f1( y)
1 (a)
ql
q
ql
x2 2
f ( y) xf1( y) f2 ( y) (b)
x2
x v0
（2）位移分量
M
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
y
l
M xh
1
式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。 讨论：
（1） u M x 当 x = x0 =常数 u
y EI
y
M EI
x0
常数
u
x x0
——即铅垂方向微段 dy 的转角。
y
u |xx0 y
x
M I
y
y 0 xy 0
(a)
l
y
x
1 E
My I
y
E
My I
（2）位移分量
1
xy 0
(b)
平面应力情况下的物理方程：
将式（b）代入几何方程得：
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy
xy
G
将式（a）代入得：
x
u x
1 E
My I
y
v y
E
My I
(c)
xy
u y
v x
0
（2）位移分量
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4 x4
24a
4 2 x2y2 8c
4 y4 24e
代入：4 0
得 24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：
3a c 3e 0
考察能解决什么样的问题。
1. 一次多项式
（1） (x, y) ax by c 其中： a、b、c 为任意常数。
（2）
检验φ(x,y)
是否满足双调和方程： 4
4 x4
2
4 x2y2
4 y4
0
显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
（3） 对应的应力分量（设体力为零）：
x
2 y2
fxx
（2） 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量的
表达式；
（3） 由位移边界条件确定表达式中的常数，得最终结果。
§3-3 位移分量的求出
以纯弯曲梁为例，说明如何由 x , y , xy 求出形变分量、位移分量？
1. 形变分量与位移分量
M
（1）形变分量
M xh
由前节可知，其应力分量为：
出φ(x,y) 的形式；
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和
位移单值条件（多连体问题）。
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
4
4 4
2
0
x4 x2y2 y4
4 0
(2-26) (2-27)
§3-4 简支梁受均布载荷
1. 应力函数的确定(半逆解法)
M EI
x
f 2( x)
f1( y)
（仅为 x 的函数）（仅为 y 的函数）
要使上式成立，须有
f1( y)
M EI
x
f 2( x)
(e)
式中：ω为常数。 积分上式，得
f1( y) y u0
f2 ( x)
M 2EI
x2
x
v0
将上式代入式（d），得
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
应力函数的求解方法： （1）逆解法； （2）半逆解法。
§3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答
（1）逆解法 应力函数 (x求, 解y)方法
（1）先设定各种形式的、满足相容方程（2-27）的应力函数φ(x,y) ；
（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 x , y , xy ；
（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样 的边界面力，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。
出φ(x,y) 的形式；
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和
位移单值条件（多连体问题）。
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
4
4 4
2
0
x4 x2y2 y4
4 0
(2-26) (2-27)
下面用逆解法，将应力函数φ(x,y)取为一些简单的多项式函数，
l
v0
0
Ml 0
EI
求得：
u0 0
Ml 2 v0 2EI
Ml
EI
此结果与前面情形相同。
u
M EI
xy y
u0
（为什么？）
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
半逆解法思路：
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ； （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 4 0，求
4 4
4
0, 0,
0
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分量： （设 fx = fy = 0 ）
x
2 y2
2c
y
2 x2
2a
xy
2 xy
b
2a
2c
2c
结论： 二次多项式对应于均匀应力分布。
x
y 2a xy b
假设：a >0 , b >0, c >0
x x0
M EI
x0
常数
说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。
横截面保持平面 —— 材力中纯弯曲“平面假设”成立。
u
M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
（2） 将 v 对 x 求二阶导数得：
2v x2
M EI
—— 材料力学中的挠曲线近似微分方程
2. 位移边界条件的利用
0
y
2 x2
fy y
0
xy
2 xy
0
即有： x y xy 0
结论：（1）一次多项式对应于无体力、无面力、无应力状态；
（2）在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
2. 二次多项式
（1） ax2 bxy cy2 其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
总结：（多项式应力函数 的性质）
（1） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 4 0。 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
（2） 一次多项式，对应于无体力、无面力、无应力状态；在任意应力函数
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
（c）最后利用位移边界条件，确定积分常数。
（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
（3） 若取固定端边界条件为：
u xl 0, v xl
y0
y0
（中点不动）
0
u y
xl y0
0
h/2 h/2
（中点处竖向线段转角为零）
得到：
u0 0
Ml 2 2EI
x
u x
1 E
My I
y
v y
E
My I
(c)
xy
u y
v x
0
将式（c）前两式积分，得：
M
u EI xy f1( y)
(d)
v
M 2EI
y2
f2 ( x)
式中： f1( y), f2 (x)为待定函数。
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M EI
x
f1( y)
f 2( x)
0
整理得：
M
M
h2
h2
x
y
1
x 0, l : x 6ay, xy 0
可见： ay3—— 对应于梁的纯弯曲问题应力分布。
常数 a 与弯矩 M 的关系： h
h
由梁端部的边界条件：(1)
2 h
(
x
) x 0,l
dy
0
2
h
h
(2)
2 h
(
x
) x 0,l
ydy
M
2 h
6ay2dy
M
2
2
2 h
6ay
dy
—— 主要适用于简单边界条件的问题。
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
(2-26)
4
x4
2
4 x2y2
4 y4
0
4 0
(2-27)
（2）半逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ； （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 4 0，求
4
4 4
x4 2 x2y2 y4 0
4 0
(2-27)
（2）然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
(2-26)
x
2 y2
2 y x2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy 满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
例：试求图示板的应力函数。 0x
0
x
0
x
y
(x, y)
0
y2
2
3. 三次多项式
y
(x, y) 0 x2
2
y
0
(x, y) 0xy
（1） ax3 bx2 y cxy2 dy3 其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 0, 4 0, 4 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性
力学问题。
主要内容
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答 §3-2 矩形梁的纯弯曲 §3-3 位移分量的求出 §3-４ 简支梁受均布载荷 §3-５ 楔形体受重力和液体压力
应力函数法求解平面问题的基本步骤 （常体力情形）
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
（3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
§3-2 矩形梁的纯弯曲
取 ay3, ( fx fy 0) 可得：
l
x 6ay y 0 xy 0
则边界受力：
yh: 2
y 0, xy 0