小学数学 同余问题.教师版

【巩固】有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几? 【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题 【解析】这个数除 300、262，得到相同的余数，所以这个数整除 300－262＝38，同理，这个数整除 262－205
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝57，因此，它是 38、57 的公约数 19。 【答案】 19
所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34． 如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件； 如果这个数是 17，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【答案】 17
数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除． (392, 686) 98 ，所以所求的最大整数是 98. 【答案】 98
【巩固】140，225，293 被某大于 1 的自然数除,所得余数都相同。2002 除以这个自然数的余数是
.
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】三帆中学，入学测试
【巩固】在除 13511，13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_________． 【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】因为13903 13511 392 , 14589 13903 686 ，由于 13511，13903，14589 要被同一个数除时，余
【例 8】 学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级， 那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】所求班级数是除以118, 67,33 余数相同的数．那么可知该数应该为118 67 51 和 67 33 34
求的数为 (543 345) 33 6 ． 【答案】 6
【例 4】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数， 则这个自然数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，
4、5]+1=60+1=61。 【答案】 61
【例 3】 有一个自然数，除 345 和 543 所得的余数相同，且商相差 33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于这个数除 345 和 543 的余数相同，那么它可能整除 543-345，并且得到的商为 33．所以所
3
【答案】120
【例 10】一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ， a 2 ， a 5 ，则这个自然数是多少？ 【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知，这个自然数去除 290，233，195 时，得到相同的余数（都为 a ）．
【解析】这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 293-225=68 的约数,又是
225-140=85 的约数，因此就是 68、85 的公约数,所以这个自然数是 17。所以 2002 除以 17 余 13。
【答案】 13
【巩固】三个数：23，51，72，各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是 。 【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，6 分 【解析】 51 23 28 ， 72 51 21 ，（28，21）=7，所以这个除数是 7。 【答案】 7
【巩固】有 3 个吉利数 888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为 a,a+7,a+10,则这 个自然数是_____.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】处理成余数相同的，则 888、518-7、666-10 的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们
【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】南京市，兴趣杯 【解析】设大班共有 a 名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是 1:3:2，所以余下的糖果、桔子
数 目 的 和 正 好 等 于 余 下 的 饼 干 数 ， 从 而 254+186-210 一 定 是 a 的 倍 数 ， 即 254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23 是 a 的倍数。同样，2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7 也一定是 a 的倍数。所以，a 只能是 23×2 的因数。但 a﹥40,所以 a=46。此时 254=46×5+24， 210=46×3+72，186=46×3+48。故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个。 【答案】小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0．那么这个自然 数是 290 233 57 的约数，又是 233 195 38 的约数，因此就是 57 和 38 的公约数,因为 57 和 38 的公约数只有 19 和 1，而这个数大于 1，所以这个自然数是 19． 【答案】 19
⑴ 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数； ⑵ 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数； ⑶ 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数； ⑷ 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数； ⑸ 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数；（不够减的话先适 当 加 11 的倍数再减）； ⑹ 整数 N 被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与
的公约数，所求答案为 17． 【答案】 17
【例 9】 若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数 和余数的和为_______．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】设除数为 A．因为 2836，4582，5164，6522 除以 A 的余数相同，所以他们两两之差必能被 A 整除．又 因为余数是两位数，所以 A 至少是两位数．4582-2836=1746，5164 4582 582 ，6522 5164 1358 ， 因为 (582,1358) 194 ，所以 A 是 194 的大于 10 的约数．194 的大于 10 的约数只有 97 和 194．如果 A 194 ， 2386 194 14120 ，余数不是两位数，与题意不符．如果 A 97 ，经检验，余数都是 23，除数 余数 97 23 120 ．
【例 5】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 a b ，求 ab ba ． 【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 ab ba 能被 7 整除，即 (10a b) （10b a) 9 （a b）能被 7 整除．所以只能有 a b 7 ，那么 ab 可
5-5-3.同余问题
教学目标
1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数
知识点拨
同余定理
1、定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。 2、重要性质及推论： （1）若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除
用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 888-656=232 的约数，也是 656-511=145 的约数，因此就是 232、145 的公约数,所以这个自然数是 29。 【答案】 29
【例 11】一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 a 5 、 2a 、 a ，求这个自然数和 a 的值. 【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】解答
模块二、三个数的同余问题
【例 7】 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数.
2
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同
余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数．101 45 56 ，59 45 14 ，(56,14) 14 ，14 的约数有1, 2, 7,14 ，所以这个数可能为 2, 7,14 。 【答案】 2, 7,14
要小于除数，这个数是 4, 6,12 ； (法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意
1
两数差的公约数． 51 39 12 ，147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4, 6,12 ． 【答案】 4, 6,12
【例 2】 某个两位数加上 3 后被 3 除余 1，加上 4 后被 4 除余 1，加上 5 后被 5 除余 1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上 3 后被 3 除余 1”其实原数还是余 1，同理这个两位数除以 4、5 都余 1，这样，这个数就是[3、
能为 92 和 81，验算可得当 ab 92 时， ba 29 满足题目要求， ab ba 92 29 2668 【答案】 2668
【例 6】 现有糖果 254 粒,饼干 210 块和桔子 186 个.某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果,一样 多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____ 名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。
【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为 2a 的数： 429 5 2 848 ， 791 、 500 2 1000 ，这样这
偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的余数就是原数被 7，11 或 13 除的余数．
例题精讲
模块一、两个数的同余问题
【例 1】 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】(法 1) 39 3 36 ，51-3=48，147 3 144 ， (36,144) 12 ，12 的约数是1, 2,3, 4, 6,12 ，因为余数为 3
例如：17 与11除以 3 的余数都是 2 ，所以（17 11）能被 3 整除． （2）用式子表示为：如果有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a－b＝mk,k 是整数，即 m|(a－b) 3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦 的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数 R，使得：N 与 R 对于除数 m 同余．由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余 数．