届高三理科数学六大专题训练题含详解
高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析
专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a c <B ．2ab =C ．1abc a =+D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ）A ．2101x x <<<B ．1201x x <<<C ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（ ）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ）A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断.【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A 【解析】c =0.30.2<0.30=1；log 27>log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。
2022年高考数学真题分专题训练专题：导数的综合应用(教师版含解析)
专题09导数的综合应用1．(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数32()1f x x x ax ．(1)讨论 f x 的单调性；(2)求曲线 y f x 过坐标原点的切线与曲线 y f x 的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)和 11a ，.【分析】(1)由函数的解析式可得： 232f x x x a ，导函数的判别式412a ，当14120,3a a 时， 0,f x f x 在R 上单调递增，当时，的解为：1211,32x x ，当1,3x时，单调递增；当11311333x时，单调递减；当13x时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在1,3，1,3上单调递增，在113113,33上单调递减.(2)由题意可得： 3200001f x x x ax ， 200032f x x x a ，则切线方程为： 322000000132y x x ax x x a x x ，切线过坐标原点，则： 32200000001320x x ax x x a x ,整理可得：3200210x x ，即：20001210x x x ，解得：，则， 0'()11f x f a切线方程为： 1y a x ,与联立得321(1)x x ax a x ，化简得3210x x x ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，1x 是321x x x 的一个因式，∴该方程可以分解因式为2110,x x 解得121,1x x , 11f a ，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 11a ，.2．(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设函数 ln f x a x ，已知0x 是函数 y xf x 的极值点．(1)求a ；(2)设函数()()()x f x g x xf x ．证明: 1g x ．【答案】1；证明见详解【分析】(1)由 n 1'l a f x a x f x x ， 'ln x y a x x ay xf x ，又0x 是函数 y xf x 的极值点，所以 '0ln 0y a ，解得1a ；(2)由(1)得 ln 1f x x ，ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x ，1x 且0x ，当 0,1x 时，要证ln 1()1ln 1x x g x x x ， 0,ln 10x x ∵， ln 10x x ，即证 ln 1ln 1x x x x ，化简得 1ln 10x x x ；同理，当 ,0x 时，要证ln 1()1ln 1x x g x x x ， 0,ln 10x x ∵， ln 10x x ，即证 ln 1ln 1x x x x ，化简得 1ln 10x x x ；令 1ln 1h x x x x ，再令1t x ，则 0,11,t ，1x t ，令 1ln g t t t t ， '1ln 1ln g t t t ，当 0,1t 时， '0g x ， g x 单减，假设 1g 能取到，则 10g ，故 10g t g ；当 1,t 时， '0g x ， g x 单增，假设 1g 能取到，则 10g ，故 10g t g ；综上所述，ln 1()1ln 1x x g x x x 在 ,00,1x 恒成立3．(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设函数22()3ln 1f x a x ax x ，其中0a .(1)讨论 f x 的单调性；(2)若 y f x 的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】(1) f x 的减区间为10,a，增区间为1,+a；(2)1a e .【分析】(1)函数的定义域为 0, ，又 23(1)()ax ax f x x，因为0,0a x ，故230ax ，当10x a 时，()0f x ；当1x a时，()0f x ；所以 f x 的减区间为10,a，增区间为1,+a .(2)因为 2110f a a 且 y f x 的图与x 轴没有公共点，所以 y f x 的图象在x 轴的上方，由(1)中函数的单调性可得 min 1133ln 33ln f x f a a a，故33ln 0a 即1a e.4．(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知0a 且1a ，函数()(0)a x x f x x a．(1)当2a 时，求 f x 的单调区间；(2)若曲线 y f x 与直线1y 有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；(2) 1,,e e .【分析】(1)当2a 时，令 '0f x 得2ln 2x,当20ln 2x 时， 0f x ,当2ln 2x 时， 0f x ,∴函数 f x 在20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；(2) ln ln 1ln ln a x a x x x a f x a x x a a x a x a,设函数 ln x g x x ,则 21ln x g x x,令 0g x ，得x e ,在 0,e 内 0g x , g x 单调递增；在 ,e 上 0g x , g x 单调递减；1max g x g e e,又 10g ，当x 趋近于 时， g x 趋近于0，所以曲线 y f x 与直线1y 有且仅有两个交点，即曲线 y g x 与直线ln a y a有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e ,这即是 0g a g e ,所以a 的取值范围是 1,,e e .5．(2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题)已知函数 1ln f x x x .(1)讨论 f x 的单调性；(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b ，证明：112e a b.【答案】(1) f x 的递增区间为 0,1，递减区间为 1,+ ；(2)证明见解析.【分析】(1)函数的定义域为 0, ，又 1ln 1ln f x x x ，当 0,1x 时， 0f x ，当 1,+x 时， 0f x ，故 f x 的递增区间为 0,1，递减区间为 1,+ .(2)因为ln ln b a a b a b ，故 ln 1ln +1b a a b ，即ln 1ln +1a b a b ，故11f f a b，设1211,x x a b，由(1)可知不妨设1201,1x x .因为 0,1x 时， 1ln 0f x x x ， ,x e 时， 1ln 0f x x x ，故21x e .先证：122x x ，若22x ，122x x 必成立.若22x ，要证：122x x ，即证122x x ，而2021x ，故即证 122f x f x ，即证： 222f x f x ，其中212x .设 2,12g x f x f x x ，则 2ln ln 2g x f x f x x x ln 2x x ，因为12x ，故 021x x ，故 ln 20x x ，所以 0g x ，故 g x 在 1,2为增函数，所以 10g x g ，故 2f x f x ，即 222f x f x 成立，所以122x x 成立，综上，122x x 成立.设21x tx ，则1t ，结合ln 1ln +1a b a b ，1211,x x a b 可得： 11221ln 1ln x x x x ，即： 111ln 1ln ln x t t x ，故11ln ln 1t t t x t ，要证：12x x e ，即证 11t x e ，即证 1ln 1ln 1t x ，即证： 1ln ln 111t t t t t ，即证： 1ln 1ln 0t t t t ，令 1ln 1ln ,1S t t t t t t ，则 112ln 11ln ln 111t S t t t t t t，先证明一个不等式： ln 1x x .设 ln 1u x x x ，则 1111x u x x x ，当10x 时， 0u x ；当0x 时， 0u x ，故 u x 在 1,0 上为增函数，在 0,+ 上为减函数，故 max 00u x u ，故 ln 1x x 成立由上述不等式可得当1t 时，112ln 11t t t，故 0S t 恒成立，故 S t 在 1, 上为减函数，故 10S t S ，故 1ln 1ln 0t t t t 成立，即12x x e 成立.综上所述，112e a b.6.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数2()(1)x f x x e ax b ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a ；②10,22a b a ．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：'2x f x x e a ，当0a 时，若 ,0x ，则 '0,f x f x 单调递减，若 0,x ，则 '0,f x f x 单调递增；当102a 时，若,ln 2x a ，则 '0,f x f x 单调递增，若ln 2,0x a ，则 '0,f x f x 单调递减，若 0,x ，则 '0,f x f x 单调递增；当12a时， '0,f x f x 在R 上单调递增；当12a 时，若 ,0x ，则 '0,f x f x 单调递增，若0,ln 2x a ，则 '0,f x f x 单调递减，若ln 2,x a ，则 '0,f x f x 单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a ，故212a e ，则 21,010b af b ，而 210b f b b e ab b ，而函数在区间 ,0 上单调递增，故函数在区间 ,0 上有一个零点.2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b 22ln 21ln 22a a a a a22ln 2ln 2a a a a ln 22ln 2a a a ，由于2122e a ，212a e ，故 ln 22ln 20a a a ，结合函数的单调性可知函数在区间 0, 上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于102a ，故21a ，则 01210f b a ，当0b 时，24,42e a ，2240f e a b ，而函数在区间 0, 上单调递增，故函数在区间 0, 上有一个零点.当0b 时，构造函数 1x H x e x ，则 1xH x e ，当 ,0x 时， 0,H x H x 单调递减，当 0,x 时， 0,H x H x 单调递增，注意到 00H ，故 0H x 恒成立，从而有：1x e x ，此时：22111x f x x e ax b x x ax b 211a x b ，当x 2110a x b ，取01x，则 00f x ，即：00,10f f，而函数在区间 0, 上单调递增，故函数在区间 0, 上有一个零点.2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b 22ln 21ln 22a a a a a22ln 2ln 2a a a a ln 22ln 2a a a ，由于102a ，021a ，故 ln 22ln 20a a a ，结合函数的单调性可知函数在区间 ,0 上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．7.(2021年天津卷数学试题)已知0a ，函数()x f x ax xe ．(I )求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程：(II )证明()f x 存在唯一的极值点(III )若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】(I )(1),(0)y a x a ；(II )证明见解析；(III ),e 【解析】【分析】(I )求出 f x 在0x 处的导数，即切线斜率，求出 0f ，即可求出切线方程；(II )令 0f x ，可得(1)x a x e ，则可化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点，利用导数求出 g x 的变化情况，数形结合即可求解；(III )令 2()1,(1)xh x x x e x ，题目等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ，利用导数即可求出 h x 的最小值.【详解】(I )()(1)x f x a x e ，则(0)1f a ，又(0)0f ，则切线方程为(1),(0)y a x a ；(II )令()(1)0x f x a x e ，则(1)x a x e ，令()(1)x g x x e ，则()(2)x g x x e ，当(,2)x 时，()0g x ， g x 单调递减；当(2,)x 时，()0g x ， g x 单调递增，当x 时， 0g x ， 10g ，当x 时， 0g x ，画出 g x 大致图像如下：所以当0a 时，y a 与 y g x 仅有一个交点，令 g m a ，则1m ，且()()0f m a g m ，当(,)x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递增，当 ,x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递减，x m 为 f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；(III )由(II )知max ()()f x f m ，此时)1(1,m a m e m ，所以 2max {()}()1(1),m f x a f m a m m e m ，令 2()1,(1)x h x x x e x ，若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ， 2()2(1)(2)x x h x x x e x x e ，1x ，当(1,1)x 时，()0h x ， h x 单调递减，当(1,)x 时，()0h x ， h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ，故b e ，所以实数b 的取值范围 ,e .【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x .8.(2021年浙江卷数学试题)设a ，b 为实数，且1a ，函数 2R ()x f x a bx e x(1)求函数 f x 的单调区间；(2)若对任意22b e ，函数 f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；(3)当a e 时，证明：对任意4b e ，函数 f x 有两个不同的零点12,x x ，满足2212ln 2b b e x x e b .(注： 2.71828e 是自然对数的底数)【答案】(1)0b 时，()f x 在R 上单调递增；0b 时，函数的单调减区间为,log ln a b a ，单调增区间为log ,ln a b a；(2)21,e ；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()ln x x f x b f a x e a x a b ，①若0b ，则()ln 0x f x a a b ，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b ，当,log ln a b x a时， '0,f x f x 单调递减，当log ,ln a b x a时， '0,f x f x 单调递增.综上可得，0b 时，()f x 在R 上单调递增；0b 时，函数的单调减区间为,log ln a b a ，单调增区间为log ,ln a b a.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e 有2个不同解ln 20x a e bx e 有2个不同的解，令ln t x a ，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a t t ，记22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t ，记2()(1),()(1)10t t t t h t e t e h t e t e e t ，又(2)0h ，所以(0,2)t 时，()0,(2,)h t t 时，()0h t ，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,) 单调递增，22(2),ln ln b b g e a a e，22222,ln ,21b b e a a e e∵.即实数a 的取值范围是21,e .(3)2,()x a e f x e bx e 有2个不同零点，则2x e e bx ，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ，注意到函数2x e e y x在区间 0,2上单调递减，在区间 2, 上单调递增，故122x x ，又由5245e e e 知25x ，122211122x e e e e b x x x b，要证2212ln 2b b e x x e b ，只需22ln e x b b，222222x x e e e b x x 且关于b 的函数 2ln e g b b b在4b e 上单调递增，所以只需证 22222222ln 52x x e x e x x x e，只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e ，只需证2ln ln 202x e x x e，242e ∵，只需证4()ln ln 2x x h x x e 在5x 时为正，由于 11()44410x x x h x xe e e x x x，故函数 h x 单调递增，又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e ，故4()ln ln 2x x h x x e 在5x 时为正，从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．9.(2021年北京卷数学试题)已知函数 232x f x x a．(1)若0a ，求 y f x 在 1,1f 处切线方程；(2)若函数 f x 在1x 处取得极值，求 f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】(1)450x y ；(2)函数 f x 的增区间为 ,1 、 4, ，单调递减区间为 1,4 ，最大值为1，最小值为14.【解析】【分析】(1)求出 1f 、 1f 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由 10f 可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数 f x 的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当0a 时， 232x f x x ，则 323x f x x， 11f ， 14f ，此时，曲线 y f x 在点1,1f 处的切线方程为 141y x ，即450x y ；(2)因为 232x f x x a ，则 222222223223x a x x x x a f x x a x a ，由题意可得224101a f a ，解得4a ，故 2324x f x x ，222144x x f x x ，列表如下：x,1 1 1,4 4 4,f x 0 0 f x 增极大值减极小值增所以，函数 f x 的增区间为 ,1 、 4, ，单调递减区间为 1,4 .当32x 时， 0f x ；当32x 时， 0f x .所以， max 11f x f ， min 144f x f .。
2023届高三冲刺卷(一)全国卷-理科数学试题(含答案解析)
2023届高三冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}110,1,2,3,4,1,93xA B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ∣ ，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）7．某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：()2~85,N ξσ，且()83870.3P ξ<<=，()78830.12P ξ<<=，()78P ξ<=（）A ．0.14B ．0.18C ．0.23D ．0.268．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为C 右半支上一点，且212121cos ,24F PF PF PF a ∠=⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．在等比数列{}n a 中，公比2q =，且291011121011116a a a a a +++=，则9101112a a a a +++=（）A ．3B ．12C ．18D ．2411．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．43(2)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为______________．15．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.16．直线:10l x y +-=与椭圆22:142x yC +=交于,A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP 的面积为___________.三、解答题17．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c1cos sin ,3C a C bc +==，0b c +=.(1)求A ；(2)求ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆay bx =-.19．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.(1)证明：1CD A D ⊥；(2)求二面角1D A C A --的大小；(3)求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】由指数函数的性质求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}{}111,02,0,1,2,0,1,293xB x x x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤∈=≤≤∈=∴⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ∣∣.故选：C 2．B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C ，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．C【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为()2~85,N ξσ，()83870.3P ξ<<=，所以()()81830.358372P P ξξ<-<=<，又()78830.12P ξ<<=，所以()()()7878830.2833P P P ξξξ-<=<<<=.故选：C.8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．A【分析】根据数量积的定义可得2128PF PF a ⋅= ，结合双曲线的定义可得122PF PF a -= ，进而求解124,2PF a PF a ==，由余弦定理即可求解.【详解】221212122,cos 2PF PF a PF PF F PF a ∠⋅=∴⋅= 可得2128PF PF a ⋅= .又122PF PF a -= ，两式联立可得124,2PF a PF a ==，22222212121221216441cos 2164PF PF F F a a c F PF PF PF a ∠+-+-∴===⋅，整理可得224c a =，2,2c a e ∴==.故选：A .10．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】9121011910111291011122910111291210119121011101110111111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，910111291011122229101112101010111166,,122a a a aa a a a a a a a a a a ++++++=∴=∴+++=.故选:B.11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．24【分析】43(2)(1)x x +-的展开式中2x 来自于三类:①4(2)+x 中的二次项与3(1)x -的常数项的乘积;②4(2)+x 中的常数项与3(1)x -的二次项的乘积;③4(2)+x 中的一次项与3(1)x -的一次项的乘积.【详解】展开式中2x 项为32224123322224343(1)C 22C (1)C 2C (1)24x x x x -⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，∴2x 的系数为24．故答案为:2415．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB 取最小值，即minπ8sin3PB==∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.16【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.【详解】直线l 与椭圆C 联立221,4210,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得23420x x --=.设点()()1122,,,A x y B x y ，则121242,33x x x x +==-.所以AB ===由椭圆C 知点()2,0P ，故点P 到直线:10l x y +-=的距离：d ==所以ABP的面积为11222S AB d =⋅=故答案为3.17．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sin A A =，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得1a =，由正弦定理即可求解.【详解】（1）cos sin C a C+=cos sin sin A C A C B +=，πA B C++=，())cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C A C +++，sin sin sin A C AC ∴，sin 0,tan C A ≠∴= ()π0,π,3A A ∈∴=.（2）1,03bc b c =+-=222222222()213cos 22223a a b c a b c bc a A bc bc --+-+--∴====，整理得21a =，1a ∴=.由正弦定理可得2,sin 33a R R A ==∴=18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x x y y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析；(2)π4【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值【详解】（1）由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥；又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ；又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥；（2）取线段11,AC AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,1,,1,,0,0,0,A C A B B --，由D 为AB的中点可得12D ⎛- ⎝⎭，所以()13,,0,2AC DC ⎛== ⎝⎭uuu r uuu r ，设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120302n AC x n DC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，可得y z =即(1,n =r ；易得(1OB =uuu r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,2n OB n OB n OB ⋅==r uuu r r uuu r r uuu r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,2n OB θ==r uuu r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4.（3）由（2）可知()2,0,0CA =-uu r ，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n CA n CA n CAα⋅===r uu r r uu r r uu r ，即直线CA 与平面1ACD20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k ++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k +-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)2210x y --=(2)12【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.构造函数()22ln 2g x x a x ax =--，和()2ln 1,h x x x =+-利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()111221f =-+=，且()()11,11f x x f x=-+'∴='，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程112y x -=-，即2210x y --=.（2）()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，∴方程21ln 02x x x a-+=，即22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.设()22ln 2g x x a x ax =--，则()2222x ax a g x x --'=.令()0g x '=，即20.0,0,x ax a a x --=>> 20x ax a ∴--=的两个根分别为102a x =<（舍去），22a x =当()20,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()20,x 上单调递增，当2x x =时，()()0,g x g x '=取最小值()2g x ，要使()g x 在()0,∞+有唯一零点，则须()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x a x ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩()22222ln 0,0,2ln 10.*a x ax a a x x ∴+-=>∴+-= 设函数()2ln 1,h x x x =+-当0x >时()h x 是增函数，()h x ∴至多有一解.⋅()10,h =∴ 方程()*的解为21x =，即12a =，解得12a =，∴实数a 的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学(理)模拟训练(一)【含答案】
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学（理）模拟训练（一）一、单选题1．若集合，则（ ）{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣A B = A ．B ．C ．D ．[)1,1-(]0,1[)0,1()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得，{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= 故选：D.2．（ ）sin2023cos17cos2023sin17+=A ．B ．C ．D 1212-【答案】C【分析】根据诱导公式和正弦和角公式求解即可.【详解】解：因为3605182334020=⨯++所以，，()()4s 1in 8202n 3s 3605043sin 18s i 03i 4n 3=⨯++=+=-()()4c 1os 8202s 3c 3605043cos 18c o 03o 4s 3=⨯++=+=-所以，sin2023cos17cos2023sin17+.sin43cos17cos43sin17sin60=--=-= 故选:C.3．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：中位数m85m ≥8085m ≤<7080m ≤<70m <评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）A ．优秀B ．良好C ．合格D ．不合格【答案】B【分析】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.【详解】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为，第4组的频率为0.1,0.1,0.20.4所以，中位数，即满足，对应的评价是良好.0.1801082.50.4m =+⨯=m 8085m ≤<故选：B.4．双曲线 ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ．B ．2y x =±y =C ．D ．y x =12y x=±【答案】B【分析】根据.==ce a b a =【详解】由题意知，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得，解得，==ce a 22221()3a b b a a +=+=b a =所以双曲线的渐近线方程为.C by x a =±=故选：B.5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，则（ ）O ()3,4A --()5,12B -cos OAB ∠=A ．B ．CD ．33653365-【答案】D【分析】利用计算即得结果.cos AO ABOAB AO AB⋅∠=【详解】由题设，(3,4),(8,8)AO AB ==-所以cos AO AB OAB |AO ||AB |⋅∠== 故选：D6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）A ．BC ．28D ．283【答案】A4，下底长为2的正四棱台求解.因为上底长为4，下底长为2，所以该棱台的高为，1h=棱台的体积，∴(128416133V =⨯+⨯=故选：.A 7．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO 的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO ，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．()sin x x xf -=()sin cos f x x x x=-()221f x x x =-()3sin f x x x =+【答案】B【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.【详解】A ：，即在定义域上递增，不符合；()1cos 0f x x '=-≥()f x B ：，()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=在上，在上，在上，(2π,π)--()0f x '<(π,π)-()0f x '>(π,2π)()0f x '<所以在、上递减，上递增，符合；()f x (2π,π)--(π,2π)(π,π)-C ：由且定义域为，为偶函数，222211()()()()f x x x f x x x -=--=-=-{|0}x x ≠所以题图不可能在y 轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；(0,)+∞32()20f x x x +'=>()f x D ：由且定义域为R ，为奇函数，33()sin()()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-研究上性质：，故在递增，(0,)+∞2()cos 30f x x x =+>'()f x (0,)+∞所以在R 上递增，不符合；()f x 故选：B8．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．168120818271027【答案】A【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.23【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，13所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，23由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，n 213nn S ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭即经过4次操作之后所得图形的面积是.442161381S ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭故选：A9．将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1202151512【答案】C【分析】先求出总数，再由插空法，得到满足题意的情况，由古典概型的公式即可得出答案.【详解】先考虑总的情况，6个位置选3个放1，有种，36C 再考虑3个0都不相邻的情况，将3个0插入3个1形成的4个空中，有种，34C 可得.3436C 1C 5P ==故选：C ．10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）R ()f x ()()2=f x f x -()21f x +-()20231k f k ==∑A ．B ．C ．2022D ．20232023-2022-【答案】D【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周()f x 期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.【详解】∵，∴关于对称，()()2=f x f x -()f x 1x =∵为奇函数，∴由平移可得关于对称，且，()21f x +-()f x ()2,1()21f =，即(2)1(2)1f x f x ∴+-=--++(2)(2)2f x f x ++-=()()2=f x f x -(2)()2f x f x ∴++=(4)(2)2f x f x ∴+++=上两式比较可得()(4)f x f x =+∴函数是以4为周期的周期函数.，，()f x ()()()13222f f f +==()()421f f ==∴， ∴.()()()()12344f f f f +++=()()2023120244420234k f k f ==⨯-=∑故选：D.11．如图，在梯形ABCD 中，，，，将△ACD 沿AC 边折起，AB CD ∥4AB =2BC CD DA ===使得点D 翻折到点P ，若三棱锥P -ABC 的外接球表面积为，则（ ）20πPB=A ．8B ．4C ．D ．2【答案】C【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明，可得12OO O M=12O M OO =四边形为平行四边形，进而证得BC ⊥面APC ，通过勾股定理可求得PB 的值.12OO MO【详解】如图所示，由题意知，，60ABC ︒∠=所以，AC =AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 外接圆的圆心，记为，2O 又因为，2PA PC ==所以，，120APC ︒∠=1PM =所以在中，取AC 的中点M ，连接PM ，则△APC 的外心必在PM 的延长线上，记为，APC △1O所以在中，因为，，所以为等边三角形，APC △160APO ︒∠=11O P O A =1APO △所以，12O P =（或由正弦定理得：）11242sin AC O P O P APC ===⇒=∠所以，11O M =在中，，，，ACB △2122O B AB ==2112O M BC ==2//O M BC 设外接球半径为R ，则，解得：，24π20πR =25R =设O 为三棱锥P -ABC 的外接球球心，则面ABC ，面APC ．2OO ⊥1OO ⊥所以在中，，2Rt OO B △21OO =又因为在，，1Rt OO P△11OO ===所以，，121OO O M ==121O M OO ==所以四边形为平行四边形，12OO MO 所以，12//OO O M 又因为，2//O M BC 所以，1OO //BC又因为面APC ，1OO ⊥所以BC ⊥面APC ，所以，BC PC ⊥所以，即：22222228PB PC CB =+=+=PB =故选：C.12．设函数，其中，是自然对数的底数（…），则（ ）()e ln x f x ax x=-R a ∈e e 2.71828≈A ．当时，B ．当时，1a =()e f x x≥3e 4a =()0f x >C ．当时，D ．当时，1a =-()e f x x≥3e 4a =-()0f x >【答案】B【分析】令，结合，判断AC ；将不等式转化为()e ln e x ax x xg x =--()10g =()1g a'=-()0f x >，，再构造函数求解最值即可判断B ；借助特殊值判断D.324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】解：令，则，且，，()e ln e x ax x xg x =--()e ln ex a x a g x '=---()10g =()1g a'=-当，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =()110g '=-<ε()1,1x ε∀∈+()0g x <当时，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =-()110g '=>ε()1,1x ε∀∈-()0g x <故A ，C 都不正确，对于选项B ，当，则显然成立，当时，即证明，(]0,1x ∈()1,x ∈+∞3e e ln 04xx x ->也即证明，，324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞令，则，12e ()x h x x =()312e()xx h x x -'=所以，时，，单调递增，时，，单调递减，()2,x ∈+∞1()0h x '>1()h x ()0,2x ∈1()0h x '<1()h x 所以，的最小值为，12e ()x h x x =()21e 24h =令，则，()2ln xh x x =()221ln x h x x -'=所以，时，，单调递减，时，，单调递增，()e,x ∈+∞2()0h x '<()2h x ()0,e x ∈2()0h x '>()2h x 所以，的最大值为，()2ln xh x x =()21e e h =所以，，()()()()21122323334e 444e 1ln 2e e e e e 4e x xh x h h h x x x ⋅=≥=⋅==≥=因为不同时取等，所以，，即选项B 正确，324e ln e x x x x ⋅>对于选项D ，当时，（成立），即1e x =11132243e e 2e 11e e e e ln e e 0e 16e 4e e 4416+⋅=-<-<⇔<⇔<，所以选项D 不正确．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据不同选项，构造不同的函数，利用函数值的大小，特殊值等，实现大小比较.二、填空题13．设是虚数单位，复数的模长为__________.i 2i1i +【分析】先根据复数的除法化简，然后由模长公式可得.【详解】解：()()()2i 1i 2i 1i,1i 1i 1i -==+∴++-=.14．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布，且成绩在()280,N σ上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.[]80,90【答案】8【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X （单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在()280,N σ80x=上的学生人数为16，[]80,90由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.24168-=故答案为：815．如图，在中，.延长到点，使得，则ABCπ3AC ACB ∠==BA Dπ2,6AD CDA ∠==的面积为__________.ABC 【分析】根据正弦定理和面积公式求解即可.【详解】解：因为在中，，，ADC △π3AC ACB ∠==π2,6AD CDA ∠==所以，由正弦定理得，sin sin AD AC ACD CDA ∠∠=sin ACD ∠=π4ACD ∠=所以，，5ππ,124CAB ABC ∠∠==在中，由正弦定理可得ABC sin sin AB ACACB CBA ∠∠=AB =因为ππππππsin sin sin cos cos sin 464646CAB ⎛⎫∠=+=+=⎪⎝⎭所以，1sin 2ABC S AB AC CAB ∠=⨯⨯⨯=16．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>d 的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕C 1y =1y =-C（其中），则双曲线的离心率为______.yπ222c a b =+C 【分析】先利用条件求出，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利题设所给d 1y =信息建立等量关系，从而求出结果.【详解】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，by xa =±(),0F c 22bc d b a b ==+由，得，1y b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩a xb =由，得()2222110y x y x a b =⎧⎪⎨-=>⎪⎩x ==所以截面面积为，()2222221ππa b a a b b ⎛⎫+ ⎪-= ⎪⎝⎭由题知，阴影部分绕y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴，22πππV a ===2bc =所以，即，()4222226a b c c a c ==-44226a c a c =-∴，解得，所以42e e 60--=2e 3=e =三、解答题17．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期1314､至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知4400⨯甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；23343445丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.2356(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.ξξ【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大(2)答案见解析【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，231342⨯=乙队进入决赛的概率为，343455⨯=丙队进入决赛的概率为，255369⨯=显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，135,,259的可能取值为，ξ0,1,2,3，()1354011125945P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()135********2(1(1)(1)25952995290P ξ==-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，()135132596P ξ==⨯⨯=，()()()()43711110231459063P P P P ξξξξ==-=-=-==---=所以的分布列为：ξξ0123P4451337901618．已知分别为三个内角的对边，且.,,a b c ABC ,,A B C ()sin 2sin A B C-=(1)证明:；2222a b c =+(2)若，，，求AM 的长度.2π3A =3a =3BC BM =【答案】(1)证明见解析(2)1AM =【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在中，由（1）结合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.ABC ,b c ABM 【详解】（1）由，()()sin 2sin 2sin A B C A B -==+得，sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B -=+则，sin cos 3cos sin 0A B A B +=由正弦定理和余弦定理得，2222223022a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=化简得；2222a b c =+（2）在中，，ABC 2229a b c bc =++=又因为，所以，所以2222a b c =+222229b c b c bc +=++=b c ==所以，π6B C ==由，得，3BC BM = 13a BM ==在中，，ABM 2222cos 313133a a AM c c B ⎛⎫=+-⨯⋅=+-= ⎪⎝⎭19．如图，正三棱柱的体积为P 是面内不同于顶点的一点，111ABC A B C -AB =111A B C 且．PAB PAC ∠=∠(1)求证：；⊥AP BC (2)经过BC 且与AP 垂直的平面交AP 于点E ，当三棱锥E -ABC 的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．1P BC B --【答案】(1)证明见解析．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）由分析知，三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，由分析知，∠PFD为二面角的平面角，以F 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和，代入1P BC B --FP FD即可得出答案.【详解】（1）设线段BC 的中点为F ，则，AF BC ⊥∵，，AP 为公共边，AB AC =PAB PAC ∠=∠∴，PAB PAC △△≌∴，PB PC =∴，又，面APF ，PF BC ⊥AF PF F = ,AF PF ⊂∴BC ⊥面APF ，面APFAP ⊂（2）设线段的中点为D ，由题意，点P 在线段上，11B C 1A D由，111ABC A B C V -=AB =12AA =∴三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，∵AP ⊥面BCE ，面BCE ，∴，EF ⊂AP EF ⊥∴点E 在以AF 为直径的圆上，如图，易知，3AF =从而，45EAF EFA ∠=∠=︒由（1）知PF ⊥BC ，DF ⊥BC ，平面，DF 平面，PF ⊂PBC ⊂1BCB 平面平面，PBC1BCB BC =∴∠PFD 为二面角的平面角，1P BC B --如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，则，，，，()0,0,0F 330,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭()B ()0,1,2P ，()0,0,2D于是，，从而，()0,1,2FP =()0,0,2FD =cos ,FP FD <>==∴二面角．1P BC B --20．已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若动点G 满足()0,0M x ()00,N y 1MN =，动点G 的轨迹为E .2OG OM ON =+(1)求E 的方程；(2)已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A 、B 两点，总满足，Q ⎫⎪⎪⎭AQO BQO ∠=∠证明：直线l 过定点.【答案】(1)；2214x y +=(2)证明见解析.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得，结合和两点坐标求距离公式可得002xx y y ==、1MN =，将代入计算即可；22001x y +=002x x y y ==、(2)设直线l 的方程为：、，联立椭圆方程并消去y ，根据韦达定理表y kx m =+()()1122A x y B x y ，、，示出，利用两点求斜率公式求出，结合题意可得，列出关于k 和m1212+、x x x x AQ BQk k 、AQ BQk k =-的方程，化简计算即可.【详解】（1）因为，即，2OG OM ON =+0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=所以，则，002x x y y ==，002xx y y ==又，得，即，1MN =22001x y +=22()12x y +=所以动点G 的轨迹方程E 为：；2214x y +=（2）由题意知，设直线l 的方程为：，，y kx m =+()()1122A x y B x y ，，，则，1122y kx m y kx m=+=+，，消去y ，得，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=由，得，22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+->2241m k <+，21212228444141km m x x x x k k --+==++，直线的斜率为，直线的斜率为，AQAQ k =BQ BQ k =又，所以AQO BQO ∠=AQk =BQk-=整理，得，1212120y x x y y y +=12122()()0kx x m x x ++=，2222228(1)80414141km km k mk k k --+=+++由，化简得，2410k +≠m =所以，(y kx k x ==故直线过定点.21．已知函数为的导函数．1()ln (0,0),()f x kx a x x a f x x ->'=-+>()f x (1)当时，求函数的极值；1,2a k ==()f x (2)已知，若存在，使得成立，求证：()1212,(0,)x x x x ∈+∞≠k ∈R ()()12f x f x =．()()120f x f x ''+>【答案】(1)极大值为，无极小值．3-(2)证明见解析【分析】（1），求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；1()2ln f x x xx =--+（2）不妨设，因为，所以，结合12x x >()()12f x f x =121212ln 1x x a kx x x x +=-，得()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，设， 构造函数()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax xx x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭12(1,)x t x =∈+∞，结合函数的单调性，可证得结论.1()2ln (1)t t t t tϕ=-->【详解】（1）当时，此时，1,2a k ==1()2ln f x x xx =--+则，2211(21)(1)()2x x f x x x x +-'=-+=-当时，，则在单调递增；01x <<()0f x '>()f x (0,1)当时，，则在单调递减；1x >()0f x '<()f x (1,)+∞所以的极大值为，无极小值．()f x (1)3f =-（2）不妨设，因为，12x x >()()12f x f x =则，11221211ln ln kx a x kx a x x x --+=--+即，所以，()12112122ln x x x a k x x x x x -+=-121212ln1x x a k x x x x +=-由，则，21()a f x k x x '=+-()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，()()12122212121212ln111112x x f x f x a ax x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪''+=+++-+ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭即，()()12122212121212ln 112112x x f x f x a x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪''+=+-++-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()222121211222121212212ln x x x x x f x f x a x x x x x x x -⎛⎫-''+=+-⎪-⎝⎭即，()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax x x x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭设， 构造函数，12(1,)x t x =∈+∞1()2ln (1)t t t t t ϕ=-->则，2221221()10t t t t t t ϕ-+'=+-=>所以在上为增函数，()t ϕ(1,)+∞所以，()(1)0t ϕϕ>=因为，()21222121210,0,0x x a x x x x ->>>-所以．()()120f x f x ''+>【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．22．“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域xOy 4分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半1C 2C y (2,2)P -x轴为极轴建立极坐标系．(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；P 1C (2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．l 1C 2C M N PMN 【答案】(1)，：3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1C 24sin 0ρρθ-=(2)4【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，，在极坐标系中，求，并求其最大值即可.2PMN POM S S = POM S 【详解】（1）设点的一个极坐标为，，，P (),P P P ρθ0P ρ>[)0,2πP θ∈则，P ρ===2tan 12P P P y x θ===--∵点在第三象限，∴，∴点的一个极坐标为.P 3π4P θ=P 3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，4∴分界线的圆心直角坐标为，半径为，1C ()10,2C 2r =∴的直角坐标方程为（），即（），1C ()2224x y +-=0x ≥2240x y y +-=0x ≥将，，代入上式，得，，cos x ρθ=sin y ρθ=222x y ρ+=24sin 0ρρθ-=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦化简，得分界线的极坐标方程为，.1C 4sin ρθ=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）∵在上，∴设点的极坐标为，则，，M 1C M (),M M M ρθ4sin MM ρθ=π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴的面积POM ()11sin sin 22POM P M P M S OP OM POM ρρθθ=⋅⋅∠=⋅⋅- 13π4sin sin 24M M θθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭24sin cos 4sin M M Mθθθ=+()2sin 221cos 2M M θθ=+-2sin 22cos 22M M θθ=-+π224M θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵，∴，π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444M θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当，即时，的面积的最大值为.ππ242M θ-=3π8M θ=POM ()max 2POM S = ∵直线过原点分别与，交于点，，∴由图形的对称性易知，，l 1C 2C M N OM ON =∴面积，PMN 2PMN POM S S =∴面积的最大值为.PMN ()()max max 24PMN POM S S == 23．已知，且，证明：0,0,1a b c >>>222422a b c c ++-=(1)；24a b c ++≤(2)若，则.2a b =1131b c +≥-【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得()()11112141911a b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-≥ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭，即可证明.11213a b c ≥++-1131b c +≥-【详解】（1）由，得，222422a b c c ++-=2224(1)3a b c ++-=由柯西不等式有，()2222222(2)(1)111(21)a b c a b c ⎡⎤++-++≥++-⎣⎦，当且仅当时等号成立，213a b c ∴++-≤211a b c ==-=，当且仅当时等号成立；24a b c ∴++≤11,,22a b c ===（2）由可得2a b =，()()1111412141559111b c a b c b c b c b c c b -⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦---⎝⎭⎝⎭当且仅当时取等，12c b -=由（1）可得，当且仅当时等号成立，11213a b c ≥++-11,,22a b c ===从而，当且仅当时等号成立.11193121b c a b c +≥⋅≥-++-11,,22a b c ===。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)16 极值与最值(含详解)
专题16极值与最值【考点预测】 知识点一：极值与最值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点.2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则 不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>； 不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥； 不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<； 不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<； 不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤； 不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>； 不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔<不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤； （6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥； （7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤； （8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥； （9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥． 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用 题型七：不等式恒成立与存在性问题 【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数()()()1xf x a x a =--∈e R ．当1a =时，求函数()y f x =的极值；例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设()e sin x f x x =.(1)求()f x 在[],ππ-上的极值； (2)若对[]12,0,x x π∀∈，12x x ≠，都有()()1222120f x f x a x x -+>-成立，求实数a 的取值范围. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间； (2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点：（ii ）证明：()(1)e f x a <- 例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数()f x 在区间(,π)-∞上只有两个零点．例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点．【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（ ） A ．6B ．15-C ．6-或15D ．6或15-例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e x f x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1B ．2C ．-3D ．4例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （ ）A ．eB ．1e 2C ．12D ．14例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数322()3f x x mx nx m =-++在1x =-处取得极值0，则m n +=（ ） A ．2B ．7C ．2或7D ．3或9例12．（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x =--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，若2x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ． ()1,-+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()321112132f x x m x m x =-++-在()0,4上无极值，则m ＝______．例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程；(2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数()ln ,af x x a x=+∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间； (2)设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围. 例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数()ln (0)xae f x x x a x =+->.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在两个极小值点12,x x ，求实数a 的取值范围.例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数()32f x x ax bx =-++．(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．题型三：求函数的最值（不含参）例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数12()||cos f x x x =-的最小值为_____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）函数()e ln 1x x f x x x -=+的最小值为______．例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意a ∈R ，存在(0,)b ∈+∞，使得1eln a b +=，则b a -的最小值为_________．例23．（2022·河南郑州·三模（文））()x f x e x =-在区间[]1,1-上的最小值是（ ）A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -例24．（2022·全国·高三专题练习）函数1(1),[3,4]x y x e x +=+∈-的最大值为（ ） A ．22e -B ．55eC ．54eD ．1e --例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()1cos 0f x ax x a =-≠. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值.例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数32(),1f x x bx x a x =+-+=是()f x 的一个极值点．(1)求b 的值；(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最大值．题型四：求函数的最值（含参）例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数()32392f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,a 上的最小值．例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f (x )=x -m ln x -m . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最小值g (m )，证明：g (m ) 1e≤在(0)+∞，上恒成立. 例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．题型五：根据最值求参数例30．（2022·河北·模拟预测）已知0a >，函数()12ag x x x+=+-在[)2,+∞上的最小值为1，则=a __________． 例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数()32112132x x f x x =+-+，若函数()f x 在()22,23a a -+上存在最小值.则实数a 的取值范围是________.例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数()()2221e x f x x x a +=+++存在最小值，则实数a 的取值范围是___________.例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是_________．题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f （x ）＝e x ＋ax ·sin x ． (1)求y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程； (2)当a ＝－2时，设函数g （x ）＝()f x x，若x 0是g （x ）在（0，π）上的一个极值点，求证：x 0是函数g （x ）在（0，π）上的唯一极小值点，且e －2<g （x 0）<e ．例35．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数()313f x x ax =-+，R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()xg x f x e =⋅有且只有一个极值点，求a 的取值范围．例36．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.(1)当2a =时，求函数()f x 的极值点； (2)当12a ≤<时，试讨论函数()f x 的零点个数.例37．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()()()211e 12ax f x x ax a x =--+-(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由.例38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数2()e (3)ln xf x x x x=---． (1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()072e 22f x --<<-．例39．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()2ln 1f x x x x =---． (1)证明：()f x 存在唯一的极值点； (2)m 为整数，()f x m >，求m 的最大值．题型七：不等式恒成立与存在性问题例40．（2022·辽宁·二模）若关于x 的不等式ln 1e x x x ax ++≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 例41．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．例42．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围. 例43．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()122211ln 2x f x x x x -+=+-++-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对1x ∀、[]20,2x ∈，使()()1212f x f x a-≤-恒成立，求a 的取值范围.例44.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数()()ln 1f x x x =+. (1)求()f x 的最小值；(2)若()()212f x x m x -++-恒成立，求实数m 的取值范围.【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【过关测试】 一、单选题1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（ ） A ．1B ．12C ．37D ．572．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ） A ．y x =B ．()ln y x =-C ．e x y x =+D ．4y x x=+3．（2022·河南新乡·二模（文））已知0a >，函数()2313f x a x x =-的极小值为43-，则=a （ ）AB ．1C D4．（2022·内蒙古包头·一模（理））设0m ≠ ，若x m =为函数()()()2f x m x m x n =--的极小值点，则（ ） A ．m n >B ．m n <C ．1nm< D ．1n m> 5．（2022·河南·模拟预测（文））当x m =时，函数()3232ln f x x x x x =-+-取得最小值，则m =（ ）A ．23B ．1C ．32D ．26．（2022·四川凉山·三模（理））函数()2sin 2a f x x x =-，若()f x 在(0,)2π上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．()0,1C ．(),0∞-D ．()1,0-7．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数2()(4)()f x x x a =--，a 为实数，(1)0f '-=，则()f x 在[]22-,上的最大值是（ ） A ．92B ．1C ．35D ．5027-8．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭二、多选题9．（2022·重庆·三模）已知函数()21e xx x f x ++=（e 为自然对数的底数，e 2.72≈），则关于函数()f x ，下列结论正确的是（ ） A ．有2个零点B ．有2个极值点C ．在()0,1单调递增D ．最小值为110．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭11．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．x R ∀∈，()()0f x f x ≥ B ．0x -是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()e e e x xf x a x x -=-+的图象关于直线12x =对称，则下列说法正确的是（ ） A ．e a = B ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．12x =为()f x 的极小值点 D ．()f x 仅有两个零点三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()321112132f x x m x m x =-++-在()0,4上无极值，则m ＝______．14．（2022·天津河西·二模）若函数32()9f x x ax x =+--在1x =-处取得极值，则()2f =____________． 15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数()1ln f x x x=+的极值点为___________. 16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3,,43,,x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-<⎩则下列命题正确的有：___________.①若()f x 有两个极值点，则0a =或112a <<②若()f x 有极小值点，则12a >③若()f x 有极大值点，则12a >-④使()f x 连续的a 有3个取值四、解答题17．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 18．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数()21xf x x a-=+． (1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间及其最大值与最小值． 19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））已知函数()ln a f x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32213f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点，12,x x ，且12x x <． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：当102x -<<时，()1112f x >．21．（2022·北京·人大附中三模）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.22．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数2()e e,x f x ax a =+-∈R ．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若()f x 只有一个极值点，求实数a 的取值范围；(3)若存在b ∈R ，对与任意的x ∈R ，使得()f x b≥恒成立，求-a b 的最小值．专题16极值与最值【考点预测】 知识点一：极值与最值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点.2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则 不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>； 不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥； 不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<； 不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<； 不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤； 不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>； 不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔<不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤； （6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥； （7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤； （8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥； （9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥． 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用 题型七：不等式恒成立与存在性问题 【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数()()()1xf x a x a =--∈e R ．当1a =时，求函数()y f x =的极值； 【解析】由题知，当1a =时，()e (1)x f x x =--，x ∈R∴()e 1xf x '=-，令()0f x '=，0x =． ∴(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴0x =是()f x 的极小值点，∴()f x 的极小值为()02f =，无极大值．例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设()e sin xf x x =.(1)求()f x 在[],ππ-上的极值； (2)若对[]12,0,x x π∀∈，12x x ≠，都有()()1222120f x f x a x x -+>-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)极小值为42eπ34π (2)e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】 【分析】（1）直接求导计算即可．（2）将问题转化为()()222211f x ax f x ax +>+，构造新函数()()2g x f x ax =+在[]0,π上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以． (1)由()()e sin cos 0xf x x x '=+≤，[],x ππ∈-得()f x 的单调减区间是,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理，()f x 的单调增区间是3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故()f x 的极小值为442e f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭343e 42f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭. (2)由对称性，不妨设120x x π≤<≤， 则()()1222120f x f x a x x -+>-即为()()222211f x ax f x ax +>+. 设()()2g x f x ax =+，则()g x 在[]0,π上单调递增，故()()e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立. 方法一：（含参讨论）设()()()e sin cos 20xh x g x x x ax '==++≥，则()010h =>，()e 20h a πππ=-+≥，解得e 2a ππ≥. ()()2e cos xh x x a '=+，()()0210h a '=+>，()()2e h a ππ'=-.①当e a π≥时，()()2e cos sin x h x x x ''=-⎡⎤⎣⎦，故，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2e cos sin 0x h x x x ''=-≥⎡⎤⎣⎦，()h x '递增； 当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2e cos sin 0x h x x x ''=-≤⎡⎤⎣⎦，()h x '递减； 此时，()()(){}()()min 0,20h x h h h a e πππ''''≥==-≥，()()h x g x '=在[]0,π上单调递增，故()()()010h x g x g ''=≥=>，符合条件.②当e e 2a πππ≤<时，同①，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x '递增；当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x '递减；∵()()02104h h a π⎛⎫''>=+> ⎪⎝⎭，()()2e 0h a ππ'=-<，∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，0,4x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00h x '=.于是，当[)00,x x ∈时，()0h x '>，()()h x g x '=单调递增；当(]0,x x π∈时，()0h x '<，()()h x g x '=单调递减.∵()010h =>，()e 20h a πππ=-+≥，∴()()()(){}min 0,0g x h x h h π'=≥≥，符合条件.综上，实数a 的取值范围是e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.方法二：（参变分离）由对称性，不妨设120x x π≤<≤，则()()1222120f x f x a x x -+>-即为()()222211f x ax f x ax +>+. 设()()2g x f x ax =+，则()g x 在[]0,π上单调递增， 故()()e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立.∵()010g '=>，∴()(),e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立()e sin cos 2x x x a x+⇔-≤，(]0,x π∀∈.设()()e sin cos x x x h x x+=，(]0,x π∈，则()()2e 2cos sin cos x x x x x h x x --'=，(]0,x π∈.设()2tan 1x x x ϕ=--，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则()212cos x x ϕ'=-，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.由()0x ϕ'>，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，得()x ϕ在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；由()0x ϕ'<，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，得()x ϕ在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.故0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2042x ππϕϕ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭；,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时()33042x ππϕϕ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭. 从而，()cos 2cos sin cos 0x x x x x x ϕ=--<，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，又2x π=时，2cos sin cos 10x x x x --=-<，故()()2e 2cos sin cos 0x x x x x h x x --'=<，(]0,x π∈，()()e sin cos x x x h x x+=，(]0,x π∈单调递减，()()min e h x h πππ==-，(]0,x π∈. 于是，e e 22a a ππππ-≤-⇔≥.综上，实数a 的取值范围是e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点： （ii ）证明：()(1)e f x a <-【答案】(1)函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数单调性；（2）利用导数判断单调性，利用零点存在性定理判断零点，进而确定极值点，利用零点代换结合函数最值处理极值的范围． (1)21ln()e ()ax x f x x--'=，构建()1ln()e x ax x ϕ=-- 当e a =时，则()1ln(e )e x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减，且1()0eϕ=当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0x ϕ>，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)（i ）由（1）可知：当e a >时，()ϕx 在()0,∞+上单调递减11e ()1ln 0,()10e a a a ϕϕ=-<=->∴()ϕx 在()0,∞+内存在唯一的零点011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为()00,x ，单调递减区间为()0,x +∞ ∴()f x 存在唯一的极值点0x（ii ）由（i ）可知：0000ln(())el (n )x f x f x x x a -≤=∵001ln()e 0ax x --=，即001e ln()x ax -=000000ln()e 1)e (ln eln x f x x x x x a ==---，且011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()el e 1n g x x x --=在11,e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减则()1eln e g x g a a a ⎛⎫<=+- ⎪⎝⎭构建()()()e 1eln e x h x x x =-->，则()()e 1e 0x xh x -'-=>当e x >时恒成立则()h x 在()e,+∞上单调递增，则()()()e e 20e h x h ≥=->则()()e 1eln e e x x x x ->+->，即()1e eln e a a a ->+- ∴()(1)e f x a <-例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()ex xf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数()f x 在区间(,π)-∞上只有两个零点． 【答案】(1)存在；极小值 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对()g x '求导后，判断()g x '的单调性，结合零点存在性定理可得结果；（2）当0x <时，利用单调性得()0f x <恒成立，此时()f x 无零点；当0x =时，()0f x =；当0πx <<时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在(0,π)上只有一个零点.由此可证结论正确. (1)由()sin e x xf x x =-，可得2e e 1()cos cos (e )e x x x x x xg x x x --=-=-， 则2e (1)e 2π()sin sin ,0,(e )e 2x x x x x x g x x x x ----⎛⎫'=+=+∈ ⎪⎝⎭， 令2()sin e x x h x x -=+，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2e (2)e 3()cos cos 0(e )e x x x x x x h x x x ---'=+=+>， 所以()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，即()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为π2π2π2(0)20,102e g g -⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增，所以当0x x =时，函数()g x 取得极小值． (2)由e ()sin x x f x x =-，当0x <时，11e x x ->，所以()()f x g x '==1cos ex xx --0>，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()(0)0f x f <=，此时函数()f x 在(,0)-∞上没有零点；当0x =时，可得00(0)sin 00e f =-=，所以0x =是函数()f x 的一个零点；当0πx <<时，由()1()sin e sin e exx x x f x x x x =-=- ，令()e sin ,(0,π)xm x x x x =-∈，可得()1e (sin cos )x m x x x '=-+，令()ϕx 1e (sin cos )x x x =-+ 则()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x x x x x x x ϕ'=-+--=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2e cos 0x x x ϕ'=-<；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2e cos 0x x x ϕ'=->，即()m x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为ππ2π1e 0,(π)1e 02m m ⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在1π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 使得()10m x '=，当()10,x x ∈时，()0m x '<；当()1,πx x ∈时，()0m x '>，又因为()1(0)0,(π)π0m x m m <==>，所以存在()21,πx x ∈使得()20m x =，即2x 是函数()f x 的一个零点． 综上可得，函数()f x 在(,π)-∞上有且仅有两个零点． 【点睛】关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键. 例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点．【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；(2)详见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得()14f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，进而可得；（2）当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当37[,)44x ππ∈，7[,)4x π∈+∞时，利用导数可得()0F x >，即得. (1)∵()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 14f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =，∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值()122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-；(2)∵()()ln sin cos ln ,0F x f x x x x x x x =-=--->，∴()1()1cos sin ,0h x F x x x x x'==-+->，∴()2211sin cos 4h x x x x x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭，当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，即()F x '单调递增，又42()10,()2042F F ππππ''=-<=->，故存在0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0()0F x '=，所以()()()00,,0,x x F x F x '∈<单调递减，()()()03,,0,4x x F x F xπ'∈<单调递增， ∴30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()()0min 11sin1cos10F x F x F =<=--<，2222(e )e sin e cos e 20F ----=--+>，333()ln 0444F πππ=->， 故30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln F x f x x =-有两个零点，当37[,)44x ππ∈0,()sin cos ln ln ln 44x F x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+≤=---=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于函数()ln x x x ϕ=-，则()1110x x x xϕ-'=-=>，又()10ϕ=， ∴37[,)44x ππ∈，()()10x ϕϕ>=，即()0F x >，此时函数()()ln F x f x x =-没有零点，当7[,)4x π∈+∞时，()sin cos ln ln ln 4F x x x x x x x x x x π⎛⎫=---=+-≥ ⎪⎝⎭，由上可知77()ln 044F x ππ≥>，故当7[,)4x π∈+∞时，函数()()ln F x f x x =-没有零点， 综上，函数()()ln F x f x x =-有两个零点． 【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（ ） A ．6 B ．15- C ．6-或15 D ．6或15- 【答案】B【解析】 【分析】先求出函数的导函数()'f x ，然后根据在1x = 时()f x 有极值10，得到232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，求出满足条件的,a b ，然后验证在1x = 时()f x 是否有极值，即可求出-a b 【详解】()322f x x ax bx a =--+，2()32f x x ax b '∴=--又1x = 时()f x 有极值10∴ 232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得411a b =-⎧⎨=⎩ 或33a b =⎧⎨=-⎩当3,3a b ==- 时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥ 此时()f x 在1x = 处无极值，不符合题意 经检验，4,11a b =-= 时满足题意 15a b ∴-=-故选：B例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】对()f x 求导，由函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以0f a，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，对()f x 求导，求单调区间及极大值，由()f x 的极大值为4，列方程得解.【详解】解：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e ex x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B 例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案. 【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值.综上所述：2a <-满足条件 故选：A例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （ ）A ．eB ．1e 2C ．12 D ．14【答案】C 【解析】 【分析】求导得到导函数，考虑0a ≤和0a >两种情况，根据函数的单调性得到极值，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21122ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不符合题意；当0a >时，()2122a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<， 所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，则()()111ln 2222f x f a ==--=-极大值，解得12a =．故选：C.例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ） A ．()2,2-B．(-C．⎡-⎣ D ．[]22-, 【答案】D 【解析】 【分析】求()()222e x x a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围. 【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅可得。
高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)
B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)10 对数与对数函数 (含详解)
专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212ab c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝ea 增大a 增大C ．28ln 2ab <D ．ln6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <- C ．01b a << D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a <<B．b a <Ca b <D．a b <<例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．a 例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0,∞+的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（ ）A．sin sin a b > B ．11a b> C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（ ） A ．a c <B ．b a <C ．c a <D ．a b <例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln xx -+=_______．【过关测试】一、单选题 1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（ ） A ．1393.1610s ⨯ B ．1391.5810s ⨯ C ．1401.5810s ⨯D ．1403.1610s ⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（ ） A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．111y z x+= C ．112x y z += D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在0,1上单调递增B ．是奇函数，且在0,1上单调递减C ．是偶函数，且在0,1上单调递增D ．是偶函数，且在0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点 A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ）A b a <<B ．b a <C a b <D ．a b <<二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b+的最小值是4 B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（ ）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax =+C ．()21xaf x e =-- D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论： ①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--； ④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减． 其中所有正确结论的序号为______． 四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M . (1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O为坐标原点，记AMO的面积为S，求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.专题10 对数与对数函数【考点预测】 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c bb a=； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log aa a MM N N=-； ⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1log log a b b a=； 2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 【答案】（1）7；（2）109；（3）2a bb+-． 【解析】（1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x 的值；（3）先求出a ，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果．【详解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；a 增大a 增大（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 【答案】（1）18；（2）21a bb ++. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到3log 7b =，3log 52=a ，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=（2）由37b =得到3log 7b =， 由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a . 33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c+=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a bb ---的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）设3461a b c k ===>，应用指对数的互化有346log ,log ,log a k b k c k ===，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求21a b +、2c，即可证结论；（2）应用指对数互化有6060log 3,log 5a b ==，应用对数的运算性质求12(1)a bb ---，进而可求12(1)12a b b ---的值.【详解】（1）设346a b c k ===，则1k >. ∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k+=+=+=+==， 而6222log 6log k c k==， ∴212a b c+=. （2）由题设知：6060log 3,log 5a b ==，得606011log 5log 12b -=-=，60606011log 3log 5log 4a b --=--=， ∴60121260log 42log 21log 22(1)2log 122a b b --===-， 则121log 22(1)12122a b b ---==.例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e C ．28ln 2ab < D ．ln6b a ->【答案】D 【解析】 【分析】利用指数和对数互化，得到a ，b 后逐项判断. 【详解】对于A ，由e 4a =，e 25b =，得ln 4a =，ln 25b =，所以ln 4ln 25ln100a b +=+=，故A 错误；对于B ，25ln 25ln 4ln4b a -=-=，故B 错误； 对于C ，2ln 4ln 252ln 2ln168ln 2ab =⨯>⨯=，故C 错误；对于D ，25ln 25ln 4lnln 64b a -=-=>，故D 正确． 故选：D ．例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】 根据y x x y =得到lg lg x xy y =，再利用换底公式得到2x y=，利用lg 2lg x y =，即2x y =，求出4x =，2y =，所以6x y +=.【详解】由y x x y =，得lg lg y x x y =，lg lg x xy y=. 由log 4y x x y +=，lg log lg y x x y =，所以lg 4lg x x y y+=， 所以4x xy y +=，解得：2x y=，则lg 2lg x y =，即2x y =， 所以4x =，2y =，所以6x y +=， 故选：C.例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．【答案】12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 分1x ≤、12x <≤和2x >，依次解不等式，再取并集即可.【详解】当1x ≤时，不等式()(1)f x f x <-为2211(1)x x -<--，解得112x <≤； 当12x <≤时，不等式()(1)f x f x <-为212log 1(1)x x <--，易知21122log log 10,1(1)0x x <=--≥，解得12x <≤；当2x >时，不等式()(1)f x f x <-为1122log log (1)x x <-，解得2x >；综上，解集为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.故答案为：12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】12log x，（log a x ，(0<a <1)都对）【解析】 【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】对于条件①，不妨设12x x <，则210x x ->，∵()()21210f x f x x x -<-，∴()()210f x f x -<∴12()()f x f x >，∴()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数. 故答案为:12log x.（log ax ，(0<a <1)都对）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值. 【答案】（1）9x =或181x =；（2）2a =. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出()f x 范围，换元借助一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）由已知得()31f =，即log 31m =，则3m =，于是得()3log f x x =， 方程222()(1)()10()2()80f x m f x m f x f x +-+-=⇔+-=， 从而得()2f x =或()4f x =-，即3log 2x =或3log 4x =-，9x =或181x =， 所以原方程的根为9x =或181x =； （2）依题意，函数()3log f x x =中，1,93x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得()3log 1,2x ∈-.又()()()()3310log 1log 0f x a f x x x a +⋅->⇔+⋅-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令3log x t =， 即一元二次不等式()()10t t a +⋅-<的解集为()1,2-，因此有-1，2是关于t 的方程()()10t t a +⋅-=的两根，则2a =， 所以实数a 的值为2.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >【答案】C 【解析】 【分析】结合函数()f x 的图象可得1a >和10b -<<，然后逐项分析即可求出结果. 【详解】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（ ） A．3-B ．1C ． 3+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质，可得()2,1A --，可得21m n +=，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】解：因为函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --，所以210m n --+=，即21m n +=， 所以()1111223n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0mn >，所以0,0n mm n>>所以2333n m m n ++≥=，当且仅当2n m m n =，即1n =时取等号.故选：C.（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.对于B ，()x x f x a a -=-，定义域R 关于原点对称，()()x xf x a a f x --=-=-，所以()f x 在R 上是奇函数，故B 正确.对于C ，对于()x xf x a a -=-，由题意不妨令1212,,x x x R x R >∈∈，则()()()()()121212121212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a f x f x a a a a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1212,,x x x R x R >∈∈，1a >，所以12121210,0,0x x x x x x a a a a +++>>->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上是单调递增函数，故C 正确.对于D ，()()()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a x f a f x --------=---=---+--=-()()()()22322221111112x x x x x x xx xxxa a a a a a a a a aa----+-⎛⎫⎛⎫--=⎪-==⎪⎝⎭⎝⎭，因为1a >，0x ≥，所以()3210,010,xxxa a a +≥>->，所以()()23101x x xa a a-+-≤，当且仅当0x =时等号成立，即当0x ≥时，()()22f x f x ≤成立，故D 正确.故选：BCD例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】ln 31[,)3e【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合导数研究|()|f x 的性质，再将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，应用数形结合的思想有(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点，最后由导数求它们相切或(1)y a x =+过(2,ln 3)时参数a 的值，即可知a 的取值范围. 【详解】由题设，20x -≤<上239()2()48f x x =--+，故值域为[14,0]-且单调递增；02x ≤≤上()f x '=101x -<+，故()f x 值域为[ln 3,0]-且单调递减； ∴|()|f x 在20x -≤<上值域为[0,14]且单调递减；在02x ≤≤上值域为[0,ln 3]且单调递增； 要使()g x 与x 轴有3个不同的交点，即|()|f x 与(1)y a x =+有3个不同交点，它们的图象如下：∴由图知：要使函数图象有3个交点，则(1)y a x =+与|()|f x 在02x ≤≤上至少有2个交点， 由02x ≤≤，1()|()|ln1g x f x x ==-+，则1()|()|1g x f x x '==+，此时，若|()|f x 与(1)y a x =+相切时，切点为(,(1))m a m +， ∴111ln (1)1a m a m m ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=+⎪+⎩，可得1e a =，当(1)y a x =+过(2,ln 3)时，有3ln3a =，得ln 33a =， ∴ln 313ea ≤<. 故答案为：ln 31[,)3e【点睛】关键点点睛：根据已知研究|()|f x 的性质，并将问题转化为|()|f x 与(1)y a x =+的交点问题，应用导数的几何意义、数形结合的思想求参数范围.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性法则“同增异减”即可求解.【详解】函数()22log 43y x x=+-的定义域为()1,4-.要求函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间，只需求243y x x =+-的增区间，只需32x <. 所以312x -<<. 所以函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：C例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解. 【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（ ） Ab a << B．b a < Ca b < D．a b <<【答案】A 【解析】 【分析】对33log log 4log log 3a b a b -=-利用换底公式等价变形，得333311log log log log -<-b a b a，结合1y x x=-的单调性判断b a <，同理利用换底公式得343411log log log log b a b a ->-，即34log log b a >，再根据对数运算性质得4log log log a =>3log y x =单调性，b >解. 【详解】由33log log 4log log 3a b a b -=-可得333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-， 因为1y x x=-在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，且3log a ，3log (0,)b ∈+∞，所以33log log b a <，即b a <， 其次，343411log log log log b a b a->-，所以34log log b a >，又因为4log log log a =>3log y x =单调递增，所以由3log log b >b >b a <． 故选：A例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．a【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可求出结果. 【详解】∵0＜a ＜1，∴f (x )＝log ax 在[a 2，a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝log aa 2＝2． 故选：C例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．⎛ ⎝⎭D ．)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可得()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，则0∆>，即可求出a 的大致范围，再令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，对a 分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得a >a <()1,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23a x =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤D ．1016a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，分1a >和01a <<两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】当1a >时，由1(0,)2x ∈，可得log 0a x <，则log 0a x ->，又由20x >，此时不等式2log 0a x x -<不成立，不合题意；当01a <<时，函数log a y x =在1(0,)2上单调递减，此时函数log a y x =-在1(0,)2上单调递增，又由2yx 在1(0,)2上单调递增，要使得不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立，可得211()log 022a -≤，解得1116a ≤<.故选：A.例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A 【解析】根据题意，先求得12a =，把不等式()()1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <； 由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A. 例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】将问题转化为在对应区间上max max ()()f x g x ≥，结合对勾函数、对数函数的性质求()f x 、()g x 的区间最值，即可求a 的范围. 【详解】若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可.在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =. 在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】12ea ≥. 【解析】 【分析】把不等式作等价变形，构造函数()ln g x x x =+，借助其单调性可得2e x a x ≥，分离参数构造函数并求出最大值作答. 【详解】函数()ln f x x x =-定义域为(0,)+∞，则(0,)∀∈+∞x ：222()e ln 0e ln l 2n e ln ln x x x f x a a a a x a a x x x x++≥⇔+≥⇔+≥+++22e e )n ln(l x x a a x x ⇔≥++，令()ln g x x x =+，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则有原不等式等价于()()2e xg a g x ≥22e e x xx a x a ⇔≥⇔≥， 令2()e x x h x =，0x >，求导得：212()exx h x -'=，当102x <<时，()0h x '>，当12x >时，()0h x '<， 因此，函数()h x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减，当12x =时，max 11()()22eh x h ==，则12ea ≥， 所以实数a 的取值范围是12ea ≥. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +． （1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，进而得260+-=a a ，解方程得2a =；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立，进而求函数的最值即可. 【详解】解：（1）因为函数,log (0,1)xa y a y x a a ==>≠在[1,2]上的单调性相同， 所以函数()log (0,1)xa f x a x a a =+>≠在[1,2]上是单调函数，所以函数()f x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为2log 26log 2a a a a ++=+，所以260+-=a a ，解得2a =和3a =-（舍） 所以实数a 的值为2.（2）由（1）得2()2log x f x x =+，因为对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，所以对于任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立， 当[2,)x ∈+∞时，2()2log x f x x =+为单调递增函数， 所以()()25f x f ≥=，所以11()5f x ≤，即15k ≥ 所以实数k 的取值范围1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的[2,)x ∈+∞，1()k f x ≥恒成立求解.例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)13a =；(2)()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由()32f =可求得log 3a 的值，进而可求得实数a 的值；（2）由()6f x >可得出log 3a x <-或log 1>a x ，分01a <<、1a >两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：因为()32f =，所以()2log 32log 332a a ++=，所以()2log 310a +=，所以log 31a =-，解得13a =.(2)解：由()6f x >，得()2log 2log 30a a x x +->，即()()log 3log 10a a x x +->，即log 3a x <-或log 1>a x .当01a <<时，log 12log log 8a a a x ≤≤，则log 83a <-或log 121a >，因为log 12log 10a a <=，则log 121a >不成立，由log 83a <-可得318a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得112a <<；当1a >时，log 8log log 12a a a x ≤≤，则log 123a <-或log 81a >，因为log 12log 10a a >=，则log 123a <-不成立，所以log 81a >，解得18a <<. 综上，a 的取值范围是()1,11,82⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
届高三理科数学六大专题训练题含详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》一、选择题1．α为三角形的一个内角，,125tan -=α则=αcos ()A ．1312-B ．135-C ．135D ．13122．函数x y sin =和函数x y cos =都是增函数的区间是()A ．)](22,232[Z k k k ∈++ππππB．)](232,2[Z k k k ∈++ππππC ．)](22,2[Z k k k ∈+πππD ．)](2,22[Z k k k ∈++ππππ3．已知,51)25sin(=+απ那么=αcos ()A ．52-B ．51-C ．51D ．524．在图中，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A点的坐标为),54,53(且AOB ∆是正三角形．则COB ∠cos 的值为()A ．10334+B ．10334- C ．10343+D ．10343-5．将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是() A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π6．下列关系式中正确的是() A ．︒<︒<︒168sin 10cos 11sin B ．︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC ．︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD ．︒<︒<︒11sin 10cos 168sin7．在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为b a ,.若,3sin 2b B a =则角A 等于()A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π8．已知函数),,0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω则“)(x f 是奇函数”是“=ϕ2π”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是____．10．设,sin 2sin αα-=),,2(ππα∈则α2tan 的值是________. 11．在锐角ABC ∆中，,1=BC ,2A B ∠=∠则AACcos 的值等于___，AC 的取值范围为___． 12．函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13．已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.π(1)求ω和ϕ的值；(2)若),326(43)2(παπα<<=f 求)23cos(πα+的值．14．已知向量),21,(cos -=x a ),2cos ,sin 3(x x b =,R x ∈设函数.)(b a x f ⋅=(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．15．已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且.23)125(=πf (1)求A 的值；(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求).43(θπ-f16．已知函数,2cos 21cos sin 3)(x x x x f ωωω-=,0>ω,R x ∈且函数)(x f 的最小正周期为.π(1)求ω的值和函数)(x f 的单调增区间；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是,,,c b a 又,54)32(=+πA f ,2=b ABC ∆的面积等于3，求边长a 的值． 17．已知函数⋅+=2cos 34cos 4sin 2)(xx x x f(1)求函数)(x f 的最小正周期及最值；(2)令),3()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由． 18．在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为.c b a 、、已知,3,==/c b a(1)求角C 的大小；(2)若,54sin =A 求ABC ∆的面积.高三数学（理科）专题训练二数列一、选择题1．数列,,11,22,5,2 的一个通项公式是()A ．33-=n a nB ．13-=n a n C ．13+=n a n D ．33+=n a n 2．已知等差数列}{n a 中，,1,16497==+a a a 则12a 的值是() A ．15B ．30C ．31D ．64 3．等比数列}{n a 中，,20,647391=+=a a a a 则11a 的值是()A ．1B ．64C ．1或64D ．1或324．ABC ∆的三边c b a ,,既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 5．已知数列}{n a 满足),2(11≥-=-+n a a a n n n ,3,121==a a 记,321n n a a a a S ++++= 则下列结论正确的是()A ．2,120142014=-=S aB ．5,320142014=-=S aC ．2,320142014=-=S aD ．5,120142014=-=S a6．如果在等差数列}{n a 中，,12543=++a a a 那么=+++721a a a ()A ．14B ．21C ．28D ．357．数列}{n a 中，,,10987,654,32,14321 +++=++=+==a a a a 那么=10a ()A ．495B ．505C ．550D ．5958．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,1010=S ,7030=S 则=40S ()A ．150B ．200-C ．150或200-D ．400或50- 二、填空题9．在等差数列}{n a 中，,8,12543531=-=++a a a a a a 则通项=n a ________.10．设等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,336=S S 则=69S S________.11．设平面内有n 条直线),2(≥n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用)(n f 表示这n 条直线把平面分成的区域个数，则=)2(f ______，=)3(f ______，=)4(f ______.当4>n 时，=)(n f ________. 12．已知数列}{n a 的通项公式为*).(21log 2N n n n a n ∈++=设其前n 项和为,n S 则使5-<n S 成立的最小自然数n 是________. 三、解答题13．等差数列}{n a 的前n 项和为,23,1=a S n 公差d 为整数，且第6项为正，从第7项起变为负． (1)求d 的值；(2)求n S 的最大值；(3)当n S 是正数时，求n 的最大值．14．设d a ,1为实数，首项为、1a 公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足.01565=+S S(1)若,55=S 求6S 及;1a(2)求d 的取值范围.15．已知数列}{n a 的首项n S a a ,1=是数列}{n a 的前n 项和，且满足,0,32122=/+=-n n n n a S a n S (1)若数列}{n a 是等差数列，求a的值；(2)确定a 的取值集合M ，使M a 时，数列}{n a 是递增数列.16．已知}{n a 为递增的等比数列，且}.16,4,3,1,0,2,6,10{},,{531---⊆a a a(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)是否存在等差数列},{n b 使得221123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出n b ；若不存在，说明理由. 17．等差数列}{n a 各项均为正整数，,31=a 前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，,11=b 且,6422=S b }{n a b 是公比为64的等比数列． (1)求n a 与；n b(2)证明：⋅<+++4311121n S S S 18．已知数列},{n a n S 为其前n 项的和，,9+-=n n a n S .*N n ∈(1)证明数列}{n a 不是等比数列；(2)令,1-=n n a b 求数列}{n b 的通项公式n b ；(3)已知用数列}{n b 可以构造新数列．例如：},3{n b },12{+n b },{2nb },1{nb },2{n b },{sin n b …，请写出用数列}{n b 构造出的新数列}{n p 的通项公式，使数列}{n p 满足以下两个条件，并说明理由．①数列}{n p 为等差数列；②数列}{n p 的前n 项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三<概率>一、选择题1．对满足B A ⊆的非空集合B A 、有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取,A x ∈则B x ∈是必然事件②若,A x ∉则B x ∈是不可能事件③若任取,B x ∈则A x ∈是随机事件④若,B x ∉则A x ∉是必然事件 A ．4B ．3C ．2D ．12．从1，2，…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 3．如图所示，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为() A ．21B ．31C ．41D ．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是() A ．125B ．21C ．127D ．43 5．如图所示，圆C 内切于扇形,3,π=∠AOB AOB 若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C 内的概率为() A ．21B ．31C ．32D ．43 6．已知随机变量ξ服从正态分布),,0(2σN 若,023.0)2(=>ξP 则)22(≤≤-ξP 的值为()A ．．．．7．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为() A ．14-πB ．π2C ．214-πD ．218．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布)10,80(~2N ξ，则下列命题中不正确的是()A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________． 10．在集合}10,,3,2,1,6|{ ==n n x x π中任取1个元素，所取元素恰好满足方程21cos =x 的概率是__________．11．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≤--+x x 成立的概率为______.12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209则参加联欢会的教师共有____人. 13．已知,4|),{(},0,0,6|),{(≤=≥≥≤+=Ωx y x A y x y x y x 若向区域Ω上随机投一点P ，则P 落入区域A 的概率是________. 三、解答题14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是,31得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率也是,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，落点在D 上记1分，其它情况记0分，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1．已知ABC ∆的三个顶点为、、)7,3,4()2,3,3(-B A ),1,5,0(C 则BC 边上的中线长为() A ．5B ．4C ．3D ．22．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A ．6B ．9C ．12D ．183．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．已知n m 、表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是()A ．若αα//,//n m ，则n m //B ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥nC ．若,,n m m ⊥⊥α，则α//nD ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥ 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为() A ．310cm πB ．320cm πC ．3310cm πD ．3320cm π6．已知过球面上C B A ,,三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且,2===CA BC AB 则球的半径是()A ．32B ．34C ．36D ．17．用c b a ,,表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是()①若,//,//c b b a 则;//c a ②若,,c b b a ⊥⊥则;c a ⊥③若,//,//ααb a 则;//b a ④若,,αα⊥⊥b a 则.//b aA ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是() A ．43B ．54C ．53D ．53-二、填空题9．已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若,4,3==AC AB,AC AB ⊥,121=AA 则球O 的半径为_______.10．在三棱锥ABC P -中，,1====BC PC PB PA 且,2π=∠BAC 则PA 与底面ABC 所成角为______.11．在长方体1111D C B A ABCD -中，,2,31cm AA cm AD AB ===则四棱锥D D BB A 11-的体积为____cm 3． 三、解答题12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值.ABCD P -与ABCD Q -的高都是2，.4=AB(1)求证：⊥PQ 平面;ABCD (2)求四面体QAD P -的体积． 14．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，,,901CC BC AC ACB o ===∠点M 为AB 的中点，点D 在11B A 上，且.311DB D A =(1)求证：平面⊥CMD 平面;11A ABB(2)求二面角M BD C --的余弦值.中，底面ABCD 为矩形，,ABCD PA 平面⊥E 为PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面//；(2)设二面角C AE D --为60°，,3,1==AD AP求三棱锥ACD E -的体积.16．如图所示，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,EB AE =点F 为CE 上的点，且⊥BF 平面.ACE (1)求证：⊥AE 平面;BCE (2)求二面角E AC B --的余弦值；(3)求点D 到平面ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC . (2)若,1,1,2===PA AC AB 求二面角A PB C --的余弦值.18．如图所示，平行四边形ABCD中，.4,2,60===∠AD AB DAB 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面⊥EDB 平面ABD. (1)求证：⊥AB 平面;EBD (2)求三棱锥ABD E -的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》一、选择题 1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为()A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±=D ．x y ±=2．已知,40πθ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22222=-θθx y C ()A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 3．椭圆1422=+y x的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ()A ．23B ．3C ．27D ．4 4．已知双曲线14222=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A ．5B ．24C ．3D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A ．23B ．2C ．25D ．36．已知双曲线1222=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=⋅则点M 到x 轴的距离为() A ．34B ．35C ．332D ．37．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为()A ．2B ．3C ．213+D ．215+ 8．已知F 是抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上，且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是() A ．2B ．3C ．8217D ．10 二、填空题9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且.21PF ⊥若21F PF ∆的面积为9，则=b _________.11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则=p _________. 12．椭圆12222=+by a x 的四个顶点为,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13．如图所示，动圆)31(:2221<<=+t t y x C 与椭圆19:222=+y x C 相交于DC B A ,,,四点，点21,A A 分别为2C 的左、右顶点，当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,33x y ±=若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，顶点B 的坐标是),,0(b 连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结.1C F(1)若点C 的坐标为),31,34(且,2||2=BF 求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.16．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆C 上，且,211F F PF ⊥ (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．17．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求FP OP ⋅的最大值．18．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点)0)(,0(>c c F 到直线02:=--y x l 的距离为.223设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求||||BF AF ⋅的最小值．高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》一、选择题1．若,)(3x x f =,6)('0=x f 则=0x () A ．2B ．2-C ．2±D ．1± 2．函数133+-=x x y 的单调递减区间是()A ．)2,1(B ．)1,1(-C ．)1,(--∞D ．),1(+∞3．与直线052=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是()A ．032=+-y xB ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x4．已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为()A ．3B ．2C ．1D ．215．曲线x y cos =与x 轴在区间]23,2[ππ-上所围成的图形的面积是()A ．1B ．2C ．3D ．46．设)(),(x g x f 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且,0)(')()()('<-x g x f x g x f 则当x a <b <时，有()A ．)()()()(b g b f x g x f >B ．)()()()(x g a f a g x f >C ．)()()()(x g b f b g x f >D ．)()()()(a g a f x g x f >7．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在区间),1(+∞-内是减函数，则实数b 的取值范围是()A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞8．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为()A ．x x y 5312513-=B ．x x y 5412523-= C ．x x y -=31253D ．x x y 5112533+-=二、填空题9．若曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为,2x y =则=a ______. 10．若曲线xbax y +=2（a 、b 为常数）过点),5,2(-P 且该曲线在点P 处的切线与直线++y x 2703=平行，则=+b a ______. 11．若,)(2)(12dx x f x x f ⎰+=则=⎰dx x f )(1______.12．设,R a ∈若函数)(3R x x e y ax ∈+=有大于零的极值点，则a 的取值范围是______. 三、解答题13．设函数)0()(=/=k xe x f kx .(1)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)求函数)(x f 的单调区间．14．已知函数x=xxxf-+ln.1()1)(+(1)若,1xxf求实数ax)('2++≤ax的取值范围；(2)证明：.0f-xx)()1(≥15．设,12321ln )(+++=x x x a x f 其中,R a ∈曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的极值．16．如图所示，已知曲线21:x y C =与曲线)1(2:22>+-=a ax x y C 交于点O 、A ，直线)10(≤<=t t x 与曲线21C C 、分别相交于点D 、B ，联结.AB DA OD 、、(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式);(t f S =(2)求函数)(t f S =在区间]1,0(上的最大值．17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160元／平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000（π为圆周率）．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.18．已知函数.)2(ln )(2x a ax x x f -+-=(1)讨论)(x f 的单调性；(2)设,0>a 证明：当ax 10<<时，);1()1(x ax a f ->+(3)若函数)(x f y =的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为,0x证明：.0)('0<x f高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案9．2cm 210．311．2,)3,2(12．1 三、解答题13．(1)因)(x f 的图象上相邻两个最高点的距离为,π所以)(x f 的最小正周期,π=T 从而.22==Tπω又因)(x f 的图象关于直线3π=x 对称，所以,,2,1,0,232 ±±=+=+⋅k k ππϕπ因≤-2π2πϕ≤得,0=k 所以⋅-=-=6322πππϕ(2)由(1)得=-⋅=)622sin(3)2(πααf ,43所以⋅=-41)6sin(πα由326παπ<<得,260ππα<-< 所以=--=-)6(sin 1)6cos(2παπα⋅=-415)41(12 因此+-==+)6sin[(sin )23cos(πααπα6sin )6cos(6cos )6sin(]6ππαππαπ-+-= 14．(1)π=T (2)21)(,1)(min max -==x f x f15．(1)==+=32sin )4125sin()125(ππππA A f ,23233sin )3sin(===-A A A πππ所以=A ,3所以).4sin(3)(π+=x x f(2))()(θθ-+f f )4sin(3)4sin(3πθπθ+-++=,23cos 6==θ所以,46cos =θ因为,0sin ),2,0(>∈θπθ则=θsin ,410)46(1cos 122=-=-θ 故=+-=-]4)43sin[(3)43(πθπθπf ⋅=⨯==-4304103sin 3)sin(3θθπ16．(1)1=ω)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ(2)13=a17．(1)因),32sin(22cos 32sin)(π+=+=x x x x f 故)(x f 的最小正周期.4212ππ==T当1)32sin(-=+πx 时，)(x f 取得最小值;2-当1)32sin(=+πx 时，)(x f 取得最大值2．(2)由(1)知⋅+=)32sin(2)(πx x f 又⋅+=)3()(πx f x g故]3)3(21sin[2)(ππ++=x x g ⋅=+=2cos 2)22sin(2xx π故).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-所以函数)(x g 是偶函数． 18．(1)由题意得，=+-+22cos 122cos 1BA ,2sin 232sin 23B A - 即=-A A 2cos 212sin 23-=--B A B B 2sin()62sin(,2cos 212sin 23π),6π 由b a =/得，,B A =/又),,0(π∈+B A 得,6262πππ=-+-B A 即,32π=+B A 所以⋅=3πC(2)由,3=c Cc A a A sin sin ,54sin ==得58=a ，由,c a <得,C A <从而,53cos =A故=+=+=C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin ,10334+ 所以ABC ∆的面积为==B ac S sin 21⋅+251838高三数学（理科）专题训练二《数列》参考答案9．133-n 10．3711．4；7；11；222++n n 12．63 三、解答题13．(1)由已知,0076⎩⎨⎧<>a a 得,06230523⎩⎨⎧<+>+d d 解得,623523-<<-d 又d 为整数，故.4-=d (2)nn n n n S n 252)4(2)1(232+-=-⨯-+=,8625)425(22+--=n当6=n 时，;78=n S 当7=n 时，.77=n S 取最大值为78. (3)令,0>n S 得,02522>+-n n 解得<<n 0*),(225N n ∈ 故n 的最大值为12. 14．(1)由题意知：.31556-=-=S S .8566-=-=S S a所以,85510511⎩⎨⎧-=+=+d a d a 解得,71=a 所以.7,316=-=a S(2)因为,01565=+S S 所以,015)156)(105(11=+++d a d a即.0110922121=+++d da a 故.8)94(221-=+d d a 所以.82≥d故d 的取值范围为22-≤d 或.22≥d15．(1)在21223-+=n n n S a n S 中分别令,2=n 3=n 及,1a a =得++=+a a a a a (,12)(2222.)(27)223232a a a a a ++=+因为,0=/n a 所以2a ,212a -=.233a a +=因为数列}{n a 是等差数列，所以+1a ,223a a =即,23)212(2a a a ++=-解得.3=a经检验3=a 时，,2)1(3,3+==n n S n a n n ,2)1(31-=-n n S n 满足.32122-+=n n n S a n S(2)由,32122-+=n n n S a n S 得,32212n n n a n S S =--即,3))((211n n n n n a n S S S S =-+--因为,0=/n a ,2≥n 所以,321n S S n n =+-①所以,)1(321+=++n S S n n ② ②－①得,361+=++n a a n n 所以=+-1n n a a ,3)1(6+-n两式相减得：).2(611≥=--+n a a n n即数列 642,,a a a 及数列 ,,,753a a a 都是公差为6的等差数列，因为,23,21232a a a a +=-=所以⎪⎩⎪⎨⎧+-≥-+==.,623,3,623,1,为偶数为奇数且n a n n n a n n a a n要使数列}{n a 是递增数列，须有,21a a <且当n 为大于或等于3的奇数时,1+<n n a a且当n 为偶数时,1+<n n a a 即⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-≥+-+<-+-<为偶数为奇数且n a n a n n n a n a n a a ,62)1(36233,62)1(3623,212 解得⋅<<41549a所以M 为),415,49(当Ma ∈时，数列}{n a 是递增数列.16．(1)12-n (2)存在17．(1)设}{n a 公差为d ，由题意易知,0>d 且∈d *,N则,)1(3d n a n -+=.2)1(3d n n n S n -+=设}{n b 公比为q ，则.1-=n n q b 由,6422=S b 可得64)6(=+d q …①又}{n a b 是公比为64的等比数列，所以6411111====---+++d a a a a a a q q qq b b n n n n n n …② 由①②，且*,N d >,0>d 可解得.2,8==d q所以,12+=n a n .*,81N n b n n ∈=- (2)由(1)知),2(22)1(3+=⨯-+=n n n n n S n .*N n ∈所以),211(21)2(11+-=+=n n n n S n 所以+-=+++)311[(2111121n S S S )]211()5131()4121(+-++-+-n n 18．(1)略(2)1)21(4-=n n b (3)=n p )1(log >a b n a高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案一、选择题BCBCCCAB 二、填空题9．2110．5111．3212．120人13．278三、解答题14．设得到黑球、黄球的概率分别为,y x 、由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=+,125)311(,125y x y y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,61,41y x 故41)6141311(=---,所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是⋅416141、、15解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P ,31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P .且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .11521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=.2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,=，方差D （X ）=3××（）= 17解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ 所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ （2）X 的可能取值为0，1，2，3，40(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=． 0.25=，2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==， 所以(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．18解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》参考答案9．21310．3π11．6三、解答题12．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体的体积为：1211h R V ⋅=π632⋅⋅=π.54π=从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为2cm 、高为4cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为3cm 、高为2cm 的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：.204322ππ=-⋅⋅=V V因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：⋅==271054201ππV V 13．(1)如图所示，取AD 的中点M ，连接.,QM PM因为ABCD P -与ABCDQ -都是正四棱锥，所以,,QM AD PM AD ⊥⊥ 从而.PQM AD 平面⊥又,PQM PQ 平面⊂所以.AD PQ ⊥同理,AB PQ ⊥所以.ABCD PQ 平面⊥(2)连接OM ，则,21221PQ AB OM ===所以,90o PMQ =∠即⋅⊥MQ PM由(1)知,PM AD ⊥所以,QAD PM 平面⊥从而PM 就是四面体QAD P -的高，在直角PMO ∆中，.22222222=+=+=OM PO PM又,242242121=⋅⋅=⋅=∆QM AD S QAD故⋅=⋅⋅=⋅=∆-31622243131PM S V QAD QAD P14．(1)在ABC ∆中，,BC AC =点M 为AB 的中点，故.AB CM ⊥又因三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，故,11ABC A ABB 平面平面⊥又,ABC CM 平面⊂故11A ABB CM 平面⊥,而,CMD CM 平面⊂故11A ABB CMD 平面平面⊥ (2)以点C 为原点，分别以1,,CC CB CA 所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令,11===CC BC AC则),0,0,0(C ),0,0,1(A ),1,0,1(1A ),0,1,0(B ),1,1,0(1B故),0,1,0(=CB )1,43,41(=CD设平面CBD 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n CB n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=043410z y x y ⇒⎩⎨⎧=+=040z x y ,取,1-=z 则,4=x ,0=y 故)1,0,4(-=n ,而平面MBD 的法向量是),0,21,21(=CM故>=<n ,cos 1722)1,0,4()0,21,21(⨯-⋅⋅=17342 即二面角M BD C --的余弦值为⋅17342 15．(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以.//PB EO又,AEC EO 平面⊂,AEC PB 平面⊂/所以.//AEC PB 平面(2)因为,ABCD PA 平面⊥ABCD 为矩形，所以AP AD AB ,,两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系,xyz A -则),21,23,0(),0,3,0(E D ⋅=)21,23,0( 设),0)(0,0,(>m m B 则),0,3,(m C ).0,3,(m =设),,(1z y x n =为平面ACE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.02123,03z y y mx 可取),3,1,3(1-=m n 又)0,0,1(2=n 为平面DAE 的法向量，由题设,21|,cos |21=><n n 即=+2433m ,21解得⋅=23m因为E 为PD 的中点，所以三棱锥ACD E -的高为⋅21所以三棱锥ACD E -的体积为：⋅=⨯⨯⨯⨯=83212332131V16．(1)因⊥BF 平面.ACE 故.AE BF ⊥又因二面角E AB D --为直二面角，且,AB CB ⊥故⊥CB 平面.ABE故.AE CB ⊥⊥AE 平面.BCE (2)以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因⊥AE 面,BCE ⊂BE 面,BCE故.BE AE ⊥则),0,0,0(A ),0,1,1(E ,2,0(C ).2),0,1,1(=AE ⋅=)2,2,0(AC设平面AEC 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n ,即,0220⎩⎨⎧=+=+z y y x 解得⋅⎩⎨⎧=-=xz x y令,1=x 得=n )1,1,1(-是平面AEC 的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为),0,0,1(=m且n m ,所成的角就是二面角E AC B --的平面角，因>=<n m ,cos ||||n m n m ⋅⋅,3331==故二面角E AC B --的余弦值为⋅33 (3)因),2,0,0(=AD 故点D 到平面ACE 的距离=d .33232||||==⋅n n 17．(1)略(2)4618．(1)证明：如图所示，在ABD ∆中，因,60,4,2o DAB AD AB =∠==故=∠⋅-+=DAB AD AB AD AB BD cos 2222,32故,222AD BD AB =+故.BD AB ⊥又因,ABD EBD 平面平面⊥,BD ABD EBD =平面平面,ABD AB 平面⊂故.EBD AB 平面⊥(2)解：由(1)知,//,AB CD BD AB ⊥故,BD CD ⊥从而.DB DE ⊥在DBE Rt ∆中， 因,2,32====AB DC DE DB 故.3221=⋅=∆DE DB s BDE又因,EBD AB 平面⊥,EBD BE 平面⊂故.BE AB ⊥因,4===AD BC BE 故.421=⋅=∆BE AB S ABE 因,BD DE ⊥平面EBD ⊥平面ABD ，故.ABD ED 平面⊥而,ABD AD 平面⊂故,AD ED ⊥故.421=⋅=∆DE AD S ADE 综上得三棱锥ABDE -的侧面积为.328+=S高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》参考答案9．1322=-y x 10．3=b 11．612．215-三、解答题13．设),,(00y x A 则矩形ABCD 的面积||40x S =.||0y由192020=+y x 得，,912020x y -=故202020x y x =,49)29(91)91(22020---=-x x当21,292020==y x 时，,6max =S故当5=t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6．14．根据几何性质有.1=cab又因,33=a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==34422b a 故双曲线的方程为.143422=-y x15．(1)由题意，),,0(),0,(2b B c F =||2BF ,222==+a c b又)31,34(C 在椭圆上，所以,1)31(2)34(222=+b 解得.1=b 所以椭圆方程为.1222=+y x(2)直线2BF 方程为,1=+byc x 与椭圆方程12222=+by a x 联立方程组，解得A 点坐标为),,2(223222c a b c a c a +-+则C 点坐标为,2(222c a c a +),223ca b + 又,c bk AB -=由AB C F ⊥1得⋅+3233c c a b ,1)(-=-cb 即,34224c c a b += 所以=-222)(c a ,3422c c a +化简得.55==ac e 16．(1)由于点P 在椭圆上，故.3,6||||221==+=a PF PF a 在21F PF Rt ∆中，.52||||||212221=-=PF PF F F 解得,5=c 从而.4222=-=c a b因此椭圆C 的方程为.14922=+y x (2)设A ，B 的坐标分别为).,(),,(22]1y x y x已知圆的方程为,5)1()2(22=-++y x 圆心).1,2(-设直线l 方程为,1)2(++=x k y代入椭圆C 的方程得273636)1836()94(2222-+++++k k x k k x k 0=由于A ，B 关于点M 对称，所以,29491822221-=++-=+k kk x x 解得98=k因此直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即.02598=+-y x 17．由题意，),0,1(-F 设点),,(00y x P 则有,1342020=+y x 解得)41(32020x y -=因为),,1(00y x +=),,(00y x =所以200)1(y x x ++=⋅,34)41(3)1(0202000++=-++=x x x x x此二次函数对应的抛物线的对称轴为.20-=x因为,220≤≤-x 所以当20=x 时，⋅取得最大值.632422=++ 18．(1)y x 42=(2)02200=--y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》参考答案9．310．－311．31-12．)3,(--∞三、解答题13.(1),)1()('kx e kx x f +=,1)0('=f ,0)0(=f故曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为.x y =(2)由0)1()('=+=kx e kx x f 得).0(1=/-=k kx ①若,0>k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，②若,0<k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减．14．(1)因为),0(1ln 1ln 1)('>+=-++=x xx x x x x f 所以.1ln )('+=x x x xf 由,1)('2++≤ax x x xf 得.ln x x a -≥令,ln )(x x x g -=则11)('-=xx g 当10<<x 时，;0)('>x g 当1>x 时，.0)('<x g所以1=x 是最大值点，.1)1()(max -==g x g 故,1-≥a即a 的取值范围是).,1[+∞- (2)由(1)知,1)1(ln )(-=≤-=g x x x g 故.01ln ≤+-x x当10<<x 时，x x x x x x f ln 1ln )1()(=+-+=;01ln ≤+-+x x当1≥x 时，+=+-+=x x x x x f ln 1ln )1()(.0)111(ln ln 1ln ≥-+-=+-xx x x x x x综上，.0)()1(≥-x f x15．(1)因为,12321ln )(+++=x x x a x f 故⋅+-=2321)('2x x a x f由于曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即,0)1('=f 从而,02321=+-a 解得.1-=a(2)由(1)知)0(12321ln )(>+++-=x x x x x f 令,0)('=x f 解得,11=x 312-=x （因312-=x 不在定义域内，舍去）．当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 故)(x f 在)1,0(上为减函数；当),1(+∞∈x 时，,0)('>x f 故)(x f 在,1()∞+上为增函数．故)(x f 在1=x 处取得极小值.3)1(=f16．(1)由⎩⎨⎧+-==axx y x y 222得点).,(),0,0(2a a A O又由已知得).,(),2,(22t t D at t t B +-故)(t f S =+⋅⋅-+-=⎰2221)2(t t dx ax x t)()2(2122t a t at t -⋅-+-(2).221)('22a at t t f +-=令,0)('=t f即,022122=+-a at t 解得a t )22(-=或.)22(a t +=因为,10≤<t ,1>a 所以a t )22(+=舍去．若,1)22(≥-a 即222221+=-≥a 时，对,10≤<t 有.0)('≥t f故)(t f 在区间]1,0(上单调递增，S 的最大值是⋅+-=61)1(2a a f若,1)22(<-a 即2221+<<a 时，对,)22(0a t -<<有;0)('>t f当t a <+)22(1≤时，有.0)('<t f 故)(t f 在))22(,0(a -上单调递增，在]1,)22((a +上单调递减，)(t f 的最大值是.3222))22((3a a f -=- 综上所述，=max)]([t f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+≥+-222132222226132a a a a a 17．(1)),4300(5)(3r r r V -=π定义域为);35,0((2))(r V 在区间)5,0(上单调递增，在区间)35,5(上单调递减；当,5=r 8=h 时，蓄水池的体积最大18．(1))(x f 的定义域为-=+∞xx f 1)('),,0(⋅-+-=-+xax x a ax )1)(12()2(2若,0≤a 则,0)('>x f 所以)(x f 在),0(+∞单调递增．若,0>a 则由0)('=x f 得,1ax =且当∈x )1,0(a时，,0)('>x f 当ax 1>时，.0)('<x f 所以)(x f 在)1,0(a单调递增，在),1(+∞a单调递减．(2)设函数),1()1()(x af x a f xg --+=则,2)1ln()1ln()(ax ax ax x g ---+=.12211)('2223x a x a a axa ax a x g -=--++=当ax 10<<时，,0)('>x g 而,0)0(=g 所以.0)(>x g故当ax 10<<时，⋅->+)1()1(x af x a f (3)由(1)可得，当0≤a 时，函数)(x f y =的图象与x 轴至多有一个交点，故,0>a 从而)(x f 的最大值为),1(a f 且.0)1(>af 不妨设,0),0,(),0,(2121x x x B x A <<则⋅<<<2110x ax 由(2)得=>-+=-)()11()2(111x f x a a f x a f ).(02x f =又,1,1221ax a x a >>-从而,212x ax ->于是⋅>+=ax x x 12210由(1)知，.0)('0<x f。
江苏省南京市六合中学2020年高三数学理测试题含解析
江苏省南京市六合中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数在处取得极值，令函数，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（）A．B． C. D．参考答案：B由题意，，而，解得，故．由程序框图可知，当时，，选B．2. 为了得到函数的图象,只需将函数的图象A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位参考答案：A 略3. 下列命题中为真命题的是（）．B．C ．D ．参考答案：B4. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A. B.C. D.参考答案：B由三视图可知，几何体为底面为正三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，5. 若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. 0B.C.D.参考答案：D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，虚部不为0可得a的值.【详解】解：由题意得：，由复数是纯虚数，可得，可得，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子分母同时乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简.6. 在下面的程序框图中，输出的数（）（A）25 （B）30 （C）55 （D）91参考答案：C7. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x）=f（x），则（）A． f（x）在单调递减 B． f（x）在（，）单调递减C． f（x）在（0，）单调递增 D． f（x）在（，）单调递增参考答案：A考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+?）+cos（ωx+?）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．点评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．8. 函数，则下列结论正确的是（）A、 B、C、 D、参考答案：C试题分析：,,;;,所以C正确.考点：1对数的计算;2对数的单调性.9. 执行如图所示的程序框图，若输入，那么输出的等于（）720 360 240 120参考答案：B略10. 定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增（） A． B．C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，若向量与共线，则实数的值为▲．参考答案：112. 如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列三个命题：（1）CD⊥PE（2）EF∥平面ABC1（3）V=V其中正确命题的个数有．参考答案：①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据标榜的结构特征，结合线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式等知识点，分别判断3个结论的真假，可得答案．【解答】解：由CD⊥平面BCC1B1，PE?平面BCC1B1，故①CD⊥PE正确；连接ED1，则EF∥BD1，故EF∥平面ABC1D1，故②EF∥平面ABC1正确；③V=，V=，故③V=V正确；故正确命题的序号为：①②③，故答案为：①②③．13. 若等比数列满足，，则的前n项和________.参考答案：略14. 已知点，过点作直线，与抛物线相交于，两点，设直线，的斜率分别为，，则____.参考答案：-1【分析】设直线x＝my+3，与抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．【详解】解：设直线x＝my+3，联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣12＝0，设A（，y1），B（，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣12，则k1+k2=1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15. 若（x2+）n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为．（用数字作答）参考答案：10【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：令x=1可得（x2+）n展开式的各项系数之和为2n=32，∴n=5，故其展开式的通项公式为 T r+1=?x10﹣5r，令10﹣5r=0，求得 r=2，可得常数项为=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．16. 已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为．参考答案：7π【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，棱柱的高为，球心到底面的距离为，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为：=1∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π．故答案为：7π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．17. 设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023年高考全国甲卷理科数学试题真题(含答案详解)
2023年高考全国甲卷理科数学试题一、单选题34 ．．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =和5354S S =-，则4S =B ．658 C ．15 D ．40，则PBC的面积为（23 5PF=，则二、填空题．在ABC中∠三、解答题nS为数列}na的通项公式；ABC A B C中，111上两点0⋅=，求FM FN⎫⎪⎭的取值范围．α2023年高考全国甲卷理科数学试题答案详解一、单选题 1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣ C ．{32,}xx k k Z =-∈∣ D ．∅ 【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z = 所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }．故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=。
所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,2,OAB 是等腰直角三角形22, 322=, 310ACD =, ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠:D.．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前1582q.+=.815．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（3π3π7π3π3π7π11，则PBC 的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅和PDB PCA ≅，从而得到PA ，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；和1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=-，再利用空间向量的数量从而求得17PB =，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO ≅，则∠，所以PDB PCA ≅，则PA 45PCA =︒。
高考数学专题《集合》习题含答案解析
分析：由题意首先求得 CR B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： CR B x | x 1 ，
结合交集的定义可得： A CR B 0 x 1 .
本题选择 B 选项.
8．（2017·全国高考真题（理））已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则（
故选：C
8．（2019·北京临川学校高二期末（文））已知集合 = { ―1,3}， = {2,2}，若 ∪ = { ―1,3,2,9}，则实数
）
的值为（
A． ± 1
B． ± 3
C． ― 1
D．3
【答案】B
【解析】
∵ 集合 = { ―1,3}， = {2,2}，且 ∪ = { ―1,3,2,9}， ∴ 2 = 9，因此， =± 3，
对③： {0,1, 2} 是集合， {1, 2, 0} 也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.
对④： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以 0 ，故④错误.
对⑤： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.
故选：C.
3．（2021·浙江高一期末）已知集合 M 0,1, 2,3, 4 ， N 2, 4, 6 ， P M N ，则满足条件的 P 的非
则集合 A B 的所有元素之和为（
A．16
B．18
）
C．14
D．8
【答案】A
【解析】
由题设，列举法写出集合 A B ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知： A B {1, 2,3, 4, 6} ，
∴所有元素之和 1 2 3 4 6 16 .
2022年全国乙卷理科高考数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)
2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）压轴真题解读11．双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）AB ．32CD【命题意图】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力【答案】C【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos b cβ=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得21225sin sin 2NF c cαβ==，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==C【方法归纳】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【命题意图】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【易错提醒】函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.16．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>，若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾，故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln e ln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11e a <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.【规律总结】1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.20．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【命题意图】本题考查了直线与椭圆的综合应用【解析】(1)设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得M，(1,N ，代入AB 方程223y x =-，可得26(63,)3T +，由MT TH = 得到26(265,)3H +.求得HN 方程：26(2)23y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-21．已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力【解析】(1)()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =(2)()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【解后反思】(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．压轴模拟专练1．（2022山东滕州一中高三模拟）已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上的一点，I 为12PF F △的内心，且1222IF IF PI +=，则C 的离心率为（）A ．13B ．25C D ．2【答案】D【解析】如下图示，延长IP 到A 且||||IP PA =，延长2IF 到B 且22||||IF F B =，所以1222IF IF PI +=，即10IF IB IA +=+ ，故I 是△1ABF 的重心，即11AIF BIF AIB S S S == ，又1111222,2,4AIF PIF BIF F IF AIB PIF S S S S S S === ，所以11222PIF F IF PIF S S S == ，而I 是12PF F △的内心，则1122||||2||PF F F PF ==，由21212||||,||2c PF PF a F F -==，则2||2PF a =，故24c a =，即2ce a==.故选：D 2．（2022天津南开中学高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A2B C ．2D 【答案】A【解析】由题意得：渐近线方程为b y x a=±，设切线方程为()312y k x -=+，联立22143x y +=得：()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭，由()()22223Δ64434412302k k k kk ⎛⎫=+-++-= ⎪⎝⎭得：()2210k -=，解得：12k =，所以切线方程为122y x =+，令0y =得：4x =-，所以()4,0M -，联立b y x a =与122y x =+，解得：42Q a x b a =-，联立b y x a =-与122y x =+，解得：42N a x b a=-+，因为N 为MQ 的中点，所以4144222a a b a b a ⎛⎫-=- ⎪+-⎝⎭，解得：32b a =，所以离心率为21312b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：A3．（2022成都七中高三模拟）若函数()f x 满足()()31f x f x +=-，且当[]2,0x ∈-时，()31x f x -=+，则()2022f =（）A ．109B ．10C ．4D ．2【答案】B【解析】由()()31f x f x +=-，得()()4f x f x +=，∴函数()f x 是周期函数，且4是它的一个周期，又当[]2,0x ∈-时，()31xf x -=+，∴()()()20224506229110f f f =⨯-=-=+=；故选：B.4．（2022安徽六中高三模拟）已知直线y kx m =+与函数22()22x x f x --=-图象交于不同三点M ，N ，P ，且17||||4PM PN ==，则实数k 的值为（）A ．14B ．18C ．154D ．158【答案】D【解析】因为函数22x x y -=-为奇函数，且在R 上为增函数，所以函数22()22x x f x --=-关于点(2,0)对称，且在R 上为增函数，设点P 的坐标为(2,0)，且M ，N 关于P 对称，设()00220,22x x M x ---，17||4PM ==，解得00x =或4，不妨设150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以150154208k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以实数k 的值为158．故选：D ．5．（2022山师大附中高三模拟）设12,x x 是函数()3222f x x ax a x =-+的两个极值点，若122x x <<，则实数a 的取值范围是______．【答案】26a <<【解析】22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--,因为12,x x 是函数()3222f x x ax a x =-+的两个极值点，且122x x <<，所以12,x x 是方一元二次方程()0f x '=的两个实根，且122x x <<，所以(2)0f '<，即(6)(2)0a a --<，解得26a <<.故答案为：26a <<6．（2022山东潍坊一中高三模拟）已知三次函数()3223f x ax ax x =-+的两个极值点1x ，2x 均为正数，()2110g x x x=-，且不等式()()1212ln 21g x g x x x t +-<-对于所有的a 都恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】ln 51,2∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭【解析】令()22210f x ax ax =-+='，由题可知21212Δ480102102a a x x a x x a ⎧⎪=->⎪+=>⇒>⎨⎪⎪=>⎩，()()22121212121211ln 1010ln g x g x x x x x x x x x +-=-+--()21212121212102ln x x x x x x x x x x +⎡⎤=+---⎣⎦11012ln 2a aa ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭10102ln 2a a a=--+，令()10102ln 2h a a a a=--+，2a >，()()()222252210a a a a h a a a'--+-++==，当522a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增，当52a >时，()0h a '<，()h a 单调递减，∴max 5()1ln 52h a h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴ln 5211ln 512t t ->+⇒>+，故答案为：ln 51,2∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭.7．（2022湖南长沙长郡中学高三模拟）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4e <(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N 两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点.【解析】(1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则24a =，122c b ⨯⨯=222a b c =+又2e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=，222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，..由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.是1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444(4y x y x x y x y --=--，令0x =，则122114(4)44x y y x y x -=+-1122114(1)4(1(1)4x x kx x kx x -+=++-112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=，则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.8．（2022江苏金陵中学高三模拟）已知抛物线()2:21C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点(),4E t 在抛物线C 上，直线l 与抛物线交于()11,A x y 、()()2212,0,0B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE 、OB 交于点M 、N （O 为坐标原点），且AM MN =.求证：直线l 过定点.【解析】(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=.由抛物线的定义可得0152224p p PF x p =+=+=，整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =（舍去）.故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(),4E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =，所以()4,4E ，则直线OE 的方程为y x =.易知()11,H x y -且1x 、2x 均不为0，易知12y y ≠，因为10y >，20y >，121222121212404AB y y y y k y y x x y y --===--+，所以，直线l 的斜率存在且大于0，设直线l 的方程为()0y kx m k =+>，联立得24y kx my x=+⎧⎨=⎩化为2440ky y m -+=，则16160km ∆=->，且124y y k+=，124m y y k =，由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x x =，故1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭.由AM MN =，则M 为AN 的中点，所以，12M N y y y =+，即121122x y x y x =+，即1221122x x x y x y =+，所以，()22221212121212844y y y y y y y y y y ++==，化为()12122y y y y =+，则48m =得2m =，所以直线l 的方程为2y kx =+，故直线l 过定点()0,2.9．（2022东北育才中学高三模拟）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性；(2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．【解析】(1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a>-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t --==-()1a g x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g ax x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t <∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t t t λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）24λ≥时，201t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增∴()()10h t h <=恒成立，∴(][),22,λ∈-∞-+∞ 合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞ 10．（2022大连二十四中学高三模拟）已知函数()21e 2=--xf x x ax ax ．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()()212h x f x ax =+在(),0∞-上单调递增，求a 的取值范围；(3)当1a >时，确定函数()f x 零点的个数.【解析】(1)当2a =时，()2e 2xf x x x x =--，()()()1e 2x f x x =+-'，令()0f x '=有121,ln 2x x =-=，故当(),1x ∈-∞-和()ln 2,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,ln 2x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()ln 2,+∞，单调递减区间为()1,ln 2-(2)由题可得()e x h x x ax =-的导函数()()1e 0xh x x a '=+-≥在(),0∞-上恒成立，故()1e x a x ≤+，令()()1e x g x x =+，则()()2e x g x x '=+，易得当2x <-时()0g x '<，()g x 单调递减；当2x >-时()0g x '>，()g x 单调递增；故()()22e g x g -≥-=-，故()()min 2e 12a g x g ≤=-=-，故a 的取值范围为21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦(3)当1a >时，()21e 02xf x x ax ax =--=即1e 02x x a ax ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故()f x 有一根为0x =，令()1e 2x h x ax a =--，则()1e 2x h x a '=-，因为1a >，故令1e 02x a -=有ln 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；故()ln 2min 1ln l 22e n 2a a a h x h a a ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ln 1ln 02222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+<-+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()min 0h x <.故()h x 最多有两个零点.又()00e 10h a a =-=-<，()()2212e 2e 02h a a ---=-⨯--=>，故()h x 在()2,0-之间有1个零点，又()()()2ln 212ln e 2ln ln ln 12a h a a a a a a a a a a a =--=--=--，设()()ln 1,1t x x x x =-->，则()110t x x =->'，故()t x 为增函数，故()()11ln110t x t >=--=，故ln 10a a -->，故()2ln 0h a >，故()h x 在()0,2ln a 上有1个零点，故()h x 有2个零点.故当1a >时，函数()f x 零点的个数为3。
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
届高三理科数学六大专题训练题含详解高三数学（理科）专题训练一一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》》一、选择题1．为三角形的一个内角，,125tan 则cos ( ) A ．1312B ． 135 C． 135 D． 1312 2．函数 x y sin 和函数x y cos 都是增函数的区间是( ) A ． ) ]( 2 2 ,232 [ Zk k k B． ) ](232 , 2 [ Z k k kC ．) ](22 , 2 [ Z k k kD．) ]( 2 ,22 [ Z k k k 3 ．已知 ,51)25sin( 那么 c o s ( ) A ．52B ．51 C．51 D．52 4．在图中，A 、 B是单位圆O上的点，C是圆与 x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为 ),54,53( 且 AOB是正三角形．则 COB cos 的值为( ) A ．103 3 4 B．1033 4 C ．103 4 3 D．103 4 3 5．将函数 ) ( sin cos 3 R x x x y 的图象向左平移 ) 0 ( m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．12B ．6 C．3 D．65 6．下列关系式中正确的是( ) A ．168 sin 10 cos 11 sin B． 10 cos 11 sin 168 sin C ．10 cos 168 sin 11 sin D． 11 sin 10 cos 168 sin 7．在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 b a, .若 , 3 sin 2 b B a 则角 A 等于( ) A ．3 B ．4C．6 D．12 8．已知函数), , 0 , 0 )( cos( )( R A x A x f 则“ ) (x f 是奇函数”是“2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题 9．已知扇形 AOB 的周长是 6 cm，该扇形中心角是 1 弧度，则该扇形面积是____．10 ．设, s i n 2 s i n), ,2( 则 2 tan 的值是________. 11 ．在锐角 ABC 中，, 1 BC , 2 A B 则AACcos的值等于___，AC 的取值范围为___． 12 ．函数) cos( sin 2 ) 2 sin( ) ( x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13 ．已知函数)2 2, 0 )( sin( 3 ) (x x f的图象关于直线3 x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 . (1)求和的值； (2) 若),326(43)2( f 求)23cos(的值． 14 ．已知向量),21, (cos x a ), 2 cos , sin 3 ( x x b, R x设函数 . ) ( b a x f (1)求 ) (x f 的最小正周期； (2)求 ) (x f 在 ]2, 0 [上的最大值和最小值． 15．已知函数, ),4sin( ) ( R x x A x f且 .23)125( f (1)求 A 的值； (2)若 ),2, 0 ( ,23) ( ) ( f f 求).43( f 16 ．已知函数, 2 cos21cos sin 3 ) ( x x x x f , 0 , R x且函数 ) (x f 的最小正周期为 . (1)求的值和函数 ) (x f 的单调增区间； (2)在 ABC 中，角 C B A , , 所对的边分别是, , , c b a 又 ,54)3 2( Af , 2 bABC 的面积等于 3，求边长 a 的值． 17 ．已知函数2cos 34cos4sin 2 ) (x x xx f (1)求函数 ) (x f 的最小正周期及最值； (2) 令 ),3( ) ( x f x g 判断函数) (xg 的奇偶性，并说明理由． 18．在 ABC 中，内角 C B A 、、所对的边分别为 . c b a 、、已知 , 3 , c b a (1)求角 C 的大小； (2)若 ,54sin A 求 ABC 的面积.高三数学（理科）专题训练二二数列一、选择题1．数列 , , 11 , 2 2 , 5 , 2 的一个通项公式是( ) A ． 3 3 n a n B ． 1 3 n a n C ． 1 3 n a n D． 3 3 n a n 2 ．已知等差数列 } {na 中，, 1 , 164 97 a a a 则12a 的值是( ) A ． 15 B ． 30 C．31 D．64 3 ．等比数列 } {na 中，, 20 , 647 3 9 1a a a a 则11a 的值是( ) A．1 B．64 C．1或 64 D．1 或 32 4． ABC 的三边 cb a , , 既成等差数列又成等比数列，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5 ．已知数列 } {na 满足), 2 (1 1n a a an n n, 3 , 12 1 a a记 ,3 21 n na a a a S 则下列结论正确的是( )A ． 2 , 12014 2014 S a B． 5 , 32014 2014S a C ． 2 , 32014 2014 S a D． 5 , 12014 2014 S a 6 ．如果在等差数列 } {na 中，, 1254 3 a a a 那么7 2 1a a a ( )A ． 14B ． 21 C．28 D．35 7 ．数列 } {na中，, , 10 9 8 7 , 6 5 4 , 3 2 , 14 3 2 1a a a a那么10a ( ) A ． 495 B ． 505 C．550 D．595 8．各项均为实数的等比数列 } {na 的前 n 项和为 ,nS 若 , 1010 S , 7030 S 则40S ( ) A．150 B． 200 C．150或 200 D．400 或 50 二、填空题9 ．在等差数列 } {na 中，, 8 , 125 4 3 5 3 1a a a a a a 则通项na ________. 10．设等比数列 } {na 的前n 项和为,nS 若, 336SS 则69SS________. 11．设平面内有 n 条直线 ), 2 ( n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用) (n f表示这n条直线把平面分成的区域个数，则 ) 2 ( f ______ ， ) 3 ( f ______ ， ) 4 ( f ______.当 4 n 时， ) (n f ________. 12 ．已知数列 } {na的通项公式为*). (21log 2 N nnna n 设其前n项和为,nS 则使 5 nS 成立的最小自然数n是________. 三、解答题 13．等差数列 } {na 的前n项和为 , 23 ,1 a S n公差 d 为整数，且第 6 项为正，从第 7 项起变为负． (1)求 d 的值；(2)求nS 的最大值；(3)当nS 是正数时，求n 的最大值． 14．设 d a ,1为实数，首项为、1a 公差为 d 的等差数列 } {na 的前 n 项和为nS ，满足. 0 156 5 S S (1)若 , 55S 求6S 及 ;1a (2)求 d 的取值范围. 15．已知数列 } {na 的首项nS a a ,1 是数列} {na 的前n 项和，且满足, 0 , 3212 2 n n n na S a n S (1)若数列 } {na 是等差数列，求 a 的值； (2)确定 a 的取值集合 M，使 M a时，数列 } {na 是递增数列.16 ．已知 } {na 为递增的等比数列，且}. 16 , 4 , 3 , 1 , 0 , 2 , 6 , 10 { } , , {5 3 1 a a a (1)求数列 } {na 的通项公式； (2) 是否存在等差数列 }, {nb 使得2 211 2 3 1 2 1n b a b a b a b ann n n n对一切 * N n都成立？若存在，求出nb ；若不存在，说明理由. 17．等差数列 } {na 各项均为正整数， , 31a 前 n 项和为nS ，等比数列 } {nb 中，, 11 b 且 , 6422 S b } {nab 是公比为 64的等比数列． (1)求na 与；nb (2)证明：43 1 1 12 1 nS S S 18．已知数列 }, {nanS 为其前 n 项的和，, 9 n na n S . * N n (1)证明数列 } {na 不是等比数列； (2)令 , 1 n na b 求数列 } {nb 的通项公式nb ； (3)已知用数列 } {nb 可以构造新数列．例如：}, 3 {nb }, 1 2 { nb }, {2nb },1{nb}, 2 {nb }, {sinnb …，请写出用数列 } {nb 构造出的新数列 } {np 的通项公式，使数列 } {np 满足以下两个条件，并说明理由．①数列 } {np 为等差数列；②数列 } {np 的前 n项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三三 < 概率> 一、选择题 1．对满足 B A的非空集合 B A、有下列四个命题：其中正确命题的个数为( ) ①若任取 , A x则 B x是必然事件②若 , A x则 B x是不可能事件③若任取 , B x则 A x是随机事件④若, B x则 A x是必然事件A．4 B．3 C．2 D．1 2．从 1，2，…，9 中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是( ) ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数 A．① B．②④ C．③ D．①③ 3．如图所示，设 D 是图中边长为 4 的正方形区域，E 是 D 内函数2x y 图象下方的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为( ) A．21 B．31 C．41 D．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件A、B 中至少有一件发生的概率是( ) A ．125 B ．21 C．127 D．43 5 ．如图所示，圆 C 内切于扇形,3,AOB AOB 若在扇形 AOB 内任取一点，则该点在圆 C 内的概率为( ) A． 21 B．31 C．32 D．43 6．已知随机变量服从正态分布 ), , 0 (2 N若 , 023 . 0 ) 2 ( P 则 ) 2 2 ( P的值为( ) A ．0.477 B ．0.628 C．0.954 D．0.977 7．把半径为 2 的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( ) A ． 14 B ． 2 C．21 4 D．21 8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布) 10 , 80 ( ~2N ，则下列命题中不正确的是( ) A．该市这次考试的数学平均成绩为 80分 B．分数在120 分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110 分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题 9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________．10．在集合 } 10 , , 3 , 2 , 1 ,6| { nnx x中任取 1 个元素，所取元素恰好满足方程21cos x 的概率是__________． 11．在区间 ] 3 , 3 [上随机取一个数 x，使得1 | 2 | | 1 | x x 成立的概率为______. 12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209 则参加联欢会的教师共有____人. 13 ．已知}. 0 , 0 , 4 | ) , {( }, 0 , 0 , 6 | ) , {(2 y x y x y x A y x y x y x若向区域上随机投一点 P，则 P 落入区域 A 的概率是________. 三、解答题 14．袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 ,31得到黑球或黄球的概率是 ,125得到黄球或绿球的概率也是 ,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品 B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获得利润100 万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望( ) E X 及方差 ( ) D X . 17 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6 0.5 0.5 0.4 、、、，各人是否需使用设备相互独立. （1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域 , A B ，乙被划分为两个不相交的区域 , C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 C 上记3分，落点在 D上记 1 分，其它情况记 0 分，落点在 C 上的概率为15，在 D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在 , A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四四《立体几何初步》》一、选择题 1 ．已知 A B C 的三个顶点为、、 ) 7 , 3 , 4 ( ) 2 , 3 , 3 ( B A ), 1 , 5 , 0 ( C 则 BC 边上的中线长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是( ) A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 4．已知 n m、表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是( ) A．若// , // n m ，则 n m// B．若 , , // n m m ，则n C．若 , , n m m ，则 // n D．若 , , n m ，则 n m 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为( ) A．310 cm B．320 cmC．3310cm D．3320cm 6．已知过球面上 C B A , , 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且, 2 CA BCAB 则球的半径是( ) A ．32 B ．34 C． 36 D．1 7．用c b a , , 表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是( ) ①若 , // , // c b b a 则 ; //c a②若 , , c b b a 则 ; c a ③若 , // , // ba 则; //b a ④若, , b a 则 . //b aA ．①②B ．②③ C．①④ D．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是( ) A ．43 B ．54 C．53 D．53二、填空题 9．已知三棱柱1 1 1C B A ABC的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 , 4 , 3 AC AB , AC AB ,121 AA 则球 O 的半径为_______. 10 ．在三棱锥 ABC P 中，, 1 BC PC PB PA 且,2BAC 则 PA与底面 ABC 所成角为______. 11 ．在长方体1 1 1 1D C B A ABCD中，, 2 , 31cm AA cm AD AB 则四棱锥 D DBB A1 1的体积为____cm 3 ．三、解答题 12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值. 13．如图所示，已知两个正四棱锥ABCD P与 ABCD Q的高都是 2，. 4 AB (1)求证：PQ 平面 ; ABCD (2)求四面体 QAD P的体积． 14 ．如图所示，在直三棱柱1 1 1C B A ABC中，, , 901CC BC AC ACBo点M为AB的中点，点D在1 1 BA 上，且 . 31 1DB D A (1) 求证：平面 C M D 平面;1 1 AA B B (2)求二面角 M BD C的余弦值.15．如图所示，四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 为矩形， , ABCD PA 平面 E 为 PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面 // ； (2) 设二面角 C AE D 为 60 °，, 3 , 1 AD AP 求三棱锥 ACD E 的体积. 16．如图所示，直二面角 E AB D 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， , EB AE 点 F 为 CE 上的点，且 BF 平面 . ACE (1)求证： AE 平面 ; BCE (2)求二面角 E AC B 的余弦值；(3)求点 D 到平面 ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC. (2) 若 , 1 , 1 , 2 PA AC AB 求二面角 A PB C的余弦值. 18．如图所示，平行四边形 ABCD中， . 4 , 2 , 60 AD AB DAB将 CBD 沿BD折起到 EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD. (1)求证：AB 平面 ; EBD (2)求三棱锥 ABD E 的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》》一、选择题 1 ．已知双曲线) 0 , 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的离心率为 ,25则 C 的渐近线方程为( ) A ． x y41B ． x y31 C． x y21 D． x y2 ．已知,40则双曲线1cos sin:22221y xC 与1sin cos:22222x yC ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．椭圆 1422 yx的两个焦点为 , ,2 1F F 过1F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则 | |2PF ( )A ．23B ． 3 C．27 D．4 4．已知双曲线 1422 2by x的右焦点与抛物线 x y 122的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A ． 5 B ． 2 4 C．3 D．5 5 ．设1F 和2F 为双曲线) 0 , 0 ( 12222 b abyax的两个焦点，若 ) 2 , 0 ( , ,2 1b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．23 B ． 2 C．25 D．3 6．已知双曲线 1222yx 的焦点为 , ,2 1F F 点 M 在双曲线上，且 , 02 1 MF MF 则点 M 到 x 轴的距离为( ) A ．34 B ．35 C． 332 D． 3 7．设双曲线的左焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，右顶点为 A，如果直线 FB 与 BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A ． 2 B ． 3 C．21 3 D．21 5 8．已知F是抛物线 x y 2的焦点，点A 、 B在该抛物线上，且位于 x 轴的两侧，2 OB OA （其中 O 为坐标原点），则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) A．2 B．3 C．82 17 D． 10 二、填空题 9．已知抛物线 x y 82的准线过双曲线) 0 , 0 ( 12222 b abyax的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10 ．已知2 1 ,FF 是椭圆) 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 .2 1PF PF 若2 1 FPF 的面积为 9 ，则 b _________. 11．抛物线 ) 0 ( 22 p py x 的焦点为 F，其准线与双曲线 13 32 2y x相交于 A，B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p _________. 12 ．椭圆12222byax的四个顶点为, , , , D C B A 若菱形 ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13 ．如图所示，动圆) 3 1 ( :2 2 21 t t y x C 与椭圆19:222 yxC 相交于 D C B A , , , 四点，点2 1 ,AA 分别为2C 的左、右顶点，当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积． 14．已知双曲线 ) 0 , 0 ( 12222 b abyax的两条渐近线方程为 ,33x y若顶点到渐近线的距离为 1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，2 1 ,FF 分别是椭圆) 0 ( 12222 b abyax的左右焦点，顶点 B 的坐标是 ), , 0 ( b 连结2BF 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.1 CF (1)若点 C 的坐标为 ),31,34( 且 , 2 | |2 BF求椭圆的方程； (2)若 ,1AB C F 求椭圆离心率 e 的值. 16．椭圆 ) 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的两个焦点分别为 , ,2 1F F 点 P 在椭圆 C 上，且,2 1 1F F PF (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 过圆 0 2 42 2 y x y x 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程． 17．若点 O 和点 F 分别为椭圆 13 42 2y x的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，求 FP OP的最大值． 18．已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点) 0 )( , 0 ( c c F 到直线 0 2 : y x l的距离为 .22 3 设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线PA，PB，其中 A，B 为切点． (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 ) , (0 0y x P 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点P 在直线l上移动时，求 | | | | BF AF 的最小值．高三数学（理科）专题训练六六《导数及其应用》》一、选择题 1．若 , ) (3x x f , 6 ) ( “0 x f 则0x ( ) A ． 2 B ． 2 C． 2 D． 1 2．函数 1 33x x y 的单调递减区间是( ) A ． ) 2 , 1 ( B ． ) 1 , 1 ( C． ) 1 , ( D． ) , 1 ( 3 ．与直线 0 5 2 y x 平行的抛物线2x y 的切线方程是( ) A ． 0 3 2 y x B． 0 3 2 y x C． 0 1 2 y x D． 0 1 2 y x 4．已知曲线xxy ln 342的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D．21 5．曲线 x y cos 与x 轴在区间]23,2[上所围成的图形的面积是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．设 ) ( ), ( x g x f 是定义域为R的恒大于零的可导函数，且, 0 ) ( “ ) ( ) ( ) ( “ x g x f x g x f 则当x a b 时，有( ) A ． ) ( ) ( ) ( ) ( b g b f x g x f B． ) ( ) ( ) ( ) ( x g a f a g x fC ． ) ( ) ( ) ( ) ( x g b f b g x f D． ) ( ) ( ) ( ) ( a g a f x g x f 7．若 ) 2 ln(21) (2 x b xx f 在区间) , 1 ( 内是减函数，则实数 b 的取值范围是( ) A ． ) , 1 [ B ． ) , 1 ( C． ] 1 , ( D． ) 1 , ( 8．如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( ) A ． x x y5312513 B． x x y5412523 C ． x xy 31253 D． x x y5112533二、填空题 9．若曲线 ) 1 ln( x ax y 在点 ) 0 , 0 ( 处的切线方程为 , 2x y 则 a ______. 10．若曲线xbax y 2（a、b 为常数）过点), 5 , 2 ( P 且该曲线在点P处的切线与直线 y x 2 7 0 3 平行，则 b a ______. 11 ．若 , ) ( 2 ) (102dx x f x x f则dx x f ) (10______. 12．设 , R a若函数 ) ( 3 R x x e yax有大于零的极值点，则 a 的取值范围是______. 三、解答题 13．设函数 ) 0 ( ) (k xe x fkx. (1)求曲线 ) (x f y 在点 )) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程； (2)求函数 ) (x f 的单调区间． 14．已知函数 . 1 ln ) 1 ( ) ( x x x x f (1)若 , 1 ) ( “2ax x x xf 求实数 a 的取值范围； (2)证明：. 0 ) ( ) 1 ( x f x15．设 , 12321ln ) ( xxx a x f 其中, R a 曲线 ) (x f y 在点 )) 1 ( , 1 ( f 处的切线垂直于 y 轴． (1)求 a 的值； (2)求函数 ) (x f 的极值． 16．如图所示，已知曲线21 :x y C 与曲线) 1 ( 2 :22 a ax x y C 交于点 O、A，直线 ) 1 0 ( t t x 与曲线2 1C C、分别相交于点 D 、 B ，联结. AB DA OD 、、 (1)写出曲边四边形 ABOD（阴影部分）的面积 S 与 t 的函数关系式 ); (t f S (2)求函数 ) (t f S 在区间 ] 1 , 0 ( 上的最大值． 17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160 元／平方米，该蓄水池的总建造成本为12000 （为圆周率）． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h为何值时该蓄水池的体积最大. 18．已知函数 . ) 2 ( ln ) (2x a ax x x f (1)讨论 ) (x f 的单调性； (2)设 , 0 a 证明：当ax10 时，);1( )1( xaxaf (3)若函数 ) (x f y 的图象与x 轴交于A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 ,0x 证明：. 0 ) ( “0 x f高三数学（理科）专题训练一一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C D B C A B 二、填空题 9．2cm 2 10． 3 11．2, ) 3 , 2 ( 12． 1 三、解答题 13．(1)因 ) (x f 的图象上相邻两个最高点的距离为 , 所以 ) (x f 的最小正周期 , T 从而. 22T又因) (x f 的图象关于直线3x 对称，所以, , 2 , 1 , 0 ,2 32 k k 因22得, 0 k 所以6 322(2) 由(1) 得)6 22 sin( 3 )2( f ,43所以41)6s i n ( 由326得,2 60所以)6( s i n 1 )6c o s (2415)41( 12 因此)6s i n [ ( s i n )23c o s (6s i n )6c o s (6c o s )6s i n ( ]614 ． (1) T (2)21) ( , 1 ) (min max x f x f15 ．(1)32sin )4 125sin( )125( A A f,23233sin )3sin( A A A所以 A , 3 所以).4sin( 3 ) ( x x f (2) ) ( ) ( f f)4sin( 3 )4sin( 3,23cos 6所以 ,46cos 因为 , 0 s i n ),2, 0 (则 sin,410)46( 1 cos 12 2故]4)43sin[( 3 )43(f4304103 sin 3 ) sin( 3 16．(1) 1 ) ](3,6[ Zk k k (2) 13 a 17 ．(1) 因),3 2sin( 22cos 32sin ) (x x xx f 故 ) (x f 的最小正周期 . 4212 T 当 1 )3 2sin( x时， ) (x f 取得最小值 ; 2 当 1 )3 2sin( x时， ) (x f 取得最大值 2． (2) 由 (1) 知 )3 2sin( 2 ) ( xx f 又 )3( ) (x f x g 故]3)3(21sin[ 2 ) (x x g2cos 2 )2 2sin( 2x x 故). (2cos 2 )2cos( 2 ) ( x gx xx g所以函数) (x g 是偶函数．18 ．(1) 由题意得，22 cos 122 cos 1 B A, 2 sin232 sin23B A即A A 2 cos212 sin23B A B B 2 sin( )62 sin( ,2 cos212 sin23 ),6由 ba 得， , BA又), , 0 (B A 得 ,6262 B A即 ,32 B A 所以3C (2)由 , 3 cCcAaAsin sin,54sin 得58 a ，由 , c a 得 , C A从而,53c o s A 故C A C A C A B sin cos cos sin ) sin( sin,103 3 4所以 A B C 的面积为 B ac S sin212518 3 8高三数学（理科）专题训练二二《数列》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D D C B A 题二、填空题 9． 13 3 n 10．37 11．4；7；11；222n n 12．63 题三、解答题 13．(1)由已知 ,0076aa 得,0 6 230 5 23dd 解得 ,623523 d 又 d 为整数，故 . 4 d (2)n nn nn S n 25 2 ) 4 (2) 1 (232,8625)425( 22 n 当 6 n 时， ;78 nS 当 7 n时， . 77 nS 取最大值为 78. (3)令 , 0nS 得 , 0 25 22 n n 解得 n 0 *), (225N n故 n 的最大值为 12. 14 ． (1) 由题意知：. 31556 SS . 85 6 6 S S a 所以 ,8 55 10 511d ad a 解得 , 71 a 所以 . 7 , 31 6 a S (2) 因为 , 0 156 5 S S 所以, 0 15 ) 15 6 )( 10 5 (1 1 d a d a 即 . 0 1 10 9 22121 d da a 故. 8 ) 9 4 (2 21 d d a 所以 . 82 d 故 d 的取值范围为 2 2 d 或. 2 2 d 15 ． (1) 在212 23n n nS a n S 中分别令, 2 n 3 n 及 ,1a a 得 a a a a a ( , 12 ) (2222. ) ( 27 )22 323 2a a a a a 因为 , 0na 所以2a , 2 12 a . 2 33a a 因为数列 } {na 是等差数列，所以1a ,22 3a a 即 , 2 3 ) 2 12 ( 2 a a a 解得. 3a 经检验 3 a 时，,2) 1 ( 3, 3n nS n an n,2)1 ( 31n nS n满足 . 3212 2n n nS a n S (2) 由 , 3212 2n n nS a n S 得, 32 212n n na n S S即, 3 ) )( (21 1 n n n n na n S S S S 因为 , 0na , 2 n 所以, 321n S Sn n①所以 , ) 1 ( 321n S Sn n②②－①得 , 3 61n a an n所以 1 n na a , 3 ) 1 ( 6 n 两式相减得：). 2 ( 61 1n a an n 即数列 6 4 2, , a a a 及数列 , , ,7 5 3a a a 都是公差为 6 的等差数列，因为 , 2 3 , 2 123 2a a a a 所以. , 6 2 3, 3 , 6 2 3, 1 ,为偶数为奇数且n a nn n a nn aa n 要使数列 } {na 是递增数列，须有,2 1a a 且当n 为大于或等于 3 的奇数时,1 n na a 且当n 为偶数时,1 n na a 即为偶数为奇数且n a n a nn n a n a na a, 6 2 ) 1 ( 3 6 2 33 , 6 2 ) 1 ( 3 6 2 3, 2 12 解得41549a 所以 M 为 ),415,49( 当 M a时，数列} {na 是递增数列. 16．(1) 12 n (2)存在 17．(1)设 } {na 公差为 d，由题意易知 , 0 d 且 d *, N 则 , ) 1 ( 3 d n a n .2) 1 (3 dn nn S n设 } {nb 公比为 q，则 .1 nnq b 由 , 642 2 S b 可得64 ) 6 ( d q …①又 } {nab 是公比为 64 的等比数列，所以6411111 d a aaaaaq qqqbbn nnnnn …②由①②，且 *, N d , 0 d 可解得. 2 , 8 d q 所以 , 1 2 n a n . * , 81N n bnn (2) 由 (1) 知), 2 ( 22) 1 (3 n nn nn S n. * N n所以 ),21 1(21) 2 (1 1n n n n S n 所以)311 [(21 1 1 12 1 nS S S)]21 1( )5131( )4121(n n 18 ． (1) 略 (2)1)21( 4nnb (3) np ) 1 ( log a b na高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案题一、选择题 BCBC CCAB 题二、填空题 9．21 10．51 11．32 12．120 人 13． 278 题三、解答题 14．设得到黑球、黄球的概率分别为 , y x、由题意得,125)311 (,125y x yy x解得,61,41yx故41)6141311 ( , 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是416141、、 15 解：记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题可知 32) ( E P , 31) ( E P ，53) ( F P ，52) ( F P . 且事件E与F，E与 F ， E 与 F ， E 与F 都相互独立. (1) 记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 F E H ，于是1525231) ( ) ( ) ( F P E P H P ，故所求概率为15131521 ) ( 1 ) ( H P H P . （2）设企业可获利润为 X （万元），则 X的可能取值为 0，100，120，220. 又因1525231) ( ) 0 ( F E P X P ，1535331) ( ) 100 ( F E P X P ， 1545232) ( ) 120 (F E P X P，1565332) ( ) 220 ( EF P X P . 故所求分布列为X 0 100 120 220 P 数学期望为1401521001562201541201531001520 ) (X E. 16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于 100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50 个”.因此 1( ) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6 P A .2( ) 0.003 50 0.15 P A . ( ) 0.6 0.6 0.15 2 0.108 P B . （Ⅱ） X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为 0 33( 0) (1 0.6) 0.064 P X C , 1 23( 1) 0.6(1 0.6) 0.288 P X C , 2 23( 2) 0.6 (1 0.6) 0.432 P X C , 3 33( 3) 0.6 0.216 P X C, 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X ~ B (3,0.6), 所以期望为 E ( X )=3 ×0.6=1.8，方差 D （ X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 17 解：记iA 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备， 0,1,2 i B 表示事件：甲需使用设备 C 表示事件：丁需使用设备 D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备（1）1 2 2D A B C A B A B C所以1 2 2( ) ( ) P D P A B C A B A B C1 2 2( ) ( ) ( ) P A B C P A B P A B C（2） X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，4 0( 0) ( ) P X P B C A 0( ) ( ) ( ) P B P C PA 2(1 0.6) (1 0.4) 0.5 0.06 ． 0.25 ，2( 4) ( ) P X PBC A 2( ) ( ) ( ) P B P C P A20.5 0.6 0.4 0.06 ， ( 3) ( ) ( 4) 0.25 P X P D P X ，所以 X 的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望(X) ( 2) 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 3) 3 ( 3) 4 ( 4) E P X P X P X P X P X P X0.25 2 0.38 3 0.25 4 0.06 2． 18 解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A （II） 6 4 3 2 1 0 ，，，，，的可能取值为 0 1 2 3 4 6高三数学（理科）专题训练四四《立体几何初步》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D D B C C 二、填空题 9．213 10．3 11．6 三、解答题 12．底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体的体积为：121 1h R V 6 3 2 . 54 从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为 2 cm、高为 4 cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为 3 cm、高为 2 cm的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：. 20 4 322V V 因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：271054201VV 13．(1)如图所示，取 AD 的中点M，连接. ,QM PM 因为 ABCD P与 ABCD Q都是正四棱锥，所以 , , QM AD PM AD 从而 . P Q M AD 平面又, PQM PQ 平面所以 . AD PQ同理 , AB PQ所以. A B C D PQ 平面 (2) 连接 OM ，则,21221PQ AB OM所以, 90 o PMQ即 MQ PM 由 (1) 知 , PM AD所以, Q A D PM 平面从而 PM 就是四面体QAD P的高，在直角 PMO 中，. 2 2 2 22 2 2 2 OM PO PM 又, 2 4 2 2 42121QM AD SQAD 故3162 2 2 43131PM S VQAD QAD P 14．(1)在ABC 中， , BC AC 点M为AB的中点，故 . AB CM 又因三棱柱1 1 1C B A ABC是直三棱柱，故 ,1 1ABC A ABB 平面平面又 , ABC CM 平面故1 1 AABB CM 平面 , 而, CMD CM 平面故1 1 AABB CMD 平面平面 (2)以点 C 为原点，分别以1, , CC CB CA所在直线为 z y x , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令, 11 CC BC AC 则), 0 , 0 , 0 ( C ), 0 , 0 , 1 ( A ), 1 , 0 , 1 (1A ), 0 , 1 , 0 ( B), 1 ,1 , 0 (1B 故 ), 0 , 1 , 0 ( CB ) 1 ,43,41( CD 设平面 C B D 的法向量为), , , ( z y x n 则00CD nCB n043410z y xy0 40z xy, 取 , 1 z 则 , 4 x , 0 y 故) 1 , 0 , 4 ( n , 而平面MBD 的法向量是), 0 ,21,21( CM 故n CM, cos1722) 1 , 0 , 4 ( )0 ,21,21(1734 2 即二面角 M BD C 的余弦值为1734 2 15．(1)连结BD 交AC于点O，连结EO. 因为ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，所以 . //PB EO 又, AEC EO 平面 , AEC PB 平面所以. // AEC PB 平面(2)因为, ABCD PA 平面ABCD 为矩形，所以AP AD AB , , 两两垂直．如图所示，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， | | AP 为单位长，建立空间直角坐标系 , xyz A 则),21,23, 0 ( ), 0 , 3 , 0 ( E D )21,23, 0 ( AE 设 ), 0 )( 0 , 0 , ( m m B 则), 0 , 3 , (m C ). 0 , 3 , (m AC设 ) , , (1z y x n 为平面 ACE 的法向量，则0011AE nAC n，即. 02123, 0 3z yy mx 可取 ), 3 , 1 ,3(1mn 又) 0 , 0 , 1 (2 n 为平面 DAE 的法向量，由题设 ,21| , c o s |2 1 n n 即24 33m,21解得23m 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥ACD E 的高为21 所以三棱锥 ACD E 的体积为：83212332131V16．(1)因 BF 平面 . ACE 故 . AE BF 又因二面角E AB D 为直二面角，且 , AB CB 故 CB 平面 . ABE 故 . AE CB AE 平面 . BCE (2)以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因 AE 面 , BCE BE 面, BCE 故 . BE AE 则), 0 , 0 , 0 ( A ), 0 , 1 , 1 ( E , 2 , 0 ( C ).2), 0 , 1 , 1 ( AE ) 2 , 2 , 0 ( AC 设平面 AEC 的法向量为), , , ( z y x n 则00AC nAE n, 即 ,0 2 20z yy x 解得x zx y 令 , 1 x 得 n ) 1 , 1 , 1 ( 是平面AEC的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为), 0 , 0 , 1 ( m 且 n m, 所成的角就是二面角E AC B的平面角，因 n m, cos| | | | n mn m,3331故二面角 E AC B 的余弦值为33 (3) 因 ), 2 , 0 , 0 ( AD 故点 D 到平面A C E 的距离 d . 33232| || |nn AD 17．(1)略 (2)46 18．(1)证明：如图所示，在 ABD 中，因, 60 , 4 , 2oDAB AD AB 故DAB AD AB AD AB BD cos 2 22 2, 3 2 故 ,2 2 2AD BD AB故. BD AB 又因, ABD EBD 平面平面, BD ABD EBD 平面平面 , ABD AB 平面故. EBD AB 平面 (2)解：由(1)知 , // , AB CD BD AB 故 , BD CD 从而 . DB DE 在 DBE Rt中，因, 2 , 3 2 AB DC DE DB 故. 3 221DE DB sBDE 又因, E B D AB 平面 , E B D BE 平面故. BE AB 因 , 4 AD BC BE 故. 421BE AB SABE 因 , BD DE 平面 EBD⊥平面ABD，故 . ABD ED 平面而 , ABD AD 平面故, AD ED故 . 421DE AD SADE 综上得三棱锥 ABD E 的侧面积为 .3 2 8 S高三数学（理科）专题训练五五《圆锥曲线方程》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A B C DB 二、填空题 9． 1322yx 10 ． 3 b 11．6 12．215 三、解答题 13．设 ), , (0 0y x A 则矩形 ABCD 的面积| | 40x S . | |0y 由 192020 yx得， ,9120 20xy故202020x y x ,49)29(91)91 (2 2020 xx 当21,292020 y x 时， , 6max S 故当 5 t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为 6． 14．根据几何性质有 . 1 cab 又因 ,33ab 解得34422ba 故双曲线的方程为 . 14342 2y x 15 ． (1) 由题意，), , 0 ( ), 0 , (2b B c F | |2BF, 22 2 a c b 又 )31,34( C 在椭圆上，所以, 1)31(2)34(22 2b解得 . 1 b 所以椭圆方程为 . 1222 yx (2)直线2BF 方程为 , 1 bycx与椭圆方程 12222byax联立方程组，解得 A 点坐标为 ), ,2(2 232 22c abc ac a则 C 点坐标为 ,2(2 22c ac a),2 23c ab 又 ,cbk AB 由 AB C F 1得 3 233 c c ab, 1 ) ( cb即 , 34 2 2 4c c a b 所以 2 2 2) ( c a , 34 2 2c c a 化简得.55ace 16 ． (1) 由于点 P 在椭圆上，故. 3 , 6 | | | | 22 1 a PF PF a 在2 1 FPF Rt中， . 5 2 | | | | | |2122 2 1PF PF F F 解得 , 5 c 从而 . 42 2 2 c a b 因此椭圆 C 的方程为 . 14 92 2y x (2) 设 A ， B 的坐标分别为). , ( ), , (2 2 ] 1y x y x 已知圆的方程为, 5 ) 1 ( ) 2 (2 2 y x 圆心 ). 1 , 2 (设直线 l 方程为 , 1 ) 2 ( x k y 代入椭圆 C 的方程得27 36 36 ) 18 36 ( ) 9 4 (2 2 2 2 k k x k k x k0 由于 A，B 关于点 M 对称，所以, 29 49 182222 1kk k x x 解得98 k 因此直线l的方程为 , 1 ) 2 (98x y 即 . 0 25 9 8 y x 17．由题意， ), 0 , 1 ( F 设点 ), , (0 0y x P 则有 , 13 42020 y x 解得 )41 ( 32020xy 因为 ), , 1 (0 0y x FP ), , (0 0y x OP所以20 0 0) 1 ( y x x FP OP, 34)41 ( 3 ) 1 (020200 0 xx xx x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为. 20 x因为 , 2 20 x 所以当 20 x 时，FP OP取得最大值 . 6 3 242 2 18 ． (1) y x 42 (2) 0 2 200 y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六六《导数及其应用》参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A D C C A 二、填空题 9．3 10．－3 11．31 12． ) 3 , ( 三、解答题13. (1) , ) 1 ( ) ( “kxe kx x f , 1 ) 0 ( “ f, 0 ) 0 ( f 故曲线 ) (x f y 在点 )) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程为 . x y (2) 由 0 ) 1 ( ) ( “kxe kx x f 得). 0 (1 kkx ①若 , 0 k 则当 )1, (kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递减；当 ) ,1( kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递增，②若 , 0 k 则当 )1, (kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递增；当 ) ,1( kx 时，, 0 ) ( “ x f 函数 ) (x f 单调递减． 14 ． (1) 因为), 0 (1ln 1 ln1) ( “ xxx xxxx f 所以 . 1 ln ) ( “ x x x xf 由, 1 ) ( “2 ax x x xf 得 . ln x x a 令 , ln ) ( x x x g 则 11) ( “xx g 当 1 0 x 时， ; 0 ) ( “ x g 当 1 x时， . 0 ) ( “ x g 所以 1 x 是最大值点，.1 ) 1 ( ) (max g x g 故 , 1 a 即 a 的取值范围是 ). , 1 [ (2)由(1)知 , 1 ) 1 ( ln ) (g x x x g 故 . 0 1 ln x x 当 1 0 x 时，x x x x x x f ln 1 ln ) 1 ( ) ( ; 0 1 ln x x 当 1 x 时， x x x x xf ln 1 ln ) 1 ( ) (. 0 ) 11 1( l n ln 1 lnx xx x x x x 综上， . 0 ) ( ) 1 ( x f x 15 ．(1) 因为, 12321ln ) ( xxx a x f 故2321) ( “2x xax f 由于曲线 ) (x f y 在点 )) 1 ( , 1 ( f 处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0，即 , 0 ) 1 ( “ f 从而 , 02321 a 解得 . 1 a (2) 由 (1) 知) 0 ( 12321ln ) ( x xxx x f 令 , 0 ) ( “x f 解得 , 11 x312 x（因312 x 不在定义域内，舍去）．当 ) 1 , 0 ( x 时， , 0 ) ( “ x f 故 ) (x f 在 ) 1 , 0 ( 上为减函数；当 ) , 1 ( x 时， , 0 ) ( “ x f 故) (x f 在 , 1 ( ) 上为增函数．故 ) (x f 在 1x 处取得极小值. 3 ) 1 ( f 16 ． (1) 由ax x yx y222得点). , ( ), 0 , 0 (2a a A O 又由已知得 ). , ( ), 2 , (2 2t t D at t t B 故) (t f S20221) 2 ( t t dx ax xt) ( ) 2 (212 2t a t at t(2) . 221) ( “2 2a at t t f 令, 0 ) ( “t f 即 , 0 2212 2 a at t 解得a t ) 2 2 (或 . ) 2 2 ( a t 因为 , 1 0 t , 1 a 所以a t ) 2 2 ( 舍去．若 , 1 ) 2 2 ( a 即22 22 21a 时，对 , 1 0 t 有. 0 ) ( “ t f 故 ) (t f 在区间 ] 1 , 0 ( 上单调递增，S的最大值是61) 1 (2a a f 若 , 1 ) 2 2 ( a 即22 21 a 时，对 , ) 2 2 ( 0 a t 有 ; 0 ) ( “ t f 当 t a ) 2 2 ( 1 时，有. 0 ) ( “ t f 故 ) (t f 在 ) ) 2 2 ( , 0 ( a 上单调递增，在 ] 1 , ) 2 2 (( a 上单调递减， ) (t f的最大值是 .32 2 2) ) 2 2 ((3a a f综上所述，m a x)] ( [ t f22 2132 2 222 26132a aa a a 17．(1) ), 4 300 (5) (3r r r V 定义域为); 3 5 , 0 ( (2) ) (r V 在区间 ) 5 , 0 ( 上单调递增，在区间 ) 3 5 , 5 ( 上单调递减；当 , 5 r 8 h 时，蓄水池的体积最大 18 ． (1) ) (x f 的定义域为xx f1) ( “ ), , 0 (xax xa ax) 1 )( 1 2 () 2 ( 2 若 , 0 a 则 , 0 ) ( “ x f 所以 ) (x f 在) , 0 ( 单调递增．若 , 0 a 则由 0 ) ( “x f 得 ,1ax 且当 x )1, 0 (a时， , 0 ) ( “ x f 当ax1时， . 0 ) ( “ x f 所以 ) (x f 在 )1, 0 (a 单调递增，在) ,1( a单调递减． (2) 设函数),1( )1( ) ( xaf xaf x g 则, 2 ) 1 ln( ) 1 ln( ) ( ax ax ax x g .1221 1) ( “2 22 3x ax aaaxaaxax g当ax10 时， , 0 ) ( “ x g 而, 0 ) 0 ( g 所以 . 0 ) ( x g 故当ax10 时， ...。
备考2024年新高考数学一轮复习专题1-1 集合含详解
专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x=，若A B =，则2x y +=______.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R A B ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2xA y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U A B⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且BA ，求实数m 的值.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R (1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.【答案】2【分析】分1a =，222a a a =-+分别求解，再根据元素的互异性即可得答案.【详解】解：当1a =时，则2221a a -+=不满足元素的互异性，故1a ≠；所以222a a a -+=，解得:1a =(舍)或2a =，故实数a 的值为2.故答案为：2.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n ，o ，t ，e ，b ，k ，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.【答案】101-.【分析】由集合相等和元素互异性，进行求解.【详解】由题意得101,101,a a ≠⎧⎨=⎩所以101a =-.故答案为：-101.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．【答案】14【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合B ，由此可得元素个数.【详解】由题意得：()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1，B ∴中元素个数为14.故答案为：14.练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x =，若A B =，则2x y +=______.【答案】2【分析】根据集合相等可得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知20x ≠，则0x ≠，因为A B =，则200x x y x ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，因此，22x y +=.故答案为：2.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．【答案】1-【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则集合B 中21a =或1b =，若21a =，则1a =-或1(a =舍去)，此时1b ≠±且0b ≠；若1b =，则集合A 中21b =，不符合集合中元素的互异性，不成立，综上， 1.a =-故答案为：1-练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，显然0a ≠，故0ba=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ，则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.所以2022202220222022(1)01a b +=-+=故答案为：1.题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题意得到集合B ，然后根据集合B 中元素的个数求集合B 的真子集个数即可.【详解】由题意得{}1,0,1B =-，所以集合B 的真子集个数为3217-=.故选：C.例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈，故①错误；由集合与集合的关系可知{}{}10,1,2⊆，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数【答案】(1){R 5A x x =≥ð或}1x ≤-(2)8【分析】（1）根据补集的定义即可得解；（2）根据交集的定义求出A B ⋂，再根据子集的定义即可得解.【详解】（1）因为{}|15A x x =-<<，所以{R 5A x x =≥ð或}1x ≤-；（2）{}{}Z 182,3,4,5,6,7B x x =∈<<=，所以{}2,3,4A B = ，所以A B ⋂的子集个数有328=个.练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.【详解】A ={第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角．B ={锐角}，是指大于0 而小于90 的角．C ={小于90 的角}，小于90 的角包括锐角，零角和负角．根据集合的含义和基本运算判断：①A B C ==，①错误；②A C ⊆，比如，361A ∈ ，但361C ∉ ，②错误；③C A ⊆，比如0C ∈ ，但0A ∉ ，③错误；④A C B ⊆=，④错误；∴正确命题个数为0个．故选：A ．练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据集合A 与集合B 中方程的几何意义，利用直线过圆心判断直线与圆的位置关系，确定交集中元素的个数，进而求解.【详解】集合(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=上的所有点，因为直线0x y +=经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A B ⋂的元素个数有2个，则A B ⋂的子集个数为4个，故选：D .练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A =∈∣且}{1,6,7}x B ∉=，其非空真子集的个数为3226-=.故选：B练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD 的正误；选项B ，通过解方程，可求出集合{}2|320x x x -+=中的元素，从而判断出选项B 正确；选项C ，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合{}|,R y y x x =∈与{}2|,R y y x x =∈间的关系，从而判断出选项C 错误.【详解】对于选项A ，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A 错误；对于选项B ，由2320x x -+=，得到1x =或2x =，所以{}{}2|3201,2x x x -+==，所以选项B 正确；对于选项C ，因为{}|,R R y y x x =∈=，{}{}2|,R |0y y x x y y =∈=≥，所以{}{}2|,R |,R y y x x y y x x =∈⊆=∈，所以选项C 错误；对于选项D ，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确.故选：BD题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A xB x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= ，故选：D.例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用补集的定义求解作答.【详解】集合(){}|20[0,2]A x x x =-≤=，而全集[0,)U =+∞，所以(2,)U A =+∞ð.故选：A练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知，{}{}30,1,2A x x =∈<=N ，{}23203B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，所以{1,2}A B = ．故选：C.练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣【答案】B【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为{2}{04},{73}M x x x x N x x =<=≤<=-<<∣∣∣所以{|03}M N x x ⋂=≤<.故选：B练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-【答案】C【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =- .故选：C.练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】B【分析】计算{}21A x x =-<<，再计算补集得到答案.【详解】{}{}2|2021A x x x x x =+-<=-<<，则(3,2][1,3)U A =--⋃ð.故选：B练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合(){}{}{}lg 2202M x y x x x x x ==-=-=，即(2,)M =+∞，e 11x +>，则(1,)N =+∞，所以()1,M N =+∞U .故选：B题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3【答案】A【分析】解出集合{|1M x x =≤-或}3x ≥，再根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】12x -≥，解得3x ≥或1x ≤-，则{|1M x x =≤-或}3x ≥，则()R 1,3M =-ð，故(){}R 0,1,2M N ⋂=ð，故选：A.例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R AB ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,A B ，然后利用集合的运算逐项进行判断即可求解.【详解】集合{|21}{|0}x A x x x ==>>，集合{|ln 1}{|e}B x x x x =>=>，所以R {|0}A x x =≤ð，R {|e}B x x =≤ð，对于A ，()R {|0e}A B x x =<≤ ð，故选项A 不满足题意；对于B ，()A B =∅R I ð，故选项B 满足题意；对于C ，={|e}A B x x > ，故选项C 不满足题意；对于D ，()(){|0}A B x x =≤R R 痧，故选项D 不满足题意，故选：B .练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3【答案】B【分析】由集合的运算求解.【详解】(){}{}{}2,4,62,42,3,4U A B ⋂==⋂ð.故选：B练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4【答案】A【分析】由{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤可知集合U 中的元素，再由(){}1,3,5,7U A B = ð即可求得集合B .【详解】由(){}1,3,5,7U A B = ð知，{}{}1,3,5,71,3,5,,7U B A ⊆⊆ð又因为{}{}7017N 2356|04U A B x x =⋃=∈≤≤=，，，，，，，，所以B ={}0,2,4,6.故选：A.练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个【答案】B【分析】首先求集合,M N ，再求集合的运算.【详解】先求{}1,2M =，{Z 1}5}2,4|,{3N x x =∈<<=，所以{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð，所以子集的个数为122=.故选：B练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}【答案】C【分析】利用集合的交并补运算即可求解.【详解】{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，{1,3,4,5,6,7}A B = ，故(){}2,8I A B ⋃=ð．故选：C ．练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2x A y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()B A R ð.【详解】因为{}{}20xA y y y y ===>，(){}{}22log 323203B x y x x x x x ⎧⎫==-=->=>⎨⎬⎩⎭，则23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，因此，()R 20,3B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：C.题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】化简集合M ，N ，根据集合的运算判断{}|10x x -≤<为两集合交集即可得解.【详解】{}|10[1,)M x x =+≥=-+∞ ，{}|21(,0)xN x =<=-∞，{}|10M N x x ∴-=≤< ,由Venn 图知，A 符合要求.故选：A例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U AB ⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð【答案】D【分析】利用Venn 图表示集合,,U A B ，结合图像即可找出表示空集的选项.【详解】由Venn 图表示集合,,U A B 如下：，由图可得()U BA B A = 痧，A B A = ，()()U U UA B B ⋂=痧，()U A B =∅ ð，故选：D练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.【详解】{}0,1,2A B = ，所以:A 选项，阴影部分表示{}0,1,2，不符合题意.B 选项，阴影部分表示{}4,8，符合题意.C 选项，阴影部分表示{}3，不符合题意.D 选项，阴影部分表示{}3,4,8，不符合题意.故选：B练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】全集为U ，集合{}2,1,1,2A =--，{}1,0,1,2,3B =-，{}{}1,1,2,2,1,0,1,2,3A B A B ⋂=-⋃=--,图中阴影部分表示是A B ⋃去掉A B ⋂的部分，故表示的集合是{}2,0,3-．故选：D ．练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð【答案】AC 【分析】分析出阴影部分为M P 和U S ð的子集，从而选出正确答案.【详解】图中阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即U S ð的子集，满足要求的为()()U U P S M M P S ⎡⎤=⎣⎦ 痧，均表示阴影部分,BD 不合要求.故选：AC练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％【答案】C【分析】根据公式()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂列方程求解即可.【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，这两组的比练习数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比练习，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习为x ，则对物理或历史感兴趣的同学的比练习是56％＋74％－x ，所以56％＋74％－x ＝90％，解得40x =％，故选：C.练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B 【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-【答案】B 【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得：23a +=或22a a +=若23a +=，此时211a a =⇒=，集合A 的元素有重复，不符合题意；若22a a +=，解得2a =或1a =-，显然2a =时符合题意，而211a a =-⇒=同上，集合A 的元素有重复，不符合题意；故2a =.故选：B例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m =或12m =-或0m =【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】{}{}2|603,2A x x x =+-==-，当0m =时，B =∅A ，当0m ≠时，1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，因为B A ，所以13m -=-或12m-=，所以13m =或12-，综上所述，13m =或12m =-或0m =.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．【答案】(1){}25A C B x x ⋃=-≤≤R (2)1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或【分析】(1)根据题意，先求出集合A 的补集，再利用集合的并集运算求解即可；(2)根据集合的包含关系分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解.【详解】（1）若1a =-，则集合{}22A x x =-≤≤，所以{}15B x x =-≤≤R ð，所以{}25A C B x x ⋃=-≤≤R ；（2）因为集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >，因为A B ⋂=∅，所以分以下两种情况：若A =∅，即23a a >+，解得3a >，满足题意，若A ≠∅，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩解得122a -≤≤，综上所述a 的取值范围为1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >【答案】B【分析】先求出A R ð，根据()A B =∅R ð，可求得结果.【详解】由集合{2A x x =<∣或4}x ≥，得{24}A x x =≤<R ∣ð，又集合{}1B x a x a =≤≤+∣且()A B =∅R ð，则1a +<2或4a ≥，即1a <或4a ≥.故选：B.练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合{}13A xx =-≤≤∣，{}5B x a x a =-<<，因为A B ⊆，所以351a a >⎧⎨-<-⎩，（注意端点值是否能取到），解得34a <<，故选：B ．练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(){}|20U M P x x =-≤≤ ð；(2)71,,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.（2）求出U P ð，U M P ⊆ð，分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.【详解】（1）当0a =时，{}|05=<<M x x ，{}|21P x x =-≤≤，所以{0U M x x =≤ð或5}x ³，(){}|20U M P x x ⋂=-≤≤ð；（2） 全集U =R ，{}|21P x x =-≤≤，{2U P x x ∴=<-ð或1}x >，⊆ U M P ð，∴分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论.（1）当M 蛊时，如图可得，325252a a a <+⎧⎨+≤-⎩或32531a a a <+⎧⎨≥⎩，72a ∴≤-或153a ≤<；（2）当M =∅时，应有：325a a ≥+，解得5a ≥；综上可知，72a ∴≤-或13a ≥，故得实数a 的取值范围71,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R(1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð(2)(][],10,1-∞-⋃【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；（2）分B =∅与B ≠∅由条件列不等式求范围即可.【详解】（1）当2a =时，{}06B x x =<<，所以{0U B x x =≤ð或}6x ≥，又{}23A x x =-≤≤，所以(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð.（2）由题可得：当B =∅时，有23a a -≥，解得a 的取值范围为(],1-∞-；当B ≠∅时有232233a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得a 的取值范围为[]0,1，综上所述a 的取值范围为(][],10,1-∞-⋃.。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)24 等差数列及其前n项和(含详解)
专题24 等差数列及其前n 项和【考点预测】一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为1－-=n n a a d （常数）*()2，∈≥n N n ．（2）等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有=2+a bA ． 二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ． （2）等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ． 三．等差数列的常用性质已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为该数列的前n 项和． （1）通项公式的推广：*())(，=+-∈n m a a n m d n m N ．（2）在等差数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，*()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N ． 特别地，若2+=m n t ，则*()2，，+=∈m n t a a a m n t N ．（3）2＋＋，，k k m k m a a a ，…仍是等差数列，公差为*()，∈md k m N ． （4）232，－，－n n n n n S S S S S ，…也成等差数列，公差为2n d ． （5）若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}+n n pa qb 也是等差数列． （6）若{}n a 是等差数列，则{}n S n 也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12． （7）若项数为偶数2n ，则2121()()+=+=+n n n n S n a a n a a ；奇偶－＝S S nd ；1奇偶+=nn S a S a ． （8）若项数为奇数21-n ，则2121()－-=n n S n a ；奇偶=－n S S a ；1奇偶=-S nS n ． （9）在等差数列{}n a 中，若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ． 四．等差数列的前n 项和公式与函数的关系21()22=+-n d dS n a n ．数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）． 五．等差数列的前n 项和的最值公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值； 公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值； 公差0{}=⇔n d a 为常数列． 特别地若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．六．其他衍生等差数列．若已知等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，则： ①等间距抽取2(1),,,,+++-p p t p t p n t a a a a 为等差数列，公差为td ． ②等长度截取232,,,--m m m m m S S S S S 为等差数列，公差为2m d ．③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列，公差为2d ． 【方法技巧与总结】（1）等差数列{}n a 中，若,(,,)*==≠∈n m a m a n m n m n N ，则0+=m n a ． （2）等差数列{}n a 中，若,(,,)*==≠∈n m S m S n m n m n N ，则()+=-+m n S m n ． （3）等差数列{}n a 中，若(,,)*=≠∈n m S S m n m n N ，则0+=m n S ． （4）若{}n a 与{b }n 为等差数列，且前n 项和为n S 与n T ，则2121--=m m m m a S b T ． 【题型归纳目录】题型一：等差数列的基本运算 题型二：等差数列的判定与证明 题型三：等差数列的性质 题型四：等差数列前n 项和的性质 题型五：等差数列前n 项和的最值题型六：求数列的通项n a 题型七：关于奇偶项问题的讨论题型八：对于含绝对值的数列求和问题 题型九：利用等差、等比数列的单调性求解 题型十：等差数列中的范围与最值问题 【典例例题】题型一：等差数列的基本运算例1．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且112a b -=，221a b -=，则55a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2例2．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例3．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2422a a +=，438S =，则6S =（ ）A ．72B ．74C ．75D ．76例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若12443S S S =+，55a =，则10a =（ ） A ．3B ．7C ．11D ．15例5．（2022·全国·高三专题练习）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=，则12e e e n a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2nB ．22n n +C ．2nD ．122n +-例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（ ） A ．115 B ．110 C ．110-D ．115-【方法技巧与总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．1a 和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明例7．（2022•安徽月考）设数列1a ，2a ，⋯，n a ，⋯中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N ∈，都有1223111111n n n na a a a a a a a ++++⋯+=． 例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，28a =，且2124n n n S S S ++-+=． (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．例9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式； (2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .例10．（2022·全国·高三专题练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，()11N ,R n n a ka n k *+=+∈∈.证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ；例11．（2022·山东济宁·二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,,2,.n nn n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(1)设2n n b a =，证明：数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)求数列{}n a 的前2n 项和.例12．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a a S +=，且0n a >． (1)证明：数列{}n a 为等差数列；(2)若122nn n n n a b a a ++⋅⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．例13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈ (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．例14．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））记数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28916n n S a n +=+，且2n a >.(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)设数列{}n b 满足2nn n b a =+，求{}n b 的前n 项和.例15．（2022·安徽淮南·一模（文））已知数列{}n a 满足1222n n a a a a =-，*n ∈N ．(1)求1a 的值并证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式并证明：213n a ≤<．例16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足，13a =，()*1431n n a n N a +=-∈+，设数列11n n b a =-(1)求证数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an }满足1221,,222,.2n n nna n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数(1)问数列{an }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列22nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}2n a 的通项公式. 例18．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知正项数列{}n a 满足11a =，22a =，且对任意的正整数n ，211n a ++是2n a 和22n a +的等差中项.(1)证明：{}221n n a a +-是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若1n n n b b a --=，且11b a =，求数列{}n b 的通项公式.例19．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：21()2=-n n n S a S .(1)求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)若11()02n n n k S a ++≤对一切正整数n 恒成立，求实数k 的最大值.例20．（2022·全国·高三开学考试（理））已知n T 为数列{}n a 的前n 项的积，且112a =，n S 为数列{}n T 的前n 项的和，若120n n n T S S -+=（*n ∈N ，2n ）.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.【方法技巧与总结】【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．题型三：等差数列的性质例21．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51013218a a a ++=，则18S =（ ） A ．74B ．81C ．162D ．148例22．（2022·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12m S -=-，0m S =，13m S +=，则m 等于（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5例23．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12663a a a ++=，则5S =（ ） A ．60B ．75C ．90D ．105例24．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6例25．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，5a ，17a 是方程26210x x --=的两根，则{}n a 的前21项的和为（ ） A ．6B ．30C ．63D ．126【方法技巧与总结】如果{}n a 为等差数列，当+=+m n p q 时，*()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N ．因此，出现－＋，，m n m m n a a a等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与m a （或其他项）有关的条件；若求m a 项，可由1=()2－＋+m m n m n a a a 转化为求a m －n ＋a n ＋m 的值．题型四：等差数列前n 项和的性质例26．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知项数为n 的等差数列{}n a 的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n =（ ）A ．48B ．36C ．30D ．26例27．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知等差数列1a ，2a ，3a ，…，1n a -，n a ，前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则该数列的项数n =（ ） A ．26B ．30C ．36D ．48例28．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））设n S 为等差数列{an }的前n 项和，若93S π=，则()72cos S S -=（ ）AB．C ．12D ．12-例29．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a ab b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493例30．（2022·四川凉山·三模（理））等差数列{}n a 满足1n a ≠且0n a ≠，1211a a +=，若()21xf x x =-，则()()()()12321f a f a f a f a ⋅⋅=（ ）A ．214±B ．212±C ．212D ．212-例31．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．20例32．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则( ) A ．21n a n =+B ．1n a n =+C ．22n S n n =+D ．24n S n n =-例33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（ ） A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546例34．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a a b b b b +++的值为（ ） A ．37B ．79C ．1941D ．1-例35．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n A ，n B ，且21n n A n B n =+，则使nna b λ≥恒成立的实数λ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．1D ．2【方法技巧与总结】在等差数列中，232，－，－n n n n n S S S S S ，…仍成等差数列；{}nS n也成等差数列． 题型五：等差数列前n 项和的最值例36．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且111010a a +<．若n S 存在最大值，则满足0n S >的n 的最大值为_______．例37．（2022·浙江·高三阶段练习）设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当n S 取最大值时，n 的值为_______.例38．（2022·江西·高三单元测试（文））等差数列{}n a 中， n S 是它的前 n 项之和，且 67S S <， 78S S >，则：①数列的公差0d <； ②9S 一定小于 6S ； ③ 7a 是各项中最大的一项；④ 7S 一定是 n S 中的最大 值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．例39．（2022·全国·高三专题练习）首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =________时，n S 取到最大值.例40．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．例41．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()*2122,23,19,n n n a a n a a S +-=∈=-=-N 为{}n a 的前n项和，则n S 的最小值为______．例42．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S >，20220S <，则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ） A ．2022B ．2021C ．1012D ．1011例43．（2022·全国·高三专题练习（文））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <-，则（ ）A ．n S 的最大值是8SB ．n S 的最小值是8SC ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值例45．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．5SB ．6SC ．7SD ．8S例46．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，512S S =，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．8或9例47．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n N *∀∈，7n S S ≤，则数列{}n a 的通项公式可能是（ ） A ．315n a n =-B ．173n a n =-C ．7n a n =-D ．152n a n =-例48．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，38a =-，62a =-，当n S 取得最小值时n =（ ）． A ．2B ．14C ．7D ．6或7例49．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知等差数列{}n a 的公差是d ，且891036a a a ++=，则1a d 的最大值为________．例50．（2022·全国·高三专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．例51．（2022·全国·高三专题练习（文））在①2n a n b =，②11n n n b a a +=，③(1)nn n b S =-这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55a =,55S =． (1)求n S 的最小值；(2)若数列{}n b 满足____________，求数列{}n b 的前10项和．例52．（2022·福建泉州·高三阶段练习（理））已知数列{}n a ，()1,2n x a +=-，()1,n y a =，且x y ⊥，32a +是2a 与4a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12132log n n b a =+，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S 的最大值．例53．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310a a +=，80S =． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最大值．【方法技巧与总结】求等差数列前n 项和n S 最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式2＋=n S an bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；②若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．题型六：求数列的通项n a例54．（2022·河南·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足211n n S na n +=+，则其通项n a =______．例55．（2022·全国·高三专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 例56．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，现有如下三个条件分别为：条件①55a =；条件②12n n a a +-=；条件③24S =-；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.您选择的条件是___________和___________. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .例57．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知非零数列{}n a 满足()()12111,22,n n n n a a a a a n N *+++=-=-∈． (1)若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；(2)若25a =，证明：对任意123,32n n n N a a a a *∈++++≤-．例58．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列{}n a 各项都不为0，121,3a a ==且满足141n n n a a S +=-， (1)求{}n a 的通项公式；(2)若114n n n a b a -=-，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 取得最小值时的n 的值． 例59．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 题型七：关于奇偶项问题的讨论例60．（2022·山东聊城·高三期末）已知数列{}n a 满足：()213nn n a a ++-=，11a =，22a =.(1)记21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求30S .例61．（2022·河南·罗山县教学研究室高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且2421n n n a S a =--.(1)求n a ，n S ；(2)设1,n n n n b S S n -=-⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前8项和8T .例62．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，11a =，232a =，前n 项和n S 满足()2*12n n S S n n n ++=+∈N ． （1）证明：{}2n a 为等差数列； （2）求101S ．例63．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()1212n n n a a ++=-+，则1819a a =（ ） A ．3 B ．113C ．213D ．219例64．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12(1),=,2n n a n n a n n +-+⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数*()N n ∈ (1)求1a 、3a 、5a ；(2)将数列{}n a 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{}m b ()m ∈*N ， ①证明：m b m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②设数列+11m b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为m S ，求证：12m S <．例65．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知数列{}n a 的通项公式为221.n n n a n n +⎧=⎨+⎩，为奇数，，为偶数 (1)求数列2{}n a 的前n 项和n S ；(2)设21n n b a -=，求数列1{3}n n b -⋅的前n 项和n T ．例66．（2022·天津静海·高三阶段练习）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，等差数列数列{}n b 的前n 项和n S ，246b b +=，410S =(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()()n n n n b n c a b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数 ，求数列{}n c 的前2n 项和. (3)设252123n n n n n b d a b b +++=，*n ∈N ，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13n T <.例67．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）数列{}n a 满足1(1)1nn n a a n ++-=+，则{}n a 前40项的和______．例68．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列{}n a 满足12a =，24a =，2(1)3+-=-+n n n a a ，则数列{}n a 的前20项和为___________.【方法技巧与总结】对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从n 为奇数、偶数进行分类． 题型八：对于含绝对值的数列求和问题例69．（2022·全国·高三专题练习（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1170,2S a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求1001k k a =∑的值．例70．（2022·山西大附中三模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n =，，，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a =； 条件②：12n n a a +-=； 条件③：24S =-.） 选择条件 和 ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n n b a =，并求数列{}n b 的前n 项的和n T例71．（2022·全国·高三专题练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，()11N ,R n n a ka n k *+=+∈∈. (1)证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； (2)记123n n T a a a a =++++，求20T .例72．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和233n S n n =-.(1)求{}n a 的通项公式． (2){}n a 的前多少项和最大？(3)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S '.【方法技巧与总结】由正项开始的递减等差数列{}n a 的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项0n a（2）在对n 进行讨论，当0≤n n 时，=n n T S ，当>n 0n 时，02=-n n n T S S题型九：利用等差、等比数列的单调性求解例73．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围为___________.例74．（2022·全国·高三专题练习（理））已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n S S n n ++=+（n *∈N ），则首项1a 的取值范围为__________．例75．（2022·上海徐汇·高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差3d =，n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n S 是递增数列，则1a 的取值范围是________.例76．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例77．（2022·辽宁丹东·高二期末）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若{}n a 为递增数列，则（ ） A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <例78．（2022•江西二模）已知函数6(3)3(7)()(7)x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()()n a f n n N +=∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 .例79．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例80．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--【方法技巧与总结】（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列{}n a 是递增数列*⇔∀∈n N ，1+≥n n a a 恒成立”．（2）数列()=n a f n 的单调性与()=y f x ，[)1,∈+∞x 的单调性不完全一致．一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性/⇒连续函数由单调性；连续函数有单调性⇒离散函数有单调性”．题型十：等差数列中的范围与最值问题例81．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d <B ．0d >C ．10a d >D ．10a d <例82．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（ ） A ．9B ．10C ．19D ．20例83．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列{}n a 为等差数列，前n 项的和为n S ，若10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为（ ）A ．1011B ．1012C ．2021D ．2022例84．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等差数列，22120212022202120220,0,0>⋅-<>a a a a a ，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2021B ．4044C ．4043D ．4042例85．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列(n a }的前n 项和为n S ，若7800S S ><，，则1a d的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．()7,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭C ．7,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例86．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21例87．（2022·江西·二模（文））己知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若公差()()1291390,0d S S S S >--<，则（ ） A ．110a = B ．1112a a = C ．1112a a >D ．1112a a <例88．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20132013S =，则2201211a a +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例89．（2022·河南·模拟预测（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且460S S =≠，则（ ） A ．50a =B ．460a a +<C ．100S =D ．2110S S +<例90．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足80S >，90S <，12231n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+，若对任意的正整数n ，恒有n k T T ≥，则正整数k 的值是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．10例91．（2022·北京丰台·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若230S S <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．30a < B ．210a a -< C ．230a a +<D．4a >例92．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥例93．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，10a >，670a a <，则无法判断正负的是（ ） A ．11SB ．12SC ．13SD ．14S例94．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列{}n a 公差不为0，正项等比数列{}n b ，22a b =，1010a b =，则以下命题中正确的是（ ）A ．11a b >B ．55a b >C ．66a b <D ．1717a b >例95．（2022·广东广州·模拟预测（理））首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）A ．d >3B ．d 72<C ．3≤d 72<D ．3<d 72≤例96．（2022·湖南师大附中高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，91010a a ->，910101a a -<-，则使1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．18D ．19例97．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①公差0d <；②110S <；③120S >；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a > 其中正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例98．（2022·湖北武汉·高三期末（理））若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．198B ．199C ．200D ．201例99．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 例100．（2022·全国·高二课时练习）等差数列的前n 项和为n S ，若130S <，120S >，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）． A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．无法确定例101．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．52D ．2【过关测试】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
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届高三理科数学六大专题训练题含详解数学（理科）专题训练一一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》》一、选择题1．为三角形的一个内角，,125tan 则 cos ( ) A ．1312 B ．135 C．135 D．1312 2．函数x y sin 和函数x y cos 都是增函数的区间是( ) A ．) ]( 22 ,232 [ Z k k k B．) ](232 , 2 [ Z k k kC ．) ](22 , 2 [ Z k k k D．) ]( 2 ,22 [ Z k k k3 ．已知,51)25sin( 那么 c o s ( )A ．52B ．51 C．51 D．52 4．在图中，A 、B是单位圆O上的点，C是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为),54,53( 且AOB 是正三角形．则COB cos 的值为( ) A ．103 3 4 B．103 3 4C ．103 4 3 D．103 4 3 5．将函数) ( sin cos 3 R x x x y的图象向左平移) 0 ( m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．12 B ．6 C．3 D．65 6．下列关系式中正确的是( ) A ． 168 sin 10 cos 11 sin B． 10 cos 11 sin 168 sin C ． 10 cos 168 sin 11 sin D． 11 sin 10 cos 168 sin 7．在锐角ABC 中，角A，B 所对的边长分别为b a, .若, 3 sin 2 b B a 则角A 等于( ) A ．3 B ．4 C．6 D．12 8．已知函数), , 0 , 0 )( cos( ) ( R A x A x f 则“ ) (x f 是奇函数”是“ 2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题9．已知扇形AOB 的周长是 6 cm，该扇形中心角是 1 弧度，则该扇形面积是____．10 ．设, s i n 2 s i n ), ,2( 则 2 tan 的值是________. 11 ．在锐角ABC 中，, 1 BC , 2 A B 则AACcos的值等于___，AC 的取值范围为___．12 ．函数) cos( sin 2 ) 2 sin( ) ( x x x f 的最大值为________.解答题13 ．已知函数)2 2, 0 )( sin( 3 ) (x x f的图象关于直线3 x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值；(2) 若),326(43)2( f 求)23cos(的值．14 ．已知向量),21, (cos x a ), 2 cos , sin 3 ( x x b, R x设函数 . ) ( b a x f (1)求) (x f 的最小正周期；(2)求) (x f 在]2, 0 [上的最大值和最小值．15．已知函数, ),4sin( ) ( R x x A x f 且 .23)125(f (1)求 A 的值；(2)若),2, 0 ( ,23) ( ) ( f f 求).43( f 16 ．已知函数, 2 cos21cos sin 3 ) ( x x x x f , 0 , R x且函数) (x f 的最小正周期为 . (1)求的值和函数) (x f 的单调增区间；(2)在ABC 中，角C B A , , 所对的边分别是, , , c b a 又,54)3 2( Af , 2 b ABC 的面积等于3，求边长 a 的值．17 ．已知函数2cos 34cos4sin 2 ) (x x xx f (1)求函数) (x f 的最小正周期及最值；(2) 令),3( ) (x f xg 判断函数) (x g 的奇偶性，并说明理由．18．在ABC 中，内角C B A 、、所对的边分别为 . c b a 、、已知, 3 , c b a (1)求角C 的大小；(2)若,54sin A 求ABC 的面积.高三数学（理科）专题训练二二数列一、选择题1．数列, , 11 , 2 2 , 5 , 2 的一个通项公式是( ) A ．3 3 n a n B ．1 3n a n C ．1 3 n a n D．3 3 n a n 2 ．已知等差数列} {na 中，, 1 , 164 9 7 a a a 则12a 的值是( ) A ．15 B ．30 C．31 D．64 3 ．等比数列} {na 中，, 20 , 647 3 9 1 a a a a 则11a 的值是( ) A．1 B．64 C．1或64 D．1 或32 4．ABC 的三边c b a , , 既成等差数列又成等比数列，则此三角形是( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5 ．已知数列} {na 满足), 2 (1 1n a a an n n, 3 , 12 1 a a记,3 2 1 n na a a a S则下列结论正确的是( ) A ．2 , ***** 2014 S a B．5 , ***** 2014 S a C ．2 , ***** 2014 S a D．5 , ***** 2014 S a 6 ．如果在等差数列} {na 中，, 125 4 3 aa a 那么7 2 1a a a ( ) A ．14 B ．21 C．28 D．357 ．数列} {na 中，, , 10 9 8 7 , 6 5 4 , 3 2 , 14 3 2 1a a a a那么10a ( ) A ．495 B ．505 C．550 D．595 8．各项均为实数的等比数列} {na 的前n 项和为,nS 若, 1010 S , 7030 S 则40S ( ) A．150 B．200 C．150或200 D．400 或50 二、填空题9 ．在等差数列} {na 中，, 8 , 125 4 3 5 3 1 a a a a a a 则通项na ________. 10．设等比数列} {na 的前n 项和为,nS 若, 336SS 则69SS________. 11．设平面内有n 条直线), 2 ( n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用) (n f表示这n条直线把平面分成的区域个数，则 ) 2 ( f ______ ， ) 3 ( f ______ ， ) 4 ( f ______. 当4 n 时， ) (n f ________. 12 ．已知数列} {na 的通项公式为*). (21log 2 N nnna n 设其前n 项和为,nS 则使5 nS 成立的最小自然数n是________. 三、解答题13．等差数列} {na 的前n项和为, 23 ,1 a S n公差d 为整数，且第6 项为正，从第7 项起变为负．(1)求d 的值；(2)求nS 的最大值；(3)当nS 是正数时，求n 的最大值．14．设d a ,1为实数，首项为、1a 公差为d 的等差数列} {na 的前n 项和为nS ，满足. 0 156 5 S S (1)若, 55 S 求6S 及;1a (2)求d 的取值范围. 15．已知数列} {na 的首项nS a a ,1 是数列} {na 的前n 项和，且满足, 0 , 3212 2 n n n na S a n S (1)若数列} {na 是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M，使M a时，数列} {na 是递增数列.16 ．已知} {na 为递增的等比数列，且}. 16 , 4 , 3 , 1 , 0 , 2 , 6 , 10 { } , , {5 3 1 a a a (1)求数列} {na 的通项公式；(2) 是否存在等差数列}, {nb 使得2 211 2 3 1 2 1n b a b a b a b ann n n n对一切* N n都成立？若存在，求出nb ；若不存在，说明理由. 17．等差数列} {na 各项均为正整数，, 31 a 前n 项和为nS ，等比数列} {nb 中，, 11 b 且, 642 2 S b } {nab 是公比为64的等比数列．(1)求na 与；nb (2)证明：43 1 1 12 1 nS S S 18．已知数列}, {nanS 为其前n 项的和，, 9 n na n S . * N n (1)证明数列} {na 不是等比数列；(2)令, 1 n na b 求数列} {nb 的通项公式nb ；(3)已知用数列} {nb 可以构造新数列．例如：}, 3 {nb }, 1 2 { nb }, {2nb },1{nb}, 2 {nb }, {sinnb …，请写出用数列} {nb 构造出的新数列} {np 的通项公式，使数列} {np 满足以下两个条件，并说明理由．①数列} {np 为等差数列；②数列} {np 的前n项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三三概率一、选择题1．对满足B A的非空集合B A、有下列四个命题：其中正确命题的个数为( ) ①若任取, A x则B x是必然事件②若, A x则B x是不可能事件③若任取, B x则A x是随机事件④若, B x则A x是必然事件A．4 B．3 C．2 D．1 2．从1，2，…，9 中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是( ) ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A．① B．②④ C．③ D．①③ 3．如图所示，设D 是图中边长为4 的正方形区域，E 是D 内函数2x y 图象下方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( ) A．21 B．31 C．41 D．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B 中至少有一件发生的概率是( ) A ．125 B ．21 C．127 D．43 5 ．如图所示，圆C 内切于扇形,3,AOB AOB 若在扇形AOB 内任取一点，则该点在圆C 内的概率为( ) A．21 B．31 C．32 D．436．已知随机变量服从正态分布), , 0 (2 N若, 023 . 0 ) 2 ( P 则) 2 2 ( P的值为( ) A ．0.477 B ．0.628 C．0.954 D．0.977 7．把半径为2 的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( ) A ．14 B ． 2 C．21 4 D．21 8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布) 10 , 80 ( ~2N ，则下列命题中不正确的是( ) A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120 分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110 分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________．10．在集合} 10 , , 3 , 2 , 1 ,6| { nnx x中任取1 个元素，所取元素恰好满足方程21cos x 的概率是__________．11．在区间] 3 , 3 [上随机取一个数x，使得1 | 2 | | 1 | x x 成立的概率为______. 12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209 则参加联欢会的教师共有____人. 13 ．已知}. 0 , 0 , 4 | ) , {( }, 0 , 0 , 6 | ) , {(2 y x y x y x A y x y x y x若向区域上随机投一点P，则P 落入区域 A 的概率是________. 三、解答题14．袋中有12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是,31得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率也是,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100 万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50 个的概率；（2）用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望( ) E X 及方差( ) D X . 17 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6 0.5 0.5 0.4 、、、，各人是否需使用设备相互独立. （1）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域, A B ，乙被划分为两个不相交的区域, C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，落点在D上记1 分，其它情况记0 分，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在, A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四四《立体几何初步》》一、选择题1 ．已知A B C 的三个顶点为、、) 7 , 3 , 4 ( ) 2 , 3 , 3 ( B A ), 1 , 5 , 0 ( C 则BC 边上的中线长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18 3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是( ) A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱4．已知n m、表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是( ) A．若// , // n m ，则n m// B．若, , // n m m ，则 n C．若, , n m m ，则 // n D．若, , n m ，则n m 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为( ) A．310 cm B．320 cm C．3310cm D．3320cm 6．已知过球面上C B A , , 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且, 2 CA BC AB 则球的半径是( ) A ．32 B ．34 C．36 D．1 7．用c b a , , 表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是( ) ① 若, // , // c b b a 则; //c a ②若, , c b b a 则; c a ③ 若, // , // b a 则; //b a ④若, ,b a 则 . //b a A ．①② B ．②③ C．①④ D．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是( ) A ．43 B ．54 C．53 D．53二、填空题9．已知三棱柱1 1 1C B A ABC的6 个顶点都在球O 的球面上，若, 4 , 3 AC AB , AC AB , 121 AA 则球O 的半径为_______. 10 ．在三棱锥ABC P 中，, 1 BC PC PB PA 且,2BAC 则PA 与底面ABC 所成角为______. 11 ．在长方体1 1 1 1D C B A ABCD中，, 2 , 31cm AA cm AD AB 则四棱锥D D BB A1 1的体积为____cm 3 ．三、解答题12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值. 13．如图所示，已知两个正四棱锥ABCD P与ABCD Q的高都是2，. 4 AB (1)求证：PQ 平面; ABCD (2)求四面体QAD P的体积．14 ．如图所示，在直三棱柱1 1 1C B A ABC中，, , 901CC BC AC ACBo点M为AB的中点，点D在1 1 BA 上，且 . 31 1DB D A (1) 求证：平面 C M D 平面;1 1 AA B B (2)求二面角M BD C 的余弦值.15．如图所示，四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 为矩形，, ABCD PA 平面 E 为PD 的中点．(1)证明：AEC PB 平面// ；(2) 设二面角C AE D 为60 °，, 3 ,1 AD AP 求三棱锥ACD E 的体积. 16．如图所示，直二面角E AB D 中，四边形ABCD 是边长为2 的正方形，, EB AE点F 为CE 上的点，且 BF 平面 . ACE (1)求证：AE 平面; BCE (2)求二面角E AC B 的余弦值；(3)求点D 到平面ACE 的距离．17．如图所示，AB 是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC. (2) 若, 1 , 1 , 2 PA AC AB 求二面角A PB C 的余弦值. 18．如图所示，平行四边形ABCD中， . 4 , 2 , 60 AD AB DAB将CBD 沿BD折起到EBD 的位置，使平面 EDB 平面ABD. (1)求证：AB 平面; EBD (2)求三棱锥ABD E 的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》》一、选择题1 ．已知双曲线) 0 , 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的离心率为,25则C 的渐近线方程为( ) A ．x y41 B ．x y31C．x y21 D．x y 2 ．已知,40则双曲线1cos sin:*****y xC 与1sin cos:*****x yC ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．椭圆1422 yx的两个焦点为, ,2 1F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 | |2PF ( ) A ．23 B ．3 C．27 D．4 4．已知双曲线1422 2by x的右焦点与抛物线x y 122的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A ．5 B ．2 4 C．3 D．5 5 ．设1F 和2F 为双曲线) 0 , 0 ( ***** b abyax的两个焦点，若) 2 , 0 ( , ,2 1b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．23 B ．2 C．25 D．3 6．已知双曲线1222yx 的焦点为, ,2 1F F 点M 在双曲线上，且, 02 1 MF MF 则点M 到x 轴的距离为( ) A ．34 B ．35 C．332 D．3 7．设双曲线的左焦点为F，虚轴的一个端点为B，右顶点为A，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( )A ．2B ．3 C．21 3 D．21 5 8．已知F是抛物线x y 2的焦点，点A 、B在该抛物线上，且位于x 轴的两侧，2 OB OA （其中O 为坐标原点），则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) A．2 B．3 C．82 17 D．10 二、填空题9．已知抛物线x y 82的准线过双曲线) 0 , 0 ( ***** b abyax的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10 ．已知2 1 ,FF 是椭圆) 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且 .2 1PF PF 若2 1 FPF 的面积为9 ，则 b _________. 11．抛物线) 0 ( 22 p py x 的焦点为F，其准线与双曲线13 32 2y x相交于A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p _________. 12 ．椭圆*****byax的四个顶点为, , , ,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13 ．如图所示，动圆) 3 1 ( :2 2 21 t t y x C 与椭圆19:222 yxC 相交于D C B A , , , 四点，点2 1 ,AA 分别为2C 的左、右顶点，当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．14．已知双曲线) 0 , 0 ( ***** b abyax的两条渐近线方程为,33x y 若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，2 1 ,FF 分别是椭圆) 0 ( ***** b abyax的左右焦点，顶点B 的坐标是), , 0 ( b 连结2BF 并延长交椭圆于点A，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结 .1 CF (1)若点C 的坐标为),31,34( 且, 2 | |2 BF求椭圆的方程；(2)若,1AB C F 求椭圆离心率e 的值. 16．椭圆) 0 ( 1 :2222 b abyaxC 的两个焦点分别为, ,2 1F F 点P 在椭圆C 上，且,2 1 1F F PF (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆0 2 42 2 y x y x 的圆心M，交椭圆C 于A，B 两点，且A，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．17．若点O 和点F 分别为椭圆13 42 2y x的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求FP OP的最大值．18．已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点) 0 )( , 0 ( c c F 到直线0 2 : y x l的距离为 .22 3 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线 C 的两条切线PA，PB，其中A，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点) , (0 0y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求| | | | BF AF 的最小值．高三数学（理科）专题训练六六《导数及其应用》》一、选择题1．若, ) (3x x f , 6 ) ( "0 x f 则0x ( ) A ．2 B ．2 C．2 D．1 2．函数1 33 x x y 的单调递减区间是( ) A ．) 2 , 1 ( B ．) 1 , 1 ( C．) 1 , ( D．) , 1 (3 ．与直线0 5 2 y x 平行的抛物线2x y 的切线方程是( ) A ．0 3 2 y x B．0 3 2 y x C．0 1 2 y x D．0 1 2 y x 4．已知曲线xxy ln 342的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D．21 5．曲线x y cos 与x 轴在区间]23,2[上所围成的图形的面积是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．设) ( ), ( x g x f 是定义域为R的恒大于零的可导函数，且, 0 ) ( " ) ( ) ( ) ( " x g x f x g x f 则当x a b 时，有( ) A ．) ( ) ( ) ( ) ( b g b f x g x f B．) ( ) ( ) ( ) ( x g a f a g x f C ．) ( ) ( ) ( ) ( x g b f b g x f D．) ( ) ( ) ( ) ( a g a f x g x f 7．若) 2 ln(21) (2 x b x x f 在区间) , 1 ( 内是减函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．) , 1 [B ．) , 1 ( C．] 1 , ( D．) 1 , ( 8．如图，某飞行器在4 千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( ) A ．x x y***-***** B．x x y***-*****C ．x x y ***** D．x x y***-*****二、填空题9．若曲线) 1 ln( x ax y 在点) 0 , 0 ( 处的切线方程为, 2x y 则 a ______. 10．若曲线xbax y 2（a、b 为常数）过点), 5 , 2 ( P 且该曲线在点P处的切线与直线 y x 2 7 0 3 平行，则b a ______. 11 ．若, ) ( 2 ) (102dx x f x x f则dx x f ) (10______. 12．设, R a若函数) ( 3 R x x e yax有大于零的极值点，则 a 的取值范围是______. 三、解答题13．设函数) 0 ( ) ( k xe x fkx. (1)求曲线) (x f y 在点)) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程；(2)求函数) (x f 的单调区间．14．已知函数 . 1 ln ) 1 ( ) ( x x x x f (1)若, 1 ) ( "2 ax x x xf 求实数a 的取值范围；(2)证明：. 0 ) ( ) 1 ( x f x15．设, *****ln ) ( xxx a x f 其中, R a曲线) (x f y 在点)) 1 ( , 1 ( f 处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数) (x f 的极值．16．如图所示，已知曲线21 :x y C 与曲线) 1 ( 2 :22 a ax x y C 交于点O、A，直线) 1 0 ( t t x 与曲线2 1C C、分别相交于点D 、B ，联结. AB DA OD 、、(1)写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式); (t f S (2)求函数) (t f S 在区间] 1 , 0 ( 上的最大值．17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160 元／平方米，该蓄水池的总建造成本为 ***** （为圆周率）．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h为何值时该蓄水池的体积最大. 18．已知函数 . ) 2 ( ln ) (2x a ax x x f (1)讨论) (x f 的单调性；(2)设, 0 a 证明：当ax10 时，);1( )1( xaxaf (3)若函数) (x f y 的图象与x 轴交于A、B 两点，线段AB 中点的横坐标为,0x 证明：. 0 ) ( "0 x f高三数学（理科）专题训练一一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A A C D B C A B 二、填空题9．2cm 2 10．3 11．2, ) 3 , 2 ( 12．1三、解答题13．(1)因) (x f 的图象上相邻两个最高点的距离为,所以) (x f 的最小正周期, T 从而. 22T又因) (x f 的图象关于直线3 x 对称，所以, , 2 , 1 , 0 ,2 32k k因22得, 0 k 所以6 322 (2) 由(1) 得 )6 22 sin( 3 )2(f ,43所以41)6s i n ( 由326得,2 60所以 )6( s i n 1 )6c o s (2415)41( 12 因此 )6s i n [ ( s i n )23c o s (6s i n )6c o s (6c o s )6s i n ( ]614 ．(1) T (2)21) ( , 1 ) (min max x f x f 15 ．(1)32sin )4 125sin( )125( A A f,*****sin )3sin(A A A所以 A , 3 所以).4sin( 3 ) ( x x f (2) ) ( ) (f f)4sin( 3 )4sin( 3 ,23cos 6所以,46cos 因为, 0 s i n ),2, 0 ( 则sin,410)46( 1 cos 12 2故]4)43sin[( 3 )43( f***-***** sin 3 ) sin( 3 16．(1) 1 ) ](3,6[ Z k k k (2) 13 a 17 ．(1) 因),3 2sin( 22cos 32sin ) (x x xx f 故) (x f 的最小正周期 . 4212 T 当1 )3 2sin( x时，) (x f 取得最小值; 2 当1 )3 2sin( x时，) (x f 取得最大值2．(2) 由(1) 知 )3 2sin( 2 ) ( xx f 又 )3( ) (x f x g 故]3)3(21sin[ 2 ) ( x x g2cos 2 )2 2sin( 2x x 故). (2cos 2 )2cos( 2 ) ( x gx xx g 所以函数) (x g 是偶函数．18 ．(1) 由题意得，22 cos 122 cos 1 B A, 2 sin232 sin23B A即 A A 2 cos212 sin23 B A B B 2 sin( )62 sin( , 2 cos212 sin23 ),6由ba 得，, BA又), , 0 ( B A 得,6262 B A即,32 B A 所以3 C (2)由, 3 cCcAaAsin sin,54sin 得58 a ，由, c a 得, C A从而,53c o s A 故 C A C A C A B sin cos cos sin ) sin( sin,103 3 4所以A B C 的面积为B ac S sin212518 3 8高三数学（理科）专题训练二二《数列》参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A C D D C B A 题二、填空题9．13 3 n 10．37 11．4；7；11；222n n 12．63 题三、解答题13．(1)由已知,0076aa 得,0 6 230 5 23dd 解得,***** d 又d 为整数，故 . 4 d (2)n nn nn S n 25 2 ) 4 (2) 1 (232,8625)425( 22 n 当6 n 时，; 78 nS 当7 n时， . 77 nS 取最大值为78. (3)令, 0 nS 得, 0 25 22 n n 解得 n 0 *), (225N n故n 的最大值为12. 14 ．(1) 由题意知：. ***** SS . 85 6 6 S S a 所以,8 55 10 511d ad a 解得, 71 a 所以 . 7 , 31 6 a S (2) 因为,0 156 5 S S 所以, 0 15 ) 15 6 )( 10 5 (1 1 d a d a 即 .0 1 10 9 ***** d da a 故. 8 ) 9 4 (2 21 d d a 所以 .82 d 故d 的取值范围为2 2 d 或. 2 2 d 15 ．(1) 在212 23n n nS a n S 中分别令, 2 n 3 n 及,1a a得 a a a a a ( , 12 ) (2222. ) ( 27 )22 323 2a a a a a 因为, 0na 所以2a , 2 12 a . 2 33a a 因为数列} {na 是等差数列，所以1a , 22 3a a 即, 2 3 ) 2 12 ( 2 a a a 解得. 3 a 经检验3 a 时，,2) 1 ( 3, 3n nS n an n,2) 1 ( 31n nS n满足 . 3212 2n n nS a n S (2) 由, 3212 2n n nS a n S 得, 32 212n n na n S S 即, 3 ) )( (21 1 n n n n na n S S S S 因为, 0na , 2n 所以, 321n S Sn n① 所以, ) 1 ( 321n S Sn n② ② －① 得, 3 61n a an n所以 1 n na a , 3 ) 1 ( 6n 两式相减得：). 2 ( 61 1n a an n 即数列 6 4 2, , a a a 及数列 , , ,7 5 3a a a 都是公差为6 的等差数列，因为, 2 3 , 2 123 2a a a a 所以. , 6 2 3, 3 , 6 2 3, 1 ,为偶数为奇数且n a nn n a nn aa n 要使数列} {na 是递增数列，须有,2 1a a 且当n 为大于或等于3 的奇数时,1 n na a 且当n 为偶数时,1 n na a 即为偶数为奇数且n a n a nn n a n a na a, 6 2 ) 1 ( 3 6 2 33 , 6 2 ) 1 ( 3 6 2 3, 2 12 解得*****a 所以M 为),415,49( 当M a时，数列} {na 是递增数列. 16．(1) 12 n (2)存在17．(1)设} {na 公差为d，由题意易知, 0 d 且 d *, N 则, ) 1 ( 3 d n a n .2)1 (3 dn nn S n设} {nb 公比为q，则 .1 nnq b 由, 6422 S b 可得64 ) 6 ( d q …① 又} {nab 是公比为64 的等比数列，所以***-***** d a aaaaaq qqqbbn n nnnn …② 由①②，且*, N d , 0 d 可解得. 2 , 8 d q 所以, 1 2 n a n . * , 81N n bnn (2) 由(1) 知), 2 ( 22) 1 (3n nn nn S n. * N n所以),21 1(21) 2 (1 1 n n n n S n 所以 )311 [(21 1 1 12 1 nS S S)]21 1( )5131( )4121(n n18 ．(1) 略(2)1)21( 4nnb (3) np ) 1 ( log a b na高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案题一、选择题BCBC CCAB 题二、填空题9．21 10．51 11．32 12．120 人13．278 题三、解答题14．设得到黑球、黄球的概率分别为, y x、由题意得,125)311 (,125y x yy x解得,61,41yx故41)***-***** ( , 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是*****、、15 解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32) ( E P , 31) ( E P ，53) ( F P ，52) ( F P . 且事件E与F，E与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立. (1) 记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H ，于是***-*****) ( ) ( ) (F P E P H P ，故所求概率为***-***** ) ( 1 ) (H P H P . （2）设企业可获利润为X （万元），则X的可能取值为0，100，120，220. 又因***-*****) ( ) 0 ( F E P X P ，***-*****) ( ) 100 ( F E P X P ，***-*****) ( ) 120 (F E P X P，***-*****) ( ) 220 ( EF P X P . 故所求分布列为X 0 100 120 220 P 数学期望为*****6220*****01520 ) ( X E. 16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3 天里有连续2 天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50 个”.因此1( ) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6 P A . 2( ) 0.003 50 0.15 P A . ( ) 0.6 0.6 0.15 2 0.108 P B . （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为0 33( 0) (1 0.6) 0.064 P X C , 1 23( 1) 0.6(1 0.6) 0.288 P X C , 2 23( 2) 0.6 (1 0.6) 0.432 P X C, 3 33( 3) 0.6 0.216 P X C , 分布列为X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X ~ B (3,0.6), 所以期望为 E ( X )=3 ×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 17 解：记iA 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2 i B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用设备（1）1 2 2D A B C A B A BC 所以1 2 2( ) ( ) PD P A B C A B A B C1 2 2( ) ( ) ( ) P A B C P A B P A B C（2）X 的可能取值为0 ，1 ，2 ，3 ，4 0( 0) ( ) P X P B C A 0( ) ( ) ( ) P B P C P A 2(1 0.6) (1 0.4) 0.5 0.06．0.25 ，2( 4) ( ) P X P B C A 2( ) ( ) ( ) PB PC P A20.5 0.6 0.4 0.06 ，( 3) ( ) ( 4) 0.25 P X P D P X，所以X 的分布列为0 1 2 3 4 数学期望(X) ( 2) 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 3) 3 ( 3) 4 ( 4) E P X P X P X P X P X P X0.25 2 0.38 3 0.25 4 0.062 ．18 解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A （II）6 43 2 1 0 ，，，，，的可能取值为 0 1 2 34 6高三数学（理科）专题训练四四《立体几何初步》参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B D D D B C C 二、填空题9．213 10．3 11．6 三、解答题12．底面半径为3 cm，高为6 cm 的圆柱体的体积为：121 1h R V 6 3 2 .54 从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为2 cm、高为4 cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为3 cm、高为2 cm的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：. 20 4 322V V 因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：***-*****1VV 13．(1)如图所示，取AD 的中点M，连接. ,QM PM 因为ABCD P与ABCD Q都是正四棱锥，所以, , QM AD PM AD 从而 . P Q M AD 平面又, PQM PQ 平面所以 . AD PQ同理, AB PQ所以. A B C D PQ 平面 (2) 连接OM ，则,*****PQ AB OM 所以, 90 o PMQ即 MQ PM 由(1) 知, PM AD所以, Q A D PM 平面从而PM 就是四面体QAD P的高，在直角PMO 中，.2 2 2 22 2 2 2 OM PO PM 又, 2 4 2 2 *****QM AD SQAD 故3162 2 2 *****PM S VQAD QAD P 14．(1)在ABC 中，, BC AC 点M为AB的中点，故 . AB CM 又因三棱柱1 1 1C B A ABC是直三棱柱，故,1 1ABC A ABB 平面平面又, ABC CM 平面故1 1 AABB CM 平面 , 而, CMD CM 平面故1 1 AABB CMD 平面平面 (2)以点C 为原点，分别以1, , CC CB CA所在直线为z y x , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令, 11 CC BC AC 则), 0 , 0 , 0 ( C ), 0 , 0 , 1 ( A ), 1 , 0 , 1 (1A ), 0 , 1 , 0 ( B), 1 , 1 , 0 (1B 故), 0 , 1 , 0 ( CB ) 1 ,43,41( CD 设平面C B D 的法向量为), , , ( z y xn 则00CD nCB n0*****z y xy0 40z xy, 取, 1 z 则, 4 x , 0 y 故) 1 , 0 , 4 ( n , 而平面MBD 的法向量是), 0 ,21,21( CM 故 n CM, cos1722) 1 , 0 , 4 ( ) 0 ,21,21(1734 2 即二面角M BD C 的余弦值为1734 2 15．(1)连结BD 交AC于点O，连结EO. 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以 . //PB EO 又, AEC EO 平面 , AEC PB 平面所以. // AEC PB 平面(2)因为, ABCD PA 平面 ABCD 为矩形，所以AP AD AB , , 两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，| | AP 为单位长，建立空间直角坐标系, xyz A则),21,23, 0 ( ), 0 , 3 ,0 ( E D )21,23, 0 ( AE 设), 0 )( 0 , 0 , ( m m B 则), 0 , 3 , (mC ). 0 , 3 , (m AC设) , , (1z y x n 为平面ACE 的法向量，则0011AE nAC n，即. 02123, 0 3z yy mx 可取), 3 , 1 ,3(1mn 又) 0 , 0 , 1 (2 n 为平面DAE 的法向量，由题设,21| , c o s |2 1 n n 即24 33m,21解得23m 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥ACD E 的高为21 所以三棱锥ACD E 的体积为：***-*****131V16．(1)因 BF 平面 . ACE 故 . AE BF 又因二面角E AB D 为直二面角，且, AB CB 故 CB 平面 . ABE 故 . AE CB AE 平面 . BCE (2)以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因 AE 面, BCE BE 面, BCE 故 . BE AE 则), 0 , 0 , 0 ( A ), 0 , 1 , 1 ( E , 2 , 0 ( C ). 2), 0 , 1 , 1 ( AE ) 2 , 2 , 0 ( AC 设平面AEC 的法向量为), , , ( z y x n 则00AC nAE n, 即,0 2 20z yy x 解得x zx y 令, 1 x 得 n ) 1 , 1 , 1 ( 是平面AEC的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为), 0 , 0 , 1 ( m 且n m, 所成的角就是二面角E AC B 的平面角，因 nm, cos| | | | n mn m,3331故二面角E AC B 的余弦值为33 (3) 因), 2 , 0 , 0 ( AD 故点D 到平面A C E 的距离 d . *****| || |nn AD 17．(1)略(2)46 18．(1)证明：如图所示，在ABD 中，因, 60 , 4 , 2oDAB AD AB 故 DAB AD AB AD AB BD cos 2 22 2, 3 2 故,2 2 2AD BD AB故. BD AB 又因, ABD EBD 平面平面, BD ABD EBD 平面平面 , ABD AB 平面故. EBD AB 平面 (2)解：由(1)知, // , AB CD BD AB 故, BD CD 从而 . DB DE 在DBE Rt中，因, 2 , 3 2 AB DC DE DB 故. 3 221DE DB sBDE 又因, E B D AB 平面 , E B D BE 平面故. BE AB 因, 4 AD BC BE 故. 421BE AB SABE 因, BD DE 平面EBD⊥平面ABD，故 . ABD ED 平面而, ABD AD 平面故, AD ED故 . 421DE AD SADE 综上得三棱锥ABD E的侧面积为 . 3 2 8 S高三数学（理科）专题训练五五《圆锥曲线方程》参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C D C A B C D B 二、填空题9．1322yx 10 ．3 b 11．6 12．21 5 三、解答题13．设), , (0 0y x A 则矩形ABCD 的面积| | 40x S . | |0y 由*****yx得，,9120 20xy 故*****x y x ,49)29(91)91 (2 2020 xx 当21,***** y x 时，, 6max S 故当5 t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6．14．根据几何性质有. 1 cab 又因,33ab 解得*****ba 故双曲线的方程为 . ***** 2y x 15 ．(1) 由题意，), , 0 ( ), 0 , (2b B c F | |2BF, 22 2 a c b 又)31,34( C 在椭圆上，所以,1)31(2)34(22 2b解得 . 1 b 所以椭圆方程为 . 1222 yx(2)直线2BF 方程为, 1 bycx与椭圆方程*****byax联立方程组，解得A 点坐标为), ,2(2 232 22c abc ac a则C 点坐标为,2(2 22c ac a),2 23c ab又,cbk AB 由AB C F 1得3 233 c c ab, 1 ) ( cb即, 34 2 2 4c c a b 所以2 2 2) ( c a , 34 2 2c c a 化简得.55ace 16 ．(1) 由于点P 在椭圆上，故.3 , 6 | | | | 22 1 a PF PF a 在2 1 FPF Rt中， . 5 2 | | | | | |2122 2 1 PF PF F F 解得, 5 c 从而 .42 2 2 c a b 因此椭圆C 的方程为 . 14 92 2y x (2) 设A ，B 的坐标分别为). , ( ), , (2 2 ] 1y x y x 已知圆的方程为, 5 ) 1 ( ) 2 (2 2 y x 圆心). 1 , 2 (设直线l 方程为, 1 ) 2 ( x k y 代入椭圆C 的方程得27 36 36 ) 18 36 ( ) 9 4 (2 2 2 2 k k x k k x k0 由于A，B 关于点M 对称，所以, 29 49 ***** 1kk k x x 解得98 k 因此直线l的方程为, 1 ) 2 (98 x y 即 . 0 25 9 8 y x 17．由题意，), 0 , 1 ( F 设点), , (0 0y x P 则有, 13 *****y x 解得)41 ( *****xy 因为), , 1 (0 0y x FP ), , (0 0y x OP所以20 0 0) 1 ( y x x FP OP , 34)41 ( 3 ) 1 (0***** 0xx xx x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为. 20 x 因为, 2 20 x 所以当20 x 时，FP OP取得最大值 .6 3 242 2 18 ．(1) y x 42 (2) 0 2 20 0 y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六六《导数及其应用》参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B D A D C C A 二、填空题9．3 10．－3 11．31 12．) 3 , ( 三、解答题13. (1) , ) 1 ( ) ( "kxe kx x f , 1 ) 0 ( " f, 0 ) 0 ( f 故曲线) (x f y 在点)) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程为 . x y (2) 由0 ) 1 ( ) ( " kxe kx x f 得). 0 (1kkx ①若, 0 k 则当)1, (kx 时，, 0 ) ( " x f 函数) (x f 单调递减；当) ,1( kx 时，, 0 ) ( " x f 函数) (x f 单调递增，②若, 0 k 则当)1, (kx 时，, 0 ) ( " x f 函数) (x f 单调递增；当) ,1( kx 时，, 0 ) ( " x f 函数) (x f 单调递减．14 ．(1) 因为), 0 (1ln 1 ln1) ( " xxx xxxx f 所以 . 1 ln ) ( " x x x xf 由, 1 ) ( "2 ax x x xf 得 . ln x x a 令, ln ) ( x x x g 则11) ( " xx g 当1 0 x 时，; 0 ) ( " x g 当1 x时， .0 ) ( " x g 所以1 x 是最大值点，. 1 ) 1 ( ) (maxg x g 故, 1 a 即a 的取值范围是). , 1 [ (2)由(1)知,1 ) 1 ( ln ) ( g x x x g 故 . 0 1 ln x x 当1 0x 时，x x x x x x f ln 1 ln ) 1 ( ) ( ; 0 1 lnx x 当1 x 时， x x x x x f ln 1 ln ) 1 ( ) (. 0 ) 11 1( l n ln 1 ln x xx x x x x 综上， . 0 ) ( ) 1 ( x f x 15 ．(1) 因为, *****ln ) ( xxx a x f 故2321) ( "2x xax f 由于曲线) (x f y 在点)) 1 ( , 1 ( f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即, 0 ) 1 ( " f 从而, 02321 a 解得 . 1 a (2) 由(1) 知) 0 ( *****ln ) ( x xxx x f 令, 0 ) ( " x f 解得, 11 x312 x（因312 x 不在定义域内，舍去）．当) 1 , 0 ( x 时，, 0 ) ( " x f 故) (x f在) 1 , 0 ( 上为减函数；当) , 1 ( x 时，, 0 ) ( " x f 故) (x f 在, 1 ( ) 上为增函数．故) (x f 在1 x 处取得极小值. 3 ) 1 ( f 16 ．(1) 由ax x yx y222得点). , ( ), 0 , 0 (2a a A O 又由已知得). , ( ), 2 , (2 2t t D at t t B故) (t f S *****) 2 ( t t dx ax xt) ( ) 2 (212 2t a t at t(2) . 221) ( "2 2a at t t f 令, 0 ) ( " t f 即, 0 2212 2a at t 解得a t ) 2 2 ( 或 . ) 2 2 ( a t 因为, 1 0t , 1 a 所以a t ) 2 2 ( 舍去．若, 1 ) 2 2 ( a 即22 22 21 a 时，对, 1 0 t 有. 0 ) ( " t f 故) (t f 在区间] 1 , 0 ( 上单调递增，S的最大值是61) 1 (2a a f 若, 1 ) 2 2 ( a 即22 21 a 时，对, ) 2 2 ( 0 a t 有;0 ) ( " t f 当t a ) 2 2 ( 1 时，有. 0 ) ( " t f 故) (t f 在) ) 2 2 ( , 0 ( a 上单调递增，在] 1 , ) 2 2 (( a 上单调递减，) (t f的最大值是 .32 2 2) ) 2 2 ((3a a f综上所述，m a x)] ( [ t f22 2132 2 222 *****a aa a a 17．(1) ), 4 300 (5) (3r r r V 定义域为); 3 5 , 0 ( (2) ) (r V 在区间) 5 , 0 ( 上单调递增，在区间) 3 5 , 5 ( 上单调递减；当, 5 r 8 h 时，蓄水池的体积最大18 ．(1) ) (x f 的定义域为xx f1) ( " ), , 0 (xax xa ax) 1 )( 1 2 () 2 ( 2 若, 0 a 则, 0 ) ( " x f 所以) (x f 在) , 0 ( 单调递增．若, 0a 则由0 ) ( " x f 得,1ax 且当 x )1, 0 (a时，, 0 ) ( " x f 当ax1时， . 0 ) ( " x f 所以) (x f 在)1, 0 (a单调递增，在) ,1( a单调递减．(2) 设函数),1( )1( ) ( xaf xaf x g 则, 2 ) 1 ln( ) 1 ln( ) ( ax ax ax x g .1221 1) ( "2 22 3x ax aaaxaaxax g当ax10 时，, 0 ) ( " x g 而, 0 ) 0 ( g 所以 . 0 ) ( x g 故当ax10 时， ...。