数列章末复习课

热点 问 题 剖 析
一、等差数列与等比数列的概念与性质 等差数列、等比数列是高中阶段学习的两类特殊数 列，有关等差数列、等比数列的一些性质的应用在高考中 经常以选择题、填空题出现，考查知识应用的灵活性．
[例1] (1)等比数列{an}的各项为正，公比q满足q2＝ 4，则aa34＋＋aa45＝________；
知识 要 点 归 纳
(1)如果{an}为等差数列，若项数为 2n(n∈N＋)，则 S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1； 若项数为 2n－1(n∈N＋)，则 S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶＝n－n 1. (2)设两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn，则abnn＝AB22nn－ －11. (3)设数列{an}为公比为 q 的等比数列，若项数为 2n(n∈N*)，则SS偶 奇＝q.
2．等差数列、等比数列性质的对比
等差数列
等比数列
性 质
①设{an}是等差数列，若s ＋t＝m＋n，则as＋at＝am ＋an； ②从等差数列中抽取等距
离的项组成的数列是一个
等差数列； ③等差数列中连续m项的 和组成的新数列是等差数 列 ， 即 ： Sm ， S2m － Sm ， S3m－S2m，…是等差数列
286
an an1 an2 an3 67
n=26
a1
an
21 4
67
22
(5)已知函数 f(x)＝xa 的图象过点(4,2)令an＝fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前n 项和 为 Sn，则S2 016＝________. 解析：由f(4)＝2 可得4a＝2，解得a＝12，
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则 f(x)＝
①设{an}是等比数列，若s＋ t＝m＋n，则as·at＝am·an； ②从等比数列中抽取等距离
的项组成的数列是一个等比
数列； ③等比数列中连续m项的和 组成的新数列是等比数列， 即 ： Sm ， S2m － Sm ， S3m － S2m，…是等比数列(注意： 当q＝－1且m为偶数时，不 是等比数列)
的 n 的二次函数，即 Sn＝ 函数，即 Sn＝aqn－a(a≠0，
an2＋bn(d≠0)
q≠0，q≠1)
3．等差数列、等比数列的判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；aan＋n 1＝
q(q 为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；an＋12 ＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}是等差数列； an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数， n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且 a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
等差数列
等比数列
①等差数列{an}的通项公 ①等比数列{an}的通项公式
式是 n 的一次函数，即 an 是 n 的指数型函数，即 an＝
函
数
＝an＋b(a≠0，a＝d，b＝ a1－d)；
c·qn，其中
c≠0，c＝aq1；
特性 ②等差数列{an}的前 n 项 ②等比数列{an}的前 n 项和
和公式是一个不含常数项 公式是一个关于 n 的指数型
第二章 数列
本章小结
知识 网 络 建 构
要点归纳
1．数列的概念及表示方法 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数． (2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法． (3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按 项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数 列和常数列． (4)an 与 Sn 的关系：an＝SSn1－n＝Sn1－1，n≥2.
∴an＝fn＋11＋fn＝
1＝ n＋1＋ n
n＋1－ n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016
＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋( 2 017－ 2 016)
＝ 2 017－1.
答案： 2 017－1
an(n≥2)的关系式，检验当 n＝1 时，a1 是否满足该式，若
不满足该式，则 an 要分段表示．
(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式 形如：已知a1，且an＋1－an＝f(n)(f(n)是可求和数列) 的形式均可用累加法； 形如：已知 a1，且aan＋n1＝f(n)(f(n)是可求积数列)的
专题一 数列通项公式的求法
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的 解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列 的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n项和． 常见的数列通项公式的求法有以下几种：
(1)观察归纳法求数列的通项公式 就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构， 纵向看各项与序号n的内在联系，结合常见数列的通项公 式，归纳出所求数列的通项公式．
方和为83，求此三个数.
析：设这三个数为
x d , x, x d
则
(x d) x (x d) 15 (x d)2 x2 (x d)2 83解得x＝5，d＝ ±2.
∴所求三个数分别为3，5，7 或7，5，3.
运用等差、等比数列的性质
（3）已知等差数列{an}满足 a1 a2 a101 0 ，
∴an＋1＋1＝(an＋1)2.
∵a1＝2，∴an＋1>1，两边取对数得
lg1＋an＋1 lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即 lg1＋an ＝2.
∴{lg(1＋an)}是公比为 2 的等比数列．
[点评] 函数与数列结合的题目是高考的热点之一， 做这类题目的关键是利用函数关系得出数列的递推关系， 再转化为特殊数列——等差数列、等比数列进行求解．
形式均可用累乘法．
(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式) 若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等， 从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公 式．
专题二 数列求和
求数列的前n项和Sn通常要掌握以下方法： 1．公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注
意对等比数列q≠1的讨论． 2．错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应
知识应用
等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为a,a d,a 2d; a d,a,a d
或者 x, x y , y，根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
2. 三个数成2 等比数列，则这三个数可为
也可以设为 a, aq, aq2.
a , a，, aq q
例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平
则 ( C ) A. a1 a101 0
B. a2 a100 0
C. a3 a99 0
D. a51 51
（4）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之 和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试
求数列的项数n.
解析：a1 a2 a3 a4 21
Sn
n(a1 2
an )
(2)利用公式法求数列的通项公式 数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只 需求出a1与d或a1与q，再代入公式an＝a1＋(n－1)d或an＝ a1qn－1中即可． (3)利用an与Sn的关系求数列的通项公式 如果给出的条件是an与Sn的关系式，可利用 an＝SSn1－n＝Sn1－1，n≥2， 先求出 a1＝S1，再通过计算求出
项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过 程的推广． 3．分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个 等差、等比数列再求和． 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消 剩下首尾若干项． 5．倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列 求和公式的推导过程的推广)．
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则 log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10等于________． [解析]．
(1)∵a4＋a5＝ (a3＋a4)q， (2)∵log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10
∴aa34＋ ＋aa45＝1q.
而 q2＝4，可知 q＝2，
[例 2] 已知 a1＝2，点(an，an＋1)在函数 f(x)＝x2＋2x 的 图象上，其中 n＝1,2,3，….
证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；
[分析] 把点(an，an＋1)代入f(x)，可得{an}的递推式， 再变形使之形成新的等比数列来求解．
[证明] (1)由已知 an＋1＝an2＋2an，
＝log3a1a2a3…a8a9a10， 而 a1a2a3…a8a9a10 ＝ (a5a6)5 ， ∴ log3a1a2a3…a8a9a10 ＝
∴aa34＋ ＋aa45＝1q＝12.
log3(a5a6)5＝5log3a5a6＝5log39＝5×2＝10
[点评] 巧用等比数列的一些性质解题，可使得问题 计算简化．