大学物理——牛顿运动定律及其应用

mg
F Fi 0
a' 0

引入惯性离心力后，在非惯性系 中，牛顿第二定律形式上成立
例 水桶以匀角速度 旋转，求水面的形状。 解：水面旋转参考系是非惯性系。 取水面质元 m，在非惯性系内质元 “静止”，惯性力 F惯 = m2 x， 在切线方向

mg sin q m 2 x cos q 0 2 dy tgq x dx g 2 y x 积分 dy xdx y0 0 g
F
a
4. 列方程 列出牛顿方程. 根据需要选择适当的坐标系,将力和 加速度分解, 列出各坐标轴方向的牛顿方程.
5. 解方程，对结果作必要讨论。
例：如图联接体。轻绳下挂一轻滑轮 P。轴处摩擦忽略。 P上跨一长度变化可忽略的轻绳，绳两端挂 m1、m2 ，且 m1 > m2 ，求定滑轮所受绳子的张力。 解：
mg F浮 kvT 0
dv kvT kv ma m dt
dv k dt v vT m
k t v v T 1 e m
mg
t
dv k v v T m dt 0 0
v
v vT
0
t
1.2.4
非惯性系与惯性力
(Inertial reference frame) 什么是非惯性系? 相对惯性系作加速运动的参照系为非惯性系. 在惯性系中与在非惯性系中观测物体运动有何区别? 一. 在惯性系中 甲观测A , A物静止. ㆙

分析物体受力
其中 m aM 就是惯性力. 而 mg 和 N 是真实力.
列方程:
沿斜面方向: mgsin+maMcos=ma'
垂直于斜面方向:
分析M(相对惯性系): 由此解得相对加速度
N-mgcos+maMsin=0
N sin=M aM 水平方向
a'=(m+M)sing / (M+msin2)
( M m ) sinq a g 2 M m sin q
方向：沿斜面向下
m sin 2q a0 g 方向：沿 x 轴负向 2 2( M m sin q )
a x a cosq a0
a y a sinq
( M m ) sinq a g 2 M m sin q
1.2 牛顿运动定律及其应用
1.2.1 牛顿运动定律
1.2.2 自然界中的力
1.2.3 牛顿运动定律的应用 1.2.4 非惯性系与惯性力
1.2.1 牛顿运动定律
（Newtons laws of motion) 一. 牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止 的或作匀速直线运动的状态。
N
A
mg
A物受合外力
F 0
满足牛顿第二定律
乙在相对地匀速运动的车 中 观测A物为匀速运动。
A 物受合外力
F 0 a0
满足牛顿第二定律
v
N
A
mg
v
惯性系---在该参照系中观察,一个不受力作用的 物体将保持静止或匀速直线运动状态不变.
二. 在非惯性系中
丙在相对地以加速 a 向右运动的车上, 看 A 物沿反向 a 加速运动.
dm M l dl L
质点受到的引力
mldx mdm df G 2 G 2 x x
d L
P O d
A
dm
B x
L
f

d
mM mldx G 2 G d (d L) x
f G
mM i d ( d L)
mM f G 2 若 L << d, d mM f G 2 i d
GmM E P mg , 2 R
ME g G 2 R
M：地球质量 R：地球半径
三、弹力 作用在相互接触的物体之间，与物体的形变相联 系，是一种弹性恢复力。 O x (1) 弹簧的弹力 f kx x>0 f<0 x (2) 正压力 N , 支持力， x<0 x 垂直于接触面指向对方 f>0 (3) 张力 T，内部的弹力 四、摩擦力 (the force of friction)
1.2.3 自然界中的力
一、万有引力 (1) 万有引力定律:
m1m2 f G 2 r
G 6.67 10
11
N m / kg
2
2
--万有引力恒量
(2) 力的强度：地面上相隔1 m 的人 10-7 N
(3) 力程 —— 无限远 二、 重力
P mg
方向竖直向下
地球附近的物质所受的地球引力
1 2 由 l at 2
t 2l ( m sin M ) ( M m ) sin g
2
N
aM N maM

mg
例：在一匀加速运动的车厢内，观察单摆，其平衡位 置（加速度 a0 ,摆长l，质量m） T q
S S' ma0 mg a0
解：在S '系
平衡位置
q tan
1
a0 g
v2 Fin ma n m R i dv Fit ma t m dt i
注意： 上式的瞬时性
分量形式

直角坐标系
Fix ma x i Fiy ma y i Fiz ma z
i

三. 牛顿第三定律(作用力与反作用力)
作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在不 同物体上。 牛顿定律只适用于惯性系。 选地面
vdv g sinq (ds ) g sinq ( lb dq )
0 0 v s
q
T
mg
q

v 2lb g cosq
2
(3)
(2) 分析a运动 当 T = mg 时，a 球刚好离地
N
T
a
mg
2l b g cos q v2 由（2）式 Fn mg mg cos q m m lb lb
物体相对 ， 加速度a , S 物体相对 加速度a S 质点 m 在 S 系 F ma
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a a0
F ma ma0
N
在 S 系 F ma
牛二在非惯性系不成立
F 不随参考系变化
a0
S’ mg
S
令：F0 ma0
O
lb
b
q T T a mg mg
g g cos q 2 g cos q
1 q cos 3
1
例：在液体中由静止释放一质量为m的小球，它在下沉时受 到的液体阻力为 f kv ，v是小球的速度。设小球的终极速 率为vT，求：任意时刻t，小球的速率。 解： mg F浮 kv ma m dv kv dt F浮
b
a球离开地面前b做半径为 l b 的竖直圆周运动。
分析b受力,选自然坐标系
当b 球下摆到与竖直线成 q 角时
2
O
lb
b
v a Fn T mg cosq m (1) lb F mg sinq m dv (2) t dt dv dv ds dv v 由(2) 式得 g sinq dt ds dt ds
Tp
P
T2 a=0
m2 a2
T1
a1 m1
m2 m1 轻绳 x
T2
’
T1
’
m2g
m1g
a1 = a2= a
T1 = T2 =T
绳子不可伸长
m1 g –T = m1a T –m2 g = m2a
2m1m2 T g m1 m2
Tp = T1 + T2
4m1m2 Tp g m1 m2
例：光滑地面上放置一质量为 M 的楔块，楔块的底角为q，斜 边光滑。楔块的斜边上放置一木块，其质量为 m，求：木块沿 斜面下滑时对地和对楔块的加速度。 N y 解： 对m x: N sin q max m q a0 q N cos q mg may y: mg ’
(二) 匀角速转动参照系中的惯性离心力 从地面参照系（惯性参照系）观察一转动系统：
2 F m r 方向指向圆心
从水平转台（非惯性参照系）上观察：
a' 0
F 0
牛二在非惯性系不成立
2 Fi m r 指向离心的方向
同前面引入惯性离心力:
r F
N
Fi
a
q
N sin q M a0
O
M
a a a0 a x a cosq a0
a y a sinq
N
x
N’ a0 a
q b
a’ a0
Mg
N sinq ma cosq ma 0
N cosq mg ma sinq
N sin q M a0
F ma
牛顿第二定律的更准确表示:
dp d ( mv ) F dt dt
这种表示无论是高速( m可变)还是低速运动都正确. 低速时质量不变
d mv dv F m ma dt dt
同时受几个外力作用
Fi ma
矢量性 自然坐标系
与平方反比定律一致。
1.2.3 牛顿定律的应用
解题步骤 1.认物体(确定研究对象)； 一般采用隔离体法. 即把系统中的几个物体分别研究。 如果在运动过程中几个物体之间没有相对运动, 根据 问题的需要也可把这几个物体作为一个整体处理. 这时要注意区分内力与外力 2. 分析力 无相对运动 找出研究对象所受的全部外力,画出示力图 3. 看运动 分析研究对象的运动状况,并确定各研究对象运动 状况之间的联系(约束条件).
例. 质量为M,倾角为 的斜面放在光滑的水平桌面 上,斜面光滑,长为l , 斜面顶端放一个质量为m的物 体,开始时斜面和物体都静止不动,求物体从斜面顶 端滑到斜面底端所需时间. 解：以斜面为参考系(非惯性系） N maM
物 体 相 对 于 斜 面 有 沿 aM 斜面方向的加速度 a '
当m 滑下时，M 加速度方向如图 mg
例.一根不可伸长的轻绳跨过固定在O点的水平光滑细 杆，两端各系一个小球。a球放在地面上，b球被拉到水 平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将b球自静止释放。 设两球质量相同。 求：(1) b球下摆到与竖直线成 q 角时的 v； (2) q ? a 球刚好离开地面。
解： (1)分析b运动 O a
lb
1. 定义了惯性参考系
惯性系---在该参照系中观察,一个不受力作用的物 体将保持静止或匀速直线运动状态不变.
2. 定义了物体的惯性和力 惯性---物体本身要保持运动状态不变的性质.
力---迫使一个物体运动状态改变的一种作用.
二. 牛顿第二定律 在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与物 体所受的合外力的矢量和的大小成正比，并与物体的 质量成反比，加速度方向与它外力矢量和的方向相同
F ma ma0 F ma 0 ma
F F0 ma
由质点 m 在S系
N
a0 S’ mg S
在非惯性系引入虚拟力---惯性力 在非惯性系S 中,牛顿 第二定律形式上成立
此结论可推广到非平动的非惯性系，如转动参考系。 注意：惯性力不是物体间的相互作用力，没有施力物 体，因而也就没有反作用力。惯性力的方向沿 a0 大小等于物体的质量m乘以参照系的加速度 a0
fk1
N1 v 1 N2
(1) 滑动摩擦力 f k k N
(2) 静摩擦力
f s max s N
F fs
v2
F fk 2
五 基本的自然力
四种基本相互作用：
1. 引力相互作用 2. 电磁相互作用 3. 强相互作用 4. 弱相互作用
例：一均匀细棒AB长为L，质量为M。在距A端 d 处有一个质 量为 m 的质点 P，如图所示，求：细棒与质点 P 间的引力。 解：设细棒的线密度为l，对质量均匀分布的细棒
m sin 2q a0 g 2 2( M m sin q )
( M m ) sin2 q M sin 2q g ax g ay 2 2 M m sin q 2( M m sin q )
a
( M m ) sin2 q M sin 2q gi gj 2 2 2( M m sin q ) ( M m sin q )
_
a 对非惯
N
丙
A
a 非对惯
大地
F 0 a0
mg
在非惯性系中牛顿定律不再成立.
可见在惯性系中与在非惯性系中观测同一物体运动, 其结论却不相同.
三 惯性力 （Inertial force)
(一)平动参照系中的惯性力
设: S 系为惯性系， S ′系为非惯性系， S ′相对于 S 加速度 a0