函数图像知识点梳理
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结基本初等函数的图像：一次函数：图像是直线，根据斜率k的正负，函数可能单调递增或递减。
二次函数：图像是抛物线，其开口方向由a决定，与x轴的交点由判别式b^2-4ac决定，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数：图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
指数函数：当底数不同时，其图像会有所变换。
对数函数：底数不同时，图像也会发生变换。
对勾函数：对于函数y=x+k/x，当k>0时，是对勾函数，可以通过均值定理找到其最值。
函数图像的基本性质：定义域和值域：函数的定义域是指函数所能接收的自变量的集合，值域是指函数所能取到的因变量的集合。
函数图像应当包含在定义域和值域的笛卡尔积上。
单调性：如果函数在定义域内递增，那么函数图像应当从左向右逐渐上升；如果函数在定义域内递减，那么函数图像应当从左向右逐渐下降。
奇偶性：如果函数是偶函数，那么函数图像在原点处具有对称性；如果函数是奇函数，那么函数图像在原点处具有中心对称性。
周期性：如果函数具有周期性，那么函数图像在一段区间内会重复出现，并且重复的间隔是固定的。
极值：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值，对应的自变量称为函数的极大值和极小值。
函数图像在极值处存在驻点，即切线斜率为零。
函数图像在数学中的应用：函数图像可以直观地表示函数的性质与特征，例如单调性、极值点、零点等。
通过观察函数图像，我们可以更好地理解函数的表现特征和性质。
函数图像不仅在数学中有应用，还涉及其他相关领域，如经济学、生物学、人文社科等。
函数图像可以帮助解释实验现象，描述物理现象的变化规律，并帮助人们理解和解释实验结果。
这些知识点对于理解和分析函数图像非常重要，通过熟练掌握和应用这些知识点，可以更好地理解函数的性质，解决实际问题。
函数图像画法知识点总结
函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法，通过画出函数图像，可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中，函数图像的绘制是非常重要的一部分，它帮助学生理解函数的变化规律，并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结，包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一，其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时，函数图像呈现为向上倾斜的直线；当a小于0时，函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单，只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b，然后再找到直线的斜率a，通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数，其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴，开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数，其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴，开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=0，1，4，9等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法，通过这些例子可以看出，绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像，然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
八年级函数图像知识点总结
八年级函数图像知识点总结函数图像是中学数学中的重要部分，它贯穿了数学的各个领域。
在八年级数学中，我们学习了函数图像的一些基础知识，如函数的性质，图像的变化及其与函数性质的关系等。
在本文中，我们将对自己所学知识进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握函数图像的知识。
一、函数图像的性质函数图像有许多与函数性质相关的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
（1）奇偶性当函数满足f(x)=f(-x)时，函数称为偶函数，其图像关于y轴对称；当函数满足f(x)=-f(-x)时，函数称为奇函数，其图像关于原点对称。
例如，f(x)=x^2是偶函数，其图像关于y轴对称；f(x)=x^3是奇函数，其图像关于原点对称。
（2）单调性如果对于函数f(x)，当x1<x2, f(x1)<f(x2)时，称函数f(x)是单调递增的；当x1<x2, f(x1)>f(x2)时，称函数f(x)是单调递减的。
例如，f(x)=x^2是单调递增的，f(x)=-x^2是单调递减的。
（3）周期性如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得f(x+T)=f(x)，称函数f(x)是周期函数，T称为函数f(x)的周期。
例如，f(x)=sinx是以2π为周期的周期函数。
二、函数图像的基本类型在八年级数学中，我们学习了三种基本的函数图像：常数函数、一次函数和二次函数。
（1）常数函数常数函数的函数表达式为f(x)=b（b为常数），函数的图像是一条平行于x轴的直线，可以表示为y=b。
例如，f(x)=3是一条平行于x轴且经过y=3的直线。
（2）一次函数一次函数的函数表达式为f(x)=kx+b（k、b为常数），函数的图像是一条斜率为k、经过y轴的截距为b的直线。
例如，f(x)=2x+1是一条斜率为2，经过y=1的直线。
（3）二次函数二次函数的函数表达式为f(x)=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a不等于0），二次函数的图像是一条对称于x轴的开口向上或开口向下的抛物线。
函数图像高考知识点总结
函数图像高考知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，函数的概念在高中数学中有着很重要的地位。
函数的概念是传递和扩展我们数学知识，从而推广了我们对数学问题的认识，为我们更好地探求数学规律打下了坚实的基础。
函数的概念最早来源于19世纪的数学家勒贝格的研究成果，函数的概念对于我们学习数学中的其他知识将会起到很大的帮助。
下面来详细介绍一下函数的概念。
1、函数的定义函数是一种特殊的关系，他只有一个自变量，并且每个自变量都对应唯一一个因变量。
函数符号y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。
函数的符号表示是：y=f(x)或y=y(x)，这里y表示因变量，x表示自变量，f表示函数名称，称为函数符号。
在函数y=f(x)中，x的取值范围称为定义域，y的所有可能取值构成的s称为值域，定义域与值域构成一个对应关系称为函数的定义域和值域。
定义域和值域的关系对函数的研究非常重要，这是我们学习函数的一个关键点。
只有知道了函数的定义域和值域，我们才能更好的对函数进行研究。
2、函数的图像函数的图像是指函数的自变量和因变量之间的关系所表现出来的几何图形。
函数的图像是我们理解函数的重要手段之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。
函数的图像在我们学习函数的时候起重要的作用，通过函数图像我们可以更好的理解函数的性质。
二、函数图像的性质函数图像有很多重要的性质，这些性质对于我们理解函数图像具有非常重要的作用。
下面我们来详细介绍一下函数图像的性质。
1、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。
通过函数的奇偶性，我们可以更好的理解函数的性质。
2、函数的周期性函数的周期性是指函数的图像在一定范围内具有重复的规律性。
如果函数的图像在一个固定的范围内有重复的特点，那么这个函数就具有周期性。
初中知识点归纳——函数图像篇
初中知识点归纳——函数图像篇函数图像是初中数学中的重要内容之一。
通过函数图像的形状、特点以及变化规律，可以深入理解函数的性质和作用。
本文将从函数图像的基本形状与分类、常见函数图像的特点及其变化规律等方面进行归纳与总结。
一、函数图像的基本形状与分类函数图像的形状可以分为线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等几种常见类型。
1. 线性函数图像线性函数的特点是图像为一条直线。
直线的斜率表示了函数的增减趋势，当斜率为正时，函数图像呈上升趋势；当斜率为负时，函数图像呈下降趋势；斜率为0时，函数图像为水平直线。
2. 二次函数图像二次函数的图像通常为抛物线形状。
抛物线的开口方向由二次项的系数决定，当二次项的系数为正时，抛物线开口向上；当二次项的系数为负时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还受到常数项的影响，常数项决定了抛物线的位置。
3. 指数函数图像指数函数的图像为指数曲线，呈现上升或下降的趋势。
指数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。
当底数大于1时，指数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，指数曲线呈现下降趋势。
4. 对数函数图像对数函数的图像为对数曲线，也呈现上升或下降的趋势。
对数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。
当底数大于1时，对数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，对数曲线呈现下降趋势。
二、常见函数图像的特点与变化规律1. 线性函数的特点与变化规律线性函数的图像为一条直线，具有以下特点和变化规律：（1）斜率决定了线性函数图像的倾斜程度和方向，斜率越大图像越陡峭，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。
（2）截距决定了线性函数图像与纵轴的交点位置，截距为正表示交点在纵轴上方，截距为负表示交点在纵轴下方。
2. 二次函数的特点与变化规律二次函数的图像为抛物线，具有以下特点和变化规律：（1）开口方向由二次项的系数决定，正系数表示抛物线开口向上，负系数表示抛物线开口向下。
（2）顶点是抛物线的最高点或最低点，在坐标系中的横坐标为顶点的x坐标，纵坐标为顶点的y坐标。
函数图像九年级知识点归纳
函数图像九年级知识点归纳函数图像是中学数学中的一个重要知识点，它描述了函数在平面直角坐标系中的图像特征。
下面将对九年级学生需要了解的函数图像知识点进行归纳介绍。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，通常用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。
函数图像是描述函数关系的可视化工具，通过绘制自变量和因变量的对应关系，可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
二、常见函数的图像1. 线性函数图像线性函数的图像是一条直线，表现为一次函数的关系。
例如，y=2x+1是一条斜率为2，截距为1的直线。
2. 平方函数图像平方函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
例如，y=x^2的图像是一条开口向上的抛物线。
3. 开方函数图像开方函数的图像是一条曲线，具有非线性关系。
例如，y=sqrt(x)的图像是一条单侧的开口向右的曲线。
4. 绝对值函数图像绝对值函数的图像通常是一条V型的曲线。
例如，y=|x|的图像是一条关于y轴对称的曲线。
5. 正弦函数和余弦函数图像正弦函数和余弦函数的图像是一条连续的波浪线。
它们的波峰和波谷交替出现，呈周期性变化。
三、函数图像的特征通过观察函数图像，我们可以得到一些关于函数特征的信息。
1. 函数的取值范围函数图像的上下界限可以帮助我们确定函数的取值范围。
例如，对于一个开口向上的抛物线，它的最低点即为函数的最小值。
2. 函数的单调性函数图像的斜率变化可以帮助我们确定函数的单调性。
如果函数图像在某个区间上递增，那么函数在该区间上是递增的；如果函数图像在某个区间上递减，那么函数在该区间上是递减的。
3. 函数的对称性函数图像的对称性可以帮助我们确定函数的对称轴和对称中心。
例如，对于绝对值函数的图像，它关于y轴对称。
四、利用函数图像解题函数图像在解题过程中起着重要的作用。
1. 判断函数解的个数和范围通过观察函数图像的交点、最值点等信息，可以判断函数解的个数和范围。
例如，求解二次方程y=x^2+2x+1=0，可以通过观察函数y=x^2+2x+1的图像，判断是否有实数解。
高中数学函数图像知识点全面解析
高中数学函数图像知识点全面解析一、函数图像的定义与重要性函数图像是函数关系的直观表示，它通过图形的形式展现了函数中自变量与因变量之间的对应关系。
理解函数图像对于解决数学问题、分析函数性质以及建立数学模型具有至关重要的意义。
二、常见函数类型及其图像特征11 一次函数111 表达式：y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）112 图像特征：是一条直线，当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当k ＜ 0 时，直线从左到右下降。
113 特殊情况：当 b ＝ 0 时，函数为正比例函数 y ＝ kx，图像经过原点。
12 二次函数121 表达式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）122 图像特征：一般为抛物线，对称轴为 x ＝ b ／（2a) 。
123 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。
13 反比例函数131 表达式：y ＝ k ／ x（k 为常数，k ≠ 0）132 图像特征：是以原点为对称中心的两条曲线，当 k ＞ 0 时，图像在一、三象限；当 k ＜ 0 时，图像在二、四象限。
14 指数函数141 表达式：y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）142 图像特征：当 a ＞ 1 时，函数单调递增，图像过点(0, 1) 且在 x轴上方；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
15 对数函数151 表达式：y ＝logₐ x（a ＞ 0 且a ≠ 1）152 图像特征：与指数函数互为反函数，过点(1, 0) ，当 a ＞ 1 时，在(0, ＋∞）上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，单调递减。
三、函数图像的变换21 平移变换211 水平平移：向左平移 h 个单位，函数表达式变为 y ＝ f(x ＋ h)；向右平移 h 个单位，表达式变为 y ＝ f(x h) 。
212 垂直平移：向上平移 k 个单位，函数表达式变为 y ＝ f(x) ＋ k；向下平移 k 个单位，表达式变为 y ＝ f(x) k 。
高中所有函数图像及其性质知识点
高中函数的全部总结一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
高一数学函数图像知识点总结
高一数学函数图像知识点总结一、函数图像知识点汇总1．函数图象的变换1平移变换①水平平移：y＝fx±aa＞0的图象,可由y＝fx的图象向左＋或向右－平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝fx±bb＞0的图象,可由y＝fx的图象向上＋或向下－平移b个单位而得到．2对称变换①y＝f－x与y＝fx的图象关于y轴对称．②y＝－fx与y＝fx的图象关于x轴对称．③y＝－f－x与y＝fx的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝fx的图象得到y＝|fx|与y＝f|x|的图象．①作出y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作出y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．3伸缩变换①y＝afxa＞0的图象,可将y＝fx图象上每点的纵坐标伸a＞1时或缩a＜1时到原来的a倍,横坐标不变．②y＝faxa＞0的图象,可将y＝fx的图象上每点的横坐标伸a＜1时或缩a＞1时到原来的倍,纵坐标不变．4翻折变换①作为y＝fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y＝|fx|的图象；②作为y＝fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y＝f|x|的图象．2．等价变换可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：1写出函数解析式的等价组；2化简等价组；3作图．3．描点法作图方法步骤：1确定函数的定义域；2化简函数的解析式；3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势；4描点连线,画出函数的图象．注意：一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置．两个区别1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称．2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系．三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．1图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．2函数解析式的等价变换．3研究函数的性质．二、例题解析三、复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻。
函数图像及知识点总结
函数图像及知识点总结本文将首先介绍函数的概念，接着讨论函数图像的基本特征和性质，然后给出一些常见的函数图像和它们的性质分析，最后总结本文的内容。
一、函数的概念在代数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
具体地说，一个函数 f 是一个规则，它将集合 A 中的每个元素 x 映射到集合 B 中的一个元素f(x) 上。
其中，集合 A 被称为函数的定义域，集合 B 被称为函数的值域。
如果对于定义域A 中的每个元素 x，都有一个唯一的值 f(x) 与之对应，那么函数 f 是一一对应的，否则称为多对一的。
函数可以用多种方式来表示，比如用代数式、图表、表格或者用文字描述。
在本文中，我们将主要讨论函数图像的性质和特点。
二、函数图像的基本特征和性质在直角坐标系中，函数 f 的图像是它的定义域的点在坐标系中的表示，即点 (x, f(x))。
函数图像的基本特征和性质可以通过其图像的形状和位置来描述。
1. 函数的增减性和极值对于函数 f，如果在定义域的某个区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是增加的；如果在该区间上，当 x1 < x2 时有 f(x1) > f(x2)，那么称函数 f 在该区间上是减少的。
极值是函数图像中的最高点或最低点，它们可以通过导数或者图像来求得。
2. 函数的奇偶性如果对于函数 f 的所有 x 都有 f(-x) = f(x)，那么称函数 f 是偶函数；如果对于函数 f 的所有x 都有 f(-x) = -f(x)，那么称函数 f 是奇函数。
3. 函数的周期性如果存在一个正数 T，使得对于函数 f 的所有 x 都有 f(x+T) = f(x)，那么称函数 f 是周期函数，其中 T 被称为函数 f 的周期。
4. 函数的对称性如果函数图像关于某个点对称，那么称函数具有对称性。
常见的对称性有关于 x 轴、y 轴和原点的对称性。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的画法知识点总结
函数图像的画法知识点总结函数图像的画法是高中数学中的重要内容，也是数学建模和分析问题中不可或缺的一部分。
函数图像的画法知识点包括了如何确定函数图像的范围、如何确定函数图像的对称性、如何确定函数图像的拐点和极值点、如何确定函数图像的渐近线等等。
下面我们将对这些知识点进行详细总结。
一、确定函数图像的范围1. 确定函数的定义域和值域在绘制函数图像之前，首先需要确定函数的定义域和值域。
定义域指的是函数能够取得的输入值的范围，而值域则是函数能够取得的输出值的范围。
确定函数的定义域和值域能够帮助我们确定函数图像的范围，避免在绘制图像时出现遗漏的情况。
2. 确定函数的增减性和奇偶性通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的增减性和奇偶性。
函数的增减性可以帮助我们确定函数的上升区间和下降区间，从而确定函数图像的近似范围；而函数的奇偶性可以帮助我们确定函数图像的对称性，从而进一步确定函数图像的范围。
二、确定函数图像的对称性1. 确定函数的奇偶性函数的奇偶性可以通过对函数的表达式进行分析来确定。
如果函数的表达式中只包含偶次幂的项，则函数是偶函数；如果函数的表达式中只包含奇次幂的项，则函数是奇函数；如果函数的表达式中包含奇次幂和偶次幂的项，则函数则是既非奇函数又非偶函数。
2. 利用坐标轴进行对称变换对于不具有明显奇偶性的函数，可以通过对称变换来确定函数图像的对称性。
例如，可以利用y轴进行对称变换来确定函数的奇偶性，通过利用x轴进行对称变换来确定函数的周期性。
这些对称变换可以帮助我们更准确地绘制函数图像。
三、确定函数图像的拐点和极值点1. 确定函数的导数和导数的性质通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的拐点和极值点。
函数的导数表示了函数的斜率，通过对导数的性质进行分析，可以确定函数的拐点和极值点的位置。
拐点和极值点是函数图像的重要特征点，确定它们的位置能够帮助我们更准确地绘制函数图像。
2. 利用二阶导数进行分析如果函数的导数存在零点，可以通过对导数的二阶导数进行分析，确定这些零点对应的是函数的极大值点还是极小值点。
初中数学函数图像知识点汇总
初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念，而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。
在初中数学中，学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。
下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。
1. 基本函数图像：(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线，横坐标不变，纵坐标为常数a。
(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线，纵截距为b。
(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线，对称轴是y轴。
(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。
2. 函数的变换：(1) 平移：将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。
当函数图像向右平移h单位时，函数表示形式为f(x-h)；当函数图像向上平移k单位时，函数表示形式为f(x)+k。
(2) 翻折：将函数图像沿x轴或y轴翻转。
当函数图像关于x轴对称时，函数表示形式为-f(x)；当函数图像关于y轴对称时，函数表示形式为f(-x)。
(3) 压缩与拉伸：将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。
当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍，纵轴方向拉伸为原来的a倍时，函数表示形式为f(ax)；当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍，纵轴方向压缩为原来的1/a倍时，函数表示形式为f(x/a)。
3. 常见函数图像特征：(1) 斜率：一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。
斜率越大，函数图像越陡峭。
(2) 零点：函数图像与x轴相交的点称为零点。
零点对应于函数的解，即f(x)=0。
(3) 最值：函数图像的最高点称为最大值，最低点称为最小值。
(4) 对称中心：若函数图像关于某一点对称，则该点为对称中心。
常见对称中心有原点和y轴。
(5) 单调性：函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。
4. 常用函数图像的特点：(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴，斜率为0，没有零点，单调性为常数。
高中函数图像知识点总结
一、函数图像的基本概念1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它把所有属于定义域的元素映射到值域中唯一确定的元素上。
函数的符号表示为 y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f 表示函数名。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的几何表示，通常用曲线、直线或点的方式表示。
3. 自变量与因变量在函数中，自变量是独立的变量，通常表示为 x；因变量是依赖于自变量的变量，通常表示为 y。
4. 坐标系坐标系是用来表示函数图像的平面，它通常由横轴和纵轴组成。
横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系被分成四个象限，分别用来表示不同的正负值。
二、函数图像的特性1. 函数的奇偶性若对任意x∊D，都有 f(-x)=f(x)，则称函数 f(x) 是偶函数；若对任意x∊D，都有 f(-x)=-f(x)，则称函数 f(x) 是奇函数。
2. 函数的周期性若存在常数 T>0，使得对任意x∊D，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f(x) 是周期函数，T 称为函数的周期，最小的正周期称为函数的基本周期。
3. 函数的增减性若对任意x1,x2∊D，若 x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数在区间 D 上是增函数；若对任意x1,x2∊D，若 x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数在区间 D 上是减函数。
4. 函数的最值和极值函数在定义域 D 上的最大值和最小值称为函数的最值；函数在定义域 D 上的极大值和极小值称为函数的极值。
1. 一次函数 y = kx + b一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 表示直线的倾斜程度，截距 b 表示直线与 y 轴的交点。
2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由 a 的正负确定，开口向上时为正，开口向下时为负，顶点坐标为 (-b/2a, c-b^2/4a)。
3. 指数函数 y = a^x指数函数的图像是以底数 a (a>1) 为底，自变量 x 为指数的幂函数。
高一数学必修一 - 函数图像知识点总结
高一数学必修一 - 函数图像知识点总结函数图像是数学中的重要概念，它能帮助我们更直观地理解数学函数的特点和行为。
以下是高一数学必修一中与函数图像相关的知识点总结。
1. 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数通常用符号表示为“y = f(x)”，其中x是自变量，y是因变量。
函数图像是函数在平面直角坐标系上的图形表示。
2. 函数图像的基本性质函数图像的基本性质包括定义域、值域、奇偶性和周期性。
- 定义域：函数的自变量取值范围。
- 值域：函数的因变量取值范围。
- 奇偶性：函数关于y轴对称或关于原点对称。
- 周期性：函数图像在横轴方向上的重复性。
3. 常见函数图像高一数学必修一中常见的函数图像有直线、二次函数、指数函数和对数函数。
- 直线：线性函数图像为一条直线，表达式一般为“y = kx + b”，其中k为斜率，b为截距。
- 二次函数：二次函数图像为抛物线，表达式一般为“y = ax^2+ bx + c”，其中a、b、c为常数。
- 指数函数：指数函数图像是以底数大于1的指数为自变量的函数图像。
- 对数函数：对数函数图像是指数函数的反函数，用于解指数方程和指数不等式。
4. 函数图像的变换函数图像可以通过平移、伸缩和翻转等变换得到新的函数图像。
- 平移：将函数图像沿着横轴或纵轴平行地移动。
- 伸缩：将函数图像在横轴或纵轴上进行拉伸或压缩。
- 翻转：将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转。
5. 函数图像的应用函数图像在实际应用中有广泛的应用，例如经济学中的需求曲线、物理学中的运动曲线等。
以上是高一数学必修一中与函数图像相关的知识点总结。
希望这份总结能够帮助你更好地理解和应用函数图像。
函数图像知识点归纳梳理
函数的图像【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ；④描点连线，画出函数的图象。
2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．二、函数图像的变化1、平移变换： ( 1)水平平移：函数y f(x a)的图像可以把函数y f (x) 的图像沿x轴方向向左(a 0)或向右(a 0)平移| a |个单位即可得到；( 2)竖直平移：函数y f (x) a的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向上(a 0) 或向下(a 0)平移|a| 个单位即可得到．左移 h 右移 h① y f(x)y f(x h)；② y f(x) y f(x h)；上移 h 下移 hy f(x)y f(x) h；④ y f(x) y f(x) h.③2、对称变换： (1)函数y f ( x)的图像可以将函数y f (x)的图像关于y轴对称即可得到；(2)函数y f (x) 的图像可以将函数y f (x) 的图像关于x轴对称即可得到；(3)函数y f ( x)的图像可以将函数y f (x)的图像关于原点对称即可得到；1(4)函数y f 1( x)的图像可以将函数y f(x) 的图像关于直线y x对称得到．x轴y 轴直线 x a 原点y f(x) y f(x)；② y f(x) y f( x)；③ y f(x) y f(2a x)；④y f(x) y f( x).①ab提示：(i)若f(a x) f(b x),x R 恒成立，则y f (x)的图象关于x a b成轴对称图形，2ab若f(a x) f(b x),x R，则y f (x)的图象关于点( ,0) 成中心对称图形．21(ii ) 函数y f(a x) 与函数y f (b x)的图象关于直线x (b a)对称 .23、翻折变换：( 1)函数y | f (x) |的图像可以将函数y f(x)的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y f (x) 的x 轴上方部分即可得到；(2)函数 y f (| x |)的图像可以将函数 y f ( x)的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y f(x)在 y 轴右边部分即可得到．yy=f(x)y a oyy=|f(x)|yy=f(|x|)aob cxa ob c x bc xa obc x4、伸缩变(1)函数 y af(x) (a 0)的图像可以将函数 y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐(a 1) 或压缩( 0 a 1)为原来的 a 倍得到；(2)函数 y f (ax) (a 0)的图像可以将函数 y f (x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a 1)或压缩1( 0 a 1 )为原来的 倍得到．axx y①y f(x)y f ( ) ; ② y f (x) y f (x) .【经典例题】【例 1】函数 y f(x)与 y g(x)的图像如下图：则函数 y f (x) g ( x)的图像可能是( A )yy=f(x)o例 2】说明由函数 y 2xyox的图像经过怎样的图像变换得到函数y 2 x 31的图像． y=g(x)C . B .A . D .y 2x 3的图像；解析】：( 1)将函数y 2x的图像向右平移 3个单位，得到函数2)作出函数y 2x 3的图像关于y轴对称的图像，得到函数y 2 x 3的图像；3）把函数y 2 x 3的图像向上平移 1个单位，得到函数y 2 x 3 1的图像．1例 3】（ 1）试作出函数y x 的图像；x（2）对每一个实数x ，三个数x,x,1 x2中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？【例 4】已知函数f （x） |x2 4x 3|（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）若关于x的方程f （x） a x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（）a23、已知函数y 与y ax2 bx, 则下列图象正确的是（）xy1y=ax+1 y1-1 o 1x y=loga xoA. B. C.y=a xy=a x1yy y=ax+11xy=ax+1 o xD.2 y axbx 与指数函数y （b）x的图象只可能是（a2、在下列图象中，二次函数y= ax+1y=ax+14、函数y |1 x2| 的图象是（3x 15、函数y 3x x21的图象（）A. 关于点( 2,3) 对称B. 关于点(2, 3) 对称C. 关于直线x 2对称D. 关于直线y 3对称6、设函数y f (x)定义在实数集上，则函数y f(x 1)与y f(1 x)的图象关于( )对称A. 直线x 0B. 直线x 1C. 点(0,0)D. 点(1,0)7、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是( )1 |x|23A．y |log2 x| B. y 2 C. y log 0.5 x D. y |x 3 |9、下列命题中：①函数y f (x)的图象与x f ( y)的图象关于直线y x对称；②若f(x) f ( x),则f (x) 的图象关于原点对称；③若f (x) f( x),则f (x)的图象关于y轴对称；④ y f(x)的图象与y f(x)的图象关于y 轴对称，其中真命题是( )A、②③ B 、②③④ C 、①②③ D 、全都是10、若函数y log2 |ax 1|图象的对称轴是x 2, 则非零实数a的值为.11、函数y f (| x m |)的图象与y f(| x |)的图象关于直线对称.212、方程|x2 2x 3| a(x 2) 有四个实数根，求实数a的取值范围 .课后作业】8、已知函数y f (x) 的图象如图，则y f(1 x) 的图象是(y1-1 o 1 x-1 oB y1-2 -1 o xy1-1 o111、函数y ln 1的图象为 (|2x 3|y log 2 x 的图象重合的函数是 (D y2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数5、已知下图①的图象对应的函数为 y f (x), 则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是8、若对任意 x R,不等式 |x|≥ ax 恒成立，则实数 a 的 取值范围是 ( )A ． a <－1B ．|a|≤1C ．|a|<1D ．a ≥1 9、f ( x)定义域为 R ，对任意 x R,满足 f (x) f (4 x)且当 x 2, 时， f (x) 为减函数，则 ( )A ． f(0)< f(1)< f(5)B ． f (1)< f(5)< f(0)C ． f(5)< f(0)< f(1)D ． f (5)<f(1)< f(0) 1|1 x|10、若函数 y ( )|1 x|m 的图像与 x 轴有公共点，则 m 2的取值范围是 _____ ．11、若直线 y x m 曲线 y 1 x 2有两个不同的交 点，则 m 的取值范围是 ．． y f( |x |) D ．y f(| x|)A ． y f (| x|)B ． y | f (x)|C A ． y2xB ． y log 1 x C24xy 2 3、若函数 f (x) 在 (4, )上为减函数，且对任意的1D ． y log 2 1 x [a,b], 函数 y f (x)的图象如下图所示，则函数 f(| x |)的图象大致是 ( )A ． f(2) > f(3)B ． f(2) > f(5)C ． f (3)> f (5)D ． f(3)> f(6) 4、(2009 安徽)设 a <b,函数 y (x a)2(x b )的图象可12、设函数f ( x), g ( x)的定义域分别为F,G,且F,G .若对x F,都有g(x) f ( x),则称g(x)为f(x)在G上1x的一个“延拓函数” ．已知函数f(x) ( )x(x≤0),若g(x) 为f(x) 在R上的一个延拓函数，且g( x)是偶函数，2则函数g(x) 的解析式为___ ．【参考答案】【课堂练习】1、 D 2 、 A 3 、 C 4 、 C 5 、 A 6 、D 7 、 C 8 、 C 9 、 C10．1/2 11. x=m/2 12.x 2+(2+a)x 2a 3=0, 由Δ=0以及 (2+a)/2<1 可得 a= 6+2 5,6+2 5 <a<0 ∴ 【课下作业】1、A 2 、C 3 、D 4 、C 5 、C 6 、C 7 、B 8 、B 9 、C10、－ 1≤ m<011、 1≤m< 212、g(x)＝2|x|。
函数图像对称知识点总结
函数图像对称知识点总结一、关于x轴对称1. 函数图像关于x轴对称的条件：若对于函数y=f(x)，对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数图像关于x轴对称。
2. 关于x轴对称的函数图像特点：（1）对称轴：x轴（2）当函数关于x轴对称时，若知道函数在对称轴上的图像，就知道了整个图像。
（3）在x轴对称的函数中，如果点(x,y)在曲线上，那么点(-x,-y)也在曲线上。
示例：y=x^2，关于x轴对称。
二、关于y轴对称1. 函数图像关于y轴对称的条件：若对于函数y=f(x)，对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数图像关于y轴对称。
2. 关于y轴对称的函数图像特点：（1）对称轴：y轴（2）当函数关于y轴对称时，若知道函数在对称轴上的图像，就知道了整个图像。
（3）在y轴对称的函数中，如果点(x,y)在曲线上，那么点(-x,y)也在曲线上。
示例：y=x^3，关于y轴对称。
三、关于原点对称1. 函数图像关于原点对称的条件：若对于函数y=f(x)，对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则函数图像关于原点对称。
2. 关于原点对称的函数图像特点：（1）对称中心：原点O（2）当函数关于原点对称时，若知道函数在对称中心（原点）上的图像，就知道了整个图像。
（3）在原点对称的函数中，如果点(x,y)在曲线上，那么点(-x,-y)也在曲线上。
示例：y=sin(x)，关于原点对称。
四、利用函数关于轴或点对称的特点求函数图像1. 利用对称性质可方便地求出函数图像上的对应图像点。
例如，已知函数图像上有点A(x,y)，则它在对称轴上的对应点一定也在函数图像上。
2. 利用对称性质可以方便地求出函数图像的对称中心或对称轴。
例如，对于函数y=f(x)，如果对称于x轴，则对称轴为x轴；如果对称于y轴，则对称轴为y轴。
3. 利用对称性质可以方便地求出函数的奇偶性。
若函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数；若函数关于y轴对称，则为偶函数。
五、函数图像对称应用举例1. 已知函数y=f(x)关于y轴对称，求f(x)的解析式。
高一数学必修一函数图像知识点总结
高一数学必修一函数图像知识点总结函数图像是高中数学中的重要内容之一，它是数学与实际问题相结合的桥梁。
在高一数学必修一中，我们学习了函数图像的基本概念、性质和绘制方法。
下面将对这些知识点进行总结。
一、函数图像的基本概念函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数图像是函数在坐标系中的表示，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
函数图像可以用来描述实际问题中的变化规律，比如温度随时间的变化、销售额随月份的变化等。
二、函数图像的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
通过观察函数图像可以确定函数的定义域和值域。
2. 奇偶性：如果函数满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果函数满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
通过观察函数图像可以确定函数的奇偶性。
3. 单调性：如果函数在定义域上递增，那么称该函数为递增函数；如果函数在定义域上递减，那么称该函数为递减函数。
通过观察函数图像可以确定函数的单调性。
4. 最值和极值：函数的最大值和最小值称为最值，函数的极大值和极小值称为极值。
通过观察函数图像可以确定函数的最值和极值。
三、函数图像的绘制方法1. 函数关系式法：如果已知函数的关系式，可以根据关系式中的变量值来绘制函数图像。
比如，已知函数$y = 2x + 1$，可以取不同的$x$值计算对应的$y$值，然后将这些点连成一条直线。
2. 函数性质法：如果已知函数的性质，可以根据性质来绘制函数图像。
比如，已知函数是偶函数，且在定义域上递增，可以根据这些性质来确定函数的图像形状。
3. 函数变换法：通过对已知函数进行平移、伸缩、翻转等变换，可以得到新的函数图像。
比如，对函数$y = x^2$进行平移变换，可以得到函数$y = (x-2)^2$的图像，它在$x$轴上向右平移了2个单位。
四、常见函数图像1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线，可以表示为$y = kx + b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结一、基本概念函数图像是指表示函数在平面直角坐标系中的图形。
对于一元函数 f(x)，其图像可以在平面直角坐标系中用曲线表示。
函数图像的形状和特征可以帮助我们更直观地理解函数的性质和行为。
二、函数图像的绘制1. 确定定义域和值域：在绘制函数图像之前，首先要明确函数的定义域和值域，以便确定图像的范围。
2. 描点法：通常利用描点法来绘制函数图像。
具体来说，选择一些横坐标值，计算对应的纵坐标值，并将这些点在平面直角坐标系上连接起来，就得到了函数的图像。
3. 利用导数：对于一些特定的函数，可以通过求导数的方式来画出函数的图像。
导数可以给出函数的斜率的变化情况，进而可以描绘出函数的图像。
三、函数图像的性质1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；若满足 f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性可以决定函数图像的对称性。
2. 增减性：函数的增减性可以通过导数的正负性来判断，从而可以描绘出函数图像的涨跌趋势。
3. 极值和拐点：函数图像在极值点处可能出现极大值或极小值，拐点处则可能出现函数图像的拐角。
四、常见函数图像1. 一次函数：y = kx + b，其图像为一条直线，具有斜率和截距的特点。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其图像为抛物线，具有顶点和开口方向的特点。
3. 指数函数：y = a^x，其图像为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长的特点。
4. 对数函数：y = log_a(x)，其图像为一条逐渐变缓的曲线，具有对数增长的特点。
五、函数图像的应用1. 函数的性质分析：通过函数图像，可以更加直观地了解函数的奇偶性、增减性、极值点等性质。
2. 优化问题：在数理求解、工程优化等领域，函数图像可以帮助我们找到函数的最大值、最小值等优化问题。
3. 理解函数变化：函数图像可以展示函数曲线的变化趋势，帮助我们更好地理解函数的变化规律。
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（3）如果曲线 C
与 C1
有且仅有一个公共点，证明：
s
t2 4
t
．
【解析】（1）曲线 C1 的方程为 y (x t)3 (x t) s ；
3
（2）证明：在曲线 C 上任意取一点 B1(x1, y1) ，设 B2 (x2 , y2 ) 是 B1 关于点 A 的对称点，则有
x1 x2 2
t, 2
因此，曲线 C 与 C1 关于点 A 对称．
（3）证明：因为曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点，
1、平移变换：（1）水平平移：函数 y f (x a) 的图像可以把函数 y f (x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a 0) 或向
右 (a 0) 平移| a | 个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数 y f (x) a 的图像可以把函数 y f (x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a 0) 或向下 (a 0) 平移 | a | 个单位即可得到．
原点
⑤y=f(x) y= f(x).
a＋b 提示：a.若 f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象关于 x＝ 成轴对称图形，若 f(a＋x)＝－f(b－
2
1
a＋b x)，x∈R，则 y＝f(x)的图象关于点( ，0)成中心对称图形．
2 1
b.函数 y＝f(a＋x)与函数 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝ (b－a)对称. 2
左移h
右移h
① y=f(x) y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(xh);
上移h
下移h
③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)h.
2、对称变换：（1）函数 y f (x) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像关于 y 轴对称即可得到；
（2）函数 y f (x) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像关于 x 轴对称即可得到；
3、翻折变换：（1）函数 y | f (x) | 的图像可以将函数 y f (x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，去
掉原 x 轴下方部分，并保留 y f (x) 的 x 轴上方部分即可得到；
（2）函数 y f (| x |) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y f (x) 在 y 轴右边部分即可得到．
（3）函数 y f (x) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像关于原点对称即可得到；
（4）函数 y f 1(x) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像关于直线 y x 对称得到．
x轴
①y=f(x) y= f(x);
y轴
②y=f(x) y=f(x);
直线xa
直线y x
③y=f(x) y=f(2ax); ④y=f(x) y=f1(x);
yy=f(x)Fra bibliotekyy=|f(x)|
y
y=f(|x|)
ao b c x
ao b cx
ao b cx
4、伸缩变换：（1）函数 y af (x) (a 0) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a 1) 或压缩（ 0 a 1）为原来的 a 倍得到；
（2）函数 y f (ax) (a 0) 的图像可以将函数 y f (x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a 1) 或压缩 （ 0 a 1）为原来的 1 倍得到．
y1 y2 2
s 2
，∴
x1 t x2 , y1 s y2 代入曲线 C 的方程，得 x2 , y2 的方程： s y2 (t x2 )3 (t x2 )
即 y2 (x2 t)3 (x2 t) s 可知点 B2 (x2 , y2 ) 在曲线 C1 上．
反过来，同样证明，在曲线 C1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上．
（3）把函数 y 2x3 的图像向上平移 1 个单位，得到函数 y 2x3 1的图像．
【例 3】设曲线 C 的方程是 y x3 x ，将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、 s (t 0) 个单位长度后得到曲线 C1 ，
（1）写出曲线 C1 的方程；
ts （2）证明曲线 C 与 C1 关于点 A( 2 , 2) 对称；
（2）作出函数 y 2x3 的图像关于 y 轴对称的图像，得到函数 y 2x3 的图像；
（3）把函数 y 2x3 的图像向上平移 1 个单位，得到函数 y 2x3 1的图像．
方法二：（1）作出函数 y 2x 的图像关于 y 轴的对称图像，得到 y 2x 的图像；
（2）把函数 y 2x 的图像向左平移 3 个单位，得到 y 2x3 的图像；
经过坐标原点，故可以排除 C、D。由于当 x 为很小的正数时 f (x) 0 且 g(x) 0 ，故 f (x) g(x) 0 。∴选 A.
【例 2】说明由函数 y 2x 的图像经过怎样的图像变换得到函数 y 2x3 1的图像．
【解析】方法一：（1）将函数 y 2x 的图像向右平移 3 个单位，得到函数 y 2x3 的图像；
a
x
①y=f(x) y=f(
x
);②
y
y=f(x) y=ωf(x).
【经典例题】
【例 1】函数 y f (x) 与 y g(x) 的图像如下图：则函数 y f (x) g(x) 的图像可能是（ ）
y
y=f(x)
o
x
y
y=g(x)
o
x
2
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
A.
B.
C.
D.
【解析】∵函数 y f (x) g(x) 的定义域是函数 y f (x) 与 y g(x) 的定义域的交集 (, 0) (0, ) ，图像不
函数的图像
【考纲说明】
1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。 2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。
【知识梳理】
一、函数的图像 1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解 析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 二、函数图像的变化