主成分分析原理——数学建模竞赛
全国数学建模大赛C题
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：139C01所属学校（请填写完整的全名）：浙江工贸职业技术学院参赛队员(打印并签名)：1.郑济明2.王庆松3.朱松祥指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王积建日期：2012年9月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：脑卒中发病环境因素分析及干预摘要关键词：一、问题重述21世纪人类倡导人与自然和谐发展，环境因素成为影响健康的重要因素。
脑卒中（俗称脑中风）就是与环境因素紧密相关且威胁人类生命的疾病之一。
这种疾病的诱发已经被证实与环境因素有关，其中与气温和湿度存在着密切的关系。
对脑卒中的发病的环境因素进行分析，其目的是为了进行疾病的风险评估，对脑卒中高危人群能够及时采取干预措施，也让尚未得病的健康人，或者亚健康人了解自己得脑卒中风险程度，进行自我保护。
同时，通过数据模型的建立，掌握疾病发病率的规律，对于卫生行政部门和医疗机构合理调配医务力量、改善就诊治疗环境、配置床位和医疗药物等都具有实际的指导意义。
主成分分析在数学建模中的应用
第一讲主成分分析在数学建模中的应用1．学习目的1. 理解主成分分析的基本思想；2会用SA澈件编写相关程序，对相关数据进行主成分分析；3. 会用SAS软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。
2．学习要求1.理解主成分分析的基本原理，掌握主成分分析的基本步骤；2会用SAS软件编写相关程序，对相关数据进行分析处理和假设检验；3. 撰写不少于3000字的小论文；4. 精读一篇优秀论文。
3. 理论基础3. 1 基本思想在实际问题的研究中，往往会涉及众多的变量。
但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。
一般来说，虽然每个变量提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。
因而人们希望对这些变量加以“改造” ，用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。
主成分分析就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。
3.2 基本原理（1）.总体的主成分定义1设X （X i,X2，…,X p）'为P维随机向量，称Z i a；X为X的第i主成分（i=1,2,*X iX i E(X i ) Var(X i )X i(i 1,2,…,p)…P ),如果：(1) a 'a i 1(i1,2,…,p )；(2)当 i>1 时，a ' a j 0(j 1,2,…i-1 );(3) Var(Z i )1,max Var (a X)a a 1,a a j 0( j 1/' i-1 )定理 1.设 X (X 1,X 2,…,X p )'是P 维随机向量，且D(X),的特征值为1 2…p 0,a 1, a 2,■ …，a p 为相应的单位正交特征向量，则 X 的第 i 主成分为Z i a ；x(i 1,2,…,p).p m p定义 2.我们称k /i为主成分Z k 的贡献率；又称k /i 为主成分i 1k 1i 1Z 1,…,Zm (m p)的累计贡献率。
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
2022年数模国赛论文B题-2
2022年数模国赛论文B题-2“互联网+”时代的出租车资源配置摘要关键词：主成分分析法、供求平衡阀法、对比比值法一、问题的重述二、问题分析三、模型的假设与符号说明1、模型假设2、符号说明四、模型建立与求解2.2.1指标体系的建立城市出租车合理运力规模万人拥有量里程利用率空载率居民出行量居民出行量乘客平均等乘客平均车时间等车时间1）万人拥有量:该项指标反映了城市出租车的客观需求。
依据国内外各大城市的经验,城市出租车万人拥有量应介于20-30辆之间,此时能表现出较好的市场接受度。
2）里程利用率:指出租车正常运营过程中一定时间内载客行驶里程占总行驶里程的百分比,其计算公式为:里程利用率=营运载客里程100%总行驶里程3）出租车空载率:是反映出租车营运状况的一个重要指标,其计算公式为:出租车空载率=出租车空车数量100%行驶中的出租车总量4）乘客平均等车时间:指乘客在选择出租车出行的时候等候出租车辆的平均时间,单位为min,其计算公式为:乘客平均等车时间=等车时间总候车次数5）居民出行量：指居民在单位时间内出行人数主成分分析法也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
2、主成分分析法的算法步骤2.1原始指标数据的标准化设有n个样本,p项指标,可得数据矩阵某(某ij)n某p,i1,2,...,n 表示n个样本,j=1,2,...,p表示p个指标,某ij表示第i个样本的第j 项指标值.用Zcore法对数据进行标准化变换:Zij(某ij某j)/Sj式中,某j(某)/niji1nSj(某ij某j)21/(n1)2i1ni1,2,...,nj1,2,...,p2.2求指标数据的相关矩阵R(rjk)p某pj1,2,...,pk1,2,...,prjk为指标j与指标k的相关系数.1nrjk[(某ij某j)/Sj][(某ik某k)2/Sk]n1i11n即rjkZijZjk有rij1，rjkrkjn1i1i1,2,...,nj1,2,...,pk1,2,...,p2.3求相关矩阵R的特征根特征向量,确定主成分由特征方程式Ip,可求得的p个特征根g(g1,2,...,p),1将其按大小顺序排列为12p,它是主成分的方差,它的大小描述了各个主成分在描述对象上所起作用的大小。
主成分分析(数学建模)
主成分分析
每个人都会遇到有很多变量的数据。
比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变 量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量 的数据等等。
这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的 变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找 出它们的少数“代表”来对它们进行描述。
本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、 理 解 和 分 析 的 方 法 ： 主 成 分 分 析 （ principal component analysis ） 和 因 子 分 析 （ factor analysis）。实际上主成分分析可以说是因子 分析的一个特例。在引进主成分分析之前，先 看下面的例子。
• 这里的Initial Eigenvalues就是这里的六个
主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特
征值）。头两个成分特征值累积占了总方 差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越 少。
• 特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出
Scree Plot
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Component Number
现:
1.analyze-description statisticdescription-save standardized as variables
2.analyze-data reduction-factor 3.指定参与分析的变量 4.运行factor 过程
• 对于我们的数据，SPSS输出为
成绩数据（student.sav）
100个学生的数学、物理、化学、语文、历 史、英语的成绩如下表（部分）。
从本例可能提出的问题
目前的问题是，能不能把这个数据的6 个变量用一两个综合变量来表示呢？ 这一两个综合变量包含有多少原来的信 息呢？ 能不能利用找到的综合变量来对学生排 序呢？这一类数据所涉及的问题可以推 广到对企业，对学校进行分析、排序、 判别和分类等问题。
数学建模常识与经验
计算机上的十种武器：
图论算法：这类算法可以分为很多种，包括最短路、网 络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方 法解决，需要认真准备。
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学建模常识与经验
处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点。单击此处添加正文，文字是您思想的 请尽量言简意赅的阐述观点。
基本内容：
一、什么是数学建模
二、相关的数学基础
三、如何组队及合作
四、如何从建模例题中学习解题方法
一、什么是数 学建模
数学建模竞赛：它名曰数学，当然要用到数 01 学知识，但却与以往所说的那种数学竞赛
0
三人之间要能够配合得起来。若三人之间配合不好，会降低效率，导致整个
2
建模的失败。
0
如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的一些知识，编程好的了解建模，
3
搞论文写作也
要了解建模，这样会合作得更好。因为数 学好的在建立模型方案时会考虑到编程的 便利性，以利于编程；编程好的能够很好 地理解模型，论文写作的能够更好、更完 全地阐述模型。否则会出现建立的模型不 利于编程，程序不能完全概括模型，论文 写作时会漏掉一些不经意的东西。
为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型， 而不只是比赛解答数学模型。“模型”是“建模”的结果，而 “建模”是建立模型的过程。竞赛的宗旨更强调的是建立数学 模型这个过程，认为过程比结果更重要。所以，在竞赛中允许 将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文， 参加评卷。虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有 价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处 的论文。这充分体现了竞赛对建模过程的重视。从这点上说， 把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些。
主成分分析原理范文
主成分分析原理范文1.主成分分析的基本思想2.主成分分析的数学模型设有m个样本和n个变量的数据集X，其中每个样本由一个n维向量表示。
我们的目标是将这个n维向量转化为一个k维向量，其中k远远小于n。
假设变换后的向量为Y，有Y=AX，其中A是n×k的矩阵，X是n维向量，Y是k维向量。
3.主成分分析的基本步骤（1）去除均值：对原始数据进行中心化处理，即将每个变量减去其均值，使得数据的均值为0。
（2）计算协方差矩阵：计算去除均值后的数据的协方差矩阵C，其中C的第i行第j列的元素表示第i个变量与第j个变量之间的协方差。
（3）计算特征值和特征向量：对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
（4）排序特征值：将特征值按照从大到小的顺序排序，并选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。
（5）计算主成分：将原始数据X投影到前k个特征向量上，即Y=AX。
（6）重建数据：通过逆变换将Y重建为近似的原始数据X。
4.主成分分析的意义和应用（1）数据降维：主成分分析可以将高维数据降低到较低的维度，从而方便数据的可视化和分析。
（2）特征提取：主成分分析将数据转化为一组新的变量，这些变量具有原始变量的其中一种组合关系，可以提取出数据中的主要特征。
（3）数据压缩：主成分分析可以将原始数据进行压缩，从而减少存储空间和计算时间。
（4）数据预处理：主成分分析可以用于数据预处理，去除数据中的噪声和冗余信息。
总结：主成分分析是一种常见的数据降维方法，通过线性变换将原始数据转化为一组新的变量，使得数据在新的变量上的方差最大化。
它可以用于数据降维、特征提取、数据压缩和数据预处理等领域。
主成分分析的基本步骤包括去除均值、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、排序特征值、计算主成分和重建数据。
通过主成分分析，我们可以减少数据的维度，提取出数据中的主要特征，并去除冗余信息。
数学建模实用教程(主成分分析)
T1 ΣT2 T1T2 T1T1 0
由于 T1 ΣT2 0 ， T1T2 0 ，那么， T1T1 0 ，即有 0 。从而 ( Σ I)T2 0 而且将方程两边同乘以 T2’,有 T2ΣT2
第 K 主成分求法
针 对 一 般 情 形 ， 第 k 主 成 分 应 该 是 在 TkTk 1 且 TkTi 0 或
第 k 个主成分的贡献率： 由主成分的性质可以看出，主成分分析把 p 个原始变量
X1 , X 2 ,, X p 的总方差 tr ( Σ) 分解成了 p 个相互独立的
变量 Y1 , Y2 ,, Yp 的方差之和
k 1
p
k
。主成分分析的目的是
减少变量的个数，所以一般不会使用所有 p 个主成分的， 忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太 大的影响。这里我们称
其中 D(Y ) 表示方差，Cov表示协方差， 表示X协方差阵
i
主成分确定条件：
T1T1 1 第一主成分为，满足 ， 并且使得 D(Y1 ) T1ΣT1 达到最大的 Y1 T1X 。 Cov(Y2 , Y1 ) Cov(T2X, T1X) 0 第二主成分为，满足 T T 1 ， 使得 D(Y2 ) T2ΣT2 达到最大的 Y2 T2X 。 T T 1 k 一般情形，第 主成分为，满足 ， Cov(Y , Y ) Cov(T X, T X) 0 且 （ i k ），使得 D(Yk ) TkΣTk Yk Tk X 达到最大的 。
解决的问题之三：客观加权
选择评价指标体系后通过对各指标加权的办 法来进行综合。但是，如何对指标加权是一 项具有挑战性的工作。指标加权的依据是指 标的重要性，指标在评价中的重要性判断难 免带有一定的主观性，这影响了综合评价的 客观性和准确性。主成分分析法是根据指标 间的相对重要性进行客观加权，可以避免综 合评价者的主观影响，所以在实际应用中越 来越受到人们的重视。
主成分分析(数学建模)
F1 u11X1 u21X 2 u p1X p F2 u12 X1 u22 X 2 u p2 X p
Fp u1p X1 u2 p X 2 u pp X p
满足如下的条件：
（1）每个主成分的系数平方和为1。
即
u12i u22i
§3 主成分的推导
一、线性代数的结论
若A是p阶实对称阵，其中i(i=1,2,┅,p)是A 的特征根。即有ui ，使
Aui iui uiAui uiiui i
Ui是正交的特征向量。
u1 u2 ... up A u1 u2 ... up
则一定可以找到正交阵U，使
平移、旋转坐标轴
x2
F1
主 成
F2
•• • • •
分 分 析 的 几 何
•• • •
•• •
•
• •
•••
•
•
•
• •••
• •• •
•• •
• ••
x1
解
••
释
平移、旋转坐标轴
x2
F1
主 成 分 分 析 的 几 何
F2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
x1
四、原始变量与主成分之间的相关系数
Fj u1 j x1 u2 j x2 upj xp j 1, 2, , k, k p
a1a1
a1U
2
Ua1
p
1
a1 u1,u2 ,
主成分分析实用
主成分分析实用主成分分析是一种常用的数学建模方法，它可以用来降低多变量数据集的维度，同时保留最重要的信息。
在实际应用中，主成分分析具有广泛的应用，包括数据压缩、特征提取、数据可视化等领域。
本文将详细介绍主成分分析的原理和实用性。
主成分分析的原理是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得在新的坐标系中数据的方差最大化。
具体来说，主成分分析通过寻找数据集中的主成分，来解释数据的变异性。
主成分是基于输入变量之间的协方差构建的，并且在计算过程中，主成分之间是正交的。
主成分分析可以通过求解数据协方差矩阵的特征值和特征向量来实现。
主成分分析在数学建模中具有广泛的实用性。
首先，它可以用来降低数据集的维度。
对于高维数据集，主成分分析可以将数据映射到低维空间中，减少了数据的维度。
这样可以极大地简化数据分析的复杂性，同时也可以避免维度灾难的问题。
其次，主成分分析可以用来提取数据中的重要特征。
通过保留数据方差较大的主成分，主成分分析可以帮助我们剥离出数据中的噪声和冗余信息，提取出最为重要的特征。
这对于模型建立和预测分析非常重要。
此外，主成分分析还可以提供数据的可视化效果。
通过将数据集映射到二维或三维空间，我们可以更直观地观察数据之间的关系，探索数据集的结构和模式。
主成分分析的实际应用非常丰富。
在金融领域，主成分分析可以用于资产组合管理和风险管理。
通过将资产收益率数据映射到主成分空间中，我们可以更好地理解不同资产之间的相关性，从而帮助投资者进行有效的资产配置和风险控制。
在图像处理领域，主成分分析可以用于图像压缩和人脸识别。
通过将图像数据映射到主成分空间中，我们可以使用较少的主成分表示图像，从而减少图像的存储和传输成本。
同时，主成分分析还可以捕捉人脸图像的主要特征，用于人脸识别和认证。
在生物信息学领域，主成分分析可以用于基因表达数据的分析。
通过将基因表达数据映射到主成分空间中，我们可以发现不同基因在表达模式上的差异，从而探索基因的功能和调控机制。
整理了32个在数学建模比赛中常用的模型算法
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主成分分析(2012数学建模A题第二问类型)
主成分分析学习王强 S10120100030 管理科学与工程35班参考论文 1. 我国各地区环境状况的主成分分析 郭莹 盐城师范学院 现代商贸工业 2010年第21期本文利用了多元统计分析中的主成分分析的方法，对全国31个地区的环境污染状况进行了评价，并且根据主成分给出了环境污染状况的综合得分。
它的步骤是：（1） 原始指标数据的标准化设有n 个样本，p 项指标，可得数据矩阵()ij n p X X ⨯=，i=1,2,3…n ，表示n 个样本，j=1,2,3…p ，表示p 个指标，ij X 表示第i 个样本的第j 项指标值。
对数据进行标准化变换：()/j ij ij j z x x s =-. （2）求指标数据的相关矩阵()jk p p R r ⨯=，j=1,2,3…p ， k=1,2,3…p ， jk r 为指标j 与指标k 的相关系数2211()/()/1nj k jk ijj ik k i r x x S x x S n =⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∑（3）求相关矩R 的特征根特征向量，确定主成分由特征方程式0Ip R λ-=，可求得的p 个特征值(1,2,3,...)g g p λ=，它是主成分的方差，它的大小描述了各个主成分在描述被评价对象上所起作用的大小。
由特征方程式，每个特征根对应一个特征向量12(,,...,)1,2,...g g g g gp L L L L L g p ==，将标准化后的指标变量转换为主成分：1122...(1,2,...)g g g gp p F l Z l Z l Z g p =+++=，1F 称为第一主成分，2F 称为第二主成分，p F 称为第p 主成分。
（4）求方差贡献率，确定主成分个数选取尽量少的k 个主成分（k ＜p ）来进行综合评价，同时还要使损失的信息量尽可能少。
Ｋ值由方差贡献率11/85%pkg g g g λλ==≥∑∑决定。
（5）对k 个主成分进行综合评价先求每一个主成分的线性加权值1122...1,2,...g g g gp pF l Z l Z l Z g k=+++=再对k 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分得方差贡献率：1/pg g g λλ=∑，11(/)pkggg g g F F λλ===∑∑。
数学建模赛题类型及解析PPT课件
（1）数据处理问题
• ①插值拟合 • 主要用于对数据的补全和基本的趋势分析 • ②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等） • 主要用于诊断数据异常值并进行剔除 • ③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等 • 主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余 • ④均值、方差分析、协方差分析等统计方法 • 主要用于数据的截取或者特征选择
智能算法选讲
兔子们吃了失忆药片，并被发射到太空，然后随机落到了地 球上的某些地方。他们不知道自己的使命是什么。但是，如果 你过几年就杀死一部分海拔低的兔子，多产的兔子们自己就会 找到珠穆朗玛峰。
遗传算法
智能算法选讲
兔子们用酒将自己灌醉了。它们随机地跳了很长时间。在这 期间，它们可能走向高处，也可能踏入平地。但是，随着时间 的流逝，它们渐渐清醒了并朝最高方向跳去。
• ⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
• ⑨方差分析、协方差分析等
• 方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产 量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
• 协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因 素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及 预测问题）
• ④马尔科夫预测（备用） • 一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性
强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温 度高、中、低的概率，只能得到概率
• ⑤时间序列预测（必须掌握） • 与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周
期模型，季节模型等。
• ②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。 • ③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定 • ④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判 • ⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强 • ⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
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p
a2
a p1 a p2 a pp a p
A 称为主成分系数矩阵。
二、主成分分析的几何解释
假设有 n 个样品，每个样品有二个变量，即在二维空间中讨论主成分的几何意义。设 n
个样品在二维空间中的分布大致为一个椭园，如下图所示：
图 7.1 主成分几何解释图
将坐标系进行正交旋转一个角度 ，使其椭圆长轴方向取坐标 y1 ，在椭圆短轴方向取 坐标 y2 ，旋转公式为
xn1 xn2 xnp
x1 j
其中： x j
x2
j
,
xnj
j 1,2, p
主成分分析就是将 p 个观测变量综合成为 p 个新的变量（综合变量），即
简写为：
F1 a11x1 a12x2 a1p x p
F2
a21x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a22x2
a2p xp
Fp a p1x1 a p2 x2 a pp x p
y1 j x1 j cos x2 j sin
y
2
j
x1 j ( sin ) x2 j
cos
j 1,2n
写成矩阵形式为： Y
y11
y
21
y12 y22
y1n
y2n
cos sin
sin cos
x11 x21
x12 x22
x1n x2n
U
X
其 中 U 为坐标旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有 U U 1,UU I ，即满足
变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望Var (F1 ) 越大，表示 F1 包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中所选取的 F1 应该是方差最大的，故称 F1 为第一主成分。如果第一
主成分不足以代表原来 p 个变量的信息，再考虑选取 F2 即第二个线性组合，为了有效地反
映 原 来 信 息 ， F1 已 有 的 信 息 就 不 需 要 再 出 现 在 F2 中 ， 用 数 学 语 言 表 达 就 是 要 求
第一节 主成分分析的原理及模型
一、主成分分析的基本思想与数学模型 （一）主成分分析的基本思想
主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使 这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。这种将把多个变 量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。
第七章 主成分分析
（一）教学目的 通过本章的学习，对主成分分析从总体上有一个清晰地认识，理解主成分分析的基本思 想和数学模型，掌握用主成分分析方法解决实际问题的能力。 （二）基本要求 了解主成分分析的基本思想，几何解释，理解主成分分析的数学模型，掌握主成分分析 方法的主要步骤。 （三）教学要点 1、主成分分析基本思想，数学模型，几何解释 2、主成分分析的计算步骤及应用 （四）教学时数 3 课时 （五）教学内容 1、主成分分析的原理及模型 2、主成分的导出及主成分分析步骤
于是，称 F1 为第一主成分， F2 为第二主成分，依此类推，有第 p 个主成分。主成分又
叫主分量。这里 aij 我们称为主成分系数。
上述模型可用矩阵表示为：
F AX ，其中
F1
F
F2
Fp
x1
X
x2
x p
a11 a12 a1p a1
A
a21
a22
a2
sin 2 cos2 1。
经过旋转变换后，得到下图的新坐标：
图 7.2 主成分几何解释图
新坐标 y1 y2 有如下性质： (1) n 个点的坐标 y1 和 y2 的相关几乎为零。 (2)二维平面上的 n 个点的方差大部分都归结为 y1 轴上，而 y2 轴上的方差较小。 y1 和 y2 称为原始变量 x1 和 x2 的综合变量。由于 n 个点在 y1 轴上的方差最大，因而将 二维空间的点用在 y1 轴上的一维综合变量来代替，所损失的信息量最小，由此称 y1 轴为第 一主成分， y2 轴与 y1 轴正交，有较小的方差，称它为第二主成分。
在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问题，而且在多数情况下，多个变量之 间常常存在一定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的相关性，势必增加了分析问 题的复杂性。如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表原始变量的绝大多 数信息，又互不相关，并且在新的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时就需要进 行主成分分析。
三、主成分分析的应用 主成分概念首先是由 Karl parson 在 1901 年引进，但当时只对非随机变量来讨论的。 1933 年 Hotelling 将这个概念推广到随机变量。特别是近年来，随着计算机软件的应用，
使得主成分分析的应用也越来越广泛。 其中，主成分分析可以用于系统评估。系统评估是指对系统营运状态做出评估，而评估
Fj j1x1 j2 x2 jp x p
j 1,2,, p
要求模型满足以下条件：
① Fi , Fj 互不相关（ i j ， i, j 1,2,, p ）
② F1 的方差大于 F2 的方差大于 F3 的方差，依次类推
③ ak12 ak22 akp2 1 k 1,2, p .
主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的 相互无关的综合变量来代替原来变量。通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组 合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢？
如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为 F1 ，自然希望它尽可能多地反映原来
一个系统的营运状态往往需要综合考察许多营运变量，例如对某一类企业的经济效益作评 估，影响经济效益的变量很多，很难直接比较其优劣，所以解决评估问题的焦点是希望客观、 科学地将一个多变量问题综合成一个单变量形式，也就是说只有在一维空间中才能使排序评 估成为可能，这正符合主成分分析的基本思想。在经济统计研究中，除了经济效益的综合评 价研究外，对不同地区经济发展水平的评价研究，不同地区经济发展竞争力的评价研究，人 民生活水平、生活质量的评价研究，等等都可以用主成分分析方法进行研究。
Cov(F1, F2 ) 0 ，称 F2 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四„„第 p 个主成分。
（二）主成分分析的数学模型
对于一个样本资料，观测 p 个变量 x1, x2,xp ， n 个样品的数据资料阵为：
x11 x12 x1p
X
x21
x22
x2 p
x1, x2 ,x p