南大复变函数与积分变换课件PPT版3.4 解析函数的高阶导数.ppt
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复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
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引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数与积分变换第3章积分PPT课件
0
0
22
例2 计算 zdz, zdz的值, 其中
C1
C2
C1是单位圆 z 1的上半圆周, 顺时针方向;
C2是单位圆 z 1的下半圆周，逆时针方 向.
解: 1)C1 : z ei ,0 .
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C1
2)C2 : z ei , 0.
第三章 复变函数的积分
（与实函数中二型线积分类比）
• §3.1复积分的概念 • §3.2 Cauchy积分定理 • §3.3 Cauchy积分公式 • §3.4解析函数的高阶导数
§3.1复积分的概念
1. 积分的定义 2. 积分存在的条件及其计算法 3. 积分性质
1. 积分的定义
y
定义 设(1)w f (z) z D (2)C为区域D内点A 点B
zdz
0 e i ie i d i
0
dt i
C2
可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径
不同，积分的值也不同．
练习 计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
i
例3
计算
C
(z
dz z0
)n1
这里C表示以
z0为中心,
r为半径的正向圆周, n为整数.
解 C : z z0 rei 0 2
y z z0 rei
dz C (z z0 )n1
2 0
ire i r e n1 i(n1)
d
o
z
z0
2 i 0 r ne in
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
复变函数与积分变换课堂PPT第三章
C1O C3
则根据复合闭路定理可得
C2 C1O C3
y
C i -i x
§4 原函数与不定积分
定理一 则积分
C1
如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,
与连接起点及终点的路线C无关。
B B C2 z1
z2
C2
z1
z2
C1
由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与
起点z0和终点z1有关, 如图所示, 有
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正 向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向 作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向， 并记作 C 。 常将两个端点中一个作为起点，另一个 作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。
O C1 y
在复平面内除z=0和z=1两个奇点外
G
x C2 1
包含奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=1。
则根据复合闭路定理可得
y
G
x C2 1
O C1
从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些
比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分
来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。
例 计算
是 f (z)的一个原函数。
, 则称 定理二表明
容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 设G (z)和H (z)是 f (z)的何任两个原函数, 则 所以
c为任意常数。
因此, 如果函数 f (z)在区域B内有一个原函数 F (z),
则，它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式
复变函数和积分变换 84页PPT文档
（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数
3.4解析函数的高阶导数
证 先证n 1的情况.
根据导数的定义,
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
由柯西积分公式
f
(z0 )
1 2i
C
f (z) z z0
dz,
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz,
f
( z0
z) z
f
(z0 )
1 2zi
C
z
f (z) dz z0 z
三、柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式
设函数 f (z) 在区域 D：z z0 R内解析, 且
f (z) M，则
f
(n)(z0 )
n! M Rn
(n 1,2,)
证 任取R1 : 0 R1 R, 则f (z)在 z z0 R1上解析,
由解析函数的高阶导数公式得：
f (n)(z0 )
解析函数高阶导数的表达式是什么?
柯西积分公式
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
在积分号下对z求导得
f
(z)
1
2
i
C
f ( )
z2
d
,
再继续一次得
f
(z)
2!
2 i
C
f
( )
z3
d
,
依次下去可推测
f
(n)(z)
n!
2 i
C
f (
z
)
n1
d
,
或改写为
f
( n) ( z0
)
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
设 曲 线 C 的 方 程 ： z ( t ) x ( t ) i y ( t ) ( t [ a , b ] ）
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求 证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的 积 分 的 一 个 绝 对 上 界 ， 其 中 C
为 从 原 点 到 34i的 直 线 段 .
区 域 包 含 于 D . 若 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ， 则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其 中 为 C 与 C k
围 成 的 复 合 闭 路 ,C 与 C k均 取 正 方 向
例 3.7计 算2z1dz,其 中 C是 包 含 0和 1的 Cz2z
定 理 3 . 6设 f(z)在 单 连 通 区 域 D 解 析 ， F (z)为 f(z)的 一 个 原 函 数 ， 则 对 任 意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计 算 bznd z,其 中 n是 正 整 数 。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿 曲 线 C 的 负 方 向 的 积 分 记 为 f( z ) d z C
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求 证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的 积 分 的 一 个 绝 对 上 界 ， 其 中 C
为 从 原 点 到 34i的 直 线 段 .
区 域 包 含 于 D . 若 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ， 则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其 中 为 C 与 C k
围 成 的 复 合 闭 路 ,C 与 C k均 取 正 方 向
例 3.7计 算2z1dz,其 中 C是 包 含 0和 1的 Cz2z
定 理 3 . 6设 f(z)在 单 连 通 区 域 D 解 析 ， F (z)为 f(z)的 一 个 原 函 数 ， 则 对 任 意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计 算 bznd z,其 中 n是 正 整 数 。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿 曲 线 C 的 负 方 向 的 积 分 记 为 f( z ) d z C
3-4解析函数的高阶导数
19
1 1 3 ( z 2)2 z dz 3 2 dz z ( z 2) C1 C2
2i 1 2 2! ( z 2 )
z 0
2i 1 3 1! z
z 2
3i 3i 8 8 0.
20
例5
设C表示圆周x 2 y 2 3，并且
27
2
, 则有
z z z z
所以有
2
f ( ) M 2 ML C ( z )2 ( z z ) d 2 L 3 2
5
于是有
f ( z z ) f ( z ) 1 f ( )d 2 ML z 3 2 z 2i C ( z ) 2
23
练习：计算下面积分
cos z (1) dz 3 C C1 C 2 z
其中C1 : z 3, C2 : z 1
cos z ( 2) dz 3 C C 1 C 2 ( z 2)
其中C1 : z 3, C2 : z 1
24
从高阶导数公式我们还可以推导出柯西不等式：
解
1 函数 有两个奇点 z 2 和 z 0, 2 3 ( z 2) z
1 (1) z 3 2, 仅包含奇点 z 2, 取 f ( z ) 3 , z 1 3 3 i 1 2i 1 z ; 3 2 3 dz 2 dz 8 ( z 2) z 1! z ( z 2) C C
16
课堂练习
设 C 是不通过 z0 的简单闭曲线 , z4 z2 求 g ( z0 ) 3 dz . ( z z0 ) C
复变函数与积分变换课件(南昌大学)
的 根,则z也 是 其 根. (实 多 项 式 的 零 点 成 对 出现)
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
例4.证明 : z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 z2 2
二、复数的几何表示
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
❖ 华罗庚(1910-1985年)中国著名数 学家。中国科学院院士。主要从事 解析数论、矩阵几何学、典型群、 自守函数论、多复变函数论、偏微 分方程、高维数值积分等领域的研 究与教授工作并取得突出成就.他 在多元复变数函数论方面的贡献， 影响到世界数学的发展。他在解析 数论方面的成就尤其广为人知，国 际间颇有名气的"中国解析数论学 派"即以华罗庚为首开创的学派.
conjugate实多项式的零点成对出也是其根是实系数方程证明若叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy定义两点的距离为称为辐角argz的主值记作复数的辐角说明0有无穷多个辐角任何一个复数是其中一个辐角如果的全部辐角为那么称为为终边的角的弧度数的向量以表示argtanarctanarg计算argzz0的公式特殊地辐角不确定
复变函数与积分变换课堂PPT第二章-70页精选文档
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
仅在 z = 0 处可导，而在其他点都不
可导，由定义，它在复平面内处处不解析。
所以
例2 问 f (z)=x + 2yi 是否可导？ [解]
设 沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而 这时极限
设 沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而 这时极限
设 沿着平行于 y轴的直线趋向于 z，因而 这时极限
所以 f (z)=x + 2yi 的导数不存在。
ii)可导与连续
容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续。
由定理一可得函数 f (z) = u (x, y)+ iv (x, y) 在点 z = x + i y 处的导数公式：
根据函数在区域内解析的定义及定理一，就可得 到判断函数在区域D内解析的一个充要条件。
定理二 函数 f (z)= u(x,y) + i v(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是 u(x, y)与 v(x, y)在D内可微, 并满足 柯西-黎曼方程。
时, 此函数在复平面
例 设函数 问常数a, b, c 取何值时, f (z)在复平面内处处解析?
[解] 先求
从而要使 只需 所以，有
，因此,
35
例 设解析函数 ，那么求 f (z)。
[解] 由于 又函数解析，则有 即 对 积分得 求v关于y的偏导数，得 则 即 所以有
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数 的
(2) 由 | f (z) z |
1, |2 z|
有
积 分
| f (0)| 1
2π
|z| r
| z |2
1 |2 z|
ds
1 2π
1 ds
|z| r |z|
1
2π
|z| r
| z |2
1 (2 | z |)
ds
1 2πr , 2πr
|
f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1,
10
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变
证 (1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
函
数 的
(2)
| f (0)|
1 2πr2(2 r)
2πr 1
1 r(2 r)
1,
积
分
(3) 令 r 1得 | f (0)| 2 .
推出一些理论结果。
3
§3.4 解析函数的高阶导数
第
P73 例3.12 部分
三
章
解 复
| zi | 1
cos z (z i)3
dz
2πi cos z
2!
zi
变 函
πi cos i πi (e e1 ) .
2
数
的
积 分
例 计算
ez
| z| 1 z100 dz .
解
ez
| z| 1 z100 dz
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三
§3.4
解析函数的高阶导数
章 一、高阶导数定理
复 变
二、柯西不等式
函 数
三、刘维尔定理
的
积
分
1
§3.4 解析函数的高阶导数
第 一、高阶导数定理
三 章
分析 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
复 变
则由柯西积分公式有
f (z)
1 2πi
| f (n)(z0 )|
n! 2π
| z z0 | R1
| f (z)| | z z0 |n1
ds
n! M R1n
,
令 R1 R ,
即得
| f (n)(z0 )|
n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
7
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三、刘维尔定理
三 章
定理 设函数 f (z) 在全平面上解析且有界，则 f (z) 为一常数。
| f (0)|
1 2πi
|z| r
f (z) z z z2
dz
,
| f (0)| 1
2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds,
9
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变
证 (1) | f (0)| 1 2π
|z| r
|
f
(z) z| | z |2
|z|
ds ,
函
C
f ( ) d , z
(z D).
函
数 的 积
又 d [( z)1] ( z)2 ,
dz
d2 dz2
[(
z)1]
2 (
z)3 ,
分
……
dn dzn
(
1 ) n!(
z
z)(n1)
(
n! z)n1
,
2
§3.4 解析函数的高阶导数
第 一、高阶导数定理
三 章
定理 如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，在 D D C 上连续，
复
P71 定理
则 f (z)的各阶导数均在 D上解析，且
变 3.9 函
f (n)(z) n!
2πi
C
f ( ) ( z)n1
d ,
(z D).
数
的 证明 (略)
(进入证明?)
积
分 意义 解析函数的导数仍解析。
应用
反过来计算积分
C
f (z) (z z0 )n1
dz
2πi n!
f (n)(z0 ).
P74 定理3.11
复 变
证明 设 z0 为平面上任意一点，
函 数
R 0 , 函数 f (z) 在 | z z0 | R 上解析，且 | f (z)| M ,
的 积 分
根据柯西不等式有
| f (z0 )|
M, R
令 R , 即得 f (z0 ) 0 ,
由 z0 的任意性，知在全平面上有 f (z) 0 ,
C1
C2
分
C1
ez
(z i)2
dz (z i)2
C2
ez
(z i)2
dz (z i)2
记为
I1 I2.
5
§3.4 解析函数的高阶导数
第
三
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2 dz .
章
复
解
(2)
I1
C1
ez
(z i)2
dz (z i)2
变
函 数 的
(高阶导数公式)
2πi 1!
12
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变 证 (3) 根据柯西积分公式有
函 数 的
1
(z f (z) ) dz 2πi 1 (z f (z) )
[
ez
(z i)2
]
zi
积 分
π (1 i)ei .
2
同样可求得
I2
π 2
(1
i)ei
.
(3)
I
I1 I2
π 2
[(1 i)ei
(1 i)ei ]
C1 i
C
C2
2
i
2πi sin(1 π ) . 4
6
§3.4 解析函数的高阶导数
第 二、柯西不等式
三 章
定理 设函数 f (z) 在 | z z0 | R内解析，且 | f (z)| M , 则
P73
复 定理 变 3.10
| f (n)(z0 )|
n! M Rn ,
(n 1, 2, ).
(柯西不等式)
函 数
证明
R1 : 0 R1 R , 函数 f (z) 在 | z z0 | R1 上解析，
的 积 分
f (n)(z0 )
n! 2πi
f (z) |zz0 | R1 (z z0 )n1 dz , (n 1, 2 , ) .
则 f (z) 为一常数。
8
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复 变
证
(1) 任取正数 r 2 , (注意 f (z)在 | z | 2上的性态不知道)
函
则函数 f (z) 在 | z | r 内解析， 由高阶导数公式有
数
的 积 分
f (0) 1
2πi
|z| r
f (z) z2
dz
,
2πi (ez )99
99!
z0
2πi 99!
.
4
§3.4 解析函数的高阶导数Fra bibliotek 第三
例
计算 I
|z|2
ez
(z2 1)2 dz .
章 复
解
(1) 令
f (z)
ez
(z2 1)2
ez
(z i)2(z i)2
.
变
C1 i
C
C2
2
i
函 数
如图，作 C1, C2两个小圆，
的 积
则 I f (z)dz f (z)dz (复合闭路定理)
11
§3.4 解析函数的高阶导数
第 三 章
复
变 证 (1) 由于 f (z) 在 | z | 2内解析，根据高阶导数定理可得
函
数
在 | z | 2 内，f (z) 也解析；
的
积
(2) 由 | f (z) 2| | z| 可得
分
在 | z | 2内，f (z) 0 ，
z f (z) 在 | z | 2 内解析； f (z)