第2章有限元分析的基本概念和步骤

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K e
EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 2 0 l EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 0 2 l
桥梁结构数值分析方法
E —杆件弹性模量
A —杆件截面积
I —杆件截面惯性矩
2
x
1

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公路桥梁结构电算
半解析法
将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法 (semi-analytic method) 。它既克服了纯解析的理论 分析在数学上的困难及应用的局限性，又大大降低了 基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。
有限条法
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公路桥梁结构电算
本课程是一门专业课，与结构力学、材料力学、弹性力 学、有限元、桥梁工程、结构设计原理以及现有的规范等密 切相关。掌握桥梁结构数值分析的基本原则、方法和过程、 熟悉一个软件、掌握一个连续梁桥结构分析实例。 桥梁结构分析概念和原则(★) 桥梁结构分析的基本理论(☆) 桥梁结构分析的基本过程(★) 桥梁结构分析中材料、截面特性、边界条件、荷载、横向 分布系数、影响线(面)加载、荷载组合、构件截面设计与 验算等(★) 桥梁结构分析软件Madis (★) 典型连续梁桥结构分析实例(★)
0 6 EI 2 l 4 EI l 0 6 EI 2 l 2 EI l
uj EA l 0 0 EA l 0 0
wj 0 12 EI 3 l 6 EI 2 l 0 12 EI 3 l 6 EI 2 l
j
ui 0 6 EI 2 wi l 2 EI i l 0 uj 6 EI 2 l wj 4 EI j l
宁波市区
21000 5500 10000 5500
象山县
4.840
4.840
通航净空宽度72.0米 百年潮水位4.84米 设计通航水位4.64米 百年潮低水位-2.90米
通航净空10.0米
4.840
4.000
-11.000 -32.000 50号墩 51号墩 -39.000 52号墩 53号墩 -37.000
在结构分析中有两种解法：
第一种解法：直接应用平衡条件、几何变形条件和物理 条件来求解结构的内力和位移。这种解法称为物理－几何 方法，在静力分析中也叫静力法。
在静力法中有两个基本方法：位移法（平衡法、刚度法） 和力法（协调法、柔度法） 第二种解法：把平衡条件或几何条件用相应的功能原理 来代替。这种解法称为能量法（能量法应用广泛：用虚功 原理求内力和位移、机动法作影响线、推导有限单元的刚 度矩阵、求解动力问题、求解稳定问题）。 与静力法相对应，在能量原理中也有两类基本原理：与 位移法相关的是势能原理，与力法相关的是余能原理。
1
图2.1 受集中力矩作用的连续梁
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平面梁单元
z y wi ui i Vzi Myi Nxi i
平面梁单元
公路桥梁结构电算
θyi
wj j Vzj
θ yj uj x
Myj j Nxj
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公路桥梁结构电算
1）平面梁单元刚度矩阵
图2.2所示两结点梁单元，每个节点有三个位移:两个线位移 u、w一个角位移θ。两个节点共有六个位移，组成节点位移列 阵：
l —杆件单元长度
2）整体坐标系中的单元刚度矩阵
为了在整体坐标系中集合单元刚度矩阵，要把局部坐标系 中的单元刚度矩阵转换到整体坐标系中去。为此，要先求出坐 标转换矩阵。
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桥梁结构数值分析方法
设杆IJ在整体坐标系中的位置如图。杆轴方向与整体坐标系 的轴之间的夹角为α。设局部坐标系中的杆端结点力向量为 ：
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公路桥梁结构电算
有限元法分析的基本步骤（8个步骤）
(1) 结构简化与离散，并对离散结构进行节点、单元编号和 坐标系的设定；
(2) 整理原始数据，包括单元、节点、材料、几何特性和荷
载信息等； (3) 计算单元刚度矩阵；
(4) 按照对号入座原则形成总刚度矩阵；
(5) 形成结构荷载向量（节点力和非节点力的总效应）； (6) 引入位移边界条件，形成结构刚度方程； (7) 求解结构刚度方程，得到基本未知量（节点位移）的解； (8) 由节点位移计算单元杆端力和支座反力等其他力学量。
注：本图尺寸除里程、高程和竖曲线要素以米计外，余均以厘米为单位。
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箱梁跨中、边支点处梁高2.85m，中支点处梁高6.25m，梁 高变化段梁底曲线采用1.8次抛物线。
箱梁截面为单箱单室，箱梁顶宽12.46m，底宽6.5m，两侧 翼缘悬臂长度2.98m。箱梁顶板1~11号块厚28cm，边跨现浇 段顶板厚 33~48cm 。箱梁底板厚由跨中 32cm 按 1.8 次抛物线 变化到 0 号块 70cm ，边跨现浇段底板厚 32~48cm 。腹板 1~6 号块厚 75cm 、 7 号块厚 75~50cm 、 8~11 号块厚 50cm ，边跨 现浇段腹板厚50~90cm。 箱梁设置纵向、横向和竖向三向预应力。 箱梁采用悬臂浇筑法施工。
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三、前处理阶段
⑴ 建模前期准备
① 结构离散图； ② 数据准备：节点坐标、截面特性（截面特性器、ANSYS
程序）、材料容重计算等。
⑵ 几何模型的建立： ①输入材料数据；
②输入截面信息（特性值输入、图形导入）；
③ 输入节点信息，建立单元； ④ 输入边界条件；
⑤ 输入荷载。
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0
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桥梁结构分析软件Madis
一、MIDAS/Civil 软件介绍 通用空间有限元分析软件，可适用于桥梁结构、地下结
构、工业建筑、港口等结构的分析与设计。特别是针对桥梁 结构，MIDAS／CiViI结合国内的规范与习惯，在建模、分析、 后处理、设计等方面提供了很多便利的功能．目前已为各大 公路、铁路部门的设计院所采用。 二、操作环境及菜单介绍 ⑴ 操作环境的构成及设定 操作环境的构成：树形菜单（拖放功能）、主菜单、模 型窗口、信息窗口、状态条、工具条。 操作环境的设定：单位系、坐标系设定等 ⑵ 主菜单介绍：文件、编辑、视图、模型、荷载、分析、结 果、设计、查询、工具、窗口、帮助文件
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2.3 单元分析
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公路桥梁结构电算
以连续梁为例，阐述有限元分析的计算步骤。 如图2.1，连续梁承受集中力矩作用。将结构离散为三个节 点，两个单元。结构中的节点编号为1、2、3；单元编号为 ①、②。
M1 E1 I 1 1 θ
1
M2 1 l
θ2 2 2 E2 I 2 l
2
θ3
M3 3
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公路桥梁结构电算
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自 由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单 元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函 数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满
足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
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2.2 有限元分析的基本步骤
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公路桥梁结构电算
平衡微分方程
x yz X 0 x y y xy Y 0 y x
几何方程
u x x v y y v u xy x y
平 y y x E 2 1 xy xy E
平面应变问题物理方程
x y x E 1 2 1 y x y E 1 2 1 xy xy E
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第2章 杆系结构有限元 分析的基本概念和步骤
公路桥梁结构电算
2.1 概 述 2.2 有限元分析的基本步骤
2.3 单元分析 2.4 整体分析
2.5 用直接刚度法形成结构刚度矩阵 2.6 支承条件的引入
2.7 非节点荷载处理
2.8 算 例
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公路桥梁结构电算
2.1 概
述
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公路桥梁结构电算
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1.3 课程主要内容(三大部分)
基本理论与方法：
第1章 绪 论
第2章 有限元分析基本概念和步骤 第3章 桥梁结构分析基本内容和步骤 第4章 桥梁结构离散的基本原则 第5章 桥梁结构分析基本单元类型 第6章 桥梁结构分析中的材料与截面特性 第7章 桥梁结构分析中的边界条件
公路桥梁结构电算
第8章 桥梁结构分析中的荷载
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公路桥梁结构电算
解析法
根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得 到问题的解析解。
半解析法
在数值分析方法中采用与引入部分解析解或解析函 数，得到问题的近似解。
数值分析方法
桥梁结构分析的数值分析方法一般采用有限元法用 程序进行求解。
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解析法
弹性力学平面问题的求解：2个平衡方程、3个几何 方程、3个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载） 下偏微分方程组的数学求解过程。
ui
wi
yi
M yi
uj
wj
yj
T
F
e
N xi Vyi
N xj Vyj
M yj
T
用一般的结构力学方法可以求得结点力与结点位移之间的 关系为：
F
e
K e e
e K —局部坐标系下的刚度矩阵
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桥梁结构数值分析方法
ui
wi
i
五、后处理阶段 ⑴ 荷载组合、结构验算 ⑵ 后处理功能的使用步骤 ⑶ 查看分析结果 ① 图形查看； ② 表格查看； ③ 施工阶段分析结果查看。