第2章有限元分析的基本概念和步骤
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宁波市区
21000 5500 10000 5500
象山县
4.840
4.840
通航净空宽度72.0米 百年潮水位4.84米 设计通航水位4.64米 百年潮低水位-2.90米
通航净空10.0米
4.840
4.000
-11.000 -32.000 50号墩 51号墩 -39.000 52号墩 53号墩 -37.000
③ 输入施工阶段信息（体系转换）。
3
公路桥梁结构电算
⑷ 查看输入结果
① 显示及显示选项； ② 查询节点、单元；
③ 节点详细表格、单元详细表格； 四、结构分析
⑴ 静力分析
⑵ 施工阶段分析
⑶ 反应谱分析、时程分析、屈曲分析、几何非线性分析 （包括P-delta分析、大位移分析）等。
4
公路桥梁结构电算
20
公路桥梁结构电算
有限元法分析的实施过程（三个阶段）
(1) 前处理阶段（约占整个工作量的60%）：将整体结构或
其一部分简化为理想的数学力学模型，用离散化的单元代
替连续实体结构或求解区域； (2) 分析计算阶段（约占整个工作量的10%）：运用有限元
法对结构离散模型进行分析计算；
(3) 后处理阶段（约占整个工作量的30%）：对计算结果进 行分析、整理和归纳。 (象山港大桥、青林湾、明州大桥、茅草街大桥和子材大桥 五个桥的资料和有限元模型)
0 6 EI 2 l 4 EI l 0 6 EI 2 l 2 EI l
uj EA l 0 0 EA l 0 0
wj 0 12 EI 3 l 6 EI 2 l 0 12 EI 3 l 6 EI 2 l
j
ui 0 6 EI 2 wi l 2 EI i l 0 uj 6 EI 2 l wj 4 EI j l
l —杆件单元长度
2）整体坐标系中的单元刚度矩阵
为了在整体坐标系中集合单元刚度矩阵，要把局部坐标系 中的单元刚度矩阵转换到整体坐标系中去。为此，要先求出坐 标转换矩阵。
28
桥梁结构数值分析方法
设杆IJ在整体坐标系中的位置如图。杆轴方向与整体坐标系 的轴之间的夹角为α。设局部坐标系中的杆端结点力向量为 ：
2
x
1
15
公路桥梁结构电算
半解析法
将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法 (semi-analytic method) 。它既克服了纯解析的理论 分析在数学上的困难及应用的局限性，又大大降低了 基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。
有限条法
16
公路桥梁结构电算
注：本图尺寸除里程、高程和竖曲线要素以米计外，余均以厘米为单位。
6
公路桥梁结构电算
箱梁跨中、边支点处梁高2.85m，中支点处梁高6.25m，梁 高变化段梁底曲线采用1.8次抛物线。
箱梁截面为单箱单室，箱梁顶宽12.46m，底宽6.5m，两侧 翼缘悬臂长度2.98m。箱梁顶板1~11号块厚28cm，边跨现浇 段顶板厚 33~48cm 。箱梁底板厚由跨中 32cm 按 1.8 次抛物线 变化到 0 号块 70cm ，边跨现浇段底板厚 32~48cm 。腹板 1~6 号块厚 75cm 、 7 号块厚 75~50cm 、 8~11 号块厚 50cm ，边跨 现浇段腹板厚50~90cm。 箱梁设置纵向、横向和竖向三向预应力。 箱梁采用悬臂浇筑法施工。
22
公路桥梁结构电算
2.3 单元分析
23
公路桥梁结构电算
以连续梁为例，阐述有限元分析的计算步骤。 如图2.1，连续梁承受集中力矩作用。将结构离散为三个节 点，两个单元。结构中的节点编号为1、2、3；单元编号为 ①、②。
M1 E1 I 1 1 θ
1
M2 1 l
θ2 2 2 E2 I 2 l
2
θ3
M3 3
公路桥梁结构电算
本课程是一门专业课，与结构力学、材料力学、弹性力 学、有限元、桥梁工程、结构设计原理以及现有的规范等密 切相关。掌握桥梁结构数值分析的基本原则、方法和过程、 熟悉一个软件、掌握一个连续梁桥结构分析实例。 桥梁结构分析概念和原则(★) 桥梁结构分析的基本理论(☆) 桥梁结构分析的基本过程(★) 桥梁结构分析中材料、截面特性、边界条件、荷载、横向 分布系数、影响线(面)加载、荷载组合、构件截面设计与 验算等(★) 桥梁结构分析软件Madis (★) 典型连续梁桥结构分析实例(★)
分析十分有效。
17
公路桥梁结构电算
有限元法的基本概念
有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有 限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域 (单元)，利
用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上 待求的未知场函数。单元内的场函数通常由未知场函数或其 导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。这样， 未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量 ( 自 由度 ) 。根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的 关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计 算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近 似解。
12
公路桥梁结构电算
解析法
根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得 到问题的解析解。
半解析法
在数值分析方法中采用与引入部分解析解或解析函 数，得到问题的近似解。
数值分析方法
桥梁结构分析的数值分析方法一般采用有限元法用 程序进行求解。
13
公路桥梁结构电算
解析法
弹性力学平面问题的求解：2个平衡方程、3个几何 方程、3个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载） 下偏微分方程组的数学求解过程。
18
公路桥梁结构电算
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自 由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单 元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函 数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满
足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
19
公路桥梁结构电算
2.2 有限元分析的基本步骤
14
公路桥梁结构电算
平衡微分方程
x yz X 0 x y y xy Y 0 y x
几何方程
u x x v y y v u xy x y
平面应力问题物理方程
五、后处理阶段 ⑴ 荷载组合、结构验算 ⑵ 后处理功能的使用步骤 ⑶ 查看分析结果 ① 图形查看； ② 表格查看； ③ 施工阶段分析结果查看。
六、其他
⑴ 数据、图形的输入输出 ⑵ 视图操作
⑶ 文本编辑器
5
公路桥梁结构电算
实例：三跨连续梁桥结构分析
白墩港特大桥为悬浇预应力砼变高连续箱梁结构体系，跨 径组合为（55+100+55m）=210m，桥型总体布置如下图。
27
K e
EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 2 0 l EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 0 2 l
桥梁结构数值分析方法
E —杆件弹性模量
A —杆件截面积
I —杆件截面惯性矩
1 x y E 1 y y x E 2 1 xy xy E
平面应变问题物理方程
x y x E 1 2 1 y x y E 1 2 1 xy xy E
在结构分析中有两种解法：
第一种解法：直接应用平衡条件、几何变形条件和物理 条件来求解结构的内力和位移。这种解法称为物理－几何 方法，在静力分析中也叫静力法。
在静力法中有两个基本方法：位移法（平衡法、刚度法） 和力法（协调法、柔度法） 第二种解法：把平衡条件或几何条件用相应的功能原理 来代替。这种解法称为能量法（能量法应用广泛：用虚功 原理求内力和位移、机动法作影响线、推导有限单元的刚 度矩阵、求解动力问题、求解稳定问题）。 与静力法相对应，在能量原理中也有两类基本原理：与 位移法相关的是势能原理，与力法相关的是余能原理。
21
公路桥梁结构电算
有限元法分析的基本步骤（8个步骤）
(1) 结构简化与离散，并对离散结构进行节点、单元编号和 坐标系的设定；
(2) 整理原始数据，包括单元、节点、材料、几何特性和荷
载信息等； (3) 计算单元刚度矩阵；
(4) 按照对号入座原则形成总刚度矩阵；
(5) 形成结构荷载向量（节点力和非节点力的总效应）； (6) 引入位移边界条件，形成结构刚度方程； (7) 求解结构刚度方程，得到基本未知量（节点位移）的解； (8) 由节点位移计算单元杆端力和支座反力等其他力学量。
Hale Waihona Puke Baidu
有线条法
有线条法是由张佑启（Cheng.Y.K）始创（1969）， 并经 Powell 、 Ogden 和 Scordelrs 等人的研究和发展，已 成为等截面桥梁上部结构简单又经济的半解析方法。 有线条法是一种混合法，它具有正交各向异性板分析 法和有限元法的优点。有线条单元结构的组合单元是沿结 构纵向分布的“条”,条间纵向用接缝连接，由于正交异性 板的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法
0
公路桥梁结构电算
桥梁结构分析软件Madis
一、MIDAS/Civil 软件介绍 通用空间有限元分析软件，可适用于桥梁结构、地下结
构、工业建筑、港口等结构的分析与设计。特别是针对桥梁 结构，MIDAS／CiViI结合国内的规范与习惯，在建模、分析、 后处理、设计等方面提供了很多便利的功能．目前已为各大 公路、铁路部门的设计院所采用。 二、操作环境及菜单介绍 ⑴ 操作环境的构成及设定 操作环境的构成：树形菜单（拖放功能）、主菜单、模 型窗口、信息窗口、状态条、工具条。 操作环境的设定：单位系、坐标系设定等 ⑵ 主菜单介绍：文件、编辑、视图、模型、荷载、分析、结 果、设计、查询、工具、窗口、帮助文件
1
图2.1 受集中力矩作用的连续梁
24
平面梁单元
z y wi ui i Vzi Myi Nxi i
平面梁单元
公路桥梁结构电算
θyi
wj j Vzj
θ yj uj x
Myj j Nxj
25
公路桥梁结构电算
1）平面梁单元刚度矩阵
图2.2所示两结点梁单元，每个节点有三个位移:两个线位移 u、w一个角位移θ。两个节点共有六个位移，组成节点位移列 阵：
⑵ 几何模型的建立：
①输入材料数据；
②输入截面信息（特性值输入、图形导入）； ③ 输入节点信息，建立单元；
④ 输入边界条件；
⑤ 输入荷载：自重、施工阶段荷载、二期、移动荷载等的 数据计算，预应力荷载的输入（数据准备、参数设定）。
⑶ 建立施工阶段
① 结构组、荷载组、边界组、钢束组设置； ② 施工流程分析及步骤划分；
1
公路桥梁结构电算
三、前处理阶段
⑴ 建模前期准备
① 结构离散图； ② 数据准备：节点坐标、截面特性（截面特性器、ANSYS
程序）、材料容重计算等。
⑵ 几何模型的建立： ①输入材料数据；
②输入截面信息（特性值输入、图形导入）；
③ 输入节点信息，建立单元； ④ 输入边界条件；
⑤ 输入荷载。
2
公路桥梁结构电算
8
公路桥梁结构电算
第2章 杆系结构有限元 分析的基本概念和步骤
公路桥梁结构电算
2.1 概 述 2.2 有限元分析的基本步骤
2.3 单元分析 2.4 整体分析
2.5 用直接刚度法形成结构刚度矩阵 2.6 支承条件的引入
2.7 非节点荷载处理
2.8 算 例
10
公路桥梁结构电算
2.1 概
述
11
公路桥梁结构电算
7
1.3 课程主要内容(三大部分)
基本理论与方法：
第1章 绪 论
第2章 有限元分析基本概念和步骤 第3章 桥梁结构分析基本内容和步骤 第4章 桥梁结构离散的基本原则 第5章 桥梁结构分析基本单元类型 第6章 桥梁结构分析中的材料与截面特性 第7章 桥梁结构分析中的边界条件
公路桥梁结构电算
第8章 桥梁结构分析中的荷载
ui
wi
yi
M yi
uj
wj
yj
T
F
e
N xi Vyi
N xj Vyj
M yj
T
用一般的结构力学方法可以求得结点力与结点位移之间的 关系为：
F
e
K e e
e K —局部坐标系下的刚度矩阵
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桥梁结构数值分析方法
ui
wi
i
21000 5500 10000 5500
象山县
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通航净空宽度72.0米 百年潮水位4.84米 设计通航水位4.64米 百年潮低水位-2.90米
通航净空10.0米
4.840
4.000
-11.000 -32.000 50号墩 51号墩 -39.000 52号墩 53号墩 -37.000
③ 输入施工阶段信息（体系转换）。
3
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⑷ 查看输入结果
① 显示及显示选项； ② 查询节点、单元；
③ 节点详细表格、单元详细表格； 四、结构分析
⑴ 静力分析
⑵ 施工阶段分析
⑶ 反应谱分析、时程分析、屈曲分析、几何非线性分析 （包括P-delta分析、大位移分析）等。
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公路桥梁结构电算
有限元法分析的实施过程（三个阶段）
(1) 前处理阶段（约占整个工作量的60%）：将整体结构或
其一部分简化为理想的数学力学模型，用离散化的单元代
替连续实体结构或求解区域； (2) 分析计算阶段（约占整个工作量的10%）：运用有限元
法对结构离散模型进行分析计算；
(3) 后处理阶段（约占整个工作量的30%）：对计算结果进 行分析、整理和归纳。 (象山港大桥、青林湾、明州大桥、茅草街大桥和子材大桥 五个桥的资料和有限元模型)
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l —杆件单元长度
2）整体坐标系中的单元刚度矩阵
为了在整体坐标系中集合单元刚度矩阵，要把局部坐标系 中的单元刚度矩阵转换到整体坐标系中去。为此，要先求出坐 标转换矩阵。
28
桥梁结构数值分析方法
设杆IJ在整体坐标系中的位置如图。杆轴方向与整体坐标系 的轴之间的夹角为α。设局部坐标系中的杆端结点力向量为 ：
2
x
1
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公路桥梁结构电算
半解析法
将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法 (semi-analytic method) 。它既克服了纯解析的理论 分析在数学上的困难及应用的局限性，又大大降低了 基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。
有限条法
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公路桥梁结构电算
注：本图尺寸除里程、高程和竖曲线要素以米计外，余均以厘米为单位。
6
公路桥梁结构电算
箱梁跨中、边支点处梁高2.85m，中支点处梁高6.25m，梁 高变化段梁底曲线采用1.8次抛物线。
箱梁截面为单箱单室，箱梁顶宽12.46m，底宽6.5m，两侧 翼缘悬臂长度2.98m。箱梁顶板1~11号块厚28cm，边跨现浇 段顶板厚 33~48cm 。箱梁底板厚由跨中 32cm 按 1.8 次抛物线 变化到 0 号块 70cm ，边跨现浇段底板厚 32~48cm 。腹板 1~6 号块厚 75cm 、 7 号块厚 75~50cm 、 8~11 号块厚 50cm ，边跨 现浇段腹板厚50~90cm。 箱梁设置纵向、横向和竖向三向预应力。 箱梁采用悬臂浇筑法施工。
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2.3 单元分析
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公路桥梁结构电算
以连续梁为例，阐述有限元分析的计算步骤。 如图2.1，连续梁承受集中力矩作用。将结构离散为三个节 点，两个单元。结构中的节点编号为1、2、3；单元编号为 ①、②。
M1 E1 I 1 1 θ
1
M2 1 l
θ2 2 2 E2 I 2 l
2
θ3
M3 3
公路桥梁结构电算
本课程是一门专业课，与结构力学、材料力学、弹性力 学、有限元、桥梁工程、结构设计原理以及现有的规范等密 切相关。掌握桥梁结构数值分析的基本原则、方法和过程、 熟悉一个软件、掌握一个连续梁桥结构分析实例。 桥梁结构分析概念和原则(★) 桥梁结构分析的基本理论(☆) 桥梁结构分析的基本过程(★) 桥梁结构分析中材料、截面特性、边界条件、荷载、横向 分布系数、影响线(面)加载、荷载组合、构件截面设计与 验算等(★) 桥梁结构分析软件Madis (★) 典型连续梁桥结构分析实例(★)
分析十分有效。
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有限元法的基本概念
有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有 限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域 (单元)，利
用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上 待求的未知场函数。单元内的场函数通常由未知场函数或其 导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。这样， 未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量 ( 自 由度 ) 。根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的 关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计 算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近 似解。
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解析法
根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得 到问题的解析解。
半解析法
在数值分析方法中采用与引入部分解析解或解析函 数，得到问题的近似解。
数值分析方法
桥梁结构分析的数值分析方法一般采用有限元法用 程序进行求解。
13
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解析法
弹性力学平面问题的求解：2个平衡方程、3个几何 方程、3个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载） 下偏微分方程组的数学求解过程。
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公路桥梁结构电算
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自 由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单 元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函 数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满
足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
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公路桥梁结构电算
2.2 有限元分析的基本步骤
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公路桥梁结构电算
平衡微分方程
x yz X 0 x y y xy Y 0 y x
几何方程
u x x v y y v u xy x y
平面应力问题物理方程
五、后处理阶段 ⑴ 荷载组合、结构验算 ⑵ 后处理功能的使用步骤 ⑶ 查看分析结果 ① 图形查看； ② 表格查看； ③ 施工阶段分析结果查看。
六、其他
⑴ 数据、图形的输入输出 ⑵ 视图操作
⑶ 文本编辑器
5
公路桥梁结构电算
实例：三跨连续梁桥结构分析
白墩港特大桥为悬浇预应力砼变高连续箱梁结构体系，跨 径组合为（55+100+55m）=210m，桥型总体布置如下图。
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K e
EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 2 0 l EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 0 2 l
桥梁结构数值分析方法
E —杆件弹性模量
A —杆件截面积
I —杆件截面惯性矩
1 x y E 1 y y x E 2 1 xy xy E
平面应变问题物理方程
x y x E 1 2 1 y x y E 1 2 1 xy xy E
在结构分析中有两种解法：
第一种解法：直接应用平衡条件、几何变形条件和物理 条件来求解结构的内力和位移。这种解法称为物理－几何 方法，在静力分析中也叫静力法。
在静力法中有两个基本方法：位移法（平衡法、刚度法） 和力法（协调法、柔度法） 第二种解法：把平衡条件或几何条件用相应的功能原理 来代替。这种解法称为能量法（能量法应用广泛：用虚功 原理求内力和位移、机动法作影响线、推导有限单元的刚 度矩阵、求解动力问题、求解稳定问题）。 与静力法相对应，在能量原理中也有两类基本原理：与 位移法相关的是势能原理，与力法相关的是余能原理。
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有限元法分析的基本步骤（8个步骤）
(1) 结构简化与离散，并对离散结构进行节点、单元编号和 坐标系的设定；
(2) 整理原始数据，包括单元、节点、材料、几何特性和荷
载信息等； (3) 计算单元刚度矩阵；
(4) 按照对号入座原则形成总刚度矩阵；
(5) 形成结构荷载向量（节点力和非节点力的总效应）； (6) 引入位移边界条件，形成结构刚度方程； (7) 求解结构刚度方程，得到基本未知量（节点位移）的解； (8) 由节点位移计算单元杆端力和支座反力等其他力学量。
Hale Waihona Puke Baidu
有线条法
有线条法是由张佑启（Cheng.Y.K）始创（1969）， 并经 Powell 、 Ogden 和 Scordelrs 等人的研究和发展，已 成为等截面桥梁上部结构简单又经济的半解析方法。 有线条法是一种混合法，它具有正交各向异性板分析 法和有限元法的优点。有线条单元结构的组合单元是沿结 构纵向分布的“条”,条间纵向用接缝连接，由于正交异性 板的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法
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一、MIDAS/Civil 软件介绍 通用空间有限元分析软件，可适用于桥梁结构、地下结
构、工业建筑、港口等结构的分析与设计。特别是针对桥梁 结构，MIDAS／CiViI结合国内的规范与习惯，在建模、分析、 后处理、设计等方面提供了很多便利的功能．目前已为各大 公路、铁路部门的设计院所采用。 二、操作环境及菜单介绍 ⑴ 操作环境的构成及设定 操作环境的构成：树形菜单（拖放功能）、主菜单、模 型窗口、信息窗口、状态条、工具条。 操作环境的设定：单位系、坐标系设定等 ⑵ 主菜单介绍：文件、编辑、视图、模型、荷载、分析、结 果、设计、查询、工具、窗口、帮助文件
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图2.1 受集中力矩作用的连续梁
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平面梁单元
z y wi ui i Vzi Myi Nxi i
平面梁单元
公路桥梁结构电算
θyi
wj j Vzj
θ yj uj x
Myj j Nxj
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公路桥梁结构电算
1）平面梁单元刚度矩阵
图2.2所示两结点梁单元，每个节点有三个位移:两个线位移 u、w一个角位移θ。两个节点共有六个位移，组成节点位移列 阵：
⑵ 几何模型的建立：
①输入材料数据；
②输入截面信息（特性值输入、图形导入）； ③ 输入节点信息，建立单元；
④ 输入边界条件；
⑤ 输入荷载：自重、施工阶段荷载、二期、移动荷载等的 数据计算，预应力荷载的输入（数据准备、参数设定）。
⑶ 建立施工阶段
① 结构组、荷载组、边界组、钢束组设置； ② 施工流程分析及步骤划分；
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三、前处理阶段
⑴ 建模前期准备
① 结构离散图； ② 数据准备：节点坐标、截面特性（截面特性器、ANSYS
程序）、材料容重计算等。
⑵ 几何模型的建立： ①输入材料数据；
②输入截面信息（特性值输入、图形导入）；
③ 输入节点信息，建立单元； ④ 输入边界条件；
⑤ 输入荷载。
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第2章 杆系结构有限元 分析的基本概念和步骤
公路桥梁结构电算
2.1 概 述 2.2 有限元分析的基本步骤
2.3 单元分析 2.4 整体分析
2.5 用直接刚度法形成结构刚度矩阵 2.6 支承条件的引入
2.7 非节点荷载处理
2.8 算 例
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2.1 概
述
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1.3 课程主要内容(三大部分)
基本理论与方法：
第1章 绪 论
第2章 有限元分析基本概念和步骤 第3章 桥梁结构分析基本内容和步骤 第4章 桥梁结构离散的基本原则 第5章 桥梁结构分析基本单元类型 第6章 桥梁结构分析中的材料与截面特性 第7章 桥梁结构分析中的边界条件
公路桥梁结构电算
第8章 桥梁结构分析中的荷载
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N xj Vyj
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用一般的结构力学方法可以求得结点力与结点位移之间的 关系为：
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e K —局部坐标系下的刚度矩阵
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桥梁结构数值分析方法
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