第六章 空间力系

2 解析法：各力在三个正交坐标轴上投影，再计算合力。
空间汇交力系的合力
FR
F i
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
大小： 方向：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR,i )
Fx FR
cos(FR
,
j
若以 Fx , Fy , Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则
F Fx Fy Fz
Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fzk
F Fxi Fy j Fzk
Fzz Fxx
F FFyy
Fxy
8
§6-2 空间汇交力系的合成与平衡
一 空间汇交力系的合成
繁琐
1 几何法：合力为空间力多边形的封闭边；作用点过汇交点。
F1' 平面A b a
F1
F1' 平面A b a
F1
F' F2'
F2'
d
c
F2
F2
F
平面B
F =2F1
平面B F2' d
c F2
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z
F F'
F F'
F
=
y x
转动效应
空间力偶
一 力偶矩矢 大小
1 三要素
转向 作用面方位
F'
Fd 矢量表示 转向
作用面法线
右手螺旋法则
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2 空间力偶矩矢是一个自由矢量 力偶可在同一平面内或平行平面内任意移动。
1
第六章 空间力系和重心
§6–1 空间力沿坐标轴的分解与投影 §6–2 空间汇交力系的合成与平衡 §6–3 空间力偶理论 §6–4 力对点之矩与力对轴之矩 §6–5 空间任意力系向已知点的简化·主矢
与主矩·空间力系合力矩定理 §6–6 空间任意力系的平衡条件与平衡方程 §6–7 平行力系的中心与重心
4
2 一次投影法（直接投影法）
正六面体对角线力 F ，将 F 直接 向三个坐标轴投影：
其投影计算式
Fx F cos Fy F cos Fz F cosg
γF β
α
其中αβγ分别为力与三个坐标轴正向的夹角
5
3 二次投影法（间接投影法） 先将力投影到xoy平面上，再将力投影到三个坐标轴。
其投影计算式
i 1
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
;
cos
Mx M
,cos
My M
, cos g
Mz M
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2 平衡：力偶系中各力偶矩的矢量和等于零。
M Mi 0
投影式：
Mx 0 My 0 Mz 0
各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和等于零。
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§6-4 力对点之矩与力对轴之矩
一 力对点之矩 力对物体绕点转动效应的度量
2
工程中常常存在着很多各力作用线不在同一平面内的力系， 即空间力系，空间力系是最一般的力系。
迎面 风 力 Q1
Q2
P
侧面
P
风力
FN1 b
FN 2
3
§6-1 空间力沿坐标轴的分解与投影
一 力在空间轴上的投影
F
g
O
Fxy
1 力在空间的表示 三要素： 大小：F F
作用点：确定点
方向：由、、g三个方向角确定 或由仰角 与方位角 确定。
1 平面： 大小 转向
Baidu Nhomakorabea
代数量表示 MO(F) F d
A
F B Od
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一 力对点之矩
2 空间： 定位矢量
大小
转向
矢量表示
作用面方位
F d 2SAOB
转向
右手螺旋法则
作用面法线
矢径
MO(F) r F
MO(F)
z r
B
F
O
A
d
y
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x
3 力对点之矩的解析式
若在直角坐标系下：令 r 是矩心到力作用点的矢径且有
F Fxi Fy j Fzk
i
j
MO F r F x
y
Fx Fy
r xi yj zzk
B
k MO F
F
z
Od y
Fz
rA x
=( y·Fz - z ·Fy ) i + (z·Fx - x ·Fz ) j + (x·Fy - y ·Fx ) k
其中
M
O
F
=
x
y·Fz
-
z
·Fy
B
=3.125 kN (OB杆受拉)
C
D
FOC
FOB O
320 FOA
A
GG
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§6-3 空间力偶理论
z
F F'
d
y x
转动效应
平面力偶
平面力偶矩
M F , F ' Fd
大小
方向
空间力偶
力偶矩矢
？
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空间力偶的等效条件(对平面力偶的性质进一步扩展)
作用于同一刚体上两平行平面内的两个力偶，若其力偶矩大 小相等、转向相同，则两力偶等效。
)
Fy FR
cos(FR ,
k
)
Fz FR
9
二 空间汇交力系的平衡
充要条件：力系的合力为零，即： FR Fi 0
1 几何条件：该力系的力多边形自行封闭。
2 解析条件： Fx = 0 Fy = 0
平衡方程 三个未知量
Fz = 0
说明：1）当空间汇交力系平衡时，该力系在任平面上的投影得到的平
Fx F cos cos Fy F cos sin Fz F sin
矢量
其中θ ,φ分别为仰角和方位角
6
二 已知坐标轴上的投影求合力
大小 F Fx2 Fy2 Fz 2
方向
cos Fx
F
cos Fy
F
cos g Fz
F
其中αβγ分别为F与三个坐标轴的夹角
γF β
α
7
三 力沿坐标轴的分解
Fz =0 G + FOA·sin = 0
B
FOA = -6.25kN (OA杆受压)x
Fx =0 FOB·sin - FOC·sin = 0
FOB= FOC
C
D
FOC
FOB
O
320 FOA
y
A
GG
z
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Fy =0 -2FOB·cos - FOA·cos = 0
cos = cos
FOB = - FOA / 2
MO
F
=
z
x·Fy
-
y
·Fx
MO F y = z·Fx - x ·Fz
为力矩矢在坐标轴上的投影。
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二 力对轴之矩
1 意义 力对物体绕轴转动效果的度量
z
2 定义
Mz F
力对轴之矩等于此力在垂直于轴的平
F' 二 空间力偶的等效定理 若两个力偶矩矢相等，则两个力偶等效。
F'
M F
M F
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三 空间力偶系的合成与平衡
由于空间力偶是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一 点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢 量运算法则。
1 合成：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和
n
M M1 M 2 M 3 M n M i
面汇交力系也一定平衡。
2）投影轴可以任意选取，但三个轴不能共面， 三个轴中的任意
两个也不能相互平行。
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[例1] 直杆OA、OB、OC用光滑球铰链连接成支架，如图所示。
平面ABC和平面AOD都是铅直的，且相互垂直。在球铰链O上挂 有重量G=5kN的重物，略去杆重。求三根杆受力。
解：分析铰链O，受力如图