集合的概念以及表示讲义教案

1．1集合的概念

第1课时集合的概念

1．元素与集合的相关概念

相关概念表示方法

元素把研究对象统称为元素常用小写拉丁字母a，b，c，…

表示

集合把一些元素组成的总体叫做集

合，简称为集

常用大写拉丁字母A，B，C，…

表示

集合相等只要构成两个集合的元素是一

样的，就称这两个集合是相等的

若集合A与集合B相等，则表示

为A＝B

2.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．

3．元素与集合的关系

(1)属于

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 4．常见的数集及记法

数集非负整

数集(自

然数集)

正整

数集

整数集

有理

数集

实数集

符号N N*或N

＋Z Q R

1．下列给出的对象中，能组成集合的是()

A．著名的科学家B．很大的数

C．较瘦的人D．小于3的整数

D解析：“著名的科学家”和“较瘦的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较瘦”无法客观地判断，因此“著名的科学家”和“较瘦的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合．2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M 中元素的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

C解析：因为x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x ＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．

3．已知集合S中的三个元素a，b，c分别是△ABC的三条边长，则△ABC 一定不是()

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

D解析：由集合中元素的互异性知，a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形．

4．用符号∈或∉填空：(其中A表示由所有质数组成的集合)

(1)1____A，2____A，3____A；

(2)3

2____Z，

3

3____R，9____N.

(1)∉∈∈(2)∉∈∈

解析：(1)由2，3为质数，1不是质数，得1∉A，2∈A，3∈A.

(2)由3

2不是整数，

3

3是实数，9是自然数，得

3

2∉Z，

3

3∈R，9∈N.

5．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为________．

0或1解析：因为a∈A且3a∈A，

所以a<6且3a<6，所以a<2.

又因为a是自然数，所以a＝0或1.

【例1】现有以下说法：

①接近于0的数的全体构成一个集合；

②正方体的全体构成一个集合；

③未来世界的高科技产品构成一个集合；

④不大于3的所有自然数构成一个集合．

其中正确的是()

A．①②B．②③

C．③④D．②④

D解析：①与③标准不明确，不满足确定性，不能构成集合．②与④中的对象都是确定的，而且都是不同的，能构成集合．故选D.

【例2】2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．

(1)你所在班级中全体同学；

(2)班级中比较高的同学；

(3)班级中身高超过178 cm的同学；

(4)班级中比较胖的同学；

(5)班级中体重超过75 kg的同学；

(6)学习成绩比较好的同学；

(7)总分前五名的同学．

解：(1)班级中全体同学是确定的，可以构成一个集合；

(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；

(3)“身高超过178 cm”是确定的，可以构成一个集合；

(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；

(5)“体重超过75 kg”是确定的，可以构成一个集合；

(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；

(7)“总分前五名”是确定的，可以构成一个集合．

一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，a n(a1，a2，…，a n均不相同)能否构成集合的过程为：

对于以下说法：

①绝对值非常小的全体实数构成一个集合；

②长方体的全体构成一个集合；

③全体无实数根的一元二次方程构成一个集合；

④0，0.5，3

2，

1

2组成的集合含有四个元素．

其中正确的是()

A．①②④B．②③

C．③④D．②④

B解析：①中的元素不能确定，④中的集合含有3个元素，②③中的元素是确定的，所以②③能构成集合．

【例3】下列所给关系正确的个数是()

①π∈R；

②2∉Q；

③0∈Z；

④|－1|∉N*.

A．1 B．2

C．3 D．4

C解析：根据各个数集的含义可知，①②③正确，④不正确．

【例4】我们在初中学习过一元二次方程及其解法．设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合．

(1)0是否是集合A中的元素？

(2)若－5∈A，求实数a的值；

(3)若1∉A，求实数a的取值范围．

解：(1)将x＝0代入方程有02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素．

(2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，

解得a＝－4.

(3)若1∉A，则12－a×1－5≠0，

解得a≠－4.

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的．

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

提醒：对常见数集的记忆要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范．