集合的概念以及表示讲义教案

1．1集合的概念第1课时集合的概念1．元素与集合的相关概念相关概念表示方法元素把研究对象统称为元素常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的若集合A与集合B相等，则表示为A＝B2.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．3．元素与集合的关系(1)属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 4．常见的数集及记法数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．著名的科学家B．很大的数C．较瘦的人D．小于3的整数D解析：“著名的科学家”和“较瘦的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较瘦”无法客观地判断，因此“著名的科学家”和“较瘦的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合．2．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M 中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C解析：因为x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x ＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．3．已知集合S中的三个元素a，b，c分别是△ABC的三条边长，则△ABC 一定不是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形D解析：由集合中元素的互异性知，a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形．4．用符号∈或∉填空：(其中A表示由所有质数组成的集合)(1)1____A，2____A，3____A；(2)32____Z，33____R，9____N.(1)∉∈∈(2)∉∈∈解析：(1)由2，3为质数，1不是质数，得1∉A，2∈A，3∈A.(2)由32不是整数，33是实数，9是自然数，得32∉Z，33∈R，9∈N.5．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a的值为________．0或1解析：因为a∈A且3a∈A，所以a<6且3a<6，所以a<2.又因为a是自然数，所以a＝0或1.【例1】现有以下说法：①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④D解析：①与③标准不明确，不满足确定性，不能构成集合．②与④中的对象都是确定的，而且都是不同的，能构成集合．故选D.【例2】2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学；(2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm的同学；(4)班级中比较胖的同学；(5)班级中体重超过75 kg的同学；(6)学习成绩比较好的同学；(7)总分前五名的同学．解：(1)班级中全体同学是确定的，可以构成一个集合；(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；(3)“身高超过178 cm”是确定的，可以构成一个集合；(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；(5)“体重超过75 kg”是确定的，可以构成一个集合；(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，不能构成一个集合；(7)“总分前五名”是确定的，可以构成一个集合．一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，a n(a1，a2，…，a n均不相同)能否构成集合的过程为：对于以下说法：①绝对值非常小的全体实数构成一个集合；②长方体的全体构成一个集合；③全体无实数根的一元二次方程构成一个集合；④0，0.5，32，12组成的集合含有四个元素．其中正确的是()A．①②④B．②③C．③④D．②④B解析：①中的元素不能确定，④中的集合含有3个元素，②③中的元素是确定的，所以②③能构成集合．【例3】下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2∉Q；③0∈Z；④|－1|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4C解析：根据各个数集的含义可知，①②③正确，④不正确．【例4】我们在初中学习过一元二次方程及其解法．设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合．(1)0是否是集合A中的元素？(2)若－5∈A，求实数a的值；(3)若1∉A，求实数a的取值范围．解：(1)将x＝0代入方程有02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素．(2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4.(3)若1∉A，则12－a×1－5≠0，解得a≠－4.判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．提醒：对常见数集的记忆要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范．已知集合A是由形如m＋3n(其中m，n∈Z)的数组成的，判断12－3是不是集合A中的元素．解：因为12－3＝2＋3，此时m＝2，n＝1，满足集合A中数的构成形式，所以12－3是集合A中的元素.探究题1已知集合A由元素a－3，2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．解：因为－3∈A，A＝{a－3，2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2，1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0或a＝1.探究题2设A是实数集，满足若a∈A，则11－a∈A，a≠1且1∉A.(1)若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素．(2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由．(3)若a∈A，证明：1－1a∈A.(1)解：因为2∈A，所以11－a ＝11－2＝－1∈A ；所以11－a ＝11＋1＝12∈A ；所以11－a＝11－12＝2∈A .因此，集合A 中至少还有两个元素－1和12.(2)解：不能．如果集合A 中只含有一个元素，则a ＝11－a，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，集合A 中不可能只含有一个元素．(3)证明：a ∈A ⇒11－a∈A ⇒11－11－a ∈A .即1－a 1－a －1＝a －1a ∈A ，故1－1a ∈A .利用集合元素互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 提醒：解答此类问题易出现忽视互异性而产生增根的情形．1．由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．2C 解析：A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等．将选项A 中1代入得1，1，4知不符合要求；将B 中－2代入得4，4，4知不符合要求；将C中6代入得36，－4，4知满足集合中元素的互异性；将D中2代入得4，0，4知不符合要求．2．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．4解析：由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中，由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．第2课时集合的表示1．列举法表示集合(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)形式：A＝{a1，a2，a3，…，a n}．2．描述法表示集合(1)定义：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．(2)形式：1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是()A．0∈A B．1.5∉AC．－1∉A D．6∈AD解析：由题意知A＝{0，1，2，3，4，5}，故选D.2．下列各组集合中，表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}B解析：由集合元素的无序性可知{3，2}＝{2，3}．3．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{0}B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0}D．{x＝0}D解析：A是列举法；C是描述法；对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同；而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”．4．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为____________，用描述法表示为____________．{0，1，2，3，4}{x∈N|－1<x<5}解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x代表元素，其满足的条件是－1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N|－1<x<5}．5．集合A＝{(x，y)|x＋y＝6，x，y∈N}，用列举法表示为____________．{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}解析：由题意得x＝0时y＝6，x＝1时y＝5，x＝2时y＝4，x＝3时y＝3，x＝4时y＝2，x＝5时y＝1，x＝6时y＝0.所以A＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}．【例1】用列举法表示下列集合：(1)方程x2－1＝0的解组成的集合；(2)单词“see”中的字母组成的集合；(3)所有正整数组成的集合；(4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．解：(1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．(2)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}．(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}．(4)方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1，1)}． 【例2】(1)已知3∈{1，a ，a －2}，则实数a 的值为( )A ．3B ．5C ．3或5D ．无解(2)二次函数y ＝x 2－1的图象上纵坐标为3的点的集合为__________________．(1)B (2){(－2，3)，(2，3)} 解析：(1)因为3∈{1，a ，a －2}，所以a ＝3或a －2＝3.当a ＝3时，a －2＝1，违背集合元素的互异性，不满足题意；当a －2＝3即a ＝5时，集合{1，a ，a －2}＝{1，5，3}满足题意．所以实数a 的值为5.(2)令y ＝3得x 2－1＝3，所以x ＝－2或x ＝2.所以在y ＝x 2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为{(－2，3)，(2，3)}．1．在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合．2．“{}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素之间无顺序，满足无序性．3．用列举法表示集合，要分清是数集还是点集．用列举法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n ，0≤n ≤2，且n ∈N}．(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合．(3)x 2－4的一次因式组成的集合．(4)由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合． 解：(1)用列举法表示为P ＝{0，2，4}．(2)用列举法表示为{6，9，12}．(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．(4)用列举法表示为{(1，2)}.【例3】用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－x的图象上的点组成的集合；(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(3)不等式x－2＜3的解组成的集合．解：(1){(x，y)|y＝－x，x∈R，y∈R}．(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，用描述法表示为{x∈R||x|＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．【例4】已知集合A＝{x|x≤10}，a＝2＋3，则a与集合A的关系是() A．a∈AB．a∉AC．a＝AD．{a}∈AA解析：因为a＝2＋3＜2＋2＜10，所以a∈A.1．用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．2．若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．用描述法表示下列集合：(1)不等式2x －3＜1的解组成的集合A .(2)被3除余2的正整数组成的集合B .(3)C ＝{2，4，6，8，10}．(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D .解：(1)不等式2x －3＜1的解组成的集合为A ，则集合A 中的元素是数，设代表元素为x ，则x 满足2x －3＜1，则A ＝{x |2x －3＜1}，即A ＝{x |x ＜2}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z.但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N .所以被3除余2的正整数组成的集合B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}．(3)设偶数为x ，则x ＝2n ，n ∈Z.但元素是2，4，6，8，10，所以x ＝2n ，n ≤5，n ∈N *.所以C ＝{x |x ＝2n ，n ≤5，n ∈N *}．(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x ＜0，y ＞0，故第二象限内的点的集合为D ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＞0}．探究题1 已知集合A ＝{x ∈R|mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R}，若A 中元素至多有一个，求m 的取值范围．解：①当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，x ＝32，符合题意． ②当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得m ≥13，即当m ≥13时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．综上，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＝0或m ≥13.由①②知m ＝0或m ≥13. 探究题2 已知集合A ＝{x ∈R|mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R}，若A 中至少有一个元素，求m 的取值范围．解：A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由探究题1可知，当m ＝0或m ＝13时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－12m ＞0，即m ＜13且m ≠0.所以A 中至少有一个元素时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤13. 探究题3 已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}D 解析：由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0，解得p ＝－3，q ＝4，则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3，即x 2－6x ＋5＝0，解得x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．1．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．2．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的个数问题在涉及ax 2＋bx ＋c ＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a 是否为0，当a ＝0时，方程为bx ＋c ＝0是一次方程，再分b 是否为0两种情况讨论其根的个数；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，则a 2 019＋b 2 019的值为________．－1 解析：因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}， 又因为a ≠0，1≠0，所以b a ＝0，所以b＝0，所以{a，0，1}＝{a2，a，0}，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，A＝{1，0，1}不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1，即集合A＝{－1，0，1}，此时a＝－1，b＝0，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1＋0＝－1.2．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，方程是一元一次方程－8x＋16＝0，方程只有一个根x＝2.当k≠0时，由于集合A中只有一个元素，所以方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1，此时x1＝x2＝4，所以集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．。