《正弦函数的图象与性质》例题

∴ 2kπ＋π2≤ x－π4≤ 2kπ＋32π(k∈ Z)， 得 2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， ∴函数 y＝2sin(π－x)的递增区间为
4 [2kπ＋34π， 2kπ＋74π](k∈ Z)． (2)由 sin x＞0 得 2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∴函数的定义域为 (2kπ， 2kπபைடு நூலகம்π)(k∈ Z)，
设 u＝sinx，则 0＜u≤1，又 y＝ l o g 1 u 是减函数， 2
∴函数的值域为 [0，＋∞ )．
∵1＜1，∴函数 y＝ l o g 1 sinx 的递增区间即为 u
2
2
＝sinx 的递减区间，
∴ 2kπ＋π2≤ x＜ 2kπ＋π(k∈ Z)．
故函数 y＝ l o g 1 sinx 的递增区间为
例1 用“五点法”画出函数y＝3－sinx (x∈[0,2π])的图象．
【思路点拨】 借助于五点作图法按下列次序完 成： 列表 ―→ 描点 ―→ 连线成图
【解】 (1)列表，如表所示：
x
sinx 3－sinx
0
π 2
π
3 2π
2π
0 1 0 －1 0
323 4 3
(2)描点，连线，如图所示
【点评】 (1)在利用关键的五个点描点作图时 要注意，被这五个点分隔的 区间上函数的变化情 况，在 x＝0，π，2π 附近，函数图象上升或下降 得快一些，曲线“陡”一些；在 x＝π2，32π附近， 函数变化得慢一些 ，曲线变得“平缓”． (2)在解 题过 程中 ，常用 “五 点法” 作出 简图， 使计算更加快捷．
【解】 (1)∵x∈R，f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos34x， ∴f(－x)＝－cos3－4 x＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin(34x＋32π)为偶函数．
(2)函数应满足 1＋sinx≠0， ∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠2kπ＋32π，k∈Z}． ∵函数的定义域不关于原点对称，
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin(34x＋32π)；
(2)f(x)＝1＋
sinx－ cos 2 x 1＋sinx .
【思路点拨】 解答本题中的(1)可先利用诱导公 式化简f(x)，再利用f(－x)与f(x)的关系加以判断． 解答本题中的(2)可先分析f(x)的定义域，然后再利 用定义加以分析．
①求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的 系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx＋φ代 入相应不等式中，求解相应的变量x的范围． ②求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同 时还要注意内层、外层函数的单调性．
调区间和值域．
2
【解】 (1)因为 u＝π4－x 取任意实数，y＝2sinu 函 数都有意义，所以 x 可取任意实数，故函数的定义 域为 R. 又因为－1≤sinu≤1，－2≤2sinu≤2， 所以函数的值域为[－2,2]． ∵ y＝ 2s in(π4 － x)＝－ 2s in(x－π4 )， ∴函数 y＝2sin(π4－x)的递增区间就是函数 y＝2sin(x－π4)的递减区间．
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
【点评】 判断函数的奇偶性，首先要看定义域 是否关于原点对称，再看 f(－x)与 f(x)的关系．如 (2)若不分析定义域而是急于看 f(－x)与 f(x)的关 系，可将式子化简为 sin x，从而易于得出 f(x) 为奇函数的错误结 论．
例3 求下列函数的定义域、值域及单调递增
②形如y＝psin2x＋qsinx＋r(p≠0)形的三角函数最 值问题常利用二次函数的思想转化成给定区间[m， n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数 形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转 化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问 题来求解．
③若是含有三角函数的复合函数，则需根据复合 函数的组成，在定义域内，由内层到外层分步求 得函数的值域． (3)求函数的单调区间时：
[2kπ＋π，
2
2kπ＋
π)(k∈
Z)．
2
【点评】 (1)求函数定义域通常是解不等式组， 在求解综合性较强的含三角函数的复合函数的定
义域时，则常利用数形结合，在函数图象或单位
圆中表示各不等式所表示的角，然后取各部分的 公共部分(即交集)． (2)求函数的值域常见的几种类型： ①求有关y＝Asin(ωx＋φ)＋b，x∈R的最值或值 域这类题目的关键在于充分利用正弦函数y＝sinx 的有界性，即|sinx|≤1.
区间．
(1)y＝2sin(π－x)；(2)y＝ l o g 1 sinx.
4
2
【思路点拨】 解答本题中(1)可先求出函数的定义
域和值域，然后再把原式化为 y＝－2sin(x－π4)，借
助于 y＝sinu 的单调性加以处理．
解答本题中(2)可先分析 sinx>0，得出函数的定义
域，然后借助于 y＝ l o g 1 u 的单调性分析，求得单