理论力学公式
理论力学复习
一.静力学公理
公理1 二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等、方向相反、作用线共线，作用于同一
个物体上。 (简称等值、反向、共线） 注意： F1 F2
F 1 F 2
注意：①对刚体来说，上面的条件是充要的
②对变形体来说，上面的条件只是必要条件(或多体中)
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件 (二力体)
二.力的投影和力的分力的区别
力的投影和力的分力是两个不同的概念，不得混淆： （1）力在轴上的投影是代数量，由力的投影X、Y、Z只能 求出力的大小和方向，不能确定其作用点的位置；而力的分
力是矢量，由力的分力完全可以确定力的大小和方向及作用
点的位置。 （2）力的投影是向轴作垂线而得，力的分力则是利用平行 四边形法则而得。在笛卡尔坐标系中关系式
约束物体绕固定端在该平面内转动，如
图悬臂梁所示。
阻碍被约束物体移动的约束力为两
个正交的分力，阻碍被约束物体转动的 为反力偶。 故平面固定端的约束反力又三个 。
§1-5 物体的受力分析和受力图
1.分离体（或脱离体）：从周围物体中单独分离出来的研究 对象。 2.受力图：表示研究对象（既脱离体）所受全部力的图形。 主动力一般是先给定的，约束力则需要根据约束的性质来判 断。 3.画物体受力图主要步骤为： (1) 根据题意选取研究对象，并用尽可能简明的轮廓把它 单独画出，即解除约束、取分离体。 (2)在脱离体上画主动力。要画上其所受的全部的主动力，不 能漏掉，也不能把不是作用在该分离体上的力画在该分离体 上。主动力的作用点（线）和方向不能任意改变。
F
O
d
Fz
理论力学6—刚体的基本运动
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
理论力学公式知识点总结
理论力学公式知识点总结牛顿第一定律：一个物体如果受力为零，那么它要么静止，要么匀速直线运动。
即物体的运动状态不变，或者说物体维持原来的状态不变。
数学表示为\[ \mathbf{F} = 0 \Longrightarrow \frac{d\mathbf{v}}{dt} = 0 \]牛顿第二定律：一个物体受到的力等于它的质量乘以它的加速度。
即\[ \mathbf{F} = m\mathbf{a} \]其中，\(\mathbf{F}\)表示物体受到的合力，\(m\)表示物体的质量，\(\mathbf{a}\)表示物体的加速度。
牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用于不同的物体上。
即\[ \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21} \]其中，\(\mathbf{F}_{12}\)表示物体1对物体2的作用力，\(\mathbf{F}_{21}\)表示物体2对物体1的反作用力。
力的合成与分解：当一个物体受到多个力的作用时，这些力可合成为一个合力，合力的方向和大小可以通过几何法或者三角法计算得出。
反之，一个力可以分解为多个分力，分力的方向和大小也可以通过几何法或者三角法计算得出。
动量定理：当一个物体受到外力时，它的动量会发生变化。
动量定理可以表示为\[ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \]其中，\(\mathbf{F}\)表示外力，\(\mathbf{p}\)表示物体的动量。
冲量：当外力作用时间很短，物体的动量变化可以用冲量来表示。
冲量的大小等于外力在时间上的积分，即\[ \mathbf{I} = \int \mathbf{F} dt \]其中，\(\mathbf{I}\)表示冲量。
角动量：一个物体绕着轴线运动时，它具有角动量。
角动量的大小等于物体的质量乘以它的速度和距离轴线的距离的乘积，即\[ L = r \times p \]其中，\(L\)表示角动量，\(r\)表示物体距离轴线的距离，\(p\)表示物体的动量。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
理论力学公式范文
理论力学公式范文理论力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的规律。
其核心是用数学方法描述物体受力和运动的关系，从而推导出力学公式。
下面将介绍几个重要的理论力学公式。
1. 牛顿第二定律：F = ma牛顿第二定律是理论力学的基础公式之一，描述了物体受力和加速度之间的关系。
它说明了一个物体所受合力与其质量乘以加速度之间的关系。
在这个公式中，F代表合力，m代表物体质量，a代表物体的加速度。
2.动能定理：W=ΔK动能定理描述了物体动能的变化与力做功之间的关系。
根据这个定理，物体动能的增量等于力对物体所做的功。
其中，W为力所做的功，ΔK为物体动能的变化量。
3.动量定理：FΔt=Δp动量定理描述了力的作用使物体动量发生变化的关系。
它表明力与物体作用时间的乘积等于物体动量的变化量。
其中，F为力的大小，Δt为力的作用时间，Δp为物体动量的变化量。
4. 弹性势能：U = 1/2kx^2弹性势能描述了弹性体由于变形而具有的储存能量。
对于弹性体来说，当其形状发生变化时，会具有恢复力，并且会储存一定的能量，这部分能量就是弹性势能。
其中，U为弹性势能，k为弹簧劲度系数，x为弹性体的变形量。
5.万有引力定律：F=G*(m1*m2)/r^2万有引力定律是描述两个物体之间引力作用的公式。
根据这个定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
其中，F为引力的大小，G为万有引力常数，m1和m2为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
以上是几个重要的理论力学公式，它们是理论力学研究的基础，被广泛应用于科学研究和工程实践中。
通过这些公式，我们可以准确地描述和解释物体运动的规律，进而预测和控制各种物理现象。
理论力学公式
理论力学公式理论力学是物理学中重要的分支之一，它研究的是物质运动的规律以及力对物体运动的影响。
在理论力学中有很多重要的公式，下面将介绍一些较为常用的公式。
1.速度与位移的关系：速度（v）是一个物体在单位时间内所经过的位移（s）的变化率。
速度的公式可以表示为：v = ds/dt其中，v代表速度，s代表位移，t代表时间。
这个公式表明，速度等于位移的导数。
2.加速度和速度的关系：加速度（a）是一个物体在单位时间内速度（v）的变化率。
加速度的公式可以表示为：a = dv/dt其中，a代表加速度，v代表速度，t代表时间。
这个公式表明，加速度等于速度的导数。
3.牛顿第二定律：牛顿第二定律描述了力对物体运动的影响。
牛顿第二定律可以表示为：F = ma其中，F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个公式表明，物体受到的力等于其质量乘以加速度。
4.动能和功的关系：动能（K）是物体运动时所具有的能量。
根据定义，动能等于物体的质量乘以速度的平方的一半，即：K = (1/2)mv^2其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
功（W）则描述了力对物体运动所做的功。
功的公式可以表示为：W = F·s·cosθ其中，W代表功，F代表力，s代表位移，θ代表力在位移方向上与位移的夹角。
这个公式表明，功等于力乘以位移乘以力在位移方向上的投影。
5.势能和力的关系：势能（U）是力学系统中保持的一种能量形式。
势能的公式可以表示为：U = -∫F·ds其中，U代表势能，F代表力，s代表位移。
这个公式表明，势能等于力对位移的负积分。
6.角动量和力矩的关系：角动量（L）是一个物体围绕一些点旋转时所具有的动量。
L=r×p其中，L代表角动量，r代表与旋转点的矢量距离，p代表物体的动量。
这个公式表明，角动量等于与旋转点的矢量距离与动量的叉乘。
力矩（τ）则描述了力对物体旋转的影响。
力矩的公式可以表示为：τ=r×F其中，τ代表力矩，r代表与旋转点的矢量距离，F代表力。
理论力学中的机械能守恒定律
理论力学中的机械能守恒定律理论力学是研究物体在力的作用下的运动规律的学科。
在理论力学中，机械能守恒定律是一个基本的物理定律，用于描述系统中机械能的守恒性质。
本文将围绕机械能守恒定律展开讨论，探究其在理论力学中的重要性和应用。
1. 机械能的定义和组成在理论力学中，机械能是指物体在运动过程中具有的与力学相关的能量。
它可以分为动能和势能两部分。
1.1 动能动能是物体由于速度而具有的能量。
它的大小与物体的质量m以及运动的速度v有关，可用公式E_k = 1/2mv^2计算得出。
动能的大小决定了物体的运动状态，当速度增大时，动能也相应增加。
1.2 势能势能是物体由于位置关系而具有的能量。
例如弹簧的弹性势能、重物的重力势能等，都是常见的势能形式。
势能的大小取决于物体的位置和力的性质，通常可以用公式E_p = mgh表示，其中m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体相对于一个参考点的高度。
2. 机械能守恒定律的表述机械能守恒定律表明在没有非保守力做功的情况下，一个系统的机械能保持不变。
换句话说，系统的总动能和总势能之和保持不变。
数学上可以表述为E = E_k + E_p = 常量。
其中E_k是系统的动能，E_p是系统的势能，E是系统的机械能。
3. 机械能守恒定律的应用机械能守恒定律在理论力学的许多领域中都有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用示例。
3.1 自由落体运动自由落体运动是指只受重力作用下的物体运动。
根据机械能守恒定律，自由落体运动中物体的机械能保持不变。
开始时，物体只有重力势能，随着下落速度的增加，势能逐渐转化为动能。
当物体到达最高点时，速度最大，势能最小，而当物体触地时，速度最小，势能为零。
在整个运动过程中，动能和势能之和保持不变，验证了机械能守恒定律的正确性。
3.2 弹性碰撞在理论力学中，弹性碰撞是指物体在碰撞过程中能量完全弹回的情况。
根据机械能守恒定律，弹性碰撞中两个物体的总机械能在碰撞前后保持不变。
理论力学三角形载荷的计算公式
理论力学三角形载荷的计算公式
1、均匀分布载荷f、dx dy上的力fdxdy是常数、其产生的力矩为xfdxdy (x轴方向类)、对xfdxdy沿受力面积用二重积分积一下就解决了、如果是园形r 径向类。
力矩为rrdrda,对rrdrda沿受力面积用二重积分积一下一样解决。
对三角形分布在载荷的力和力矩,要确定力矩方向和受力面边界方程。
2、可以将均布载荷看成一个集中力，这个集中力的大小就是均布载荷的面积（q·L），作用于分布区域的中点（L/2）处。
运用均布载荷计算弯矩的公式可以简单认为M=（q*x^2）/2，x是均布载荷的长度。
其来历是：q*x是作用在结构上的合力F，单位为N，合力的作用点位于载荷作用的中点，故F的力臂为x/2米，从而弯矩M=（q*x^2）/2。
力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。
力矩的单位是牛顿-米。
力矩希腊字母是tau。
力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
转动力矩又称为转矩或扭矩。
力矩能够使物体改变其旋转运动。
推挤或拖拉涉及到作用力，而扭转则涉及到力矩。
力矩等于径向矢量与作用力的叉积。
理论力学匀速曲线运动公式
理论力学匀速曲线运动公式1)平抛运动1.水平方向速度：Vx＝Vo2.竖直方向速度：Vy＝gt3.水平方向位移：x＝Vot4.竖直方向位移：y＝gt2/25.运动时间t＝(2y/g）1/2(通常又表示为(2h/g)1/2)6.合速度Vt＝(Vx2+Vy2)1/2＝[Vo2+(gt)2]1/2合速度方向与水平夹角β:tgβ＝Vy/Vx＝gt/V07.合位移：s＝(x2+y2)1/2,位移方向与水平夹角α:tgα＝y/x＝gt/2Vo8.水平方向加速度：ax=0；竖直方向加速度：ay＝g注：(1)平抛运动是匀变速曲线运动,加速度为g,通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成；(2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关；（3）θ与β的关系为tgβ＝2tgα；（4）在平抛运动中时间t是解题关键；(5)做曲线运动的物体必有加速度,当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时,物体做曲线运动.2）匀速圆周运动1.线速度V＝s/t＝2πr/T2.角速度ω＝Φ/t＝2π/T＝2πf3.向心加速度a＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合5.周期与频率：T＝1/f6.角速度与线速度的关系：V＝ωr7.角速度与转速的关系ω＝2πn(此处频率与转速意义相同)8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2.注：（1）向心力可以由某个具体力提供,也可以由合力提供,还可以由分力提供,方向始终与速度方向垂直,指向圆心；（2）做匀速圆周运动的物体,其向心力等于合力,并且向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小,因此物体的动能保持不变,向心力不做功,但动量不断改变.3)万有引力1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM)｛R:轨道半径,T:周期,K:常量(与行星质量无关,取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N•m2/kg2,方向在它们的连线上）3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m),M：天体质量（kg）｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2｛M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2｛h≈36000km,h:距地球表面的高度,r地:地球的半径｝注:(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万；(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等；(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空,运行周期和地球自转周期相同；(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）；(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。
理论力学拉力设计值计算公式
理论力学拉力设计值计算公式
理论学拉力设计值公式：F=w/s，拉力简写为F，力的单位为牛顿，简称牛，符号N。
弹簧的拉力大小F跟弹簧的伸长（或缩短）的长度成正比，即F=kx，公式中的k叫做弹簧的劲度系数。
拉力是按力的效果定义的，从力的性质来看，拉力也是弹力，而从力的作用对象来看，拉力可能是内力，也可能是外力。
如果物体在受到阻力和拉力两个力的情况下，如果物体做匀速直线运动或保持静止状态，那么此时F拉=F阻，拉力和阻力是一对平衡力，物体处于二力平衡状态（合力为零）。
在特定情况下，如果物体做加速运动，则F拉>F阻；如果物体做减速运动，则F拉<F阻。
汽车作匀速直线运动时，拉力(牵引力)跟摩擦力平衡。
摩擦力等于拉力吗
当物体处于静止状态时，摩擦力为静摩擦力，大小等于拉力；当物体处于匀速直线运动状态时，摩擦力为动摩擦力，大小等于拉力。
摩擦力的方向与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
理论力学公式集锦
精品第一章 静力学力对点之矩 力对轴之矩 力偶对空间任意点O 主矢 主矩 平行力系中心物体的重心连续物体，比重为g =g (x ,y ,z )力系平衡的充分必要条件:R = S F i = 0 M O = S m O (F i ) =0 第二章 运动学基础 1、自然法（弧坐标法）运动方程 速度 加速度2、 极坐标法运动方程 速度 加速度角速度矢量、角加速度矢量定轴转动刚体内点的速度和加速度()F r F m ⨯=O ()kF r F ⋅⨯=)(xy xy z m ()()()F m F m F F m '+='o o o ,()F r F r r ⨯=⨯-=B A ∑=i F R ()∑=i O O F m M 0≡⋅R M O WW x x iiC ∑∆=WW y y iiC∑∆=WW z z iiC∑∆=⎰⎰=vvC dvxdvx γγ⎰⎰=vvC dvydvy γγ⎰⎰=vvC dvzdvz γγ)(t s s =d d d d d d r rv s s t t s ==⋅=τn τn τa n a a v s +=+=τρ2()t ρρ=()t ϕϕ=()ϕρρϕρρρe e e dtd dt r d v+===()()22a e eρϕρρϕρϕρϕ=-++d d ωk k tϕω=＝k k ωεεϕ===22d d d d t t 22ωεωτR Rv a R R v a n =====精品 泊松(Poisson)公式第三章 刚体复杂运动运动学 基点法速度投影定理 加速度分析第四章 点的合成运动 矢量的绝对导数与相对导数 速度合成定理 加速度合成定理第五章 质点动力学质点动力学基本方程（牛顿第二定律）非惯性系的动力学基本方程 相对静止与相对平衡 相对运动动能定理第六章 动力学普遍定理 质点系的动量质点系的动量定理 质心运动定理变质量质点的动力学基本方程 动量矩 定轴转动刚体 平面运动刚体b ωb⨯= r ωv v '⨯+=A B BAA v v +=βαcos cosB A v v =()r ωωr εa a '⨯⨯+'⨯+=A M nMAMA A M aa a a ++=τA dtAd dt A d ⨯+=ω~er v v v +=a a a a r e K=++2K ra ωv =⨯r e km =++a F Q Q 0=+e Q F 0=++k e Q Q F QeF r r A A T T +=-0r Q r F '⋅+'⋅=d d dT e r Ci i m m v v K ==∑()e i rd dm mdtdtvF v ()o cr o c m L L L v ()z z i i L M m v =∑z I ω∑=2i i z r m I )(c c c c c z o x y yx m I L L -+==ωc c c o vm r v m L⨯=)(()()o od m m dt=⨯+⨯=L v v v r F M F ()()i e z z I M εF精品质点的动量矩定理质点系相对动点的动量矩定理 力的功质点系的动能 平面运动刚体的动能 质点系的动能定理势 能机械能守恒定律第七章 转动惯量与惯量张量 转动惯量转动惯量的平行轴定理如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！()()e Ar A A e d dt L M M Q =+2112F r Mi iM A d =⋅⎰∑=+=n i ir i c v m mv T 1222121222121ωc c I mv T +=2Md I Ιz z+='2d L MI r m=⎰()⎰ ⎰ + + = ⋅ = 0M Mzy x M M dz F dy F dx F d U r F 22 1 1 U T U T + = +。
理论力学重点总结
理论力学重点总结理论力学重点总结绪论1.学习理论力学的目的：在于掌握机械运动的客观规律，能动地改造客观世界，为生产建设服务。
2.学习本课程的任务：一方面是运用力学基本知识直接解决工程技术中的实际问题；另一方面是为学习一系列的后继课程提供重要的理论基础，如材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、机械原理、机械零件等以及有关的专业课程。
此外，理论力学的学习还有助于培养辩证唯物主义世界观，树立正确的逻辑思维方法，提高分析问题与解决问题的能力。
第一章静力学的基本公理与物体的受力分析1-1静力学的基本概念1.刚体：即在任何情况下永远不变形的物体。
这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远保持不变。
2.质点：指具有一定质量而其形状与大小可以忽略不计的物体。
1-3约束与约束力1.自由体：凡可以在空间任意运动的物体称为自由体。
2.非自由体：因受到周围物体的阻碍、限制不能作任意运动的物体称为非自由体。
3.约束：力学中把事先对于物体的运动（位置和速度）所加的限制条件称为约束。
约束是以物体相互接触的方式构成的，构成约束的周围物体称为约束体，有时也称为约束。
4.约束力：约束体阻碍限制物体的自由运动，改变了物体的运动状态，因此约束体必须承受物体的作用力，同时给予物体以相等、相反的反作用力，这种力称为约束力或称反力，属于被动力。
5.单面约束、双面约束：凡只能阻止物体沿一方向运动而不能阻止物体沿相反方向运动的约束称为单面约束；否则称为双面约束。
单面约束的约束力指向是确定的，即与约束所能阻止的运动方向相反；而双面约束的约束力指向还决定于物体的运动趋势。
6.柔性体约束：为单面约束。
只能承受拉力，作用在连接点或假想截割处，方向沿着柔软体的轴线而背离物体，常用符号F T表示。
（绳索、胶带、链条）7.光滑接触面（线）约束：为单面约束，其约束力常又称为法向约束力。
光滑接触面（线）的约束力只能是压力，作用在接触处，方向沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，常用符号F N表示。
理论力学知识点总结公式
理论力学知识点总结公式理论力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。
它是物理学的基础，对于理解自然界的运动规律和分析物体的运动状态具有重要的意义。
本文将介绍理论力学的基本概念、重要定律和公式，并对其应用进行探讨。
一、基本概念1. 物体的质点和刚体质点是指质量可以集中于一个点的物体，它没有大小和形状，仅有质量和位置。
刚体是指即使受到外力也能保持形状不变的物体，它具有质量、大小和形状。
2. 位矢和位移位矢是指从参考点到物体的位置的矢量，通常用r表示。
位移是指物体在运动过程中位置的变化，通常用Δr表示。
3. 速度和加速度速度是指单位时间内物体位置的变化率，通常用v表示。
加速度是指单位时间内速度的变化率，通常用a表示。
4. 动量和力动量是指物体运动的特性，通常用p表示。
力是导致物体加速的原因，通常用F表示。
5. 动力学方程动力学方程描述了物体运动的规律，它由牛顿的第二定律得出：F=ma。
二、重要定律1. 牛顿三定律牛顿第一定律：物体静止或匀速运动的状态会保持下去，直到受到外力的作用改变为止。
牛顿第二定律：物体的加速度与受到的力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第三定律：对于任何施加力的物体，它都会受到一个与之大小相等、方向相反的反作用力。
2. 质点系和刚体系质点系的基本原理是质点的加速度等于所有作用在其上的力之和。
刚体系的基本原理是刚体上每一点的加速度相等。
三、运动方程1. 直线运动对于直线运动的质点，其运动方程可以由牛顿第二定律得出：F=ma，从而得出质点位置的变化规律。
2. 曲线运动对于曲线运动的质点，需要考虑外力对其产生的速度和加速度的影响，从而得出质点运动的轨迹和位移。
3. 刚体运动对于刚体的运动，需要考虑刚体上各部分的相对运动关系，从而得出刚体的整体运动规律。
四、能量和功1. 功功是力在物体运动过程中对物体产生的影响，它等于力与位移的乘积。
通常用W表示。
2. 功率功率是指单位时间内做功的速率，它等于功与时间的比值。
理论力学之动量矩定理
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对同一点的力矩。
B 固定轴
d M O (mv ) M O ( F ) dt
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)： d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv) M y (F ) dt d M z (mv) M z (F ) dt 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用 于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。 质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
理论力学科氏加速度公式
1.理论力学科氏加速度公式？
答：科氏加速度等于2ωVr。
又名科氏加速度，在转动参考系中，物体在做牵连运动的同时，沿旋转半径做相对运动，由牵连运动和相对运动交互耦合而形成的加速度称为科里奥利加速度。
其方向的判定：当牵连运动的速度随时间而增加时，加速度方向与牵连运动相同，反之则相反。
两个参考系可以是相互旋转的，例如高速离心机开动时试管参考系和桌面参考系就是相对旋转的。
试管中的颗粒沿试管作直线运动，而相对于桌面却是螺线运动，因此我们也需要旋转坐标系之间的变换。
理论力学常用公式
理论力学常用公式第1章、静力学部分1-1力沿直角坐标轴的解析表达式F=F x i+F y j+F z k；F x、F y、F z为力F相对于各坐标轴的投影；力与坐标轴x、y、z夹角为θ1、θ2、θ3，则力在x、y、z上的投影分别为F x=F cosθ1，F y=F cosθ2，F z=F cosθ3。
F=F x+F y+F z；F x、F y、F z为力 F在x、y、z轴上的分力。
1-2力对点的矩M o(F)=r×F；M o(F)=|i j kx y zF x F y F z|。
1-3力对轴的矩力F对某一轴的矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于该轴与该平面的交点的矩，为代数量。
当力与矩轴在同一平面时，力对该轴的矩为零。
1-4基本约束与约束力1)柔索。
约束力作用在接触点，方向沿着柔索，指向背离物体，使物体受拉。
2)光滑接触面。
约束力作用在接触点，方向沿接触面在该点的公法线，并为压力（指向物体内部）。
3)固定铰支座。
约束力垂直于销钉轴线，通过销钉中心，方向不定。
通常用两个相互垂直的力表示。
4)铰链接。
约束力通常表示为两个相互垂直的力。
5)活动铰支座或辊轴支座。
约束力通过销钉中心，垂直于支撑面，指向不定（即可能是压力或拉力）。
6)链杆。
约束力沿着链杆中心线，指向不定。
7)滑移支座。
约束力可表示为垂直于支撑面方向的一个力和一个力偶。
8)球铰支座。
约束力通过球心，通常用三个相互垂直的分力来表示。
9)径向轴承。
约束力可用垂直于轴线的两个相互垂直的分力表示。
10)止推轴承。
与径向轴承相比，其约束力增加了沿轴线方向的分力。
11)固定支座或固定端。
平面固定端的约束力为一个方向未定的力和一个力偶；空间固定端的约束力为空间内一个方向未定的力和方向未定的力偶矩矢。
1-5物体的受力分析方法1)取研究对象。
将所研究部分的周围约束去掉，并从整体中分离出来；2)受力分析。
根据外加载荷和约束性质判断并确定作用在物体上有几个力，哪些是主动力，哪些是约束力，并判断各力的作用线、方向、大小；3)画受力图。
理论力学10动量矩定理
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
理论力学
题型 空间汇交力系 空间平行力系 传动轴 六力矩式平衡方程
例3 空间支架由三根直杆组成，如图所示，已知W=1kN。α=30° β=60°，φ=45°，试求杆AB、BC、BD所受的力。 解 取B铰为研究对象。
∑ Fz = 0
FBD
∑ Fy = 0
FBD cos α W = 0 W W 2 = = = W = 1.155 kN cos α cos α 3 FBC sin β FBD sin α cos = 0
（2） R ≠0，主矩MO≠0，且 F′ ⊥M ′ FR O，得作用于O’点的一个合力 。 FR
其作用线离简化中心O的距离为： d =
MO FR
。
R R R
R
R
a)
b)
c)
3.空间力系简化为力螺旋的情形 空间力系简化为力螺旋的情形 力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。
R R R
60m m
例 2 如图所示，铅直力F=500N， 作用于曲柄上。试求此力对轴x、y、z 之矩及对原点O之矩。
30 0m m
30°
36 0m m
解：F对x、y、z之矩 分别为：
M x (F ) = F (300+ 60) = 500× 360 = 180×103 N mm = 180N m M y (F ) = F × 360cos30° = 500× 360× = 155.9 N m M z (F ) = 0
4、Mz(F)为零情况 、 为零情况 力的作用线与轴平行（Fxy=0）或相交（h=0）时，力对该轴的矩为零。 即，当力的作用线与轴线共面时，力对该轴之矩为零。
5、力对轴之矩合力矩定理 、 定理： 定理：合力FR对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。 即：M z ( FR ) =
理论力学18—动能定理
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上的力的元功。
18.3 动能定理
d(1 mv2) δW 2
积分上式，得
v2 v1
d(1mv2) 2
W12
或
12mv2212mv12 W12
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量 等于作用于质点的力作的功。
18.3 动能定理
解：分析系统，初瞬时的动能为 T1 0
设连杆OA运动到水平位置时的
角速度为，由于OA＝AB，所以杆
AB的角速度也为，且此时B端为杆
AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为
零，vB=0。系统此时的动能为
T2 12IO2 12IB2
a
O
1(1ml2)2 1(1ml2)2 1ml22
23
23
3
F A
vA
B vB
j v A O 1 A A B 2 a c o s a
TA
12mAvA2
ma22
2
v B O 1 B A B 2 a sin j3 a
O
TB12mBvB2
3ma22
2
vA
vC
j
AB
O1
C
vB B
对于曲柄OC：
IO13mOCa2 ma2
vA
TOC1 2IO21 6ma22
A
O1
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此所有力的功为
W W T W F 2 0 0 1 5 0 5 0 N c m
18.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
T 1 mv 2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
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2013.1.27兰州师兄的建议：考试不仅仅是知识的积累，更重要的是会学，重点考试内容必须掌握，所以我们要好好复习静力学静力学是研究物体在力系作用下平衡的科学。
第一章、静力学公理和物体的受力分析1、基本概念：力、刚体、约束和约束力的概念。
2、静力学公理：（1）力的平行四边形法则；（三角形法则、多边形法则）注意：与力偶的区别（2）二力平衡公理；（二力构件）（3）加减平衡力系公理；（推论：力的可传性、三力平衡汇交定理）（4）作用与反作用定律；（5）刚化原理。
3、常见约束类型与其约束力：（1）光滑接触约束——约束力沿接触处的公法线；（2）柔性约束——对被约束物体与柔性体本身约束力为拉力；（3）铰链约束——约束力一般画为正交两个力，也可画为一个力；（4）活动铰支座——约束力为一个力也画为一个力；（5）球铰链——约束力一般画为正交三个力，也可画为一个力；（6）止推轴承——约束力一般画为正交三个力；（7）固定端约束——两个正交约束力，一个约束力偶。
4、物体受力分析和受力图：（1）画出所要研究的物体的草图；（2）对所要研究的物体进行受力分析；（3）严格按约束的性质画出物体的受力。
意点：（1）画全主动力和约束力；注（2）画简图时，不要把各个构件混在一起画受力图；（3）灵活利用二力平衡公理（二力构件）和三力平衡汇交定理；（4）作用力与反作用力。
第二章、平面汇交力系与平面力偶系1、平面汇交力系： （1）几何法（合成：力多边形法则；平衡：力多边形自行封闭）（2）解析法（合成：合力大小与方向用解析式；平衡：平衡方程0xF=∑，0y F =∑）意点：（1）投影轴尽量与未知力垂直；（投影轴不一定相互垂直）（2）对于二力构件，一般先设为拉力，若求出负值，说明受压。
2、平面力对点之矩——()O M Fh =±F ，逆时针正，反之负 意点：灵活利用合力矩定理 3、平面力偶系： （1）力偶：由两个等值、反向、平行不共线的力组成的力系。
（2）力偶矩：M Fh =±，逆时针正，反之负。
（3）力偶的性质：[1]、力偶中两力在任何轴上的投影为零；[2]、力偶对任何点取矩均等于力偶矩，不随矩心的改变而改变；（与力矩不同） [3]、若两力偶其力偶矩相等，两力偶等效； [4]、力偶没有合力，力偶只能由力偶等效。
（4）力偶系的合成（iM M=∑）与平衡（0M =∑）第三章、平面任意力系1、力的平移定理：把力向某点平移，须附加一力偶，其力偶矩等于原力对该点的力矩。
2、简化的中间结果：（1）主矢R'F ——大小：R F '=；方向：(cos ,/R ix R F F =F i ，()cos ,/R iyRF F ''=∑F j 。
（2）主矩()OO iM M =∑F3、简化的最后结果：（1）主矢0R'≠F ——[1]、0O M =，合力，作用在O 点； [2]、0O M ≠，合力，作用线距O 点为/O RM F '。
（2）主矢0R'=F ——[1]、0O M ≠，合力偶，与简化中心无关； [2]、0O M =，平衡，与简化中心无关。
4、平面任意力系的平衡（1）平衡条件——0R'=F 、0O M =。
（2）平衡方程——[1]、基本式：0xF =∑、0yF =∑、()0OM =∑F ；[2]、二矩式：0xF =∑、()0AM =∑F 、()0BM =∑F ，A 、注 注B 连线不垂直于x 轴；[3]、三矩式：()0AM =∑F 、()0BM =∑F 、()0CM =∑F ，A 、B 、C 三点不得共线。
5、平面平行力系平衡方程： （1）0yF =∑、()0OM =∑F ，y 轴不垂直力的作用线；（至少有一个力矩方程） （2）()0AM =∑F 、()0BM =∑F ，A 、B 连线不与各力平行。
意点：（1）矩心应取在多个未知力的交点上；（2）投影方程和力矩方程中的正负号；（2）平衡方程的写法：()0AM =∑F ，不可写成0M =∑、()0M A =∑、()0AM F =∑或()0A=∑M F 。
6、静定与超静定问题——比较未知量个数与独立平衡方程的个数。
7、平面简单桁架内力计算——（1）节点法（平面汇交力系）、（2）截面法（平面任意力系）第四章、空间力系1、力在轴上的投影——直接投影法、间接（二次）投影法。
2、空间汇交力系——合成与平衡（三个独立方程）3、力对点之矩、力对轴之矩——对点()O =⨯M F r F ，对轴 ()z z xy M M F h ==±F 等；力对点的矩矢在过该点的轴上的投影等于力对该轴的矩。
4、空间力偶系——合成与平衡5、空间任意力系的简化：（1）中间结果：[1]、主矢Ri '=∑F F ——大小：R F '=方向：()cos ,/RixRFF '=F i 等。
[2]、主矩()O Oi=∑M M F（2）最后结果：[1]、主矢0R'≠F ——[a]、0O =M ，合力，作用线过简化中心； [b]、0O ≠M 、R O '⊥F M ，合力，作用线距O 点为/O R M F '；[c]、0O ≠M 、//RO 'F M ，力螺旋，中心轴过O 点。
[2]、主矢0R'=F ——[a]、0O ≠M ，合力偶，与简化中心无关； [b]、0O =M ，平衡，与简化中心无关。
6、空间任意力系的平衡（1）平衡条件——0R'=F 、0O =M 。
（2）平衡方程——0xF=∑、0y F =∑、0z F =∑、注()0xM =∑F 、()0yM =∑F 、()0zM =∑F 。
（3）、空间平行力系平衡方程：0zF =∑、()0xM =∑F 、()0yM =∑F 等7、重心确定方法：（1）利用对称性：在对称轴、对称面或对称中心上； （2）分割法（负面积法）：/C i ix Px P =∑等；——三角形的重心/3h 、半圆的重心43Rπ（3）实验法：悬挂法，称重法。
第五章、摩擦1、滑动摩擦力（1）静滑动摩擦力——方向：与相对滑动趋势方向相反；大小：max 0s s N F F f F ≤≤=。
（2）动滑动摩擦力——方向：与相对滑动方向相反； 大小：d d N F f F =。
2、摩擦角与自锁（1）摩擦角f ϕ——临界平衡状态时，全约束力与接触处公法线之间的夹角，或tan f s f ϕ=。
（2）自锁——所有主动力合力的作用线与接触处公法线间的夹角小于摩擦角，物体静止的情况。
3、滚动摩阻——转向：与相对滚动趋势转向相反； 大小：max 0f N M M F δ≤≤=。
运动学运动学是研究物体运动的的几何性质（轨迹、运动方程、速度和加速度等）的科学。
第六章、点的运动学1、 研究内容——研究点相对某参考系的几何位置随时间变化的规律，包括点的运动轨迹、运动方程、速度和加速度。
2、 研究方法：（1）矢量法——()t =r r 、=v r 、==a v r（2）直角坐标法——()1x f t =、()2y f t =、()3z f t =等（3）自然法——()s f t =、v s ==v ττ、2/t n t n a a v v ρ=+=+=+a a a τn τn 。
意点：（1）矢量法主要用于理论推导； （2）直角坐标法是较为一般的方法。
特别是点的运动轨迹未知的情形；（3）自然法（弧坐标法）是针对点的运动轨迹已知的情形。
运算简便，各量物理意义注明确；（4）v 与v 的区别。
第七章、刚体的简单运动正确计算轮系的传动比。
1、刚体的平行移动（平移）： （1）定义：在刚体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与其初始位置平行；（2）分类：若刚体内各点的轨迹为直线，则称为直线平移；若刚体内各点的轨迹为平面曲线，则称为平面曲线平移； 若刚体内各点的轨迹为空间曲线，则称为空间曲线平移； 2、刚体的定轴转动： （1）定义：刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动。
（2）刚体定轴转动的整体运动描述：[1]、转动方程——()f t ϕ=； [2]、角速度——ωϕ=，ωω=k [3]、角加速度——=ωαϕ=，αα=k（3）定轴转动刚体上各点的运动描述： [1]、运动方程——s R ϕ=，R 是点到转轴的距离； [2]、速度：v R ω=，v =⨯=v ωr τ[3]、加速度：t n a a =⨯+⨯=+a αr ωv τn ，其中：t a R α=，22/n a v R Rω==，a ==()2tan ,/ωα=a n 。
3、 轮系的传动比——主动轮I 与从动轮II 的角速度的比值12212211ωR zi ωR z =±=±=±；正号表示两轮为同向转动，负号表示两轮为反向转动。
第八章、点的合成运动1、 研究同一点相对两个不同参考系的运动之间的关系。
2、 定性分析：（1）动点——合成运动的研究对象；（2）参考系——[1]、定参考系：习惯上把固结在地球上的参考系称为定系； [2]、动参考系：把相对定系做运动的参考系称为动系； （3）运动——[1]、绝对运动：动点相对定系的运动；[2]、相对运动：动点相对动系的运动；[3]、牵连运动：动系相对定系的运动——牵连点对定系的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度、牵连加速度。
3、定量分析： （1）点的速度合成定理：a e r =+v v v ；（2）点的加速度合成定理：a e r C =++a a a a ，2C e r =⨯a ωv 。
意点：动点、动系和定系的选择原则：（1）动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动；（2）动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
否则，会使相对加速度分析产生困难。
[1]、两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一点的平动坐标系；[2]、运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
[3]、机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。
（a ）导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。
（b ）凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结于凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。
（c ）特殊问题，特点是相接触两个物体上的接触点位置都随时间而变化。
此时，这连个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述选择原则的非接触点为动点。
第九章、刚体的平面运动加速度。
1、刚体的平面运动——在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面的距离始终保持不变。
2、定性分析：（1）简化为平面图形在自身平面内的运动；（2）平面运动可以分解为随基点的平移与绕基点的转动。