2021届浙江省绍兴市诸暨中学高三第一次新高考模拟数学试题Word版含解析

2021届浙江省绍兴市诸暨中学高三第一次新高考模拟数学试题一、单选题1．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【解析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【答案】D【解析】两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D.【点睛】(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-3．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形 B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】C【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C ． 【考点】平面的基本性质及推论．4．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C【解析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．6256【答案】A【解析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -【答案】D【解析】设非零向量a 与b 的夹角为θ，在等式23a b b -=两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b 在向量a 方向上的投影为cos b θ，即可得解. 【详解】2b a =，由23a b b -=得2223a b b -=，整理得22220a a b b -⋅-=，22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=，解得1cos 2θ=-，因此，向量b 在向量a 方向上的投影为1cos 2b b θ=-.故选：D. 【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 7．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π12【答案】B【解析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果. 【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==，777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 8．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ）A B ．2C D ．【答案】B【解析】设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则可得1OB OC ==，3232OA ==OA 的三等分点G 、F 如图， 则133OG OA ==2333AG OF OA ===2226DG AD AG =-=1623EF DG ==，所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、()3,0,0A、326D ⎝⎭、236E ⎝⎭， 由题意设(),,0P x y ，326,33DP x y ⎛=-- ⎝⎭，ABD 和ACD 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，BE CE E =，AD ∴⊥平面BCE ，232633AD ⎛∴=- ⎝⎭为平面BCE 的一个法向量， 因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 由题意可得222223326333sin cos ,326233x AD DP AD DP AD DPx y θ⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭=<>==⋅⎛⎫⎛⎫⨯-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===因为P的轨迹为一段抛物线且tanθ为定值，则sinθ也为定值，22339xx==，可得23y=，此时sinθ=，则cosθ=，sintancos2θθθ==. 故选：B.【点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．9．(),0F c-为双曲线2222:1x yEa b-=的左焦点，过点F的直线与圆22234x y c+=交于A、B两点，（A 在F、B之间）与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若FA BP=，且23100OA OB c⋅=-，则双曲线E的离心率为（）AB．52C D．5【答案】D【解析】过点O作OM PF⊥，可得出点M为AB 的中点，由23100OA OB c⋅=-可求得cos AOB∠的值，可计算出cos2AOB∠的值，进而可得出OM，结合FA BP=可知点M为PF的中点，可得出PF'，利用勾股定理求得PF（F'为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，过点O作OM PF⊥，设该双曲线的右焦点为F'，连接PF'.2333cos 100OA OB AOB c⋅=⋅∠=-，1cos 25AOB ∴∠=-. 1cos 23cos225AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP =，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=，625cPF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=， 由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225ca =， 因此，该双曲线的离心率为5ce a==. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D【解析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、双空题11．某几何体的三视图如图所示，则原几何体的体积为______，表面积为______.【答案】3283π+ 122483π++ 【解析】由三视图可知，此几何体是由左、右两部分组成的，左边是一个直立的半圆柱，右边是一个三棱锥，然后利用几何体的表面积公式和体积公式可得解. 【详解】根据三视图还原后所得几何体如下图，此几何体是由左、右两部分组成的，左边是一个直立的半圆柱，右边是一个三棱锥，所以，原几何体的体积为2211132244482323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 原几何体的表面积为()2221322443421224832S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=++.故答案为：3283π+；122483π++.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的表面积和体积，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．12．若()()()2550125111x a a x a x a x =+++++++，则0a =_____，135a a a ++=_____.【答案】1- 16【解析】令1x =-可得0a 的值，然后分别令0x =和2x =-，将所得两式相减可得135a a a ++的值. 【详解】令1x =-，01a =-； 令2x =-，012532a a a a -+--=-，0x =，01250a a a a ++++=，两式减得()135232a a a ++=，所以，13516a a a ++=. 故答案为：1-；16. 【点睛】本题考查利用赋值法求解二项展开式中常数项和奇数项的系数和，考查计算能力，属于中等题.13．抛物线24y x =的焦点F 坐标为_____，过F 的直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，若2AF FB =，则A 点坐标为_____.【答案】()1,0(2,±【解析】由抛物线的方程可得出其焦点坐标，设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由2AF FB =得出122y y =-，求出1y 的值，进而可得出1x 的值，由此可得出点A 的坐标. 【详解】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为()1,0；设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，由2AF FB =得122y y -=，122y y ∴=-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，124y y ∴=-， 所以121242y y y y =-⎧⎨=-⎩，解得1y =±，21124y x ∴==，因此，点A的坐标为(2,±.故答案为：()1,0；()2,22±. 【点睛】本题考查利用抛物线方程写出其焦点坐标，同时也考查了抛物线焦点弦的性质，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.14．已知在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为______，()()()222x x y y +-+的取值范围为______. 【答案】1 36,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域，根据可行域的面积可求得a 的值，并设22y k x +=-，可得出()()()21222x k x y y k -+=+++，利用数形结合思想求出k 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得()()()222x x y y +-+的取值范围.【详解】作出不等式组040x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示，联立400x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，可得点()2,2B -，由图可知2a >-.由图可知，可行域ABC 是等腰直角三角形，点B 到直线x a =的距离为2a +， 且()22AC a =+，则ABC 的面积为()()()21222292ABCSa a a =⨯+⨯+=+=，解得1a =. ()()()()()()()2222222222222x y x y x y y x y x x y -++⎡⎤+-+⎣⎦==--++-+++，设22y k x +=-，则k 的几何意义为点()2,2P -与可行域内的动点(),Q x y 连线的斜率.联立140x x y =⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩，即点()1,5A .当点Q 与点A 重合时，k 取最小值，即min 52712PA k k +===--； 当点Q 在线段BC 上运动时，k 取最大值，即max 1k =-. 所以，71k -≤≤-. 由于双勾函数()12f x x x=++在区间[]7,1--上单调递增， 当71x -≤≤-时，()3607f x -≤≤. 因此，()()()222x x y y +-+的取值范围是36,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；36,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用可行域的面积求参数，同时也考查了分式型目标函数的取值范围的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、填空题15．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个. 【答案】60【解析】对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果. 【详解】①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，此时，符号条件的6位自然数个数为333336A A =个；②若首位数为偶数，则首位数不能为0，0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，此时，符合条件的6位自然数个数为12322324C A A =个.综上所述，符合条件的6位自然数个数为362460+=个. 故答案为：60. 【点睛】本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.16．设平面向量a 与b 的夹角为θ，且1a b +=，3a b -=，则θ的取值范围为______. 【答案】2π,π3【解析】根据已知条件计算出222a b+=，结合1a b +=得出12a b ⋅=-，利用基本不等式可得出a b ⋅的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得cos θ的取值范围，进而可得出θ的取值范围. 【详解】1a b +=，3a b -=，()2222122a b a b a b +=++-=， 由1a b +=得2221a a b b +⋅+=，12a b ∴⋅=-，由基本不等式可得2222a ba b =+≥⋅，01a b ∴<⋅≤，1cos 1θ-≤≤，112cos 1,2a b a b a b θ-⋅⎡⎤∴==∈--⎢⎥⋅⋅⎣⎦，0θπ≤≤，因此，θ的取值范围为2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.17．若12x ≤且0x ≠时，不等式22ax x a x --≥恒成立，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对a 的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出a 的取值范围. 【详解】因为22ax x a x --≥，所以()()2222ax x a x --≥，所以()()2222ax x a x --≥，所以()()22220ax x a x ax x a x -----+≥，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩或22300ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩， 当0a =时，2x x ≥对12x ≤且0x ≠不成立， 当0a >时，取12x =，22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩，所以13042130421*******42a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⋅--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⋅--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≥；当0a <时，取12x =-，22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩，所以13042130421*******42a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⋅--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⋅--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≤-，综上可得a 的取值范围是：(][),22,-∞-+∞.故答案为：(][),22,-∞-+∞.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.四、解答题18．已知()21cos cos 2f x x x x =⋅--，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若()32f A =-且2a =，求ABC 面积的取值范围.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭；（2）0,3⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，可求得函数()y f x =的单调递增区间；（2）由()32f A =-求得23A π=，利用余弦定理结合基本不等式求出bc 的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得ABC 面积的取值范围. 【详解】（1）()1cos 21122cos 21sin 21222226x f x x x x x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭， 解不等式()222262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，解得()63k x k k Z ππππ-+<<+∈.因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭；（2）由题意()3sin 2162f A A π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，则1sin 262A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，0A π<<，112666A πππ∴-<-<，7266A ππ∴-=，解得23A π=. 由余弦定理得2222242cos 3a b c bc A b c bc bc ==+-=++≥，又0bc >，403bc ∴<≤， 当且仅当b c =时取等号，所以，ABC 的面积133sin 0,2S bc A bc ⎛⎤==∈ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．如图，平面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，22AB AD BC ===，将ABD △绕着AD 翻折到PAD ∆.（1）M 为PC 上一点，且PM MC λ=，当//PA 平面DMB 时，求实数λ的值；（2）当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小为30时，求PC 与平面ABCD 所成角的正弦. 【答案】（1）2λ=；（2310. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，利用线面平行的性质定理可推导出//PA MN ，然后利用平行线分线段成比例定理可求得λ的值；（2）取AD 中点O ，连接OP 、OB ，过点P 作//l AD ，则//l BC ，作PH OB ⊥于H ，连接CH ，推导出OP l ⊥，OB l ⊥，可得出BPO ∠为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角，由此计算出PH 、PC ，并证明出PH ⊥平面ABCD ，可得出直线PC 与平面ABCD 所成的角为PCH ∠，进而可求得PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.【详解】（1）连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，//PA 平面BDM ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面BDM MN =，//PA MN ∴，在梯形ABCD 中，//BC AD ，则ADN CBN ，12CN BC NA AD ∴==， //PA MN ，2PM ANMC CN∴==，所以，2λ=；（2）取AD 中点O ，连接OP 、OB ，过点P 作//l AD ，则//l BC ，作PH OB ⊥于H ，连接CH .O 为AD 的中点，且//BC AD ，2AD BC =，//OD BC ∴且OD BC =，所以，四边形OBCD 为平行四边形，由于90BCD ∠=，OB AD ∴⊥，PA AB =，OA OA =，PAO BAO ∠=∠，PAO BAO ∴≅，90AOP AOB ∴∠=∠=，O 为AD 的中点，所以，2BD AB ==，223OB AB OA ∴=-=3OP =AD OP ⊥，AD OB ⊥，OP OB O =，AD ∴⊥平面POB ，//l AD ，l OP ∴⊥，l OP ⊥，BPO ∴∠为面PAD 与面PBC 所成的锐二面角，30BPO ∴∠=，3OP OB ==30BPO ∠=，30OBP ∴∠=，则120BOP ∠=，PH OB ⊥，3sin 602PH OP ∴==，AD ⊥平面POB ，PH ⊂平面POB ，AD PH ∴⊥，PH OB ⊥，AD OB O ⋂=，PH ∴⊥面ABCD ，PCH ∴∠为PC 与底面ABCD 所成的角，33cos 60BH OB OP=+=CH ==，PC 在Rt PCH △中，3sin PH PCH PC ∠==. 因此，PC 与平面ABCD . 【点睛】本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,1,n nn n b n a ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13n n a =；（2）()()21221931,48931,48n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数.【解析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥时，由211233333n n na a a a -++++=可得出22123113333n n n a a a a ---++++=，两式相减可得n a 的表达式，然后对1a 是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行检验，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，对n 分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】 （1）211233333n n n a a a a -++++=， 当1n =时，113a =； 当2n ≥时，由211233333n n n a a a a -++++=得22123113333n n n a a a a ---++++=，两式相减得1133n n a -⋅=，13n n a ∴=. 113a =满足13n n a =.因此，数列{}n a 的通项公式为13n na =； （2）,3,nn n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数. ①当n 为奇数时，1224111919112213333122219n n n n n n S n --⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=++++++=⨯+⨯+-()212193148n n n -++=+-；②当n 为偶数时，()()()222491911921333133121948nn n n n n n S n ⎛⎫- ⎪⋅+-⎡⎤⎣⎦⎝⎭=+++++-+=⋅+=+--. 综上所述，()()21221931,48931,48n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.21．已知椭圆22:12x C y +=，点()00,P x y 为半圆()2230x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C 的两切线分别交x 轴于M 、N 两点. （1）求证：PM PN ⊥；（2）当011,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求MN 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎡⎣.【解析】（1）分两种情况讨论：①两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线PM 、PN 的斜率都存在，可设切线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1-，进而可得出结论；（2）求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出MN =，换元[]2021,2t x =-∈，可得出MN =利用二次函数的基本性质可求得MN 的取值范围.【详解】（1）由于点P 在半圆()2230x y y =≥+上，则22003x y +=.①当两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为x =，1y =或x =1y =，此时PM PN ⊥；②当两切线PM 、PN 的斜率都存在时，设切线的方程为()00y y k x x -=-（PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ），()()()2002200002212422022y kx kx y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⇒++-+--=⎨+=⎩()()()2222000016412220k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，()()22200002210x k x y k y ∴--+-=，220012220012122y x k k x x --∴⋅===---，PM PN ∴⊥.综上所述，PM PN ⊥； （2）根据题意得001,0y M x k ⎛⎫-⎪⎝⎭、002,0y N x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，001201212y y kMN y y k k k k k -=-=⋅==令[]2021,2t x =-∈，则MN ==所以，当11t =时，max MN =，当112t =时，min MN=因此，MN 的取值范围是⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.22．已知函数()212x e x f x x =-+. （1）若12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭； （2）若x ∈R 时，恒有()212f x x ax b ≥++，求ab b +的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）2e . 【解析】（1）利用导数分析函数()yf x =的单调性，并设12x x <，则10x <，20x >，将不等式1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭等价转化为证明120x x +<，构造函数()()()h x f x f x =--，利用导数分析函数()y h x =在区间(),0-∞上的单调性，通过推导出()10h x <来证得结论；（2）构造函数()xG x e x ax =--，对实数a 分1a <-、1a =-、1a >-，利用导数分析函数()y G x =的单调性，求出函数()y G x =的最小值，再通过构造新函数()22ln t t t t ϕ=-，利用导数求出函数()y t ϕ=的最大值，可得出ab b +的最大值.【详解】（1）()1x f x e x '=-+，()10xf x e ''=+>，所以，函数()y f x '=单调递增， 所以，当0x <时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减；当0x >时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增. 要证1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，即证120x x +<. 不妨设12x x <，则10x <，20x >，下证21x x <-，即证()()()121f x f x f x =<-，构造函数()()()()22112022x x x x h x f x f x e x x e x x e e x x --⎛⎫=--=-+-++=--< ⎪⎝⎭，()220x x h x e e -'=+->=，所以，函数()y h x =在区间(),0-∞上单调递增，10x <，()10h x ∴<，即()()110f x f x --<，即()()()211f x f x f x =<-，20x >，10x ->且函数()y f x =在区间()0,∞+上单调递增，所以21x x <-，即120x x +<，故结论成立；（2）由()212f x x ax b ≥++恒成立，得x e x ax b -≥+恒成立， 令()x G x e x ax =--，则()1x G x e a '=--.①当1a <-时，对任意的x ∈R ，()0G x '>，函数()y G x =在R 上单调递增， 当x →-∞时，()G x →-∞，不符合题意；②当1a =-时，0ab b +=；③当1a >-时，令()0G x '>，得()ln 1x a >+，此时，函数()y G x =单调递增； 令()0G x '<，得()ln 1x a <+，此时，函数()y G x =单调递减. ()()()()()()min ln 111ln 1G x G a a a a ∴=+=+-++.()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++.令10t a =+>，设()22ln t t t t ϕ=-，则()()12ln t t t ϕ'=-.当0t <<()0t ϕ'>，此时函数()y t ϕ=单调递增；当t >时，()0t ϕ'<，此时函数()y t ϕ=单调递减.所以，函数()y t ϕ=在t =处取得最大值，即()max 2e t ϕϕ==. 因此，()1a b +的最大值为2e . 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.。