常微分方程期末复习

1.求下列方程的通解。

1sin 4-=-x e dx

dy

y . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dx

de y y

令y

e z =，得

x z dx

dz

sin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得

[]x

x x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝x

ce

x x -+-)cos (sin 2

2.求下列方程的通解。

1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-dx dy y .

解：设

t p dx

dy

sin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt t

x +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1

，

故方程的解为2

2

1)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .

3.求方程

2y x dx

dy

+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 2012

1)(x xdx x x

=

=⎰ϕ

5

20

4220

12

1)4

1()(x x dx x x x x +

=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x

⎰⎰

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡

++=

071040

2523201400141)20121()(ϕ 81152160

14400120121x x x x +++=

4.求解下列常系数线性方程。 0=+'+''x x x

解：对应的特征方程为：012

=++λλ， .解得i i 2

3

,23212211--=+

-=λλ 所以方程的通解为：)2

3sin 23cos

(212

1

t c t c e

x t +=-

5.求解下列常系数线性方程。

t e x x =-'''

解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013

=-λ，解得2

31,13,21i

±-=

=λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i e

e t

2

3sin ,23cos ,21

2

1--

，

因为

1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，

t

t t t e Ate Ate Ae =-+3，所以3

1

=A ，所以原方程的通解为21

21-+=e c e c x t

t te i e c i 3

1

23sin 23cos 21

3++-

6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：

5,1--=+--=y x dt

dy

y x dt dx 解： ⎩⎨

⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩

⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-

经变换，⎩⎨

⎧+=-=3

3

y Y x X

方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dt

dy Y X dt dx

因为,0111

1≠---

又

01)1(1

1

1

1

2=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，

故奇点为稳定焦点，

所对应的零解为渐近稳定的。

7.设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，证明

)(t φ)()(001t t t -=-φφ其中0t 为某一值

证明：)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)(01

t -φ

为一非奇异常数矩阵，

所以)()(01

t t -φφ也是方程Ax x ='的基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 的基解

矩阵， .

且都满足初始条件)(t φ)

(01t -φE =，E t t ==-)0()(00φφ

所以)(t φ)()(001

t t t -=-φφ

即命题得证。

8.求方程0)1(243

2

2

=-+dy y x dx y x 的通解 解：

y x x

N

y x y M 226,8=∂∂=∂∂ y

M x N

y M 21-=-∂∂-∂∂ 积分因子2121)(--=⎰=y e y dy y

μ

两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程：0)1(2432

13

22

=-+-dy y x y

dx y x

3224y x M x u ==∂∂ 两边积分得：)(3

4

23

3y y x u ϕ+= 21

213'21322)(2--==+=∂∂y y x N y y x y

u

ϕ

得：2

14)(y y -=ϕ

因此方程的通解为：c y x y =-)3(3

2

1

9.求方程0=-+x e dx

dy

dx dy

的通解 解：令

p y dx

dy

==' 则0=-+x e p p