祖暅原理的教学设计
高中数学_祖暅原理与柱体椎体的体积教学课件设计
一、柱体的体积
V柱体 S h
V圆柱 r 2 h
h
ss
Ss
sS
结论：等底面积等高的柱体体积相同
[例1]如果圆柱的底面半径不变，体积扩大到原 来的5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多 少倍？如果圆柱的高不变，半径扩大到原来的 多少倍才能使它的体积扩大到原来的五倍？
二、锥体的体积
刚才已经得到了柱体的体积公式为V=Sh，那 锥体的体积公式是什么样子呢？
初中知识：等底等高平行四边形面积是否相等
h
h
a
a
a
结论？若 的夹底在与两高条均相平同行直，且线被之任间何的一两个个平平面行图于形底
的直线所截得的线段长度相等，则两个多 边形面积相同. 我们把以上定理成为平面 图形等积定理
把这个平面上的结论类比到空间几何体上， 能得到什么结论呢？做一个数学小实验
平面图形等积定理： 若夹在两条平行直线之间的两个平面图形的底与 高均相同，且被任何一个平行于底的直线所截得 的截线长度相同，则两个多边形面积相同.
空间几何体等积定理： 若夹在__两__个_平__行__平__面___之间的两个空间几何体的 ____底__面__积__和__高_均__相__同__，且被任何一个 _平_行__与__底__面__的_平__面_____所截得的_截__面__面__积__相_同____， 则两个几何体__体__积__相__同__.
如何通过祖暅原理解决台体、球的体积问 题呢？大家课下尝试解决一下这个问题， 并通过查阅资料等方式欣赏一下数学家祖 暅在1600年前是如何巧妙的解决球的体积 问题的。
课后作业： 课本P87 练习A： 1、3、4 练习B：1、2、3、5、6
祖暅介绍
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和 纽带，原理中含有三个条件：
祖暅原理的教学设计
祖暅原理的教学设计一、祖暅原理及其对教学过程的启发1.从平面图形到空间图形的类比推理师：（多媒体演示）观察并思考问题：等底等高的图形面积有什么关系？学生讨论后小结：等底等高的图形面积相等。
师：我们发现，用平行于底边的任意直线去截这两个图形，截得的两条线段始终相等。
那这个条件是否是两个图形面积相等的充要条件呢？学生探究，教师指导：点构成线，线构成面，用平行于底边的任意直线去截图形，截得的两条线段始终相等，那么这些相等线段组成的面积也相等。
类比猜想：把平面图形拓展到几何体，这个结论还成立么？2.祖暅原理的引入情境导入：取一摞作业本置于桌面，用手轻推使之发生形变。
师：推动以后这摞作业本的体积改变了么？推动前后还有什么共同点？生：体积、高度、本数都没有改变。
师：回忆平面图形等积定理，讨论并归纳立体几何体等积定理。
学生归纳，教师指导，引入祖暅原理。
师：祖暅原理只能判断两个几何体体积是否相等，如果求几何体的体积，还必须转化为常见几何体。
3.从特殊到一般，从已知到未知师：我们学过特殊棱柱———长方体的体积公式，同学们回忆一下。
生：设长方体的长、宽、高分别为、、，那它的的体积为。
4.利用祖暅原理，结合下图，推导棱柱体积公式图1学生小组合作：做一个与棱柱等底等高的长方体，用一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，截面总是相等，则这个长方体与棱柱体积相等。
棱柱体积公式为：。
教师补充：利用祖暅原理求棱柱体积时，需要构造与之等底等高的几何体，且需要满足两个条件：一是已知其体积公式，二是用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，截面总是相等。
二、祖暅原理的教学建议中国传统数学在数学史上是一颗璀璨的明珠，但是随着历史变迁，传统数学的发展逐步失去活力，最终汇入西方数学体系中。
在20世纪的今天，随着新课改的逐步深入，数学文化进入到教师和教材编者的视野中。
祖暅原理作为立体几何中不可或缺的一部分，将其整合进教学过程中，更有利于加深学生对本章内容的内化。
高中数学必修二《祖暅原理》优秀教学设计
祖暅原理[使用章节]数学②中1.1.7棱柱、棱锥、台和球的体积[使用目的]帮助学生通过操作、观察理解祖暅原理和它的两个推论。
[操作说明]祖暅原理的图形如图2118：图21181．理解祖暅原理图中按钮（见课件界面）的功能是：（1）“变位”：用此按钮说明几何体的形状可以改变，但是一定要满足夹在两平行平面间这一条件。
（2） “截面”、“0”和“度量”、“0”：这两组按钮中的前一个用于显示截面并使截面运动，或显示截面面积的度量结果。
后一个用于隐去截面或度量值。
由此可以说明被夹几何体要满足的另一个条件：与夹着几何体S½ØÃæ = 1.95 ƽ·½ cm S½ØÃæ = 1.95 ƽ·½ cmS½ØÃæ = 1.95 ƽ·½ cm的两平面平行的截面面积相等。
（3）“调整”、“0”：此按钮用于显示、隐藏调整图形用的点或线，如需要调整高及底面时就要显示这些点或线。
当各截面度量值稍有出入时，也可以微调高或底面进行修正。
（4）“公理六”：此按钮用于恢复公理六的初始图形。
讲解：把每一个被夹的几何体的截面想象成很薄的同一种纸片，因为高度相同的截面（纸片）面积相等，所以摞成的几个几何体的重量和体积是应该相等的。
这一结论在中学里不加证明而作为公理。
2．讲解由祖暅原理推出的两个结论：（1）使用按钮“V柱”可以把祖暅原理的图形变化为关于柱体的图形。
可以用截面按钮使截面运动而变化截面位置。
不必度量就可以说明只要底面积相等，平行底的截面面积就相等（柱体性质），又由等高得出可以夹在两平行平面间。
因此由公理六推出：等底等高的柱体等体积。
（2）使用按钮“V锥”可以类似底说明等底等高的锥体等体积，截面面积相等可以证明也可以用按钮“度量”验证。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积教学设计08
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教学内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
［教学编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力.教学目标的确定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育，3、教学的重点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究（2）学生探究能力的培养二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。
教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教学过程1、教学思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：2、案例设计Ⅰ导入课题回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ探究新知1、祖暅原理的引入通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础课件名称：祖暅原理．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教学，说明几何体等体积变换的依据．课件制作过程：（1）新建画板窗口．如图1，按住Shift键，用【画直线】画4条直线AB，CD，EF，GH （分别是直线j ，k ，l ，m ）．图 1（2）在直线j 上画两点I ，J ．（3）在直线上画一点K ，在直线l 上画两点L ，M ，在直线m 上画两点N ，O ．（4）画线段KL ，LN ，NO ，OM ，MK ．（5）在直线k ，l 之间画一条直线PQ （直线r ）．在直线l ，m 之间画直线RS （直线s ）．（6）作出线段KL 与直线r 的交点T ．同样作出线段KM 与直线r 的交点U ，线段LN 与直线s 的交点V ，线段OM 与直线s 的交点W ．（7）在直线k ，r ，l ，s ，m 上分别画一点X ，Y ，Z ，A 1，B 1．（8）标记向量TU ．依向量TU 平移点Y 得到Y '．同样，标记向量LM ，依向量LM平移点Z 得到Z '；标记向量VW ，依向量VW 平移点1A 得到；标记向量NO ，依向量VW 平移点1B 得到1B '．（9）依次选择点K ，L ，N ，O ，M ，按Ctrl+P ，填充五边形KLNOM ，及时单击【Measure 】（度量）菜单中的【Area 】，度量出它的面积，如“面积21 3.93p cm =”．（10）类似于上一步，用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，，Z '，Y '，按Ctrl+L ，得到一个凹九边形．（11）用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，，Z '，Y '，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填充，及时单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出凹九边形的面积，如“面积22 3.93p cm =”．（12）如图2，用【画点】工具在直线j 上画一点1C （位于点J 的左边）．过点1C 作出1A '1A '1A'直线j 的垂线（直线a ）．用【选择】工具作出直线a 与直线k 的交点1D ．图2（13）双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1：3，单击【Dilate 】，得到一个小的五边形．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积210.44p cm '=”．（14）用【选择】工具双击点J ，把点J 标记为缩放中心．选中凹九边形（边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】．同样，以1：3缩放得到一个小的凹九边形，度量出它的面积“面积220.44p cm '=”．（15）画直线K X ''，得到直线b ，作出直线b 与直线a 的交点．（16）用【画线段】工具把点和1D 用线段连结起来．（17）在线段1D 上画点1F ，用【画线段】工具作出线段1F 1C （线段c ），1C （线段d ）．（18）先后选择线段c ，d ，并单击【Transform 】菜单中的【Mark Segment Ratio 】（标K L N O M '''''1E 1E 1E 1E记线段比）标记为c/d ．（19）用【选择】工具双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，得到一个小的五边形．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积21 1.70p cm ''=”．图3（20）类似地，也把凹九边形及其内部按同样的缩放比关于中心点J 缩放，度量缩放后的对象的面积“面积22 1.70p cm ''=”．（21）画线段,,,,KK LL NN OO MM '''''，作出一个五棱台．（22）画线段,,...XX YY ''，作出右边的凹九棱台．2．探究柱体的体积公式III.拓展爱国主义情感教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。
利用祖暅原理求旋转体体积的教学建议2024新版
根据题目要求，构造一个与待求旋转体等高的已知体积的 旋转体。通过比较两个旋转体在等高处的截面积，利用祖 暅原理得出待求旋转体的体积计算公式。
计算结果
将相关参数代入体积计算公式，得出最终结果。注意单位 换算和结果的合理性检验。
04
典型例题解析
圆柱体体积的求解
要点一
题目
已知圆柱体的底面半径为$r$，高为 $h$，求圆柱体的体积。
祖暅原理是求解旋转体体积的重要工具，通过构造与旋转体 等高的直柱体，并比较两者的截面面积，可以间接求出旋转 体的体积。
旋转体体积的概念
01
旋转体是由平面图形绕某一直线 旋转一周而形成的立体。这条直 线称为旋转轴，平面图形称为旋 转面。
02
旋转体的体积是指旋转体所占空 间的大小，通常使用立方单位来 衡量。求解旋转体体积是数学和 工程学中的重要问题。
培养创新思维
鼓励学生尝试不同的解题 思路和方法，培养他们的 创新思维和解决问题的能 力。
引入现代教学技术辅助教学
利用多媒体教学资源
开展在线教学
使用多媒体教学资源，如PPT、视频 等，直观地展示旋转体的形成过程和 计算方法。
利用在线教学平台，提供丰富的教学 资源和互动环节，增强学生的学习兴 趣和参与度。
题目
已知圆锥体的底面半径为$r$，高为 $h$，求圆锥体的体积。
解析
同样根据祖暅原理，我们可以将圆锥 体划分成无数个薄圆盘。由于从圆锥 顶点到底面的距离逐渐增大，因此每 个薄圆盘的面积也逐渐增大。通过积 分计算，我们可以得到圆锥体的体积 为$V = frac{1}{3}pi r^{2}h$。
注意事项
由于A、B和C具有相同的截面面积， 根据祖暅原理，它们的体积应该相等 。因此，可以通过计算C的体积来验 证A和B的体积是否相等。
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积探究式教学是一种以学生自主思考、实践和探索研究问题为中心的教学方法，注重培养学生的创造力、合作能力和解决问题的能力。
在数学教学中，探究式教学尤为重要，因为数学思维强调逻辑和推理能力的培养，而探究式教学可以激发学生的思维方式，培养他们的数学思维能力。
本次教学设计以祖暅原理和球体积为主题，旨在通过探究和实践，帮助学生理解这两个概念，并运用它们解决实际问题。
1.活动目标：-了解祖暅原理和球体积的基本概念；-培养学生的思考、实践和解决问题的能力；-运用所学知识解决实际问题。
2.教学准备：-课堂黑板、投影仪和电脑；-PPT或其他教学辅助工具；-实物球体或图片。
3.活动设计：-第一步：导入（10分钟）教师通过引入一道与球体积相关的问题来激发学生的思考，例如：“如何计算一个半径为r的球体的体积？”要求学生自己思考并尝试给出解决方法。
-第二步：探究祖暅原理（30分钟）让学生组成小组，每个小组分配一个实物球体或球体图片。
学生们通过观察、测量，并用自己的话解释，总结出祖暅原理。
教师可以通过投影仪或黑板上的示意图帮助学生理解。
-第三步：探究球体积（30分钟）让学生分成小组，每个小组使用尺子或其他工具，测量自己所持有的球体的直径和半径。
然后，让学生计算自己所持有的球体的体积，并进行归纳总结。
-第四步：展示与总结（20分钟）请每个小组派代表上台展示他们的实验结果和总结。
教师在展示的过程中给予适度的引导，让学生明白祖暅原理和球体积的概念及计算方法，并确保学生之间的交流与合作。
-第五步：应用与拓展（20分钟）在小组展示后，教师提供一些与球体积有关的实际问题，要求学生运用所学知识进行分析和解决。
例如：“半径为10cm的篮球放在水槽里，槽的深度为15cm，水注满整个槽的体积是多少？”4.活动总结：在整个教学过程中，教师应该起到引导和激励学生思考的作用，而不是直接给出答案。
通过观察测量、实践应用，学生能够更好地理解和掌握祖暅原理和球体积的概念。
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积设计目标：通过探究式教学，让学生深入理解祖暅原理与球体积的数学概念，培养学生的数学思维能力和创造性思维能力。
教学背景：此次教学是在数学文化背景下进行的，旨在培养学生对数学思维的兴趣，加深他们对数学概念的理解。
教学过程：第一步：引入数学文化（10分钟）以数学名人祖暅为切入点，介绍他的贡献，包括祖暅原理。
简要介绍他对数学的重要发展，激发学生的兴趣。
第二步：探索祖暅原理（30分钟）1.引导学生通过实例进行观察和猜想。
给学生一个相对比较简单的实例，在教师的指导下，让学生思考问题并提出猜想，例如：一个正方形和这个正方形的内接圆的面积之比是多少？2.让学生围绕猜想进行证明。
引导学生进行类比思考，以求正方形和内接圆面积之比的方法为例，通过观察形状和找到相应的数学定理，引导学生去证明这一猜想。
3.进行讨论和总结。
让学生互相交流并讨论他们的证明过程和结果，教师引导学生总结出祖暅原理的表述以及应用场景。
第三步：引入球体积（10分钟）引导学生通过生活实例来了解球体积这个数学概念，例如问学生如何计算球形容器的体积。
第四步：探索球体积的计算公式（40分钟）1.引导学生通过实例进行观察和猜想。
让学生通过观察不同大小和半径的球的体积来猜想球体积的计算公式。
2.让学生在教师的引导下进行探索和验证。
通过计算几个不同半径的球的体积，并观察它们之间的关系，学生可以逐步发现球体积的计算公式。
3.进行讨论和总结。
教师引导学生相互交流和讨论他们的猜想和验证过程，引导学生总结出球体积的计算公式。
第五步：应用场景探究（20分钟）1. 引导学生探索求解实际问题的方法。
给学生一些实际问题，例如“一个小球的体积是500 cm³，求其半径”，鼓励学生运用刚刚学到的知识进行解答。
2.让学生分享并讨论解题思路和答案。
学生可以相互交流并分享他们的解题思路和答案，教师指导他们从不同角度思考和解决问题。
高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优秀教学设计
高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优
秀教学设计
一、教学的基本背景
1、知识背景
祖冲之原理是一个重要的古典几何定理，它的关键点在于三视图、二
视图、三维图之间的关系及其在设计几何图形时的应用。
余弦定理是利用
祖冲之原理，推导出的三角形余弦定理，它的关键点在于构建过一点的直
角三角形时，其另外两边的长度能够用余弦定理来求出。
此外，体积学中
柱体、锥体、球体的体积计算也是利用祖冲之原理，结合余弦定理进行推
导的，关键点在于利用余弦定理求出柱体、锥体、球体的边长，然后利用
它们的边长，结合特定的体积公式，求出它们的体积。
2、学生背景
该课是高中数学必修二的课程，上学期学生已经学完了几何图形的绘制、建模与分析，以及利用三视图构建二维图形以及利用三维图形构建三
维图形，对祖冲之原理也有一定的认识，但是对祖冲之原理在计算体积上
的应用还不是太熟悉。
二、教学目标
1、知识目标
（1）掌握祖冲之原理，以及如何利用祖冲之原理在三视图，二视图，三维图之间构建关系，利于设计几何图形；
（2）能够推导出三角形余弦定理，熟练掌握它的应用：构建过一点
的直角三角形时，计算另外两边长度；
（3）熟练运用祖冲之原理和三角形余弦定理。
11.1.6祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、课前准备1. 教学目标•了解祖暅原理的概念•掌握使用祖暅原理求解几何体的体积•熟悉立方体、棱锥、棱台、圆柱、圆锥的体积公式2. 教学准备•教师准备：几何体模型、白板、黑板、黑板笔、讲义•学生准备：课本、文具二、教学过程1. 祖暅原理祖暅原理是一个重要的几何体积计算方法。
它的原理是：在一个等截面曲线所切的平面上，从任意一个截面到另一个截面所圈成的曲柱体的体积是相等的。
这个原理可以形象地理解为将一个几何体剖成许多个截面，然后把所有的曲柱体相加，就可以得出几何体的体积。
2. 祖暅原理的应用在实际问题中，我们经常需要求解复杂的几何体的体积。
利用祖暅原理，我们可以将几何体分割成若干个截面，再将每个截面转化为曲柱体，就可以方便地求解几何体的体积。
例如，下图是一个由4个等腰直角三角形组成的立方体的截面图：/|B / |/___|_______| | /|| | A / || D/___|___E|| / | ||/_____|___|C F我们可以将立方体分割成多个截面，如下图所示：/|\\/ | \\/ | \\/___|___\\| | |___|____|____|___| | | | || | | | || | | | || ___|___|___|___ ||/ | | | \\|/ | | | \\|___ |___|___| ___|| | | ||G| |H||_|_______|_|现在，我们只需要计算每个截面的体积，再将它们相加，就可以得到整个立方体的体积。
3. 几何体的体积公式除了使用祖暅原理，我们还可以使用几何体的体积公式来求解几何体的体积。
下表列出了常见几何体的体积公式：几何体体积公式立方体V=a³正方体V=a³棱锥V=1/3 * S * h棱台V=1/3 * (S1 + S2 + √S1S2) * h圆柱V=πr²h圆锥V=1/3 * πr²h其中，a表示边长，S表示底面积，h表示高，r表示圆柱或圆锥的底面半径。
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计教学设计教学内容：祖暅原理与几何体的体积教学目标：1.了解祖暅原理的概念和应用；2.掌握计算常见几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体）的体积的方法；3.培养学生的计算和推理能力。
教学步骤：Step 1：导入1.引入教学内容，让学生思考：“你们知道什么是祖暅原理吗？它有什么应用？”引导学生回忆班级物品的统计情况，引入祖暅原理的概念。
2.出示一个长方体，引导学生思考：“怎样计算这个长方体的体积？”引导学生通过计算长方体三个相邻边的列表，得出体积为长×宽×高。
Step 2：学习祖暅原理1.让学生阅读课本上的相关内容，理解祖暅原理的概念。
2.让学生观察范例，并通过范例了解祖暅原理的应用方法。
3. 给学生提供一些实际问题，让他们用祖暅原理来解决问题。
例如：“班级有40个男生和30个女生，他们的平均身高分别是170cm和165cm，计算整个班级的平均身高。
”引导学生将男生的身高乘以男生人数，女生的身高乘以女生人数，然后累加起来再除以总人数。
Step 3：计算几何体的体积1.教师出示一个正方体，引导学生思考：“这个正方体的哪些参数对于计算体积很重要？”引导学生通过讨论得出正方体的体积公式为a³。
2.让学生观察范例，并通过范例学习计算正方体的体积。
3.教师出示一个圆柱，引导学生思考：“这个圆柱的哪些参数对于计算体积很重要？”引导学生通过讨论得出圆柱的体积公式为πr²h。
4.让学生观察范例，并通过范例学习计算圆柱的体积。
5.类似地，教师出示一个圆锥和一个球体，引导学生讨论并得出计算体积的公式。
Step 4：综合运用1. 让学生回答一些综合运用的问题，例如：“一个长方体的体积是30cm³，它的长、宽、高是3cm、2cm、5cm，求它的长、宽、高各增加2cm 后的体积。
”2.制作一些模型，让学生根据模型的参数计算它们的体积。
11.1.6祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册(2019版)教案
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案1. 教学目标1.理解祖暅原理的概念和意义；2.掌握求解几何体体积的方法；3.能够结合实际应用问题来解决几何体的体积问题。
2. 教学重点和难点1.祖暅原理的应用；2.不规则几何体的体积求解。
3. 教学内容和步骤3.1 祖暅原理的概念和应用1.教师利用PPT介绍祖暅原理的概念和意义。
2.给出几个简单的例题来帮助学生理解祖暅原理的应用。
3.让学生自主完成分组讨论：在矩形桌子上放置若干书籍，问有多少种不同的放置方法？并得出结论：祖暅原理适用于同时完成多个事件的方案数的计算。
3.2 不规则几何体的体积求解1.介绍正六面体、正方体、三棱柱等规则几何体的体积求解方法，并让学生自主完成相应练习题。
2.提出不规则几何体的体积求解问题，并利用PPT展示相应例题，解答学生的疑问。
3.让学生分组合作，设计实验并进行数据收集。
根据收集到的数据，让学生自主计算出实验中不规则几何体的体积。
4. 教学评价方法和标准1.课堂练习题作为形式评价，满分100分；2.实验成果报告作为终结性评价，满分100分。
5. 教学设计说明1.本节课涉及了祖暅原理和不规则几何体的体积求解问题，既有理论性的知识，也有实践操作的环节，将教师的讲授和学生的活动相结合，以探究式学习为主导，让学生能够获得真正的知识体验和理解。
2.教学步骤在形式上体现了“由浅入深、由简单到复杂、由感性认识到理性认识”的原则，结合实例和实践，让学生能够逐步理解，并能够运用所学知识解决问题。
3.在教学评价中，除了传统的形式考核外，更注重实践的能力和综合素质，从实验报告中评价学生的综合能力和解决问题的能力，是此次教学设计的亮点。
高中数学_祖暅原理与柱体椎体的体积教学设计学情分析教材分析课后反思
11.1.6祖暅原理几何体体积教学设计柱体体积公式推导祖暅原理的第一次应用：提示学生咱们已经学过长方体的体积公式，而祖暅原理的主要作用是证明体积相同。
引导学生思考祖暅原理的作用小组讨论解决柱体的体积公式应用祖暅原理，尝试掌握本节课的主要思考方向椎体体积公式利用教具找学生解决两个问题：1、如何证明教具的三个三棱锥体积相同 2、动手把三个三棱锥组装成一个柱体。
从而让学生考虑到锥体体积是同底同高的柱体体积的三分之一小组讨论锥体的体积如何解决培养学生的数学学习兴趣，锻炼转化与化归的数学思想典例应用[例1]如果圆柱的底面半径不变，体积扩大到原来的5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多少倍？如果圆柱的高不变，半径扩大到原来的多少倍才能使它的体积扩大到原来的五倍？[例二]在长方体ABCD-A’B’C’D’中，用截面截下一个棱锥C-A’DD’，求棱锥C-A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。
例1老师板演例2 学生口答通过例1的板书，展示此类题目的步骤如何书写。
例2让学生说明思路即可课堂练习1、如图，将正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）的底棱三等分，过三等分点用平行于侧棱的平面截去4个三棱柱，得到一个八棱柱，求这个八棱柱与原四棱柱的体积之比教师引导学生自主练习，并巡视指导。
让学生到黑板上讲解自己的方法。
练习1有两种方法，体现了不同的数学思想。
练习2掌握本堂课内容，锻炼运算能力学情分析学生在前面已经学习了棱柱棱锥的几何性质，在此基础上，用研究平面的方法，进一步类比空间几何体的体积公式以及初步应用，便于学生接受并在原有认知结构的基础上进一步完善几何学习的系统性，加深对几何体的理解。
2、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē n ào ）。
如图鳖臑A-BCD 中，AB 垂直于平面BCD ，BC⊥CD。
BA=3，BD=5,，求此鳖臑体积的最大值较难，用到均值不等式，牵扯到函数与方程的数学思想小结 1、 祖暅原理2、 柱体椎体体积公式3、 数学方法学生总结，教师补充完善通过总结明确知识，方法规律， 课后探究与作业课后探究：如何通过祖暅原理解决台体、球的体积问题呢？大家课下尝试解决一下这个问题，并通过查阅资料等方式欣赏一下数学家祖暅在1600年前是如何巧妙的解决球的体积问题的。
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习，学生将会： - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。
- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式，并能够在实际问题中进行运用。
2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
•柱体和椎体的三视图的绘制。
•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。
3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。
•柱体和椎体三视图的绘制方法。
4.教学方法•综合授课法；•讲解与练习相结合；•学生合作探究；•图像识别和计算机模拟。
5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片，如水瓶、柱形饮料广告牌等，引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。
5.2学生合作探究将学生分成小组，分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。
5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上，全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。
5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后，学生将进行答疑解惑，讨论疑难问题，并针对性地进行深入讲解。
5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况，布置相关的作业。
学生可以在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。
二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式，对本课程进行了评估。
调查结果表明，学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。
此外，学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。
2.优点本节课的优点： - 突出了学生的主体地位，采用学生合作探究和练习训练的教学方法，营造了积极向上的教学氛围。
- 尝试了不同的教学形式，通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容，激发了学生的兴趣和主动性。
高中数学_祖暅原理及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
引入课题 * 提出问题1.引入“牟合方盖”两个半径为a 的圆柱正交（即两圆柱的轴垂直相交），公共部分是什么样的几何体？如何求公共部分——“牟合方盖”的体积？我们学习了简单几何体的体积公式，这些公式是怎么得到的呢？2. 数学家祖暅简介3. 引出本节课课题想象、思考问题。
观察演示视频，继续思考。
了解几何学的发展，增长数学史知识。
提出问题，激发学生研究兴趣。
演示动画帮助学生理解几何体结构。
播放视频，学习数学史知识。
引入课题环节教 学 过 程学生活动 教师活动（一）初识原理“幂势既同，则积不容异。
”关键词解读 幂：__________, 势：_________积：_________原理解释:______________________________________________ ______________________________________________ （二）原理探究1. 特例感知：学生解释关键字及原理。
学生用本子举出特殊情况的实例，解释说明原理。
总结原理。
板书变式1：用本子举出任意几何体的实例，进一步提问并解释说明原理，强调原理的条件。
体验“由特殊到一般”的研究方法。
变式2：用本子举出“由截面课堂教学*解决问题2.一般结论（规律）：3.总结原理：4.探究方法：由特殊到一般5.移用引申：（类比推理学习）（三）学以致用1.运用祖暅原理推导柱体的体积公式2.运用祖暅原理推导锥体的体积公式问题1：底面积和高度分别相等的两个锥体的体积相等吗？为什么？问题2：锥体的体积和与它等底等高的柱体的体积之比是多少？为什么？___________________==VV柱锥总结“由特殊到一般”的研究方法。
应用原理回答问题。
应用原理回答问题，解释说明结论。
回答问题，用学生自制的教具演积之比推得体积之比”的实例，对原理进行移用引申，不仅为后面求牟合方盖的体积提供了理论依据，进行铺垫，还培养了学生类比的数学研究方法。
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计
人教A版高中数学必修二《祖暅原理与几何体的体积》教学设计教学设计：祖暅原理与几何体的体积一、教学目标1.掌握祖暅原理的基本概念和运用方法；2.理解几何体的体积概念；3.学习如何计算常见几何体的体积；4.培养学生的观察力、思维能力和解决问题的能力；5.培养学生的实际动手操作能力和团队合作精神。
二、教学内容1.祖暅原理的概念和运用方法；2.不规则几何体的体积计算；3.常见几何体的体积计算。
三、教学过程1.导入与激发学习兴趣（10分钟）通过展示一堆颜色各异的冰淇淋球，向学生引入几何体的体积概念，并讨论冰淇淋球的体积是如何计算得出的。
2.引入祖暅原理（20分钟）介绍祖暅原理的概念，以两个实际例子来说明祖暅原理的运用：一个是计算船舱内的货物和水的体积问题，另一个是计算不规则几何体的体积问题。
引导学生思考在这两种情况下，如何利用祖暅原理进行推导和计算。
3.学习几何体的体积计算（30分钟）首先，介绍常见几何体的体积计算公式，例如长方体、正方体、圆柱体等。
然后，通过实际测量和计算的方法，让学生学会如何计算不规则几何体的体积。
组织学生小组合作，给每个小组提供一个不规则几何体的模型，让他们根据所学知识计算模型的体积，并进行结果验证。
最后，让学生分享计算过程和结果，进行交流和讨论。
4.实践操作与合作探究（40分钟）组织学生分组进行实践操作，给每个小组提供一些不同形状、不同体积的几何体模型和测量工具。
要求学生按照模型的形状和尺寸，选择合适的测量方法，并用测量结果计算每个模型的体积。
学生可以自由探究和选择合适的计算方法，也可以互相配合，共同解决问题。
教师要积极引导学生，在操作过程中对不同方法和策略进行评价和比较，培养学生的实践操作能力和团队合作精神。
四、巩固与评价（10分钟）要求学生回答以下问题：1.祖暅原理的基本概念是什么？它在什么情况下可以应用？2.如何计算长方体和圆柱体的体积？3.你在实践操作中遇到了哪些问题？是如何解决的？五、教学反思通过本堂课的设计，学生既能够理解和掌握祖暅原理的基本概念和运用方法，又能够学习常见几何体的体积计算，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
《祖暅原理与几何体的体积》第1课时示范教学方案人教新课标B版
《祖暅原理与几何体的体积》教学设计第1课时◆教学目标了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式的过程；掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式、能运用公式解决简单的实际问题．◆教学重难点◆教学重点：利用祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式、并运用体积公式解决简单的实际问题．教学难点：空间问题转化为平面问题解决问题，割补转化法求几何体的体积．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入祖暅简介：祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家．祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积．祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪．祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年．在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论．问题1：在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高．下面我们探讨其他几何体体积的求法．同一摞书挡改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？设计意图：认识历史人物，引出祖暅原理与几何体的体积．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习祖暅原理与几何体的体积.（板书：祖暅原理与几何体的体积）【新知探究】问题2：祖暅原理及其含义是什么？师生活动：学生分析，给出答案．追问：（1）夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？（2）若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？预设的答案：祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．（1）被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．（2）根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．设计意图：通过对生活简单实验的分析，介绍和揭示祖暅原理．问题3：如图，下面是底面积都等于S ，，高都等于h 的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.(2)体积：如果柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积计算公式为V 柱体＝Sh .设计意图：了解柱体体积公式．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题4：棱锥和圆锥的体积如何计算？师生活动：学生分析，给出答案．追问：如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的，3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？棱台、圆台的体积如何求解？预设的答案：(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.(2)体积：如果锥体的底面积为S ，高为h ，则椎体的体积计算公式为V 椎体＝13Sh . 因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以，台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.设计意图：了解锥体、台体体积公式．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 如图所示，长方体''''ABCD A B C D -中，求棱锥''ADD A 的体积和长方体的体积之比.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：已知的长方体可以看成直棱柱''''ADD A BCC B -．设它的底面''ADD A 面积为S ，高为h ，则长方体的体积为：''''ADD A BCC B V Sh -= 因为棱锥''D A CD -可以看成棱锥''C A DD -．且''A DD ∆的面积为12S ，棱锥''C A DD -的高为h ． 所以''''111326D A CD C A DD V V Sh Sh --==⨯= 因此所求体积比为1:6.设计意图：提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例2. 已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：V ＝13(4＋16＋8)×3＝28. 设计意图：提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例3. (1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为214，求这个长方体的体积；(2)如图，在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)设长方体的三条棱长分别为a ，2a ，3a ，由题意得a 2＋(2a )2＋(3a )2＝(214)2，得a ＝2，∴长方体的三条棱长分别为2，4，6，∴其体积V ＝2×4×6＝48.(2)设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ． VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh . 又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ． ∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴体积比为1∶2∶4. 设计意图：提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】板书设计：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积1.锥体与柱体的体积 例12.锥体的体积 例23.台体的体积 例3练习与作业：2．总结概括：问题：（1）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是什么？（2）在几何体的体积计算中，有哪些数学思想？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．2．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”． 设计意图：本课以生活中的简单实验出发，揭示祖暅原理，了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式，并能够运用体积公式求简单几何体的体积．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业：【目标检测】1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．( )(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( )(3)由V 锥体＝13S ·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． 设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养． 2. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．3. 已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________.设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．4. 一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．设计意图：发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．参考答案：1.C (1)× (2)√ (3)√ 2．B 设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa2.又∵S 侧＝4π，∴a ＝2.∴V 圆柱＝π×2＝2π.3．3 由已知得4π＝13πr 2×4，解得r ＝ 3. 4．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形．∴AE ＝32×6＝3 3.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3. 在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23．∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。
祖暅原理微课 设计说明
微课设计说明
教师姓名
佟静
学校名称
新民市第一高级中学
微课名称
祖暅原理与柱锥体积
视频ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度
分钟秒
录制时间
2021年8月4日
知识点
年级：高一教材版本： 人教B版数学必修2 117
知识点描述
理解祖暅原理并借用该原理理解柱体和锥体的体积公式，培养学生的空间感，及爱国的思想，初步培养学生的数学文化，渗透等体积法的思想。
教学目标
1理解祖暅原理的内容 2熟悉柱体锥体的体积公式
3学会用曲线祖暅原理来理解体积公式4培养学生的空间感，渗透数学文化
适用对象
缺乏空间感的高中生
微课类型
知识点讲解
微课用途
课后复习
设计思路
学生可以通过动画及几何画板的直观展示更好的理解祖暅原理及柱锥体的体积，培养其良好的空间感，达到会借助祖暅原理更好的理解并且会求不规则图形的面积和体积的目的，以培养学生的空间感为主。
4祖暅原理的意义进一步训练及动画的展示也培养了学生数形结合的思想，更好的渗透了的理念。数学文化。
2分钟32秒
相关的习题验证，链接高考，将知识点转化为实际应用
2分钟35秒
三、结尾
（30秒以内）
谢谢观看，作者姓名单位
2021
教学反思
1动感的界面会强烈激发学生学习兴趣。
2语言、演示、字幕都会让学生觉得舒服，乐于学习。
3学生能理解祖暅原理的意义，学会利用祖暅原理推导柱体锥体的体积，轻松的解决与其相关的知识点的高考题增加其数学学习的兴趣。
教 学 过 程
内 容
时间
一、片头
（30秒以内）
介绍微课名称，作者姓名单位学科
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积
基于数学文化的探究式教学设计——祖暅原理与球体积在数学学科中，数学文化被广泛认为是重要的学习资源。
在教学中，引入数学文化可以帮助学生提高数学抽象思维能力、增强数学兴趣和动力、增强数学思维的跨文化特性，以及培养学生的跨文化学习能力。
本文将以祖暅原理与球体积为例，探讨如何基于数学文化进行探究式教学的设计。
一、祖暅原理的数学文化探究祖暅原理是数学中的一个重要原理，它是由古代中国数学家祖暅提出的。
该原理的表述为：“任何一个数都可以表示成不超过四个平方数之和的形式”。
在数学中，祖暅原理常常被用来求解一些数学问题，如求解某个自然数是否是四个平方数之和。
在进行数学文化探究时，我们可以让学生了解祖暅原理的来历、发现条件、表述形式、具体应用等内容。
通过学习祖暅原理，学生不仅可以理解数学知识，还可以进一步认识到古代中国数学的悠久历史和卓越成就，增强数学学习的文化认同感和自豪感。
球体积是一个经典的数学问题，在数学中有许多著名的定理和公式，如球的表面积公式和球的体积公式等。
关于球体积的研究和探究在不同的文化中也有着不同的历史和表述方式。
在进行球体积的数学文化探究时，我们可以引导学生了解不同文化中有关球体积的定理和公式，如欧几里得文化中的球的体积公式V=4/3πr³、印度文化中的BhāratīyaVyākhyāya求圆的体积公式V=1/2A²/R、阿拉伯文化中的Al-Mahani's论圆的表面积、墨西哥文化中的Aztec墨西哥玛雅文明与奥尔梅克文明中量球大小的方法等。
通过对球体积问题的多元文化探究，可以帮助学生深入理解球体积问题的本质和意义，增强他们在跨文化交流和合作中的跨文化学习与跨文化适应能力。
基于数学文化的探究式教学应该注重以下方面：1.多样化的学习资源。
引入多元文化的数学文化知识，例如重要的数学原理、定理或公式等，同时也可以通过历史、艺术、地理等多种资源，让学生感受多元文化的魅力。
2.提出开放式问题。
《祖暅原理与几何体的体积》 教学设计
《祖暅原理与几何体的体积》教学设计一、教学目标1、让学生理解祖暅原理的内容，知道其在求几何体体积中的重要作用。
2、掌握运用祖暅原理求常见几何体体积的方法。
3、培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和转化思想。
二、教学重难点1、教学重点（1）祖暅原理的内容和含义。
（2）运用祖暅原理推导常见几何体体积公式。
2、教学难点（1）如何引导学生理解祖暅原理的本质。
（2）运用祖暅原理解决复杂几何体体积的计算问题。
三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课通过展示两个形状不同但等高处横截面积相等的几何体，如一个圆柱体和一个长方体，引发学生思考：这两个几何体的体积是否相等？从而引出本节课的主题——祖暅原理。
2、讲解祖暅原理（1）介绍祖暅的生平及其在数学领域的贡献。
（2）详细讲解祖暅原理的内容：“幂势既同，则积不容异”。
用通俗的语言解释为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
3、运用祖暅原理推导几何体体积公式（1）推导圆柱体的体积公式将圆柱体沿底面直径垂直切开，得到一个半圆柱。
然后将其与一个长方体进行比较，长方体的底面积与半圆柱的横截面积相等，高也相等。
根据祖暅原理，它们的体积相等。
从而得出圆柱体的体积公式 V ＝πr²h （r 为底面半径，h 为高）。
（2）推导圆锥体的体积公式准备一个圆锥体和一个与它等底等高的圆柱体。
将圆锥体装满水，倒入圆柱体中，发现三次正好倒满。
由此可以得出圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，即 V ＝1/3πr²h 。
（3）推导球体的体积公式先介绍球体体积公式的推导思路，然后通过数学方法进行推导。
让学生了解到推导过程中运用了祖暅原理，将球体的体积转化为与其等高处横截面积相等的几何体的体积来计算。
4、例题讲解通过讲解一些典型例题，如计算组合几何体的体积，让学生进一步掌握运用祖暅原理解决问题的方法。
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祖暅原理的教学设计
一、祖暅原理及其对教学过程的启发
1.从平面图形到空间图形的类比推理师：（多媒体演示）观察并思考
问题：等底等高的图形面积有什么关系？学生讨论后小结：等底等高
的图形面积相等。
师：我们发现，用平行于底边的任意直线去截这两
个图形，截得的两条线段始终相等。
那这个条件是否是两个图形面积
相等的充要条件呢？学生探究，教师指导：点构成线，线构成面，用
平行于底边的任意直线去截图形，截得的两条线段始终相等，那么这
些相等线段组成的面积也相等。
类比猜想：把平面图形拓展到几何体，这个结论还成立么？
2.祖暅原理的引入情境导入：取一摞作业本置于桌面，用手轻推使之
发生形变。
师：推动以后这摞作业本的体积改变了么？推动前后还有
什么共同点？生：体积、高度、本数都没有改变。
师：回忆平面图形
等积定理，讨论并归纳立体几何体等积定理。
学生归纳，教师指导，
引入祖暅原理。
师：祖暅原理只能判断两个几何体体积是否相等，如
果求几何体的体积，还必须转化为常见几何体。
3.从特殊到一般，从已知到未知师：我们学过特殊棱柱———长方
体的体积公式，同学们回忆一下。
生：设长方体的长、宽、高分别为、、，那它的的体积为。
4.利用祖暅原理，结合下图，推导棱柱体积公式图1学生小组合作：
做一个与棱柱等底等高的长方体，用一个平行于底面的平面去截这两
个几何体时，截面总是相等，则这个长方体与棱柱体积相等。
棱柱体
积公式为：。
教师补充：利用祖暅原理求棱柱体积时，需要构造与之
等底等高的几何体，且需要满足两个条件：一是已知其体积公式，二
是用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，截面总是相等。
二、祖暅原理的教学建议
中国传统数学在数学史上是一颗璀璨的明珠，但是随着历史变迁，传
统数学的发展逐步失去活力，最终汇入西方数学体系中。
在20世纪的
今天，随着新课改的逐步深入，数学文化进入到教师和教材编者的视
野中。
祖暅原理作为立体几何中不可或缺的一部分，将其整合进教学
过程中，更有利于加深学生对本章内容的内化。
因此，针对如何利用
祖暅原理进行教学设计，有以下几点建议：
首先，本节的教学设计应以探究式学习为主。
教材中的体积公式可以
设计为探究活动，通过已知几何体的体积公式，结合祖暅原理，探究
未知几何体的体积公式。
这一探究活动将使学生经历观察、猜想、验证、归纳的过程，增强主动探索能力，提高学习兴趣。
其次，祖暅原
理可以作为本节的引入环节。
虽然祖暅原理在必修教材中属于课后探
究与发现环节，但是如果将其作为本节的引入环节，不仅提高了学生
的探究兴趣，还培养了学生的民族自豪感，让学生感受到中国古代传
统数学的魅力。
在次，在学习几何体体积公式时，利用祖暅原理，更易使学生进入到
从特殊到一般，从已知到未知的探究过程，体会其中的数学思想。
高
中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目
标之一。
祖暅原理蕴含着丰富的数学思想。
在祖暅原理的推理过程中，蕴含了类比归纳思想、转化思想、极限思想等。
最后，原理的应用须贴近生活，化抽象为具体。
高中学生的抽象思维
有限，直接给学生讲原理，学生很难理解。
但是如果结合生活中的实例，深入浅出，学生不难归纳出结论。
比如上文教学案例中，先让学
生观察一摞作业本的形状，然后动手改变形状，观察体积的变化。
从
这个实例出发，再归纳总结，结论就很好理解了。
祖暅原理的教学设计。