平行四边形存在性(习题及答案)
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平行四边形存在性(习题)
例题示范
例1:如图,在平面直角坐标系中,直线1
=+交
y x
=-+与3
y x
于点A,与x轴分别交于点B和点C,D是直线AC上一动点,则在直线AB上是否存在点E,使以O,D,A,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路分析】
1.研究背景图形
2.根据不变特征确定分类标准
E(,)?
O.,A.,D,E平行四边形
3.分析特殊状态的形成因素,画出符合题意的图形并求解
①当OA作为边时,根据平行四边形的判定,需满足OA∥DE,
OA=DE,要找DE,借助平移,由于点D在直线AC上,让线段DE沿直线AC上下平移,确保点D在直线AC上,来找直线AB上的点E,注意需要沿AC的上方、下方分别平移,找出点之后,设计方案,利用平移性质,求出坐标;
②当OA作为对角线时,利用平行四边形的判定,需满足OA,
DE互相平分,设出E点坐标,根据中点坐标公式表达出D点坐标,代入直线AC表达式即可.
4.结果验证
【过程书写】
解:由题意得,B (1,0),C (-3,0)
∵直线1y x =-+与3y x =+交于点A
∴A (-1,2)
①当OA 作为边时,OA ∥DE ,OA =DE ,如图所示,
设1E (1)
t t -+,根据平移可得,1(13)D t t --+,
∵点1D 在直线AC 上
∴t -1+3=-t +3
解得,1
2
t =∴111()22
E ,同理可得,257()22
E -,②当OA 作为对角线时,DE 与OA 互相平分,设OA 的中点为
F ∵A (-1,2),O (0,0)
∴F 1(1)2
-,设3E (1)m m -+,,
则3(11)
D m m --+,
∵点3D 在直线AC 上
∴-m -1+3=m +1解得,1
2
m =∴311()22
E ,点3E 与点1E 重合,如图所示,
综上,符合题意的点E 的坐标为1157()()2222
-,,,
巩固练习
1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线323
y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,点C 在y 轴正半轴上,且12
OB BC =,直线CD ⊥AB 于点P ,交x 轴于点D .在坐标平面内是否存在点M ,使得以A ,P ,C ,M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A,C分
别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA边上,点E在OC边上,将矩形OABC沿直线DE折叠,点O恰好落在BC边上的
点F处,且
4
3
CF
CE .已知OC=8,BC=12,OD=10,请解答
下列问题.
(1)求直线DE的解析式.
(2)若M为直线DF上一点,则在直线DE上是否存在点N,使得以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
思考小结
1.存在性问题处理框架是什么?
①研究背景图形;
2分析不变特征,确定分类标准;
3分析形成因素,画图求解;
4结果验证.
2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例,我们一起看看存在
性框架分析怎么用:
第一步,研究背景图形需要研究哪些内容?
答:研究背景图形需要研究边、角、特殊图形;坐标、解析式.
第二步,如何分析不变特征,确定分类标准?
答:分析谁是定点,谁是动点,两个定点连成定线段,定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类.
第三步,分析形成因素,画图,求解;根据特征,往往需要利用______(填“判定”或“性质”)分析?定线段为边和为对角线分类作图时,依据的原理是什么?求解坐标的操作手段是什么?
答:判定;
定线段为边时依据的原理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
定线段为对角线时依据的原理:对角线互相平分的四边形是平行四边形;
定线段为边时求解坐标:通过平移找点,“设→传→代”进行求解;
定线段为对角线时求解坐标:通过旋转找点,利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解.
【参考答案】
1.存在,点M 的坐标为(33-,3),(33,9)或(3-,3-).
2.(1)152
y x =-+.(2)存在,点N 的坐标为(345,85)或(665,85
-).