数学：函数的单调性苏教版必修

《函数的单调性》教学设计

一:教材依据

江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节

二:设计思路

课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.

本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.

函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.

函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数x

y 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.

利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.

三:教学目标

１．知识与技能：理解函数单调性的概念；

２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；

（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；

（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.

３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.

四：教学重点函数单调性的概念与判断

五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性

六：教学过程

（一）.问题情境：

１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.

２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.

３．很多函数也具有类似性质.如：

（x>0）

y=３x+２y=1

x

老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）

（二）.学生活动:

问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？

y=x２y=x３

学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？

（板书：图形、符号）

（三）．建构数学：

问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.

一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A

如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １

如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １f （x ２ ），那么就说在这个区间I 上是减函数。I 称为y=f （x ）的单调减区间。

老师：如果函数y=f （x ）在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f （x ）在区间I 上具有单调性.

问题４：由函数单调性定义，你发现哪些特点？

（1） 自变量x 属于定义域A

（2） 自变量x 的任意性

（师生互动）（３） x １、x ２的大小与f （x １ ）、f （x ２ ）的大小要对应.

深层

（４）等价形式：()()()())0(2121<>--或x f x f x x

()())0(02

121<>--或x x x f x f 问题５：

—５ —４ —３ —２ —１ 0 １ ２ ３ ４

５

老师：为什么？ （展开讨论）

（五）.数学应用：

例题１：求证：函数f （x ）=—

1x —１在区间（—∞,0）上是单调增函数. 例题２：判断： 函数x y =在区间（0,+∞）内的单调性.

总结:１．通过本例让学生在模仿证明中进一步理解函数单调性定义中“任意”的意义.２．与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤：

１取值

２作差变形 （学生自己完成）

３定号

４判断

（六）.基础练习：

１． 判断下列说法是否正确？

１ 定义在上的函数满足,则函数是上的增函数. （ ）

２ 定义在上的函数满足,则函数在上不是减函数. （ ）

２． 已知则上的最大值为 ，最小值为 .

３． 下列函数在区间（0,+∞）上不是增函数的是（ ）

Ａ．y=２x+１ Ｂ．y=x ２+１ C.y=x

3 Ｄ．y=x ２+２x+１ ４． 若y=kx+２在R 上为增函数，则k 的范围是