数学：函数的单调性苏教版必修
苏教版 高中数学必修第一册 函数的单调性 课件1
设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)+f
x2 x1
=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f
上是增函数.
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单 调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区 间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在 单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示， 试写出它的单调区间，并指出单调性.
判断函数单调性的常用方法
1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结 论”进行判断. 单调性判断的等价结论:
当x∈D时, f(x)是增函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ f (x1) f (x2)>0.
x1 x2
当x∈D时, f(x)是减函数,∀x1,x2∈D且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ f (x1) f (x2)<0.
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]
③若y=f(x)是定义在区间(a,b)或R上的连续函数,则函数y=f(x)的最大(小)值要
根据具体函数而定. (4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个.
函数的单调性-高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
(2)当 x≤0 时,如果取 x1<x2≤0, f(x1) 与 f(x2)哪个大? (2) 当x>0 呢?
(1) 当 x≤0 时, 图象左高右低.
自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小.
x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2).
函数 f(x)=x2 在(-∞, 0]上是减函数.
(-,-1), (-1,0), (0,1), (1,+)
y
o
1
23Biblioteka 4x题型建构
例6. 设 f(x) 是定义在区间 [-6, 11] 上的函数, 如果 f(x) 在区间 [-6, 2] 上递减, 在区间 [-2, 11] 上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象, 从
图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 最小值 .
解: (1) 图象开口向上, 顶点 ( , - ).
函数在 (-∞, 0]上是增函数,
5
函数在 (-, ] 上是减函数,
2
5
在 [ 2 , + y ) 上是增函数.
2
4
在 [0, +∞)上是减函数.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3
2
1
-1
o
-1
-5
4
1
2
3
4
x
·
·
-3 -2 -1 o
·x
1 2 3
提升建构
∴ f(x1) - f(x2)>0,
∴ f(x1) - f(x2)<0,
即f(x1) > f(x2),
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
新教材苏教版高中数学必修第一册5.3函数的单调性 精品教学课件
f(x1)-f(x2)=
1 1 ( 1 1) 1 1 x1 x2 ,
x1
x2
x2 x1 x1x2
因为x1<x2<0,所以x1-x2<0,x1·x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)=- 1-1在区间(-∞,0)上是增函数.
x
【拓展延伸】 1.性质法判断函数的单调性 (1)当f(x)>0时,函数y= 1 与y=f(x)的单调性相反,对于f(x)<0也成立.
f (x)
(2)在公共定义域内,两增函数的和仍为增函数,增函数减去一个减函数所得的 函数为增函数. (3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (4)当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性; 当c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+ a (a≠0)的单调性
2
2
≥3m,解 2得m≤0或m≥4,
2
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
答案:m≤0或m≥4
备选类型 抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理) 【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1. (1)求证:f(x)是增函数. (2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2. 【思路导引】(1)按照单调性的定义,构造f(x2)-f(x1),再判断符号. (2)将2化为f(x0)的形式,再利用单调性解不等式.
3
1 2
a
a
1
a
苏教版高中数学必修第一册5.3 第1课时 函数的单调性【授课课件】
第1课时 函数的单调性
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
应用图象确定单调性的关键 应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升” 或“下降”趋势来找到函数的增区间或减区间．但应注意端点是否 在定义域内．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用 “和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
第1课时 函数的单调性
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0,0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴x1－x2x－1x21＋x1x2>0，即 f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
[证明] 设 x1，x2 是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋＋21－xx22＋＋21＝x1＋x12－xx21＋1．
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， ∴x1＋x12－xx21＋1＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)＝xx＋ ＋21在(－1，＋∞)上是减函数．
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
0，32 [∵f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且 f(x－2)<f(1－x)， ∴x－2<1－x， ∴x<32． 又 f(x)的定义域为[－2,2]， ∴－ －22≤ ≤x1－－2x≤≤22，，
苏教版必修第一册531函数的单调性课件_4
问题2 如何理解函数图象是上升的？
提示 从左向右的方向看函数的图象，当图象上点的横坐标逐渐增大时， 点的纵坐标也逐渐变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐 渐增大.
知识梳理
增函数与减函数的定义
前提条件
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A
条件
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时
2.若本例(2)中函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，
解得 x>32， ∴x 的取值范围为32，＋∞.
反思感悟
由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参 数满足的条件. 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)类——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单 调性的定义和性质，将符号“f ”去掉，列出关于自变量的不等 式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3，x≥0，
＝－x2－2x＋3，x<0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)， [1，＋∞). f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数.
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1， 解得a≤－4， 即实数a的取值范围为(－∞，－4].
第5章-5.3-函数的单调性高中数学必修第一册苏教版
是(-1.5，-1.5),所以当 = 1.5时,函数 = 取得最大值,即 = 1.5;当 = −1.5时,
函数 = 取得最小值,即 = −1.5.根据函数单调性的几何意义,图象从左到右
上升的部分对应的区间是增区间,从左到右下降的部分对应的区间是减区间，因此,函
C.−1
2
D.1
+ − 1在[3, +∞)上单调递增，且 在[3, +∞)上的
最小值为1，所以 3 = 1，即 = −2.
+ 3, < 1,
5
（2）函数 = ቊ
的最大值为___.
− + 6, ≥ 1
【解析】当 < 1时，函数 = + 3单调递增，且有 < 4，无最大值;当 ≥ 1时，
（2）求证当 ∈ 时，恒有 > 0;
【解析】由题意知当 > 0时，0 < < 1.
当 = 0时， 0 = 1 > 0,
当 < 0时，− > 0,∴ 0 < − < 1.
∵ + −
∴ =
1
−
= − ,∴ − = 1.
2
1
2 + 1
2
+（大于0的途径→
3 2
配方） 1 ].（3.变形.）
4
∵ 1 < 2 ,∴ 2 − 1 > 0,而
若 2 +
2
1
2 1
2
1
2 + 1
2
+
3 2
4 1
≥ 0,
3
4
+ 12 = 0,
高中数学苏教版必修1课件2.2.1 函数的单调 课件 (18张)精选ppt课件
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，<
义 那么就说 f (x)在区间I上
是单调I 称增为函f数(x，)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
图像在该区间内逐渐下降——当x的值增大时,函数值y反而减小。
y
f(x2) f(x1)
O
N
M
I x1 x2
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
？
对区间I内 x1，x2 ， 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
f(x2) f(x1)
O
N
M
I x1 x2
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
判断1：函数 f (x)= x2 在 ,是 单调增函数； ×
正确：函数 f (x)= x2 在
y
[0, ) 是单调增函数；
函数 f (x)= x2 在
(0, ) 是单调增函数； 也正确
y x2
o
x
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y
y 1 x
？ (1)y 1 (x 0);
yax2bx的c单(调a性0)
yax2bxc(a0)的对称轴为 x b
2a
yax2 bxc单调增区 单调减区
间
间
a>0
b 2a
,
苏教版高中数学必修第一册《函数的单调性---抽象函数、复合函数单调性》名师课件
2
在
−1
2
在[
−1
, = 6 时取得最小值，
典例讲解
例2.求 = − − 的单调递增区间.
解析
的定义域为{| ≥ ，或 ≤ −}，令 = − − ，
则原函数可化为() = ( ≥ 0).
∙ ()具有相反的单调性.
(3)若()恒为正值或恒为负值,则当 > 0时,()与
具有相反的单调
性；当 <
0时,()与
具有相同的单调性.
()
()
(4)若() ≥0，则()与 ()具有相同的单调性.
(5)当() ，()都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则() ∙ ()
2 − 1 = 2 − 1 − 2 + 2 ；
若给出的是积型 () = ⋯ 抽象函数，判定符号时的
2
变形为 2 − 1 = 1 ⋅
− 1 ,
2 − 1 = 2 −
1
1
2 ⋅
2
.
变式训练
2.已知函数 对任意的, ∈ ，总有( + ) = , () ≠ ,且当 > 时，
∴ 1 − 2 =
1
2
⋅ 2 − 2 =
1
2
+ 2 − 2 =
∵ 1 , 2 ∈ (0， + ∞) ，且1 < 2 ，
∴0 <
1
2
< .
∴
1
2
>0
∴ 1 − 2 > 0,即 1 < 2
∴ 在(0， + ∞)上单调递减.
因为 = − − 在 −∞, − 上单调递减，在 3, +∞
高考数学 2.2.1 第1课时 函数的单调性课件 苏教版必修1
3.各递增或递减区间具有独立性，只能用“，”分开 或者用“和”来连接，不能写成并集形式.即如果函数 在两个区间A和B上都是增 减 函数，一般不能认为函数
探究1：定义 第2.1.1节开头的第三个问题中，气温是关于时间的函数， 观察图象，回答问题．
θ/℃
10 8
6
4 2
O -2
2
4
6
8
10 12 14
16
18 20
22
24
t/h
问题1：说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间 的推移气温逐渐升高”这一特征？
2 已知函数f x , 利用函数单调性的定义判断函数f x 在区 x -1 间 2, 6 上的单调性；
提升总结：
1.函数单调性的定义中，实际上有两层意思：
1 对于任意的x1 , x2 M , 若x1 x2 , 有f x1 f x2 , 则f x 在
区间M 上为增函数；
2 若f x 在区间M 上为增函数，则当x1 x2时，必有f x1 f x2 .
证明：设x1，x2为区间（-∞ ，0
1 1 1 x x 1) 1 2 x1 x2 x2 x2 x1
）内的任意两个值，
1 1) x1
且x1<x2，则x1-x2<0 ，x1x2>0.因为 f ( x1 ) f ( x2 ) （
（
所以
f(x1)-f(x2）<0 即 f(x1)<f(x2） 1 故 f ( x) 1 在区间（-∞ ，0 ）上是单调增函数. x
高中数学苏教版必修一《2.2.1函数的单调性》教学课件
2024/11/14
17
单击此处编辑母版标题样式 证明：在区间 ,上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
• 单击此处编辑则 母f (版x1)文 本f (x样2) 式2x1 1 (2x2 1)
• 二级
2x1 1 2x2 1
• 三级
• 四级
2(x2 x1)
x1, x• 2五级, ，且 x1 x2 x2 x1 0
单击此处编辑母版文本样式
1 x1
1 x2
• 二级
• 三级
• 四级
x2 x1 x1 x2
x1,•x五2 级 , 0 ，且 x1 x2 x1x2 0, x2 x1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y 1 在区间上 , 0是减函数.
x
• 单击此证处明：编设辑V1母,V2是版定文义本域 样0,式 上任取两个实数,且 V1 V2
•
二级
• 三则级
• 四级
p(V1)
p(V2
)
k V1
k V2
作差
• 五级
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
取值 定号
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
结论
2024/11/14
12
单击此处编证辑明函母数版单标调题性的样一式般步骤:
取值
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级
作差变形
• 五级
定号
结论
新教材苏教版必修第一册53第一课时函数的单调性课件1
新课程标准解读
核心素养
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、 直观想象、数学运算、
最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义
逻辑推理
第一课时 函数的单调性
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关 记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持 量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝（x2－x1）x21（ x22 x2＋x1）. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数．
∵
f（x1）－f（x2） x1－x2
<0
等 价 于 [f(x1) － f(x2)]·(x1 － x2)<0 ， 而 此 式 又 等 价 于
f（x1）－f（x2）>0， x1－x2<0
或
f（x1）－f（x2）<0， x1－x2>0，
即
f（x1）>f（x2）， x1<x2
或
fx（1>xx12），<f（x2），∴f(x)在(a，b)上单调递减，②是真命题，同理可得③也是真命题．
若要说明函数 f(x)在某个区间上不是单调递增(减)的，只需在该区间上找到两个值 x1，
函数的单调性苏教版
单调函数的奇偶性可以 通过函数的定义域和函 数值的性质来判断。
03
函数的单调性应用
利用单调性求函数的最值
单调性定义
函数在某区间内单调递增或递减，即对于该区间内任意两 点x1, x2，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)（递增）；当x1<x2 时，f(x1)>f(x2)（递减）。
单调性求最值
利用单调性，可以找到函数的最大值或最小值。例如，对 于递增函数，其最大值出现在区间的左端点；对于递减函 数，其最小值出现在区间的左端点。
举例
解不等式f(x)=x^2-2x>0。由于 f(x)=(x-1)^2-1在区间(-∞,1)上 递减，在区间(1,+∞)上递增， 所以解集为(-∞,0)∪(2,+∞)。
利用单调性研究函数的零点
80%
单调性与零点
利用函数的单调性，可以研究函 数的零点个数、位置以及性质。
100%
研究零点方法
根据函数单调性，判断函数在某 区间内的符号变化情况，从而确 定零点的个数和位置。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调 性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函 数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图 像是上升的，则函数单调递增；如果图像是下降的 ，则函数单调递减。
02
函数的单调性性质
单调函数的连续性
单调函数在其定义域内是连续的，即函数在定义域 内的每一点都满足连续的条件。
单调函数在定义域内的每一点都有左右极限，且极 限值相等。
单调函数在定义域内的每一点都有定义，且函数值 在定义域内是唯一的。
苏教版(2019)必修第一册5-3 函数的单调性课件
5.3
函数的单调性
学习目标
1.理解函数的单调性、最值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性. 2.掌握二次函数在闭区间上的最值问题3.学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
2.单调性与单调区间 如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f（x）在区间I上具有单调性. 增区间和减区间统称为单调区间.
例 4 画出函数y＝-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.
【方法总结】先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态确定 函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”字或“逗号”连接，不能用“∪” 连接.
x∈（-∞，0），减 x∈（0，1］，减 x∈［1，+∞），减
【方法总结】 运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为 首选方法.先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.
例7 用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值 为6 .
二、函数的最大（小）值 1.函数的最大（小）值 设y＝f（x）的定义域为A. • 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤ f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，
记为ymax＝f（x0）； • 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，
【解读】 （1）函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替. （2）有些 函 数 在 整 个 定 义 域 内 是 单 调 的 ； 有 些 函 数 在 定 义 域 内 的 部 分 区 间 上 是 增 函 数 ， 在 部 分 区 间 上 是 减 函 数；有些函数是非单调函数（常数函数）. （3）函数的单调性只能在定义域内讨论，因此求单调区间必须先求定义域. （4）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号” 或“和”字隔开.
苏教版高中数学必修1课件 2.2.1函数的单调性(1)课件1
0)上是增函数． 证明 对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2) ＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1.
∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝ x2－xx121xx222＋x1. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数．
2 a<3.
②
由①②可知，0<a<23，
即所求
a
的取值范围是
2 0<a<3.
(2)解 由例题知函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]， ∴1－a＝4，a＝－3.
再见
高中数学·必修1·苏教版
2．2 函数的简单性质 2．2.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
[学习目标] 1．了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方
法． 2．能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单
调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．
[知识链接] 1．x2－2x＋2＝(x－1)2＋1 ＞ 0； 2．当 x＞2 时，x2－3x＋2＝(x－1) (x－2) ＞ 0； 3．函数 y＝ x2－3x＋2 的对称轴为 x＝32 .
高一数学最新课件-苏教版必修1函数的单调性 精品
根据下列函数图像，说出函数的自变量x在什么范围内的时候， 函数值y随着自变量x的增大而增大，x在什么范围内的时候，
函数值y随着x的增大而减小？ y
－5
－3
o1
3
5x
当－5≤x≤－3时，函数值y随着自变量x的增大而减小，图像呈下降趋势 当1≤x≤3时，函数值y随着自变量x的增大而减小，图像呈下降趋势 当－3≤x≤1时，函数值y随着自变量x的增大而增大，图像呈上升趋势 当3≤x≤5时，函数值y随着自变量x的增大而增大，图像呈上升趋势
•练①习取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2 ；
1．• 证②明作函差数y变=x形2+2：x-作7 差在f((x-1∞)-,-f1()x2上) 是；减函数。 2．• 调根③性据并定单加号调以：函证数判明的断。定上义述，差判f断(x函1)数-yf=(1x/2x)在的区符间号（；－∞，0）的单 小• 结④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
函数的简单性质 1.单调性
作出下列函数的简图
（1）y=2x＋1 y 3
（2）y=－2x＋4 y 4
1－
o
|
1
x
1－
o
|
12x
（3）y=－x2+1
y 1－
－|1 o
|
1x
思考：在这三个函数图像中，自变量x在增大的时候，其函 数值y的变化规律是什么？
（1）中，函数值y随着x的增大而增大，其图像呈上升趋势 （2）中，函数值y随着x的增大而减小，其图像呈下降趋势
区区间间 个自变量的值x1、x2,当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，
2.2.函数的单调性-苏教版必修1教案
2.2.函数的单调性-苏教版必修1教案一、教学目标1.理解函数的单调性概念。
2.掌握函数单调性的判定方法。
3.能够应用函数单调性解决实际问题。
二、教学重点1.函数单调性的定义和判定方法。
2.函数单调性在实际问题中的应用。
三、教学难点1.函数单调性在实际问题中的应用。
2.判定复合函数的单调性。
四、教学准备1.教师准备教案和课件。
2.学生准备笔记和教材。
五、教学过程5.1. 函数单调性概念的引入请学生回顾前面的知识，回答以下问题：•什么是函数的定义域？•什么是函数的值域？•什么是函数的图像？回答以上问题后，引出函数的单调性概念，说明单调性是描述函数变化的一种性质。
5.2. 函数单调性的定义介绍单调递增和单调递减的定义。
并通过图像和表格的形式进行演示。
5.3. 函数单调性的判定方法介绍用导数和数列来判定函数单调性的方法。
并通过例题讲解。
5.4. 函数单调性在实际问题中的应用通过实例讲解函数单调性在实际问题中的应用，如销售收益、消费选择等。
5.5. 判定复合函数的单调性在前面教学的基础上，介绍复合函数单调性的判定方法，并举例说明。
六、课堂练习对前面的知识进行巩固和拓展，设计练习题，帮助学生深入理解函数单调性的概念和判定方法。
七、作业留下一定数量的练习题，以检测学生是否掌握了函数单调性的概念和判定方法。
八、教学后记总结本课中教学的难点、重点和易错点，为下次课的教学做好准备。
同时，了解学生的学习状况，及时做好反馈和调整。
高中数学苏教版必修一《2.2.1函数的单调性》课件
• 四级 • 五级
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• 三级
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2.2.1
函数的单 调性
数学苏教版 高中数学
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•【单知击识此目处标编】辑：母使版学文生本从样形式与数两方面理解函数单调性的概念，学 会•利二•用级三函级数图像理解和研究函数的性质，初步掌控利用函数图象 和单调性• 四定级义判定
三级
• y四级
x
2,
y
x 2,
y
x2,
y
1
• 五级
x
的图象，并且视察自变量变化时，函数值有
什么变化规律？
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单击问题此1处：分编别辑作出母函版数标题样式 y x 2, y x 2, y x2, y 1
• 单击此的处图编象辑，母并版且文本视样察式自变量变化x时，函数值有 • 二•级什三级么变化规律？
• 四级 • 五级
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• 二级 问题2：能不能根据自己的理解说说什 • 三级 • 么四级是增函数、减函数? • 五级
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单击问此题处1：编下辑图是母函版数标y 题x样 2x式(x 0)
• 单击此处的编图辑象母,版能文说本出样这式个函数分别在哪个区间为增 • 二级函数和减函数吗？
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。
2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。
3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。
4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。
5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。
2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。
3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。
2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。
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《函数的单调性》教学设计
一:教材依据
江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节
二:设计思路
课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.
本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.
函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。
首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。
在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.
函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数x
y 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.
利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。
教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.
三:教学目标
１．知识与技能：理解函数单调性的概念；
２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；
（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；
（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.
３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.
四：教学重点函数单调性的概念与判断
五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性
六：教学过程
（一）.问题情境：
１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.
２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.
３．很多函数也具有类似性质.如：
（x>0）
y=３x+２y=1
x
老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）
（二）.学生活动:
问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？
y=x２y=x３
学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？
（板书：图形、符号）
（三）．建构数学：
问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.
一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A
如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）<f （x ２ ），那么就说y=f （x ）在区间I 上是增函数。
I 称为y=f （x ）的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）>f （x ２ ），那么就说在这个区间I 上是减函数。
I 称为y=f （x ）的单调减区间。
老师：如果函数y=f （x ）在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y=f （x ）在区间I 上具有单调性.
问题４：由函数单调性定义，你发现哪些特点？
（1） 自变量x 属于定义域A
（2） 自变量x 的任意性
（师生互动）（３） x １、x ２的大小与f （x １ ）、f （x ２ ）的大小要对应.
深层
（４）等价形式：()()()())0(2121<>--或x f x f x x
()())0(02
121<>--或x x x f x f 问题５：
—５ —４ —３ —２ —１ 0 １ ２ ３ ４
５
老师：为什么？ （展开讨论）
（五）.数学应用：
例题１：求证：函数f （x ）=—
1x —１在区间（—∞,0）上是单调增函数. 例题２：判断： 函数x y =在区间（0,+∞）内的单调性.
总结:１．通过本例让学生在模仿证明中进一步理解函数单调性定义中“任意”的意义.２．与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤：
１取值
２作差变形 （学生自己完成）
３定号
４判断
（六）.基础练习：
１． 判断下列说法是否正确？
１ 定义在上的函数满足,则函数是上的增函数. （ ）
２ 定义在上的函数满足,则函数在上不是减函数. （ ）
２． 已知则上的最大值为 ，最小值为 .
３． 下列函数在区间（0,+∞）上不是增函数的是（ ）
Ａ．y=２x+１ Ｂ．y=x ２+１ C.y=x
3 Ｄ．y=x ２+２x+１ ４． 若y=kx+２在R 上为增函数，则k 的范围是
５． 若函数y=x ２—mx+５在（—∞，２）为减函数，在（２,+∞）上为增函数，则m=
变式: 若函数y=x ２—mx+５在（—∞，２）为减函数，则m 的范围是
6． 若函数()x f 在区间()b a ,上为增函数，在区间()c b ,上也为增函数，则函数()x f 在区间()c a ,内是 （ ）
Ａ．增函数 Ｂ． 减函数 Ｃ． 增函数或减函数 Ｄ． 无法确定单调性
7．函数()x f 的定义域为()b a ,,且对其内任意实数21,x x 均有
()()()()02121<--x f x f x x , 则()x f 在()b a ,内是 （ ）
Ａ．增函数 Ｂ． 减函数 Ｃ． 奇函数 Ｄ． 偶函数
注：本练习的设计思路 １考查任意性; ２,３４,５,6考查数与形的结合;
7考查定义
（七）.回顾小结：
１．函数的单调性的概念. 三个注意点,一个等价变形
（学生自己完成 ） ２．判断函数在某个区间上的单调性. 四个步骤
（八）.课堂作业：43P ,习题２．１（３）：１、４、7（３、４）
七:教学反思
函数单调性概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解,要在实践中加以理解.。