控制系统的状态空间描述
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
控制系统状态空间描述1
m
y
f
k
弹 -质 体 尼 系 簧 量 -阻 器 统
对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝 解 对许多实际系统 由于对系统的各种物理量的初始值或绝 对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 对值难于了解 一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之 后的相对值。 后的相对值。 对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力 作用于小 对本例的刚体力学系统 一般先假设在外力u(t)作用于小 一般先假设在外力 车之前,小车已处于平衡态 小车已处于平衡态。 车之前 小车已处于平衡态。 下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响. 下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响. 对小车运动的影响 系统的受力情况如下图所示. 系统的受力情况如下图所示
在进行动态系统的分析和综合时,首先应建立该系统的数学 在进行动态系统的分析和综合时 首先应建立该系统的数学 模型,它是我们进行系统分析 预报、 它是我们进行系统分析、 模型 它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计 的基础。 的基础。 建立数学模型的主要方法有: 建立数学模型的主要方法有 机理分析建模。 机理分析建模。 按照系统的实际结构,工作原理 并通过某些决定 按照系统的实际结构 工作原理,并通过某些决定 工作原理 系统动态行为的物理定律、化学反应定律、 系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社 会和经济发展规律,以及 会和经济发展规律 以及 各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。 各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。 实验建模(系统辨识 。 实验建模 系统辨识)。 系统辨识 通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反 映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处 映系统的动态行为的信息与数据 用数学归纳处 理的方法来建立系统模型。 理的方法来建立系统模型。
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
控制系统的状态空间描述
03
方法二、根据传递函数求解
状态方程的标准形式
状态方程的定义 状态方程 所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。
3.2.2 状态空间表达式
向量矩阵形式为
状态向量
输入向量
维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
向量矩阵形式为
维的系数矩阵
维的系数矩阵
输出方程
输出方程的标准形式
解：列写回路的电压方程和节点的电流方程
选取 为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为
消去 并整理得
设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得
写成向量矩阵形式为
其中
输入变量的Laplace变换象函数
2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量： ，用这n个状态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用 表示。
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
01
考虑标量的一阶微分方程
02
用拉氏变换解有：
3.2.2 状态微分方程的解
定义矩阵指数函数为：
上式也经常写做状态转移矩阵的形式
系统的零输入响应为：
1.3 传递函数矩阵
例：系统如下图所示，输入为 和 ，输出为 。
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
控制系统中的状态空间与传输函数
控制系统中的状态空间与传输函数在控制系统中，状态空间和传输函数是两个重要的概念，它们在系统建模、分析和设计中起着关键的作用。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨这两个概念的含义和用途。
一、状态空间状态空间是一种描述系统动态行为的数学模型。
它包含了系统的状态变量、输入和输出，并通过一组微分方程来描述它们之间的关系。
状态变量是系统中能够完全描述系统状态的变量，通常用向量表示。
输入是系统的外部激励，输出是系统对外部激励的响应。
状态空间模型的形式可以写为：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是状态向量，A、B、C、D是系统的参数矩阵，u(t)是输入向量，y(t)是输出向量。
这个模型可以用来描述连续时间系统，对于离散时间系统，微分方程变为差分方程。
状态空间模型具有直观、灵活和通用的特点，可以适用于线性和非线性系统，并可以进行各种分析和设计。
通过状态空间模型，我们可以计算系统的稳定性、响应特性、控制器设计等。
二、传输函数传输函数是一种描述系统输入输出关系的数学模型。
它是输出变量对输入变量的比例关系，通常用分子多项式和分母多项式的比值表示。
传输函数可以通过拉普拉斯变换或者Z变换从状态空间模型中导出。
传输函数的形式可以写为：G(s) = Y(s)/U(s)其中，G(s)是传输函数，Y(s)是输出变量的拉普拉斯变换，U(s)是输入变量的拉普拉斯变换。
传输函数模型具有简洁、直观和方便计算的特点，适用于线性系统的频域分析和设计。
通过传输函数模型，我们可以计算系统的频率响应、稳定边界、控制器设计等。
三、状态空间与传输函数之间的关系状态空间模型和传输函数模型是等价的，它们可以相互转换。
对于一个给定的系统，我们可以从状态空间模型导出传输函数模型，也可以从传输函数模型导出状态空间模型。
状态空间模型到传输函数模型的转换可以通过拉普拉斯变换或者Z变换来实现。
对于连续时间系统，可以使用拉普拉斯变换，对于离散时间系统，可以使用Z变换。
2第一章 控制系统的状态空间描述
第一章 控制系统的状态空间描述
第一章
控制系统的状态空间描述
■状态空间表达式建立 ■状态向量的线性变换 ■离散系统的空间状态描述
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
§1.1 控制系统状态空间表达形式
现代控制理论
第一章 Байду номын сангаас制系统的状态空间描述
一、 控制一个动态系统的基本步骤
•建模：基于物理规律建立数学模型。在控制理论中，问题的关键
由传感器测量得到的 又称为观测 由传感器测量得到的，又称为观测。 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一 整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。
状态：系统过去、现在和将来的状况。
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
状态变量：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，
称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为 系统的状态变量。
m维向量函数。 维向量函数
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
状态空间表达式（动态方程）：它是一组一阶微分方
程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是 状态的一种完全描述。
(t ) f [ x(t ) ), u (t ) ), t ] x 连续时间系统 连续时间系统： y (t ) g[ x(t ), u (t ), t ] ) u (k ), ) k] x(k 1) f [ x(k ), 离散时间系统： y (k ) g[ x(k ), u (k ), k ]
现代控制理论
第一章 控制系统的状态空间描述
y1 (t ) c11 (t ) x1 (t ) c12 (t ) x 2 (t ) ... c1n (t ) x n (t ) d 11 (t )u1 (t ) d 12 (t )u 2 (t ) ... d 1r (t )u r (t ) y 2 (t ) c 21 (t ) x1 (t ) c 22 (t ) x 2 (t ) ... c 2 n (t ) x n (t ) d 21 (t )u1 (t ) d 22 (t )u 2 (t ) ... d 2 r (t )u r (t ) : y m (t ) c m1 (t ) x1 (t ) c m 2 (t ) x 2 (t ) ... c mn (t ) x n (t ) d m1 (t )u1 (t ) d m 2 (t )u 2 (t ) ... d mr (t )u r (t ) 1 (t ) a11 (t ) x1 (t ) a12 (t ) x 2 (t ) ... a1n (t ) x n (t ) x b11 (t )u1 (t ) b12 (t )u 2 (t ) ... b1r (t )u r (t ) 2 (t ) a 21 (t ) x1 (t ) a 22 (t ) x 2 (t ) ... a 2 n (t ) x n (t ) x b21 (t )u1 (t ) b22 (t )u 2 (t ) ... b2 r (t )u r (t ) : n (t ) a n1 (t ) x1 (t ) a n 2 (t ) x 2 (t ) ... a nn (t ) x n (t ) x bn1 (t )u1 (t ) bn 2 (t )u 2 (t ) ... bnr (t )u r (t )
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
线性控制系统的状态空间描述.doc
duc dt
=
−
(
R1
1 + R2
)C
uc
−
(R1
R1 + R2
)
iL
+1 (R1 + R2 )C
e(t)
diL dt
=−
L(
R1 R1 +
R2
)
uc
−
L(
R1 R1
R2 + R2
)
iL
+
R2 e(t) L(R1 + R2 )
写成矩阵形式
⎡ ⎢ ⎢
任何时刻的行为就完全确定了。最小变量组中的每个变量称为状态变量，而以这组状态变量 组成的向量称为状态向量。状态实际上是状态向量的简称。
设 x1 (t), x2 (t), , xn (t) 是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分
量的向量，记为
x(t) = [x1(t) x2 (t)
xn (t)]T
⎥
bnr
(t
)
⎥ ⎦
3
⎡ c11(t)
C
(t
)
=
⎢ ⎢ ⎢
c21
(t
)
⎢ ⎣
cm1
(t
)
c12 (t) c22 (t)
cm2 (t)
c1n (t) ⎤
⎡ d11(t)
c2n
(t
)
⎥ ⎥
⎥
D(t)
=
⎢ ⎢
d21
(t
)
⎢
cmn
(t
)
⎥ ⎦
⎢ ⎣
dm1
(t
)
线性系统的状态空间的描述的结构图如图 1-3 所示
控制系统的状态空间分析
第八章 控制系统的状态空间分析一、状态空间的基本概念1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。
2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻这组变量的值())()()(00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系统在0t t ≥任何时刻())()()(21t x t x t x n 的行为就可完全确定。
3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。
4. 状态空间 以状态变量())()()(21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。
系统在某时刻的状态，可用状态空间上的点来表示。
5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。
6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。
二、状态空间描述（状态空间表达式）1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1）对于线性定常离散系统有⎩⎨⎧+=+=+)()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2）2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。
3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型）系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。
利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
三、传递函数矩阵及其实现1. 传递矩阵)(s G ：多输入多输出系统的输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系，称为传递矩阵)(s G ，即)()()(s U s Y s G =（8-3） 式中：)(s U ——系统的输入向量 )(s Y ——系统的输出向量传递函数矩阵与多输入多输出系统状态空间描述的关系是：D B A I C G +-=-1)()(s s （8-4）上式中的A ，B ，C ，D 即为状态空间描述{}D C,B,A,中的矩阵A,B,C,D 。
线性控制系统的状态空间描述
§3.3 Matlab 实验
1. 状态空间模型脉冲响应、阶跃响应和任意输入响
应
(1) [y,x,t]=impulse(a,b,c,d)
(2) [y,x,t]=step(a,b,c,d)，其中y、x 和t 是输出、
状态向量和仿真时间。
(3) [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)。
例求管亠[0* x c£，为
u(t) =sint的状态输出值。
解程序和结果如下
-0.2
-0.4
2. 离散系统的脉冲响应、阶跃响应、任意输入响应
⑴[y, x]=dimpulse(sys);
(2) [y, x] = dstep( nu m,de n);
(3) [y, x]=dlsim(sys,u); 47y、x 和u 分别为输出、
状态和输入，sys可以是num,den或a,b,c,d,不绘图，当无y, x时直接绘图。
3 •连续和离散状态模型的零输入响应(只对初态x0 响应)
(1) [y,x,t]=i nitial(a,b,c,d,xO)
⑵[y,x,t]=dinitial(a,b,c,d,x0) ，y 为输出，x 为状态，
t为指定输出时间。
当不带y、x和t时，直接绘图。
4 •连续系统离散化
(1) [da,db,dc,dd]=c2dm(a,b,c,d,Ts)
⑵[dnum,dden]=c2d(num,den,Ts) , Ts 是采样周期。
5.矩阵指数
expm(a*t)，其中t可为符号变量，也可为实值。
0 1
例如设A = 0'，则求e At的命令和结果如下:
||-4 -4。
控制系统的状态空间描述
a12 " a1n ⎤ ⎥ a22 " a2n ⎥ % % # ⎥ ⎥ an 2 " ann ⎦
⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ 2⎥ ⎢ b= ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣bn ⎦
输入矩阵
系统矩阵
状态空间表达式
对具有r个输入，m个输出的复杂系统，设其状态变量为x1, x2, … , xn, 则状态方程的一般形式为：
状态空间表达式
输出方程的一般形式为： y = c1x1 + c2 x2 用向量表示的状态空间表达式为：
+ " + cn xn
= Ax + bu x y = CT x
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ x = ⎢ 2⎥ ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
n维状态向
⎡a11 ⎢a 21 ⎢ A= ⎢# ⎢ ⎣an1
状态变量
r1 e(t) r2 y(t)
y(t)=ke(t) k=r2/(r1+r2)
¾ 表达式是代数方程； ¾ 系统的行为可以由输出与输入的瞬时关系确定，与系统的 过去历史无关，不需要引入状态变量； ¾ 网络中只包含瞬时元件，没有任何储能元件；
状态变量
i(t) c y(t)
dy/dt=i(t)/C
R + i C uc
L
状态方程
令 x1 = uc , x 2 = i
⎧ 1 x1 = x2 ⎪ ⎪ C ⎨ 1 R 1 ⎪x 2 = − x1 − x2 + u ⎪ L L L ⎩
⎡ ⎢ 0 ⎡ x1 ⎤ x = ⎢ ⎥, A = ⎢ 1 ⎣ x2 ⎦ ⎢− ⎣ L 1 ⎤ ⎡0 ⎤ C ⎥, b = ⎢ ⎥ 1 C⎥ ⎢ ⎥ − ⎥ ⎣L⎦ L⎦
例
1 = x2 x 2 = x3 x 3 = −6 x1 − 3x2 − 2 x3 + u x y = x1 + x2
ch1控制系统的状态空间描述
通式为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2rur xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur
定出相应的系数矩阵A、B、C、D.
[说明]：
(1)为描述系统方便，经常用 (A, B,C, D) 代表一个动力学系统。
(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。 状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。
2020/8/1
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(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关； 时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；
dm1 dm2
d1r
d2r
,
dmr
m r维前馈矩阵, 又称为直接转移矩阵 表 征 输 入 对 输 出 的 直 接传 递 关 系 通 常D＝0
2020/8/1
8
动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立， 就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：
x Ax Bu
y
Cx
Du
其中：A、B、C、D矩阵含义同上。
R1 R1
R2 R2
)
L
iL
( R1
R2 e(t) R2 )L
所以状 态方程 为：
uC
( R1
1 R2
)C
iL
R1 (R1 R2 )L
(
R1
R1 R2
)C
uC 1
(
R1
R2
)C
e(t
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2021/3/11
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动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。
[术语]：
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。
状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组 变量。
完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入 的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确 定了。
X 或： T (t) [x 1(t)x ,2(t).x .n (.t),]
状态空间：以状态变量 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,) 为坐标轴所
构成的n维空间。在某一特定时刻 t ，状态向量 X (t ) 是状态空
间的一个点。
状态轨迹：以X(t)X(t0) 为起点，随着时间的推移，X (t)
2021/3ห้องสมุดไป่ตู้11
11
[系统动态方程的模拟结构图]：
常用符号：
积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
模拟结构图：
u
B
D
•
x
x
A
y
C
•
x
Ax
Bu
y C x D u
2021/3/11
12
1.1.2 状态空间方程的建立
一、从系统物理机理建立动态方程： [状态变量的选取]：建立状态空间表达式的前提 ▪系统储能元件的输出 ▪系统输出及其各阶导数 ▪使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对 角线标准型和约当标准型）
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将通式化为矩阵形式有： xA xB u
a11 a12
A
a21
a22
an1
an 2
a1n
a2
n
系 数
矩
ann
nn
阵
x1
x
x
2
x
n
状 态 向 量
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
2021/3/11
b1r
输
u1 输
b2
r
入 矩
阵
bnr
nr
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
2021/3/11
4
状态向量：把 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,) 这几个状态变量看成
是向量 X (t ) 的分量，则 X (t ) 称为状态向量。记作：
x1(t)
X(t)
x n ( t )
在状态空间绘出的一条轨迹。
2021/3/11
5
状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状 态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映 每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：
x i f i ( x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r )i , 1 , 2 ,n ...,
2021/3/11
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【例1】如下图所示电路，u (t )为输入量，uC (t ) 为输出
量。
建立方程：
i(t) C duC (t) dt
Ldd(ti)tR(ti)uC(t)u(t)
i (t和) uC (t可) 以表征该电路系统的行为，就是该
系统的一组状态变量
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可以改写为
uc
u
u
2
u
r
入 向 量
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输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
y j g j ( x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ), j 1 , 2 ,m ...
控制系统的状态空间描述
第一章 控制系统的状态空间描述
1、状态空间描述 2、状态空间表达式的线性变换 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学描述 5、用MATLAB进行数学建模和模型转换
2021/3/11
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第一节 状态空间描述
1.1.1 状态空间描述的基本概念 1.1.2 状态空间方程的建立 1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程
时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；
定常系统
； 时变系统
(A,B,C,D)
(A (t)B ,(t)C ,(t)D ,(t))
(4)非线性系统状态空间表达式： f i 和 g i 是x与u的某类非 线性函数。可以用线性系统来近似
(5)系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量 个数， g i 是线性或非线性函数。
通式为： y1c1x 11c1x 22 c1nxnd1u 11d1u 22 d1rur y2a2x 11a2x 22 c2nxnd2u 11d2u 22 d2rur ymcm1x1cm2x2 cmxnnbm1u1dm2u2 dmurr
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； f i 是线性或 非线性函数。
通式为：
x 1a11 x1a12 x2 a1nxnb1u 11b1u 22 b1rur x 2a21 x1a22 x2 a2nxnb2u 11b2u 22 b2rur x nan1x1an2x2 anx nnbn1u1bn2u2 bnu rr
1 C
i
i
1 L
uc
R L
i
1 L
ur
取状态变量 x1 uc,x2 i
x1
1 C
x2
1R 1 x2 L x1 L x2 L u
指定 x1 uc 作为输出
有 y uc
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将通式化为矩阵形式有：
c11 c12
C
c21
c22
cm1 cm2
d11 d12
D
d21
d22
dm1 dm2
c1n
c2n
cmn
mn
d1r
d2r
dmr
mr
y=Cx+Du
输 出 矩 阵
y1
y
y
2
关
y
m
联
矩
阵
输出向量
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动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立， 就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：
x = Ax + Bu y = Cx + Du
其中：A、B、C、D矩阵含义同上。
[说明]：
(1)为描述系统方便，经常用 (A,B,C,D)代表一个动力学系统。
(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。 状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。
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(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关；