控制系统的状态空间描述
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在状态空间绘出的一条轨迹。
2021/3/11
5
状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状 态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映 每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：
x i f i ( x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r )i , 1 , 2 ,n ...,
1 C
i
i
1 L
uc
R L
i
1 L
ur
取状态变量 x1 uc,x2 i
x1
1 C
x2
1R 1 x2 L x1 L x2 L u
指定 x1 uc 作为输出
有 y uc
控制系统的状态空间描述
第一章 控制系统的状态空间描述
1、状态空间描述 2、状态空间表达式的线性变换 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学描述 5、用MATLAB进行数学建模和模型转换
2021/3/11
2
第一节 状态空间描述
1.1.1 状态空间描述的基本概念 1.1.2 状态空间方程的建立 1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
2021/3/11
4
状态向量：把 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,) 这几个状态变量看成
是向量 X (t ) 的分量，则 X (t ) 称为状态向量。记作：
x1(t)
X(t)
x n ( t )
2021/3/11
13
【例1】如下图所示电路，u (t )为输入量，uC (t ) 为输出
量。
建立方程：
i(t) C duC (t) dt
Ldd(ti)tR(ti)uC(t)u(t)
i (t和) uC (t可) 以表征该电路系统的行为，就是该
系统的一组状态变量
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可以改写为
uc
2021/3/11
8
将通式化为矩阵形式有：
c11 c12
C
c21
c22
cm1 cm2
d11 d12
D
d21
d22
dm1 dm2
c1n
c2n
cmn
mn
d1r
d2r
dmr
mr
y=Cx+Du
输 出 矩 阵
y1
y
y
2
关
y
m
联
矩
阵
输出向量
2021/3/11
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动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立， 就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； f i 是线性或 非线性函数。
通式为：
x 1a11 x1a12 x2 a1nxnb1u 11b1u 22 b1rur x 2a21 x1a22 x2 a2nxnb2u 11b2u 22 b2rur x nan1x1an2x2 anx nnbn1u1bn2u2 bnu rr
2021/3/11
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动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。
[术语]：
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。
状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组 变量。
完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入 的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确 定了。
X 或： T (t) [x 1(t)x ,2(t).x .n (.t),]
状态空间：以状态变量 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,) 为坐标轴所
构成的n维空间。在某一特定时刻 t ，状态向量 X (t ) 是状态空
间的一个点。
状态轨迹：以X(t)X(t0) 为起点，随着时间的推移，X (t)
u
u
2
u
r
入 向 量
7
输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
y j g j ( x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ), j 1 , 2 ,m ...
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将通式化为矩阵形式有： xA xB u
a11 a12
A
a21
a22
an1
an 2
a1n
a2
n
系 数
矩
ann
nn
阵
x1
x
x
2
x
n
状 态 向 量
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
2021/3/11
b1r
输
u1 输
b2
r
入 矩
阵
bnr
nr
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量 个数， g i 是线性或非线性函数。
通式为： y1c1x 11c1x 22 c1nxnd1u 11d1u 22 d1rur y2a2x 11a2x 22 c2nxnd2u 11d2u 22 d2rur ymcm1x1cm2x2 cmxnnbm1u1dm2u2 dmurr
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[系统动态方程的模拟结构图]：
常用符号：
积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
模拟结构图：
Βιβλιοθήκη Baidu
u
B
D
•
x
x
A
y
C
•
x
Ax
Bu
y C x D u
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1.1.2 状态空间方程的建立
一、从系统物理机理建立动态方程： [状态变量的选取]：建立状态空间表达式的前提 ▪系统储能元件的输出 ▪系统输出及其各阶导数 ▪使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对 角线标准型和约当标准型）
时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；
定常系统
； 时变系统
(A,B,C,D)
(A (t)B ,(t)C ,(t)D ,(t))
(4)非线性系统状态空间表达式： f i 和 g i 是x与u的某类非 线性函数。可以用线性系统来近似
(5)系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。
x = Ax + Bu y = Cx + Du
其中：A、B、C、D矩阵含义同上。
[说明]：
(1)为描述系统方便，经常用 (A,B,C,D)代表一个动力学系统。
(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。 状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。
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(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关；
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状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状 态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映 每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：
x i f i ( x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r )i , 1 , 2 ,n ...,
1 C
i
i
1 L
uc
R L
i
1 L
ur
取状态变量 x1 uc,x2 i
x1
1 C
x2
1R 1 x2 L x1 L x2 L u
指定 x1 uc 作为输出
有 y uc
控制系统的状态空间描述
第一章 控制系统的状态空间描述
1、状态空间描述 2、状态空间表达式的线性变换 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学描述 5、用MATLAB进行数学建模和模型转换
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第一节 状态空间描述
1.1.1 状态空间描述的基本概念 1.1.2 状态空间方程的建立 1.1.3 化高阶微分方程为状态空间方程
最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
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状态向量：把 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,) 这几个状态变量看成
是向量 X (t ) 的分量，则 X (t ) 称为状态向量。记作：
x1(t)
X(t)
x n ( t )
2021/3/11
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【例1】如下图所示电路，u (t )为输入量，uC (t ) 为输出
量。
建立方程：
i(t) C duC (t) dt
Ldd(ti)tR(ti)uC(t)u(t)
i (t和) uC (t可) 以表征该电路系统的行为，就是该
系统的一组状态变量
2021/3/11
14
可以改写为
uc
2021/3/11
8
将通式化为矩阵形式有：
c11 c12
C
c21
c22
cm1 cm2
d11 d12
D
d21
d22
dm1 dm2
c1n
c2n
cmn
mn
d1r
d2r
dmr
mr
y=Cx+Du
输 出 矩 阵
y1
y
y
2
关
y
m
联
矩
阵
输出向量
2021/3/11
9
动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立， 就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； f i 是线性或 非线性函数。
通式为：
x 1a11 x1a12 x2 a1nxnb1u 11b1u 22 b1rur x 2a21 x1a22 x2 a2nxnb2u 11b2u 22 b2rur x nan1x1an2x2 anx nnbn1u1bn2u2 bnu rr
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动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。
[术语]：
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。
状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组 变量。
完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入 的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确 定了。
X 或： T (t) [x 1(t)x ,2(t).x .n (.t),]
状态空间：以状态变量 x1(t)x ,2(t),.x.n.(t,) 为坐标轴所
构成的n维空间。在某一特定时刻 t ，状态向量 X (t ) 是状态空
间的一个点。
状态轨迹：以X(t)X(t0) 为起点，随着时间的推移，X (t)
u
u
2
u
r
入 向 量
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输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
y j g j ( x 1 , x 2 , , x n ; u 1 , u 2 , , u r ), j 1 , 2 ,m ...
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将通式化为矩阵形式有： xA xB u
a11 a12
A
a21
a22
an1
an 2
a1n
a2
n
系 数
矩
ann
nn
阵
x1
x
x
2
x
n
状 态 向 量
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2
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b1r
输
u1 输
b2
r
入 矩
阵
bnr
nr
其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量 个数， g i 是线性或非线性函数。
通式为： y1c1x 11c1x 22 c1nxnd1u 11d1u 22 d1rur y2a2x 11a2x 22 c2nxnd2u 11d2u 22 d2rur ymcm1x1cm2x2 cmxnnbm1u1dm2u2 dmurr
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[系统动态方程的模拟结构图]：
常用符号：
积分器
比例器
ki
注：有几个状态变量，就建几个积分器
加法器
注:负反馈时为－
模拟结构图：
Βιβλιοθήκη Baidu
u
B
D
•
x
x
A
y
C
•
x
Ax
Bu
y C x D u
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1.1.2 状态空间方程的建立
一、从系统物理机理建立动态方程： [状态变量的选取]：建立状态空间表达式的前提 ▪系统储能元件的输出 ▪系统输出及其各阶导数 ▪使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对 角线标准型和约当标准型）
时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；
定常系统
； 时变系统
(A,B,C,D)
(A (t)B ,(t)C ,(t)D ,(t))
(4)非线性系统状态空间表达式： f i 和 g i 是x与u的某类非 线性函数。可以用线性系统来近似
(5)系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。
x = Ax + Bu y = Cx + Du
其中：A、B、C、D矩阵含义同上。
[说明]：
(1)为描述系统方便，经常用 (A,B,C,D)代表一个动力学系统。
(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。 状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。
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(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关；