单位冲激函数96508

(n)(at)
1 a
1 an
(n)
(t)
当n=0和1时，分别有
(at) 1 (t)
a
'(at) 1 1 '(t)
aa
性质5 奇偶性
(n)(at)
1 a
1 an
(n)
(t)
在尺度变换式中，若取 a= -1， 则:
表明：单位冲(n激) (函t数) δ(t)(的偶1)阶n导(n数) (是t)t 的偶函数，
2.3 单位冲激函数
➢生活中的例子 ➢与我们专业有关的例子（电路） ➢单位冲激函数的定义 ➢单位冲激函数性质 ➢例题
示例：RC串联电路
• 电容电压初始状态为零，当t=0时电路接通
R
Us
iC (t)
iC (t)
1 R
t
e RC
(t>0)
iC (t) {0
(t=0) (t 0)
R0
实例：
f (t)
性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
根据广义函数相等的定义， 有
f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分
f (t) '(t)dt f (0) '(t)dt f '(0) (t)dt f '(0)
同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
0
t
(t)dt
{10
(t>0) (t<0)
(t)
t
(t)dt
{10
(t>0) (t<0)
(t) d (t)
dt
例题1
f (t)
2
1
t1
t2
t
用两种方式求 f '(t)
单位函数的性质
1. (t)是偶函数 2. (t)具有取样性
若函数f(t)连续，由于 (t)只在t 0存在，故有 f(t) (t) f (0) (t)
思考？
试证明
来自百度文库
(at)
=1 |a|
(t)
δ函数的广义函数定义
按广义函数理论，δ函数定义为
(t) (t)dt (0)
上式说明： δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值 φ(0)。 或者说，广义函数δ(t) 的作用效果是从φ(t) 中筛选出数 值φ(0)。 通常称此性质为δ 函数的筛选性质。
性质3 δ函数的微分和积分
(t)(t)dt (1) (t)(t)dt (0)
式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
(′t)
(1 )
o
t
(－ 1)
δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
1
0
2
2
(t)
1
0
f ' (t)
t
' (t)
t
1 f ' (t)
0
t
2
2
单位冲激函数定义：
(t) 0 t 0
0
A (t)
(t)dt 1
A
(t)dt 1
参考《信号与线性系统分析》吴大正主编广义函数部分。
单位阶跃函数与单位冲激函数的关系
0
(t)dt (t)dt 1
显然， 当n为而偶其数奇时阶，导数有是 t 的奇函数。
(n)(t) (n)(t)
当n为奇数时，有
(n) (t) (n) (t)
n 0,2,4, n 1,3,5,
例 1.4 – 2 计算下列各式：
解：
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
f (t) '(t t0 )dt f ' (t0 )
单位冲激偶 的性质之二
性质4
设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可 将δ(n)(at)表示为
根据广义函数相等的定义， 可得到
若f (t)在t t0连续，则有：
f(t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
例 试化简下列各信号的表达式。
f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )