三角形易错题集锦(带答案解析)

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人教版初中数学三角形易错题汇编及答案解析

人教版初中数学三角形易错题汇编及答案解析一、选择题1．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．【详解】由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，∴∠CBA ＝30°，∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝12AE ＝4， ∴AE ＝8．故选D ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°是解题关键．2．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（）A．13B．5C．22D．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.3．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32同理可求得：AO=OC=3．在Rt △AOD1中，OA=3，OD 1=CD 1－OC=4，由勾股定理得：AD 1=5．故选B ．4．长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．9 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x 的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x ＜7+2，即5＜x ＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x ＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x ＜9，只有6符合不等式，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.5．如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D ＝35°，则∠OAC 等于( )A ．65°B ．95°C ．45°D ．85°【答案】B【解析】【分析】根据OA ＝OB ，OC ＝OD 证明△ODB ≌△OCA ，得到∠OAC=∠OBD ，再根据∠O ＝50°，∠D ＝35°即可得答案.【详解】解：OA ＝OB ，OC ＝OD ，在△ODB 和△OCA 中，OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODB ≌△OCA （SAS ）,∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°，故B 为答案.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.6．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =3OD = ∴2221OA AD OD += ∴21OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．7．如图，11∥l 2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为( )A．50°B．55°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l2，交∠1的边于一点，∵11∥l2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．∆中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，8．如图，在ABC∠=o，则BAC20DAE∠的度数为( )A．70o B．80o C．90o D．100o【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角，根据三角形内角和定理求解.【详解】如图所示：∵DM 是线段AB 的垂直平分线，∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,同理可得：C EAC ∠=∠ ,∵ 20DAE ∠=o ，180B DAB C EAC DAE ︒∠+∠+∠+∠+∠=，∴80DAB EAC ︒∠+∠=∴100BAC ︒∠=故选：D【点睛】本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.9．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=2234=5，作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A ，∴2∠1＝2∠3＋∠A ，∵∠1＝∠3＋∠D ，∴∠D ＝12∠A ＝12×30°＝15°．故选A ．【点睛】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．11．对于图形的全等，下列叙述不正确的是（）A ．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等B ．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等C ．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等D ．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；B. 一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；C. 一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；D. 一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.12．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°【答案】C【解析】【分析】连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．13．如图，已知A ,D,B,E 在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC ≌△DEF 的是（）A ．BC = EFB ．AC//DFC ．∠C = ∠FD ．∠BAC = ∠EDF【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF ，且AC = DF ，∴当BC = EF 时，满足SSS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；当AC//DF 时，∠A=∠EDF ，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；当∠C = ∠F 时，为SSA ，不能判定△ABC ≌△DEF ；当∠BAC = ∠EDF 时，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ，故选C.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．14．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（）A ．3B ．6C ．12D ．16【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ，∴AE=BE ，∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC 的周长=AC+BC+AB=19，∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6，故答案为：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．15．在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线为10和35，则这个直角三角形的斜边长是( )A ．3B ．23C ．25D ．6【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可．【详解】设AC =b ，BC =a ，分别在直角△ACE 与直角△BCD 中，根据勾股定理得到：2222 10235,2a b b a ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相加得：2236a b +=，根据勾股定理得到斜边36 6.==故选:D.【点睛】考查勾股定理，画出图形，根据勾股定理列出方程是解题的关键.16．如图，AD ∥BC ，∠C =30°， ∠ADB:∠BDC= 1:2，则∠DBC 的度数是( )A．30°B．36°C．45°D．50°【答案】D【解析】【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB的度数，即可得出答案.【详解】∵AD∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°，故选D.【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B【解析】试题分析：∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.考点：圆的基本性质.18．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B19．如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12AB )为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知CDE △的面积比CDB △的面积小4，则ADE V 的面积为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．【详解】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，∴CD 为AB 边中线，∴S △CDA =S △CDB ，∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．故选：A ．【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．20．如图，在ABC ∆中，33B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（）A．33︒B．56︒C．65︒D．66︒【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，∴∠1-∠2=66°．故选：D．【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

初中数学三角形易错题汇编含答案解析

初中数学三角形易错题汇编含答案解析一、选择题1．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB ，则EFGH 的面积是( )A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC ＝∠ACD ＝45°，由四边形EFGH 是正方形，推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形，于是得到DE ＝22EH ＝22EF ，EF ＝22AE ，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝AB ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∵四边形EFGH 为正方形，∴EH ＝EF ，∠AFE ＝∠FEH ＝90°，∴∠AEF ＝∠DEH ＝45°，∴AF ＝EF ，DE ＝DH ，∵在Rt △AEF 中，AF 2＋EF 2＝AE 2，∴AF ＝EF 2AE ，同理可得：DH ＝DE ＝22EH 又∵EH ＝EF ，∴DE ＝22EF ＝22×22AE ＝12AE ， ∵AD ＝AB ＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH＝2DE＝22，∴EFGH的面积为EH2＝（22）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF=DE ，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3. 故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°，∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-，解得：32x =； ∴32BE =．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．2, 2,5B ．1,3,3C ．3,4,8D ．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A 、2+2=4＜5，此选项错误；B 、1+3＜3，此选项错误；C 、3+4＜8，此选项错误；D 、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．6．如图，点O 是ABC ∆的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=︒，则MON ∠=（）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．100︒【答案】C【解析】【分析】根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ∆≅∆，AOB AON ∆≅∆，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数.【详解】如图，连接OA ，OB ，OC ，∵点O 是ABC ∆的内心，∴BCO MCO ∠=∠，∵CM =CB ，OC =OC ，∴()BOC MOC SAS ∆≅∆，∴CBO CMO ∠=∠，同理可得：AOB AON ∆≅∆，∴ABO ANO ∠=∠，∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=︒，∴100CMO ANO ∠+∠=︒，∴180()80MON CMO ANO ∠=︒-∠+∠=︒，故选：C.【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.7．如图，11∥l 2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为( )A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l 2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l 2，交∠1的边于一点，∵11∥l 2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．8．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°．∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°．∵CD =3，∴AC =2CD =6．故选D ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴2234+，作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，∵AC 是∠DAB 的平分线，E 是AB 的中点，∴E ′在AD 上，且E′是AD 的中点，∵AD=AB ，∴AE=AE ′，∵F 是BC 的中点，∴E ′F=AB=5．故选C ．10．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若4CE ，则AE的值为（）A．46B．42C．43D．8【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．11．如图，△ABC≌△A E D，∠C=40°，∠E AC=30°，∠B=30°，则∠E AD=（）；A．30°B．70°C．40°D．110°【答案】D【解析】【详解】∵△ABC ≌△AED ，∴∠D=∠C=40°，∠C=∠B=30°，∴∠E AD=180°－∠D －∠E ＝110°，故选D.12．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.13．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A ．三条边的比为2∶3∶4B ．三条边满足关系a 2＝b 2﹣c 2C ．三条边的比为1∶1D ．三个角满足关系∠B +∠C ＝∠A【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A 、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；B 、三条边满足关系a 2=b 2-c 2，即a 2+c 2=b 2，故能判断一个三角形是直角三角形；C 、三条边的比为1：1，12+12=）2，故能判断一个三角形是直角三角形；D 、三个角满足关系∠B+∠C=∠A ，则∠A 为90°，故能判断一个三角形是直角三角形．故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．14．满足下列条件的是直角三角形的是（）A ．4BC =，5AC =，6AB =B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =D ．::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【详解】A ．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC 2+AC 2≠AB 2，故△ABC 不是直角三角形； B.若13BC =，14AC =，15AB =，则AC 2+AB 2≠CB 2，故△ABC 不是直角三角形； C ．若BC ：AC ：AB=3：4：5，则BC 2+AC 2=AB 2，故△ABC 是直角三角形；D ．若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C ＜90°，故△ABC 不是直角三角形；故答案为：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．15．如图，在ABC ∆，90C =o ∠，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N，为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作弧线AO ，交BC 于点E ．已知3CE =，5BE =，则AC 的长为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】【分析】直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ，再利用勾股定理得出AC 的长．【详解】过点E 作ED ⊥AB 于点D ，由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线，∵EC ⊥AC ，ED ⊥AB ，∴EC=ED=3，在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，AE AE EC ED ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ），∴AC=AD ，∵在Rt △EDB 中，DE=3，BE=5，∴BD=4，设AC=x ，则AB=4+x ，故在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2=AB 2，即x 2+82=（x+4）2，解得：x=6，即AC 的长为：6．故答案为：C ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD 的长是解题关键．16．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ∆∆≌；③DC BE ⊥；正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=︒，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ∆≅∆，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=︒，于是可对③进行判断．【详解】解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，90DAB ∴∠=︒，90EAC ∠=︒，DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；在DAC ∆和BAE ∆中，DA AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，所以②正确；ADC ABE ∴∠=∠，∵∠AFD=∠MFB ，90DMB DAB ∴∠=∠=︒，DC BE ∴⊥，所以③正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．17．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【答案】B【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.18．如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论：①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是()A．①②B．②③C．③④D．只有④【答案】D【解析】【分析】【详解】解：因为AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB；所以△ABD≌△ACE(SSS)；所以∠C＝∠B，∠D＝∠E，∠EAC=∠DAB；所以∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC；得∠EAD=∠CAB．所以错误的结论是④，故选D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，根据已知条件利用SSS证明两个三角形全等，还考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等．19．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是()A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF【答案】D【解析】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS 和HL是解题的关键．20．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：22+BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.。

(易错题精选)初中数学三角形经典测试题含解析

∴BG=1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF= BG= ，
故选：D．
【点睛】
此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
∴∠CBA＝30°，
∴∠EAB＝∠CAE＝30°，
∴CE＝ AE＝4，
∴AE＝8．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．
8．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）
A．△ABD≌△ECDB．连接BE，四边形ABEC为平行四边形
C．DA＝DED．CE＝CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得出∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，然后根据AAS证得△ABD≌△ECD，得出AD=DE，根据对角线互相平分得到四边形ABEC为平行四边形，CE=AB，即可解答．
【详解】
11．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()
A．有一边相等的两个等边三角形
B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C．周长相等的两个三角形
D．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形
【答案】C

初中数学三角形易错题汇编含答案

C．不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意．
D．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意．
故选C．
12．如图，在菱形中，点在轴上，点的坐标轴为 ,点的坐标为，则菱形的周长等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD的周长.
3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A．4B．3C．6D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：AD是△ABC中∠BAC的平分线，
【详解】
在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

四年级下册数学《5 三角形》易错题综合练习人教版含答案

人教新版四年级下学期《5 三角形》高频易错题集一．选择题（共10小题）1．下面三组线段中，能围成一个三角形的是（）A．5厘米、5厘米、7厘米B．4厘米、6厘米、13厘米C．5厘米、5厘米、10厘米2．一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选（）A．80厘米B．90厘米C．110厘米3．在一个三角形中，如果两个锐角的和大于90°，那么这个三角形一定是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角4．一个三角形的两个内角和是100°，这是一个（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．以上都有可能5．一个三角形，经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形，其中一个三角形的内角和是（）A．180°B．90°C．不确定6．等腰三角形的一个底角和顶角度数的比是3：4，那么这个三角形是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．无法确定7．下面几种图形，（）具有稳定性．A．长方形B．三角形C．平行四边形D．梯形8．下面图形中，（）具有稳定性．A．平行四边形B．三角形C．长方形9．下面的小棒中，不能组成三角形的是（）A．6厘米、6厘米、6厘米B．6厘米、7厘米、8厘米C．2厘米、7厘米、9厘米D．4厘米、7厘米、1分米10．下面各组线段中，不能组成三角形的是（）A．3厘米，4厘米，5厘米B．2厘米，3厘米，5厘米C．3厘米，3厘米，3厘米二．填空题（共5小题）11．自行车的车架做成三角形，这是应用了三角形的性．12．三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是．13．用两块完全一样的三角尺拼成一个大三角形，这个三角形的内角和是．14．自行车的大梁做成三角形的形状，是因为三角形具有稳定性．（判断对错）15．长度分别为12cm、6cm和6cm的三条线段能组成一个等腰三角形．．三．解答题（共5小题）16．一个三角形的两边长分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于厘米，同时小于厘米．17．在任意三角形中如果有两个内角的和小于90°，那么这个三角形是钝角三角形．．18．看图算一算，填一填．19．在不改变下面平行四边形形状的同时，使它变得稳定起来．20．一个三角形两条边的长度分别是6厘米和9厘米，那么第三条边的长度可能是多少？（在可能的数据下面画“√”）3厘米5厘米6厘米12厘米15厘米16厘米人教新版四年级下学期《5 三角形》高频易错题集参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A.5+5＞7，5﹣5＜7，则A符合要求；B.4+6＜13，则B不符要求；C.5+5＝10，则C不符合要求。

解直角三角形易错题型(带答案)

解直角三角形易错题【基础题型】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C=90°，下列等式不正确的是（）A. sin 2A+cos 2=1B. sin 2（90°- A ）+ cos 2（90°- A ）=1C. C.sin （60°- A ）=cos （30°+ A ）D. tanA · cotA=12. 已知α为锐角，且cos （α-10°）=23，则α等于（） A.20° B.40° C.60° D.80°3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于（）A. 43B.34C.53D.544. 在△ABC 中，∠C=90°，斜边AB=m ，∠B=40°，则直角边BC 的长是（）A. msin40°B.msin50°C.mtan40°D.tan40m5. Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（）A. 724B.37C.247D.316. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的的仰角为60°，则物体AB 的高度为（）A.103米B.10米C.20米D.203米7. 如图，已知楼房AB 高为50米，铁塔塔基距楼房的水平距离BD 为100米，塔高CD 为31503100 m ，则下面结论正确的是（）A. 由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60°B. 由楼顶望塔顶仰角为30° D.由楼顶望塔基俯角为30°8. 以下对坡度的描述正确的是（）A. 坡度是指斜坡与水平线夹角的度数B. 坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比C. 坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比D. 坡度是指倾斜的角度二、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，如果CD=4,BD=3，则∠A 的正弦值是 .2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD:DB= .3. 在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为6m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为 .4. 如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m.三、解答题1.甲，乙两名同学在计算锐角A 的正弦值时，甲的答案为sinA=107，乙的答案为sinA=1013.请你不看解答过程，迅速判断哪名同学的答案一定是错误的，并说明理由。

初中数学八年级数学《全等三角形》易错题精选附答案

全等三角形易错题精选，附答案第1节全等三角形1．易错点：对应边不确定，需要分类讨论1、已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x -2，2x -1，若这两个三角形全等，则x 为（） A ．37B ．4C ．3D ．3或37参考答案 1、C2．易错点：忽略隐藏的8字形（一）1、如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论：△AC=AF ；△△FAC=△EAB ；△EF=BC ；△△EAB=△EFB ，其中正确的是_________．2、【变式1】如图，△ABC△△AEF ，AB=AE ，△B=△E ，则下列结论中不一定成立的是（）A ．AC=AFB ．△EAB=△EFBC ．△FAB=△EABD ．△EAB=△FAC3、【变式2】如图，在△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，△B=△E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：△△AFC=△C ；△DE=CF ；△△EAD=△BFD ；△△BFD=△CAF ．其中正确的结论是（） A ．△△ B ．△△ C ．△△ D ．△△△4、【变式3】如图，△ABC△△ADE ，△DAC=60°，△BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则△DFB 的度数是_______．参考答案1、△△△△2、B3、D4、20°3．易错点：忽略隐藏的8字形（二）1、如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=△D=25°，求△DFB 、△DGB 的度数．2、【变式1】如图所示，△ABC△△ADE ，延长BC 分别交AD ，DE 于F ，G ，△CAD=10°，△B=△D=25°，△EAB=120°．求△DFB 和△DGB 的度数．3、【变式2】如图，△ABC△△ADE ，BC 的延长线过点E ，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=50°，则△DEF 的度数为________.参考答案1、△DFB=85°；△DGB=60°．2、△DFB=90°；△DGB=65°3、35°第2节全等三角形的判定一、用SSS 边边边判定三角形全等二、用SAS 边角边判定三角形全等 4．易错点：误用SSA 判定三角形全等 1、如图，AB=AC ，AE=AD ，要使△ACD△△ABE ，需要补充的一个条件是（）A ．△B=△CB ．△D=△EC ．△BAC=△EAD D ．△B=△E参考答案 1、C5．易错点：乱用中点的各种结论1、如图所示，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点.求证：△ABE△△ACD．证明：∵D、E分别是AB、AC的中点∴AD=BD，AE=CE∵AB=AC∴AE=AD在△ABE和△ACD中AE=AD△A=△AAB=AC∴△ABE△△ACD以上证明过程是否有误？若有，请将错误的地方改正．参考答案1、有错，AD=BD，AE=CE应改为AD=1/2AB，AE=1/2AC6．易错点：对应边的关系不确定1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=________时，△ABC和△PQA全等．2、【变式1】如图（1），AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B 向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1、5或10．2、提示：（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．解：（1）（1）当t=1时，AP=BQ=1，BD=AC=4，∵AB=5，∴BP=5-1=4=AC，又∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ，∠A=∠B，AC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；（2）△若△ACP△△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，△4=5-t，t=xt，解得t=1，x=1，△存在x=1，t=1，使得△ACP与△BPQ全等；△若△ACP△△BQP，则AC=BQ，AP=BP，△t=5-t，4=xt，解得t=2.5，x=1.6，△存在t=2.5，x=1.6，使得△ACP与△BPQ全等；综上所述，存在x=1，t=1或t=2.5，x=1.6，使得△ACP 与△BPQ全等．三、用ASA角边角或AAS角角边判定三角形全等7．易错点：误以为AAS就是两个角和一条边相等1、下列说法正确的是（）A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有两边对和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等D．有两个角对应相等，还有一条边也相等的两个三角形全等2、【变式1】下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条直角边对应相等B．有两个锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．斜边和一个锐角对应相等参考答案1、C2、B四、用HL斜边直角边判定三角形全等8．易错点：判定直角三角形全等时将HL与SSA混淆1、如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：△BDF≌△ADC．证明：∵AD⊥BC∴∠BDF=∠ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中BF=AC，FD=CD，∠BDF=∠ADC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC以上证明是否有错？如果有错，请将错误改正．2、【变式1】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，则∠ABC=_____．3、【变式2】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE ⊥AC．参考答案1、有错，证明三角形全等应该用HL，不是SSA需要把∠BDF=∠ADC删掉．2、45°3、证明：△AD△BC，△△BDF=△ADC=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD，△Rt△BDF△Rt△ADC（HL），△△C=△BFD，△△DBF+△BFD=90°，，△△C+△DBF=90°，△△C+△DBF+△BEC=180°，△△BEC=90°，△BE△AC．9．易错点：全等三角形的判定定理混淆1、如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF 参考答案1、D第3节角平分线的性质10．易错点：不理解点到直线的距离1、如图，PD△AB，PE△AC，垂足分别为D、E，且PA 平分△BAC，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA2、如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的有______________．参考答案1、B2、①②④。

(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(1)

（易错题精选）初中数学三角形基础测试题及解析(1)一、选择题1．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：22+BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.2．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D．31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，由勾股定理得：AD1=5．故选B．3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD是△ABC中∠BAC的平分线，∠EAD=∠FADDE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F ，∴DF=DE，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，若DF ＝BD ，则∠A 的度数为（）A ．30B ．36C ．45D ．72【答案】B【解析】【分析】由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB ，∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ．∵DF=DB ，∴∠B=∠F=x ，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处，已知BC=24，∠B=30°，则DE 的长是（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，在Rt △BED 中，∠B=30°，故此BD=2ED ，从而得到BC=3BC ，于是可求得DE=8．【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，∵∠BED+∠DEA=180°，∴∠BED=90°．又∵∠B=30°，∴BD=2DE ．∴BC=3ED=24．∴DE=8．故答案为8．【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE 是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S V V D ．CD=12BD【答案】C【解析】【分析】A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选：C ．【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.7．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==，∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．8．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（）A 13B 5C ．22D ．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ，∴AB AC DE DB＝， ∴5355DB＝， ∴DB=35在Rt △ABD 中，AD=2225BD AB -= ，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A ．25°B ．40°C ．25°或40°D ．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下： ①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.12．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．13．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE ，，正确．故选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．15．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1，则菱形ABCD 的周长等于（）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.16．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（）A．3B．6C．12D．16【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE=BE，∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，故答案为：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )A．132B．312C．192D．7【答案】B【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x 轴交于点N，∵B （3，3），∴OA =3，AB =3，∴OB =23，∴∠BOA =30°，∵在Rt △AMO 中，∠MOA =30°，AO =3，∴AM =1.5，∠OAM =60°，∴∠ADN =30°， ∵在Rt △AND 中，∠ADN =30°，AD =2AM =3，∴AN =1.5，DN =332， ∴CN =3－12－1.5=1， ∴CD 2=CN 2+DN 2=12+（332）2=314，∴CD =31. 故选B. 点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P 点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B20．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．∵CD=3，∴AC=2CD=6．故选D．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．。

全等三角形易错题(Word版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5Q（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程1562202x x，解方程即可得到结果.【详解】（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD与△CQP中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间84663BP t （秒），此时107.543Q CQ V t （厘米/秒）．（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得1562202x x ，解得x=803(秒) 此时P 运动了8061603（厘米）又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48，所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇．【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2．如图1，等腰△ABC中，AC =BC ＝∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m, CE ⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DEF 的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900．∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE="AE+AD=" BD+CE ．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ． ∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE=AE+AD=BD+CE ．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．4．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+12BC+CD.【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ，同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．5．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明6．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝12BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于12BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝12BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点，且AE CD =，BD 与EC 交于点F ，则BFE ∠的度数是___________度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴=，OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-，∴∠=∠︒180EAC DCBα=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．∆是等边三角形，点D在边AC上（“点D不与,A C重合），点E是射线8．如图，ABCBC上的一个动点（点E不与点,B C重合），连接DE，以DE为边作作等边三角形DEF∆，连接CF.（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，过点D作//DG AB，DG交BC于点G，求证：CF EG=；（2）如图2，当DE反向延长线与AB的反向延长线相交，且,C F在直线DE的同侧时，求证：CD CE CF=+；（3）如图3，当DE反向延长线与线段AB相交，且,C F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF=CD+CE，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC∆是等边三角形，//DG AB，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG∆是等边三角形，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF∆是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，在∆ GDE和∆ CDF中，∵DE DFGDE CDFDG DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，∴CF EG=；（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，∵ABC∆是等边三角形，//DG AB，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE =，∴CD CG CE GE CE CF ==+=+（3）CF =CD +CE ，理由如下：过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴CDG ∆是等边三角形，∴DG=DC=GC.∵DEF ∆是等边三角形，∴DE=DF ，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，在∆ GDE 和∆ CDF 中，∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.9．已知：4590ABC A ACB ∆∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且22AD =+，，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ．（1）依题意补全图形；（2）求证：ABQ AMB ∠=∠；（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果QA BN =，求线段AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）根据三角形外角的性质即可证明；（3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得QEB BCM ≅，根据HL 证得Rt QEA Rt BCN ≅，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，22CD x =，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】（1）补全图形如下图所示：（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=︒∴ABQ AMB∠=∠（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：∵⊥QE AB∴90QEB BCM∠=∠=︒，在QEB和BCM 中，QEB BCMQBE BMCQB BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QEB BCM≅(AAS)∴EB CM=，QE BC=，在Rt QEA和Rt BCN中∵QE BC=，Q A BN=∴Rt QEA Rt BCN≅ (HL)∴AE CN CM MD DN==++∵点N是点M关于点D的对称点，∴MD DN=∴22AE CM MD EB MD=+=+∴()2222AB AE EB EB MD EB MD CD=+=+=+=设AC BC x==，则2AB x=，22CD x=，又∵22AD=，22AD AC CD x x=+=+∴222x x+=解得：2x=∴22AB=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值为4．（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，∴PA ＝PA '，又AP ＝PB ，∴PA ＝PA '＝PB ，∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '＝180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°，∴∠AA 'B ＝45°，即∠OA 'B ＝45°；（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，①如图3，若△ABP ≌△MBP ，则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，∴△AOP ≌△MDP （AAS ），∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，∴M 的坐标为：（6，-4）．②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====，∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，∴∠BAF ＝∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====，∴M 的坐标为：（4，7），③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠，∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====，∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形，∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====，∴M 的坐标为：（10，﹣1）．综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．。

全等三角形易错训练与压轴训练(1易错+5模型+2压轴)(解析版)2024-2025学年八年级数学上册

全等三角形易错训练与压轴训练（1易错+5模型+2压轴）目录易错题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 (1)全等模型一　一线三等角模型 (5)全等模型二　三垂直模型 (10)全等模型三　旋转型模型 (16)全等模型四　倍长中线模型 (22)全等模型五　截长补短模型 (28)压轴题型一　全等三角形中的动点综合问题 (35)压轴题型二　全等三角形中的新定义型综合问题 (41)【答案】4【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动全等；分两种情况：12x x -=，得出x =01 思维导图02 易错题型【详解】解：∵CA AB ^于点A ，DB AB ^于B ，∴90A B Ð=Ð=°．设运动x 分钟后CAP V 与PQB △全等，由题意得：cm BP x =，2cm BQ x =，则(12)cm A P x =-．分两种情况：①若BP AC =，则4x =，1248AP =-=，8BQ =．可知AP BQ =，∴CAP V ≌PBQ V ；②若BP AP =，则12x x -=，解得：6x =，可知12(cm)BQ AC =¹，此时CAP V 与PQB △不全等．综上所述：运动4s 后CAP V 与PQB △全等．故答案为：4．巩固训练1.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，ABP V 与DCE △全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL ．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t ==和1622AP t =-=即可求得．【详解】解：由题意得：AB CD =，若90,2ABP DCE BP CE Ð=Ð=°==，根据SAS 证得ABP DCE ≌△△，\22BP t ==，即1t =，若90,2BAP DCE AP CE Ð=Ð=°==，根据SAS 证得BAP DCE ≌V V ，\1622AP t =-=，即7t =．\当t 的值为1或7秒时．ABP V 与DCE △全等．故答案为：1或7．2．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ^，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ^，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．【答案】3秒或9秒或12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌；当E 在线段AB 上，AB EB =时；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE V V ≌；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌，6AC =Q ，6BE \=，1266AE AB BE \=-=-=，\点E 的运动时间为623¸=（秒）；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED V V ≌，6AC =Q ，6BE \=，12618AE AB BE \=+=+=，\点E 的运动时间为1829¸=（秒）；当E 在线段AB 上，AB EB =时，此时E 在A 点未动，时间为0秒，不符合题意；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE V V ≌，12AB =Q ，12BE \=，121224AE AB BE \=+=+=，【答案】1或72或12【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出可．【详解】解：设点运动t秒时，以Q PE l^，QF l^，\90PEC QFCÐ=Ð=°，Q90ACBÐ=°，\90EPC PCEÐ+Ð=°，ÐQ由①知：PC CQ=，\212616t t-=-，\；=1t因为此时60t-<，所以此种情况不符合题意；=-=-，122616PC t t7t；=2④当Q到A点停止，P在BC⑤因为P的速度是每秒2，Q03 全等模型全等模型一　一线三等角模型【答案】探究：见解析；应用：6（2）利用互补的性质得到EBC ACF Ð=Ð，证明BCE V ≌CAF V 即可．【详解】（1）①证明：∵90EE CD AF CD ACB ^^Ð=°，，，∴90BEC AFC Ð=Ð=°，∴9090BCE ACF CBE BCE Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，∴ACF CBE Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BCE V ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF =；②解：EF BE AF =-．证明：∵180BEC CFA ACB a a Ð=Ð=ÐÐ+Ð=°，，∴180180CBE BCE ACF ACB BCE BCE a a Ð=°-Ð-ÐÐ=Ð-Ð=°-Ð-Ð，，∴ACF CBE Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BCE V ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF CE AF ==，，∴EF CF CE BE AF =-=-；（2）解：EF BE AF =+．理由：∵BEC CFA BCA a a Ð=Ð=ÐÐ=Ð，，又∵180180EBC BCE BEC BCE ACF ACB Ð=Ð=Ð=°Ð+Ð+Ð=°，，∴EBC BCE BCE ACF Ð+Ð=Ð+Ð，∴EBC ACF Ð=Ð，在BCE V 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BCE V ≌CAF V ()AAS ，∴AF CE BE CF ==，，∵EF CE CF =+，∴EF BE AF =+．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，直线m 经过点,A BD m ^于,D CE m ^于E ，求证∶ABD CAE △△≌；（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶ABC V 中，,AB AC D A E =、、三点都在直线m 上，并且BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，a 为任意锐角或钝角，请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用∶如图③，在ABC V 中，BAC Ð是钝角，,AB AC BAD CAE =Ð>Ð，BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，直线m 与BC 的延长线交于点F ，若2,BC CF ABC =V 的面积是12，求ABD △与CEF △的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）6【分析】（1）先证明90BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，DBA CAE Ð=Ð，然后根据AAS 即可证明ABD CAE ≌V V ；（2）先证明DBA CAE Ð=Ð，再证明()AAS ABD CAE V V ≌，再利用全等三角形的性质可得结论；（3）同（2）可证()AAS ABD CAE V V ≌，得出ABD CEA S S =V V ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出ACF S △即可得出结果．【详解】解：（1）∵90BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，∴90BAD CAE Ð+Ð=°，且90DBA BAD Ð+Ð=°，全等模型二　三垂直模型例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD Ð=°=，过点B 作BC l ^于点C ，过点D 作DE l ^交于点E ．得1D Ð=Ð．又90BCA AED Ð=Ð=°，可以推理得到()ABC DAE AAS V V ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l Ð=Ð=°==^于点C ，DE l ^于点E ，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．【答案】(1)DE ，AE(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题，（1）由90CBA AED BAD ÐÐÐ===°，得12290D ÐÐÐÐ+=+=°，则1D ÐÐ=，而AB DA =，即可证明ABC DAE V V ≌，得AC DE =，BC AE =，于是得到问题的答案；（2）作NF l ^于点F ，因为BM l ^于点C ，DE l ^于点E ，所以90ACM NFA NFP DEP ÐÐÐÐ====°，由（1）得AC DE =，因为90MAN Ð=°，所以90CAM FAN FNA FAN ÐÐÐÐ+=+=°，则CAM FNA ÐÐ=，而AM NA =，即可证明CAM FNA V V ≌，得AC NF =，所以NF DE =，再证明PFN PED V V ≌，则NP DP =．【详解】（1））解：BC l ^于点C ，DE l ^于点E ，∴90CBA AED ÐÐ==°，∵90BAD Ð=°，∴12890D ÐÐÐÐ+=+=°，∴1D ÐÐ=，在ABC V 和DAE V 中，1D BCA AED AB DA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴AAS ABC DAE VV ≌（），∴AC DE =，BC AE =，故答案为：DE ，AE ．（2）证明：如图2，作NF l ^于点F ，∵BM l ^于点C ，DE l ^于点E ，∴90ACM NFA NFP DEP ÐÐÐÐ====°，由1AC DE =（）得，同理（1）得AC NF =，∴NF DE =，在PFN V 和PED V 中，MFP DEF FPN EPDMF DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴AAS PFN PED V V ≌（），∴NP DP =．巩固训练1．在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．Ð+Ð=度；(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【解析】【分析】Ð+Ð=90°；（1）由∠BAC=90°可直接得到EAB DAC（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS 可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中90ADC BEA DCA EABAC AB °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴ AD =BE 且EA =DC由图可知：DE = EA +AD = DC +BE ．(3)∵ CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴ ∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵ ∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴ ∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴ AD =BE 且AE =CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD = BE + DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC CEB △△≌；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)DE BE AD =-(或AD BE DE =-，BE AD DE =+)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ADC △和CEB V 全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和AC BC =，再由同角的余角相等证明DAC BCE =ÐÐ即可证明()AAS ADC BEC V V ≌；②由全等三角形的对应边相等得到AD CE =，BE CD =，从而得证；（2）根据垂直定义求出BEC ACB ADC Ð=Ð=Ð，根据等式性质求出ACD CBE Ð=，根据AAS 证出ADC △和CEB V 全等，再由全等三角形的对应边相等得到AD CE =，BE CD =，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵90ACB Ð=°，90ADC Ð=°，90BEC Ð=°∴90ACD DAC Ð+Ð=°，90ACD BCE Ð+Ð=°，∴DAC BCE =ÐÐ，在ADC △与BEC V 中，90ADC BEC DAC BCEAC BC Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ADC BEC V V ≌；②由①知，ADC BEC △△≌，∴AD CE =，BE CD =，∵DE CE CD =+，∴DE AD BE =+；（2）证明：∵AD MN ^于D ，BE MN ^于E ，∴90ADC BEC ACB Ð=Ð=Ð=°，∴90CAD ACD Ð+Ð=°，90ACD BCE Ð+Ð=°，∴CAD BCE Ð=Ð，在ADC △与BEC V 中，90ADC BEC DAC BCEAC BC Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ADC CEB V V ≌．∴AD CE =，BE CD =，∴DE CE CD AD BE =-=-．（3）解：同（2）理可证()AAS ADC CEB V V ≌．∴AD CE =，BE CD =，∵CE CD DE=-∴AD BE DE =-，即DE BE AD =-；当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-(或AD BE DE =-，BE AD DE =+)．全等模型三　旋转型模型例题：如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD Ð=Ð=（1）求证：AEC ADB @△△22【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图理由：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°∴∠ACD ＝∠BCE ，全等模型四　倍长中线模型例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，BD 是ABC V 的中线，10AB =，6BC =，求中线BD 的取值范围．【答案】28BD <<【分析】延长BD 到E ，使DE BD =,证明两边之和大于2BE BD =，两边之差小于2BE BD =，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得28BD <<．【详解】解：如图，延长BD 至E ，使DE BD =，连接CE ，∵D 为AC 中点，∴AD DC =，在ABD △和CED △中，BD DE ADB CDEAD CD =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ABD CED ≌△△，∴10EC AB ==，在BCE V 中，CE BC BE CE BC -<<+，即106106BE -<<+，∴416BE <<，∴4216BD <<，∴28BD <<．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．巩固训练1．如图，在ABC V 中， AD 是BC 边上的中线．延长AD 到点E，使DE AD =，连接BE ．(1)求证：ACD EBD △△≌；(2)AC 与BE 的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若90BAC Ð=°，猜想AD 与BC 的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AC BE =，AC BE∥(3)2AD BC =，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS ，即可证得；(2)由ACD EBD △△≌，可得AC BE =，C EBC Ð=Ð，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS ，可证得BAC ABE V V ≌，据此即可解答．【详解】（1）证明：AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ACD △与EBD △中AD ED ADC EDB BD CD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ACD EBD \V V ≌；（2）解：ACD EBD QV V ≌，AC BE \=，C EBC Ð=Ð，\∥AC BE ，故答案为：AC BE =，AC BE ∥；（3）解：2AD BC=证明：ACD EBD QV V ≌，AC BE \=，C EBC Ð=Ð，(1)由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌，得到BE AD =，在ABE V 中求得2AD 的取值范围，从而求得取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，AD 是ABC V 的中线，AB AE =，AC AF =，180BAE CAF Ð+Ð=°，试判断线段关系，并加以证明；(3)如图3，在ABC V 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系．（1）由作图可得2AE AD =，根据“SAS ”证得ADC EDB V V ≌，得到4BE AC ==，在ABE V 中，根据三角形的三边关系有AB BE AE AB BE -<<+，代入即可求解；（2）延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，则2AM AD =，由（1）同理可证()SAS BDM CAD V V ≌，得到BM AC AF ==，BM AC ∥，从而180ABM BAC °Ð+Ð=，又180BAC FAE Ð+Ð=°，因此ABM FAE Ð=Ð，进而得证()SAS ABM EAF V V ≌，故2EF AM AD ==；（3）取BC 的中点为M ，连接AM 并延长至N ，使AM MN =，连接BN 、DN ，证得()SAS ACM NBM V V ≌得到AC NB =，证得()SAS AEM NDM V V ≌得到AE ND =．延长AD 交BN 于F ，由三角形的三边关系得到AB BN AD DN +>+，即AB AC AD AE +>+．【详解】（1）∵DE AD =，∴2AE AD DE AD=+=∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，在ADC △和EDB △中，CD BD ADC EDB AD ED =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ADC EDB V V ≌，∴4BE AC ==，∵在ABE V 中，AB BE AE AB BE -<<+，即64264AD -<<+，∴15AD <<．故答案为：15AD <<（2）2EF AD =，理由：如图，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，∴2AM AD DM AD=+=，∵AD 是ABC V 的中线，∴BD CD =，在BDM V 和CDA V 中BD CD BDM CDADM DA =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS BDM CDA V V ≌，∴BM AC =，∵AC AF =，∴BM AF =，∵BDM CAD V V ≌，∴Ð=ÐMBD ACD ，∴BM AC ∥，∴180ABM BAC °Ð+Ð=，∵180BAE CAF Ð+Ð=°，∴()360360180180BAC FAE BAE CAF Ð+Ð=°-Ð+Ð=°-°=°，∴ABM FAE Ð=Ð，在ABM V 和EAF △中AB AE ABM EAF BM AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABM EAF V V ≌，∴AM EF =，∵2AM AD =，∴2EFAD =；（3）取BC 的中点为M ，连接AM 并延长至N ，使AM MN =，连接BN 、DN ，∵点M 是BC 的中点，∴CM BM =，在ACM △和NBM V 中，CM BM AMC NMBAM NM =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ACM NBM V V ≌，∴AC NB=∵BD CE =，∴BM BD CM CE -=-，即=DM EM ，在AEM △和NDM V 中，EM DM AME NMDAM NM =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS AEM NDM V V ≌，∴AE ND =，延长AD 交BN 于F ，则AB BF AD DF +>+，且FN DF DN +>，∴AB BF FN DF AD DF DN +++>++，∴AB BN AD DN +>+，即AB AC AD AE +>+．全等模型五　截长补短模型【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．巩固训练(1)求证：CD BC DE =+；(2)若75B Ð=°，求E Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)105°∵CA 平分BCD Ð，∴BCA FCA Ð=Ð．【答案】（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ADG ABE △△≌AEF AGF △△≌，可得EF GF =，进而得出EF BE DF =+，即可解题；（2）证明方法同（1）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明∵90B ADF Ð=Ð=°，∴ADG ADF B Ð=Ð=Ð在ABE V 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADG V V ≌，∴AE AG =，BAE DAG Ð=Ð，∵120BAD Ð=°，60EAF Ð=°，∴2BAD EAF ÐÐ=，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð=Ð，在AEF △和AGF V 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AEF AGF V ≌，∴EF GF =，∵GF DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+，故答案为：正确；（2）解：上题中的结论依然成立；如图2，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，∵110ADF Ð=°，70B Ð=°，∴18011070ADG B Ð=°-°=°=Ð，在ABE V 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADG V V ≌，∵180B ADF Ð+Ð=°，Ð∴ADG B Ð=Ð，在ABE V 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴2BAD EAF ÐÐ=，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð=Ð，在AEF △和AGF V 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()AEF AGF SAS V V ≌，∴EF GF =，∵GF DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．压轴题型一　全等三角形中的动点综合问题例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在ABC V 中，AD 为高线，18AC =．点E 为AC 上一点，12CE AE =，连接BE ，交AD 于点O ，若BDOADC △≌△．(1)猜想线段BO 与AC 的位置关系，并证明；(2)若动点Q 从点A 出发沿射线AE 以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为t 秒．①当点Q 在线段AE 上时，是否存在t 的值，使得BOQ △的面积为27？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②动点P 从点O 出发沿线段OB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，P ，Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，点F 是直线BC 上一点，且CF AO =，当AOP V 与FCQ V 全等时，请直接写出t 的值．【答案】(1)BO AC ^，证明见解析04 压轴题型由（1）可知，BEC ÐBE AC \^，Q Q 在线段AE 上，12BOQ S BO QE D \=´=AOP QCF \Ð=Ð，AO CF =Q ，\当OP CQ =时，AOP FCQ V V ≌此时，2186t t =-，AOP FCQ \Ð=Ð，AO CF =Q ，\当OP CQ =时，AOP V 此时，2618t t =-，91．（2024·山东泰安·一模）已知ABC V 为等腰三角形，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以AD 为边作ADE V ，且AD AE =，连接CE ，BAC DAE Ð=Ð．(1)如图1，当点D 在边BC 上时，试说明：①ABD ACE≌△△②BC DC CE =+；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，探究线段BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)BC CE CD =-，见解析【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质．（1）①先判断出BAD CAE Ð=Ð，进而用SAS 判断出ABD ACE ≌△△，即可得出结论；②利用全等三角形的性质可得BD CE =，等量代换即可求解．2（）同（1）的方法即可得出结论．【详解】（1）解：BAC DAE Ð=ÐQ ①，BAC CAD DAE CAD \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD CAE \Ð=Ð，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABD ACE △≌△；②由①知，ABD ACE ≌△△，BD CE \=，BC BD CD CE CD \=+=+；（2）BAC DAE Ð=ÐQ ，BAC CAD DAE CAD \Ð+Ð=Ð+Ð，BAD CAE \Ð=Ð，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABD ACE △≌△BD CE \=，BC BD CD CE CD\=-=-2．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在ABC V 中，90C Ð=o ，BC AC =，D 为直线BC 上一动点，连接AD ．在直线AC 的右侧作AE AD ^，且AE AD =．观察发现：（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，过点E 作AC 的垂线，垂足为N ，判断线段EN 与BC 之间的关系，并说明理由；探究迁移：（2）将如图①中的B ，E 连接，交直线AC 于点M ，我们很容易发现MN MC =．如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交直线CA 于点M ，线段EN 和线段BC 之间的关系有没有变化？此时MN MC =吗？说说理由．拓展应用：（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，当7AC =，2CM =时，求ABD △和ABE V 的面积．【答案】（1）EN BC =且EN BC∥；理由见解析；（2）它们的关系没有变化，此时MN MC =；理由见解析；（3）14ABD S =V ， 63ABE S =V 【分析】本题是全等综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．（1）先证明()AAS EAN ADC V V ≌，根据全等三角形的性质可得EN AC =，从而得出结论；（2）先证明()AAS EAN ADC V V ≌，再证明()AAS MEN MBC V V ≌，可证结论；（3）由（2）可得，EAN ADC V V ≌和MEN MBC V V ≌仍然成立，可得2MC MN ==，7AC BC EN ===，再得1174BD AN BC =-=-=，可得结论．【详解】（1） EN BC =且EN BC∥90DAC CAE ÐÐ+=oQ 90E CAE ÐÐ+=oE DAC\Ð=Ð在EAN V 与ADC △中90C ANE E DACAD AE ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=îo()AAS EAN ADC \V V ≌,90EN AC ENA C \=Ð=Ð=°,90ENC C \Ð=Ð=°,EN BC\∥BC AC=Q EN BC\=（2）它们的关系没有变化，此时MN MC =，90DAC NAE ÐÐ+=o Q ，90AEN NAE ÐÐ+=o ，DAC AEN ÐÐ\=，在EAN V 与ADC △中90ACD ANE AEN DACAD AE ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=îo()AAS EAN ADC \V V ≌EN AC \=,90ACD ENA Ð=Ð=°,EN BC\∥BC AC =Q压轴题型二　全等三角形中的新定义型综合问题例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB Ð称为Ð的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，CD，BE 分别是ABC V 的两条高，两条高交于点 F ，根据定义，我们知道DBE Ð是DCE Ð的“边垂角”或DCE Ð是DBE Ð的“边垂角”，DAE Ð的“边垂角”是；(2)若AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，则AQB Ð与APB Ð的数量关系是；(3)若ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，且AB AC =．①如图2，已知B C Ð=Ð，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且 45CAF Ð=°，90BAC Ð=°，求证：BE CF CE =+；对于上述问题，小明有这样的想法：在BD 上截取BH CF =，连接AH ，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证BE CF CE =+．②如图4，若92CD BD +=，直接写出四边形ABDC 的面积．②如图，Q AQB Ð是APB Ð的“边垂角”，,AQ PA BQ PB \^^，90,90PAQ PBQ \Ð=°Ð=°，综上所述，AQB Ð与APB Ð的数量关系是AQB APB Ð=Ð或180AQB APB Ð+Ð=°；（3）解：①延长,BA CD 交于点G ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，90,90ABE AEB ACD DEC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEB DEC Ð=ÐQ ，ABE ACF \Ð=Ð，90BAE CAG \Ð=Ð=°，AB AC =Q ，\(ASA)ABE ACG V V ≌，,AG AE BE CG \==，45FAC Ð=°Q ，9045GAF FAC \Ð=°-Ð=°，AF AF =Q ，\(SAS)AGF AEF V V ≌，GF EF \=，Q 点C 关于直线BE 对称点为点F ，EF EC \=，BE CG CF FG CF EF CF CE \==+=+=+，BE CF CE \=+；②连接AD ，过点A 作AE AD ^与DB 延长交于点E ，Q ACD Ð是ABD Ð的“边垂角”，180ACD ABD \Ð+Ð=°，【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键．巩固训练1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．(1)如图1，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC V 和CDE V 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE Ð=°，则Ð=EMD ______°．(3)如图3，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)见解析【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE Ð=Ð，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE Ð=°可求出45DCE ACB Ð==°，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ÐÐ=，然后根据“8”字形图形即可求出EMD Ð的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP BE AD ÐÐ=，=，根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ACQ BCP =Ð=Ð，，进而可证结论成立；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【详解】（1）AD BE =．理由：∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð，∴ACD BCE Ð=Ð．在ACD V 和BCE V 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ACD BCE V V ≌，∴AD BE =．（2）∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð．∵90ACE Ð=°，∴45DCE ACB Ð=Ð=°．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ÐÐ=．∵MOE COD Ð=Ð，∴45EMD DCE Ð=Ð=°．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．AD ，BE 的中点分别为,Q P ，∴AQ BP =．在ACQ V 和BCP V 中，CA CB CAQ CBP AQ BP =ìïÐ=íï=î，∴()SAS ACQ BCPVV ≌，∴CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð．∵90BCP PCA °Ð+Ð=，∴90ACQ PCA °Ð+Ð=，∴90PCQ Ð=°，∴PCQ △是等腰直角三角形．2．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在ABC V 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0180a °<<°)得到AB ¢，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ¢，连接B C ¢¢．当180a b +=°时，我们称AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AB C ¢¢△边B C ¢¢上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．(1)【探索一】如图1，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”，探索AD 与BC 的数量关系．在探索这个问题之前，请先阅读材料：【材料】如图2在ABC V 中，若10AB =，8BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．是这样思考的：延长BD 至E ，使DE BD =，连结CE ．利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE V 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．中线BD 的取值范围是．请仿照上面材料中的方法，猜想图1中AD 与BC 的数量关系，并给予证明．(2)【探索二】如图3，当90a b ==°时，AB C ¢¢△是ABC V 的“旋补三角形”，AE BC ^，垂足为点E ，AE 的反向延长线交B C ¢¢于点D ，探索AD 是否是ABC V 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．【答案】(1)19BD <<；2BC AD =，证明见解析；(2)AD 是ABC V 的“旋补中线”，证明见解析【分析】（1）材料：三角形三边关系可得CE BC BE CE BC -<<+，进而可得中线BD 的取值范围；探索一：延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ¢，证明()SAS B DA CDE ¢≌V V ，可得AB CE ¢=，B AD E ¢Ð=Ð，求出BAC AC E ¢Ð=Ð，再证()SAS ABC C EA ¢≌V V ，根据全等三角形的性质可得结论；（2）作C H AD ¢^于H ，作B F AD ¢^交AD 延长线于F ，求出B B AF ¢Ð=Ð，证明()AAS ABE B AF ¢≌V V ，可得=B F AE ¢，同理证明()AAS ACE C AH ¢≌V V ，可得=AE C H ¢，求出=B F C H ¢¢，可证()AAS B DF C DH ¢¢≌V V ，根据全等三角形的性质可得B D C D ¢=¢，然后可得AD 是ABC V 的“旋补中线”．【详解】（1）解：材料：由题意得：10AB CE ==，8BC =，2BE BD =，由三角形三边关系可得：CE BC BE CE BC -<<+，即218BD <2<，∴19BD <<，故答案为：19BD <<；探索一：2BC AD =；证明：如图1，延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ¢，∵AD 是ABC V 的“旋补中线”，∴AD 是AB C ¢¢△的中线，即B D CD ¢=，又∵B DA C DE ¢¢Ð=Ð，∴()SAS B DA C DE ¢¢V V ≌，∴AB C E ¢¢=，B AD E ¢Ð=Ð，∵AB AB ¢=，∴AB C E ¢=，∵AD 是ABC V 的“旋补中线”，∴180BAC B AC BAC B AD EAC ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，∵180AC E E EAC ¢Ð+Ð+Ð=°，B AD E ¢Ð=Ð，∴BAC AC E ¢Ð=Ð，∵AC AC ¢=，BAC AC E ¢Ð=Ð，AB C E¢=∴()SAS ABC C EA ¢≌V V ，∴2BC AE AD ==．（2）AD 是ABC V 的“旋补中线”；证明：如图，作C H AD ¢^于H ，作B F AD ¢^交AD 延长线于F ，∵AE BC ^，∴90F BEA Ð=Ð=°，∴90BAE B Ð+Ð=°，∵90a b ==°，即90BAB CAC ¢¢Ð=Ð=°，∴90BAE B AF ¢Ð+Ð=°，∴B B AF ¢Ð=Ð，又∵¢=BA AB ，∴()AAS ABE B AF ¢≌V V ，∴=B F AE ¢，又∵90AEC C HA ¢Ð=Ð=°，90CAC ¢Ð=°，∴90CAE C Ð+Ð=°，90CAE C AH ¢Ð+Ð=°，∴C C AH ¢Ð=Ð，∵CA AC ¢=，∴()AAS ACE C AH ¢≌V V ，∴=AE C H ¢，∴=B F C H ¢¢，∵90F C HD ¢Ð=Ð=°，B DF C DH ¢¢Ð=Ð，∴()AAS B DF C DH ¢¢≌V V ，∴B D C D ¢=¢，∴AD 是AB C ¢¢△的中线，∴AD 是ABC V 的“旋补中线”．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

(易错题精选)初中数学三角形经典测试题附解析(1)

（易错题精选）初中数学三角形经典测试题附解析(1)一、选择题1．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（）A ．30B ．36C ．45D ．72【答案】B【解析】【分析】由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB ，∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ．∵DF=DB ，∴∠B=∠F=x ，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，AD =∴2AB AD ==∴6BD ==∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴132OB OD BD ===，12OA OC AC ==∴在Rt AOD △中，AD =3OD =∴OA =∴OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．2, 2,5B ．C ．3,4,8D ．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A 、2+2=4＜5，此选项错误；B 、＜3，此选项错误；C 、3+4＜8，此选项错误；D 、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．5．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm【答案】D【解析】【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．6．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=︒，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．【详解】∵AB AC =，且30A ∠=︒， ∴18030752ACB ∠︒-︒==︒，在ADE ∆中，∵1145A AED ∠∠∠=+=︒，∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒，∵//a b ，∴2AED ACB ∠∠∠=+，即21157540∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．7．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．8．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．【详解】∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD 是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC=∠EBF ，在△BCE 和△BFE 中，EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （AAS ），∴BF=BC ，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．9．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6B ．8 CD ．5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.【详解】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，解得x ＝30°，即∠A ＝30°，∠C ＝3×30°＝90°，此三角形为直角三角形，故AB ＝2BC ＝2×4＝8cm ，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.10．如图，在ABC ∆中，AB AC =，分别是以点A ，点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒【答案】B【解析】【分析】根据题意，DE 是AB 的垂直平分线，则AD=BD ，40ABD A ==︒∠∠，又AB=AC ，则∠ABC=70°，即可求出DBC ∠.【详解】解：根据题意可知，DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴40ABD A ==︒∠∠，∵AB AC =，∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒， ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒；故选：B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出DBC ∠的度数.11．对于图形的全等，下列叙述不正确的是（）A ．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等B ．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等C ．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等D ．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；B. 一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；C. 一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；D. 一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.12．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°【答案】C【解析】【分析】连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ， 114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．13．如图，在ABC ∆，90C =o ∠，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N ，为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作弧线AO ，交BC 于点E ．已知3CE =，5BE =，则AC 的长为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】【分析】直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ，再利用勾股定理得出AC 的长．【详解】过点E 作ED ⊥AB 于点D ，由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线，∵EC ⊥AC ，ED ⊥AB ，∴EC=ED=3，在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，AE AE EC ED⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ），∴AC=AD ，∵在Rt △EDB 中，DE=3，BE=5，∴BD=4，设AC=x ，则AB=4+x ，故在Rt △ACB 中，AC 2+BC 2=AB 2，即x 2+82=（x+4）2，解得：x=6，即AC 的长为：6．故答案为：C ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD 的长是解题关键．14．下列几组线段中，能组成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．2，5，5 【答案】C【解析】【分析】要验证是否可以组成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可，分别验证四个选项即可得到答案．【详解】A ．222234+≠，故不能组成直角三角形；B. 222346+≠，故不能组成直角三角形；C ．22251213+=，故可以组成直角三角形；D ．222255+≠，故不能组成直角三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形），掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．15．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==，故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．16．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍【答案】B【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.17．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.18．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a的范围是（）A．0°<a<9 B．30°<a<90° C．0°<a<45° D．45°<a<90°【答案】C【解析】：∵等腰三角形顶角为钝角∴顶角大于90°小于180°∴两个底角之和大于0°小于90°∴每个底角大于0°小于45°故选：C19．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是()A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF【答案】D【解析】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS 和HL是解题的关键．20．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．。

三角形易错题（答案版）

三⾓形易错题（答案版）⼀．折叠问题1.如图，将等腰直⾓三⾓形ABC（∠B＝90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC＝8，那么线段AE的长度为5．【分析】由折叠的性质可求得AE＝A1E，可设AE＝A1E＝x，则BE＝8﹣x，且A1B＝4，在Rt△A1BE中，利⽤勾股定理可列⽅程，则可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得AE＝A1E，∵△ABC为等腰直⾓三⾓形，BC＝8，∴AB＝8，∵A1为BC的中点，∴A1B＝4，设AE＝A1E＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查折叠的性质，利⽤折叠的性质得到AE＝A1E是解题的关键，注意勾股定理的应⽤．2.如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD＝2，DB＝4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则＝．【分析】根据等边三⾓形的性质、相似三⾓形的性质得到∠AED＝∠BDF，根据相似三⾓形的周长⽐等于相似⽐计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三⾓形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝6，由折叠的性质可知，∠EDF＝∠C＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∴∠AED＝∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、相似三⾓形的判定和性质，掌握相似三⾓形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．3.如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为2．【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，⾸先根据有⼀个⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形判定△BDE是边长为4的等边三⾓形，从⽽根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三⾓形，从⽽GD＝B′F＝2，然后根据勾股定理得到B′G ＝2，然后再次利⽤勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BE＝BD＝4，∴△BDE是边长为4的等边三⾓形，∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三⾓形，∴GD＝B′F＝2，∵B′D＝4，∴B′G＝＝＝2，∵AB＝10，∴AG＝10﹣6＝4，∴AB′＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三⾓形的判定定理判定等边三⾓形，难度不⼤．⼆．⽤代数式表⽰1.如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的⼀点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan ∠BHQ的值（⽤含n的式⼦表⽰）．【分析】（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．利⽤全等三⾓形的性质证明AK＝CH，再证明CH＝KH，推出AK ＝KH即可解决问题．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．证明△ADH∽△CDA，推出AD＝a，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，根据CM2＝DM2+CD2，构建⽅程求出x（⽤a表⽰），求出BD即可，再证明sin∠ACK＝，推出∠ACK＝30°即可解决问题．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．想办法求出AJ，HJ（⽤n，y表⽰）即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝?y，∴CH＝＝＝?y，∴HM＝＝?y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝?y，HM＝JM＝?y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．【点评】本题属于三⾓形综合题，考查了相似三⾓形的判定和性质，全等三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形等知识，解题的关键是学会添加常⽤辅助线，构造全等三⾓形解决问题，学会利⽤参数解决问题，属于中考压轴题．2.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上⼀动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取⼀点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝45度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．【分析】（1）由等腰三⾓形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三⾓形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三⾓形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三⾓形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直⾓三⾓形的性质可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点评】本题是三⾓形综合题，考查了全等三⾓形的判定和性质，等腰三⾓形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三⾓形是本题的关键．3．如图，城关镇某村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为m⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为（）A．m cosαB．C．m sinαD．【分析】直接利⽤锐⾓三⾓函数关系得出cosα＝，进⽽得出答案．【解答】解：由题意可得：cosα＝，则AB＝．故选：B．【点评】此题主要考查了解直⾓三⾓形的应⽤，正确记忆锐⾓三⾓函数关系是解题关键．4．已知顶⾓为α（30°＜α＜90°）的等腰三⾓形纸⽚的腰长和底边长分别为a，b，过三⾓形其中⼀个顶点把该纸⽚剪成两个三⾓形，若这两个三⾓形都为等腰三⾓形，则（）A．a2+ab+b2＝0B．a2﹣ab﹣b2＝0C．a2﹣ab+b2＝0D．a2+ab﹣b2＝0【分析】由等腰三⾓形的性质可得AB＝AC＝a，BD＝BC＝b＝AD，∠ABD＝∠A，∠BDC ＝∠C，∠C＝∠ABC，通过证明，△ABC～△BDC，可得，即可求解．【解答】解：如图，等腰△ABC，等腰△BDA和等腰△BDC，∴AB＝AC＝a，BD＝BC＝b＝AD，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C，∠C＝∠ABC，∴CD＝a﹣b，△ABC～△BDC，∴，∴b2＝a（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，故选：B．【点评】本题考查了等腰三⾓形的性质，相似三⾓形的判定和性质，关键是灵活运⽤相似三⾓形的性质．5．已知直⾓三⾓形纸⽚的两条直⾓边长分别为m和3（m＜3），过锐⾓顶点把该纸⽚剪成两个三⾓形，若这两个三⾓形都为等腰三⾓形，则（）A．m2+6m+9＝0B．m2﹣6m+9＝0C．m2+6m﹣9＝0D．m2﹣6m﹣9＝0【分析】如图，根据等腰三⾓形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（3﹣m）2，整理即可解答．【解答】解：如图，m2+m2＝（3﹣m）2，2m2＝32﹣6m+m2，m2+6m﹣9＝0．故选：C．【点评】考查了等腰直⾓三⾓形，等腰三⾓形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三⾓形的性质，根据勾股定理得到等量关系．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，EH垂直BC于点H．设BD ＝x，EH＝y，则（）A．2x﹣y2＝3B．4x﹣y2＝6C．6x﹣y2＝9D．8x﹣y2＝12【分析】如图，作AM⊥BC于M，连接DE．在Rt△DEH中，利⽤勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，连接DE．∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝2，∵EH⊥BC，∴EH∥AM，∵AE＝EC，∴CH＝MH＝1，∵BD＝x，∴DH＝4﹣x﹣1＝3﹣x，∵线段BE的垂直平分线交边BC于点D，∴DE＝BD＝x，在Rt△DEH中，DE2＝EH2+DH2，∴x2＝y2+（3﹣x）2，∴y2＝6x﹣9，∴6x﹣y2＝9，故选：C．【点评】本题考查等腰三⾓形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常⽤辅助线，学会利⽤勾股定理解决问题，属于中考常考题型．7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．若△ADE和△BCE的⾯积分别为S1和S2，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由DE∥BC证明△ADE∽ABC，得，，因平⾏线间的距离相等，即△BDE和△BCE底边DE和BC上的⾼相等，⾯积⽐等于底边⽐求出，即的值为．【解答】解：设S△ABC的⾯积为S，如图所⽰：∵DE∥BC，∴△ADE∽ABC，∴，⼜∵，AB＝AD+BD，∴，⼜∵S△ADE＝S1，∴＝，∴，∵．S△BCE＝S2，∴，⼜∵S四边形BCED＝S△BDE+S△BCE＝，∴，解得：，∴，故选：C．【点评】本题综合考查相似三⾓形的判定与性质，⾯积的和差，在等⾼的两个三⾓形中，⾯积⽐等于底边⽐等相关知识，本题难度中等，属于中档题．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，DE∥BC，与边AC交于点E，将△ADE 沿着DE所在的直线对折，得到△FDE，连结BF．记△ADE，△BDF的⾯积分别为S1，S2，若BD＞2AD，则下列说法正确的是（）A．2S2＞3S1B．2S2＞5S1C．3S2＞7S1D．3S2＞8S1【分析】⾸先证明四边形ADFE是菱形，推出EF∥AB，可得＝，由BD＞2AD，推出S2＞2S1，由此即可判断．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∵△DEF是由△ADE翻折得到，∴AD＝DF＝EF＝AE，∴四边形ADFE是菱形，∴EF∥AB，∴＝，∵BD＞2AD，∴S2＞2S1，∴选项A正确故选：A．【点评】本题考查翻折变换，平⾏线的性质，三⾓形的⾯积，等腰三⾓形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且＝＝m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂⾜为点M，延长DM交AB于点F．（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．①求证：四边形DHEC是平⾏四边形；②若m＝，求证：AE＝DF；（2）如图2，若m＝，求的值．【分析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进⽽判断出HE＝DC，即可得出结论；②先判断出AC＝AB，BH＝HE，再判断出∠HEA＝∠AFD，即可得出结论；（2）先判断出△EGB∽△CAB，进⽽求出CD：BE＝3：5，再判断出∠AFM＝∠AEG进⽽判断出△F AD∽△EGA，即可得出结论．【解答】解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC，∴，∵，∴，∴，∴HE＝DC，∵EH∥DC，∴四边形DHEC是平⾏四边形；②∵，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∵，HE＝DC，∴HE＝DC，∴，∵∠BHE＝90°，∴sin B＝＝，∴∠B＝45°，∴∠BEH＝∠B＝45°∴BH＝HE，∵HE＝DC，∴BH＝CD，∴AH＝AD，∵DM⊥AE，EH⊥AB，∴∠EHA＝∠AMF＝90°，∴∠HAE+∠HEA＝∠HAE+∠AFM＝90°，∴∠HEA＝∠AFD，∵∠EHA＝∠F AD＝90°，∴△HEA≌△AFD，∴AE＝DF；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于G，∵CA⊥AB，∴EG∥CA，∴△EGB∽△CAB，∴，∴，∵，∴EG＝CD，设EG＝CD＝3x，AC＝3y，∴BE＝5x，BC＝5y，∴BG＝4x，AB＝4y，∵∠EGA＝∠AMF＝90°，∴∠GEA+∠EAG＝∠EAG+∠AFM，∴∠AFM＝∠AEG，∵∠F AD＝∠EGA＝90°，∴△F AD∽△EGA，∴＝【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平⾏四边形的判定和性质，相似三⾓形的判定和性质，全等三⾓形的判定和性质，判断出∠HEA＝∠AFD是解本题的关键．10．如图，△ABC是边长为2的等边三⾓形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂⾜为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表⽰△BCE的⾯积，S△AEF表⽰△AEF的⾯积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂⾜为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建⽅程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三⾓形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂⾜为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，⼜∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，⼜∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，。

初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)

.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。

相似三角形易出题、易错题(附参考答案)

相似三角形易出、易错题一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．7．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．9．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．10．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．11．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？12．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC相似．13．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．14．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？15．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．16．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．17．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？18．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．19．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．21．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．22．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．23．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．24．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析6．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．．解解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．．解解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．．解解：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP与AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．．解解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．．解解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）．解解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．．解解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．∴，∴，∴．（7分）．解解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）（解解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．．解解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．．解解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm．。

全等三角形易错题(Word版含答案)

全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，①如图，以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴OP=2OA=4，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°，∴OP=2，∴P点坐标为（2，0）.（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝22，∴OA＝OP＝22，∴P的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．【答案】5 5),(0,4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．【详解】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝22125+=∴D（05）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）；故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．3．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．4．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE ≌△DBC ，则有∠BAE ＝∠BDC ，AE ＝CD ，从而可证到△ABF ≌△DBG ，则有AF ＝DG ，BF ＝BG ，由∠FBG ＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG ＝∠DBA ＝60°，则有FG ∥AC ，由∠CDB ≠30°，可判断AD 与CD 的位置关系．【详解】∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BD ＝BA ＝AD ，BE ＝BC ＝EC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°． ∵点A 、B 、C 在同一直线上，∴∠DBE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°．在△ABE 和△DBC 中，∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∴AE ＝CD ，∴①正确；在△ABF 和△DBG中，60BAF BDG AB DBABF DBG ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF ≌△DBG ，∴AF ＝DG ，BF ＝BG ． ∵∠FBG ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴②正确； ∵AE ＝CD ，AF ＝DG ，∴EF =CG ；∴③正确；∵∠ADB ＝60°，而∠CDB =∠EAB ≠30°，∴AD 与CD 不一定垂直，∴④错误．∵△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴∠GFB ＝∠DBA ＝60°，∴FG ∥AB ，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键．5．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形， ∵3BE =，3DE =33DM =-∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴13322NM DM ==， ∴33333BN BM NM -+=-=-= ∴233BC BN ==+【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键7．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.8．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.9．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是AB 的中点，F 是AC 上一个动点，则EF+BF 的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22-=22AD AE-=33，63∴EF+BF的最小值为33．10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性：∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2∴△CEF的周长的最小为：C1C2.∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB－（∠E CD＋∠F CB）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②在射线AM 上截取AB ＝a ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④连结AC 、BC ．△ABC 即为所求作的三角形．故选答案为B ．【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.12．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．点A 2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣6733．故点A 2019的坐标为：()673,6736733-．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．13．如图，△ABC 、△CDE 都是等腰三角形，且CA ＝CB , CD ＝CE ,∠ACB ＝∠DCE ＝α,AD ,BE 相交于点O ，点M ,N 分别是线段AD ,BE 的中点，以下4个结论:①AD ＝BE ;②∠DOB ＝180°－α;③△CMN 是等边三角形；④连OC ,则OC 平分∠AOE .正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE （SAS ），由全等三角形的性质得到AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ，根据全等三角形的性质得到CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，得到∠MCN=α，推出△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，根据全等三角形的性质得到CH=CG ，根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ，故④正确．【详解】解：①∵CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；故①正确；②设CD 与BE 交于F ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC=∠BEC ，∵∠CFE=∠DFO ，∴∠DOE=∠DCE=α，∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM=12AD ，BN=12BE ， ∴AM=BN ，在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，又∠ACB=α，∴∠ACM+∠MCB=α，∴∠BCN+∠MCB=α，∴∠MCN=α，∴△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH ，CE=CD ，∴△CGE ≌△CHD （AAS ），∴CH=CG ，∴OC 平分∠AOE ，故④正确，故选：B ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．14．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.15．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为43，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．2C．3D．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE ，线段AE 的长即为PE+PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴PE+PC 的最小值是22AC E C -＝224223-=．故选C ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．16．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA=，∴()1180150152ADC ACD︒︒︒∠=∠=-=；②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH︒∠=∠=，DA AB=，∵AE BD⊥，AH CD⊥．∴180EHG EFG︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG∠+∠=，∴EHG DFA∠=∠，在DAF△和ABH中()AFD BHADAF ABH AASDA AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF△≌ABH．∴DF AH=．⑤正确：∵150CAD︒∠=，AH CD⊥，∴75DAH︒∠=，又∵45DAF︒∠=，∴754530EAH︒︒︒∠=-=又∵AE DB⊥，∴2AH EH=，又∵=AH DF，∴2DF EH=【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.17．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（）A．13B．15C．18D．21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．19．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′3⑤S△AOC+S△AOB 934）A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A【解析】试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12323故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AO C+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=12×3×4+34×32=6+934，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )A．(1，0)，224+ B．(3，0)，224+ C．(2,0), 25D．(2,0),252+【答案】D【解析】作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.设直线BN的解析式为y kx b=+，∵N(1，-2)，B(3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN ==∵AP =NP ,∴△ABP 的周长最小值为：AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.。

全等三角形好题易错题典型题精选试题解析

全等三角形好题易错题典型题精选试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（）A．5对B．6对C．7对D．8对2．下列说法①三角形的三条高在三角形内，且都相交于一点．②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线．③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形．④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角．⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是2＜b＜18．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．1080°D．1260°4．一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．相等或互补二．填空题（共3小题）5．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为．6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数为A．4个B．3个C．2个D．1个．7．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．三．解答题（共9小题）8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，AM=CM；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．9．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．12．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．13．已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．（1）求证：△DBE≌△CBE；（2）求∠BDE的度数．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数．15．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=30°，BF=4，求∠DFE的度数和EC的长．16．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，E、F是对角线上的两点，要使△BCE≌△DAF，还需要添加的条件（只需添加一个条件）是，并加以证明．全等三角形好题易错题典型题精选试题解析参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，那么图中全等的三角形有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【解答】解：由平行四边形的性质可知：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ADE≌△CBF，△AOE≌△CFO，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ABE和△CDF故选：C．2．下列说法①三角形的三条高在三角形内，且都相交于一点．②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线．③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形．④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角．⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它的最短边b的取值范围是2＜b＜18．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，故本选项错误；②三角形中线是过顶点平分对边的线段，故本选项错误；③由三角形内角和定理可得∠C=90°，故本选项正确；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角，故本选项正确；⑤根据三角形三边关系可得第三边的取值范围，由于是最短边，则b的取值范围是2＜b≤8，故本选项错误．故选：C．3．如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720° C．1080°D．1260°【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°=8，多边形的内角和是：（8﹣2）•180°=1080°．故选：C．4．一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．相等或互补【解答】解：如图：图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠1=∠2，图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠1+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°，∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，故选：D．二．填空题（共3小题）5．如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为120°．【解答】解：∵点O到三角形三边的距离相等，∴OB、OC为三角形的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°．故填120°6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数为AA．4个B．3个C．2个D．1个．【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC．故①、②正确；∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴AD上任意一点到边AB、AC的距离相等．故③正确；∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠BED=∠CFD，DE=DF，∴△BED≌△CFD，∴∠BDE=∠CDF．故④正确．所以①、②、③、④均正确，故选A．7．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=55°．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠1=∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2=∠ABD=30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，故答案为：55°．三．解答题（共9小题）8．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，AM=CM；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．【解答】证明：（1）∵AF=CE，∴AE=CF，在RT△ABF和RT△CDE中，，∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM，（AAS）∴EM=FM，DM=BM，∴MB=MD，AM=CM；（2）在RT△ABF和RT△CDE中，，∴RT△ABF≌RT△CDE（HL），∴BF=DE，在△DEM和△BFM中，，∴△DEM≌△BFM（AAS），∴EM=FM，DM=BM，∴MB=MD，AM=CM．9．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°∠2+∠EAC=90°∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠FCA，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．11．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=25°，∠AED=∠ACB=105°，∴∠CAB=∠EAD=180°﹣25°﹣105°=50°，∴∠DFB=∠CAF+∠ACF=10°+180°﹣105°=85°；∴∠DGB=∠DFB﹣∠D=85°﹣25°=60°．12．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=120°；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°，∠FCA=∠ACB=×90°=45°，∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B），∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣（180°﹣∠B）=90°+∠B，∵∠B=60°，∴∠AFC=90°+×60°=120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．13．已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．（1）求证：△DBE≌△CBE；（2）求∠BDE的度数．【解答】证明：（1）连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，，∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，，∴△BDE≌△BCE（SAS），（2）由（1）知，△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．15．如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=30°，BF=4，求∠DFE的度数和EC的长．【解答】解：∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，∴EC=BF=4．16．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，E、F是对角线上的两点，要使△BCE≌△DAF，还需要添加的条件（只需添加一个条件）是BE=DF，并加以证明．【解答】解：添加的条件是BE=DF，证明如下：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵在△BCE和△DAF中，∴△BCE≌△DAF（SAS）．故答案为：BE=DF．。

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三角形易错题
一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为
_________ ．
2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC= _________ cm．
3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是_________ ．
4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是_________ ．
5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取值范围是_________ ．
6．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是_________ ．7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=_________ ．
8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入）
（1）图2有_________ 个三角形；图3中有_________ 个三角形
（2）按上面方法继续下去，第20个图有_________ 个三角形；第n个图中有_________ 个三角形．（用n的代数式表示结论）
9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长是_________ ．
10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________ cm．
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为8 ．考点：多边形内角与外角．
专题：计算题．
分析：根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°•（n﹣2），因为最小角为100°，又依次增加的度数为10°，则它的最大内角为（10n+90）°，根据等差数列和的公式列出方程，求解即可．
解答：解：设该多边形的边数为n．
则为=180•（n﹣2），
解得n1=8，n2=9，
n=8时，10n+90=10×80+90=170，
n=9时，10n+90=9×10+90=180，（不符合题意）
故这个多边形为八边形．
故答案为：8．
点评：本题结合等差数列考查了凸n边形内角和公式．方程思想是解此类多边形有关问题常要用到的思想方法，注意凸n边形的内角的范围为大于0°小于180°．
2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC= 2或3或2.5 cm．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题：计算题．
分析：按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边．解答：解：（1）当AB=3cm为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC=（8﹣AB）=2.5cm；
（2）当AB=3cm为腰时，
①若BC为腰，则BC=AB=3cm，
②若BC为底，则BC=8﹣2AB=2cm．
故本题答案为：2或3或2.5cm．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰三角形的三边关系．3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是5＜x≤．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：根据题意以及三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组求解即可．
解答：解：等腰三角形的底边为20﹣2x，
根据题意得，，
由①得，x≤，
由②得，x＞5，
所以，腰长x的取值范围是5＜x≤．
故答案为：5＜x≤．
点评：本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，三角形的三边关系，列出不等式组是解题的关键．4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是 3 ．
考点：平行线之间的距离；三角形的面积．
分析：过A作AD⊥BC于D，则AD的长就是a b之间的距离，根据三角形的面积公式求出AD即可．
解答：
解：
过A作AD⊥BC于D，
∵三角形ABC的面积为6，BC=4，
∴×BC×AD=6，
×4×AD=6，
AD=3，
∵a∥b，
∴a与b的距离是3，
故答案为：3．
点评：本题考查了两条平行线间的距离和三角形的面积，关键是正确作辅助线后能求出AD的长．
5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取值范围是2≤x≤4．
考点：三角形三边关系．
分析：小明、小亮家的地理位置有两种情况：
（1）小明、小亮家都在学校同侧；
（2）小明、小亮家在学校两侧．
联立上述两种情况进行求解．
解答：解：（1）小明、小亮家都在学校同侧时，x≥2；
（2）小明、小亮家在学校两侧时，x≤4．
因此x的取值为2≤x≤4．
点评：本题注意考虑两种不同的情况，能够分析出每一种情况的范围，再进一步综合两种情况的结论．6．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是6＜l＜10 ．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
分析：由，可得+（b﹣3）2=0，则a=2，b=3，可得第三边c的取值范围是1＜c＜5，从而求得周长l的取值范围．
解答：解：∵，
∴+（b﹣3）2=0，
∴a=2，b=3，
∴第三边c的取值范围是1＜c＜5，
∴△ABC周长l的取值范围是6＜l＜10．
故答案为：6＜l＜10．
点评：此题主要考查了非负数的性质，其中首先灵活应用了非负数的性质，然后利用三角形三边之间的关系，难度中等．
7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=36°或90°或108°．
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
分析：题中只说是等腰三角形，没有指明该等腰三角形的形状，故应该分三种情况进行分析．
解答：解：（1）当顶角为锐角时，
①∵剪后AB=AC，AD=BD=BC，∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A．
∴∠A+∠C+∠ABC=5∠A=180°
∴∠A=36°
②当AB=AC，AD=BD，BC=CD时
可求出∠A=；
（2）当顶角为钝角时，
∵剪后AB=AC，AC=CD，BD=AD，∠C=∠B=∠BAD=∠ADC=∠DAC
∴∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=5∠C=180°
∴∠C=36°
∴∠BAC=108°
（3）当顶角为直角时，
∵剪后AB=AC，CD=AD=BD，∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45°
∴∠CAB=90°
所以填∠A为36°、或90°或108°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分情况讨论的正确应用时解答本题的关键．
8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入）
（1）图2有 5 个三角形；图3中有9 个三角形
（2）按上面方法继续下去，第20个图有77 个三角形；第n个图中有（4n﹣3）个三角形．（用n的代数式表示结论）
考点：三角形．
专题：规律型．
分析：正确数一下（2）（3）中，三角形的个数，可以得到（3）比（2）增加了4个三角形，同理（4）比（3）增加了4个三角形，依此类推即可求解．
解答：解：（1）图2有5个三角形；图3中有9个三角形；
（2）按上面方法继续下去，可以得到（4）比（3）增加了4个三角形，
依此类推，第20个图有1+（20﹣1）×4=77个三角形；第n个图中有4（n﹣1）+1=4n﹣3个三角形．
点评：正确观察图形得到规律是解决本题的关键，解决这类题的方法是根据题目的叙述，求出几个图形中三角形的个数，从而求出规律．
9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长是17或19 ．
考点：三角形三边关系．
分析：腰长为5时，得到三条线段；腰长为7时，得到三条线段．若较短的两边条线段之和大于最长的一条线段，那么能组成三角形，让三边相加即可．
解答：解：当腰长为5时，三角形的三边分别为5，5，7，5+5=10＞7，能组成三角形，此三角形的周长为5+5+7=17；
当腰长为7时，三角形的三边分别为7，7，5，5+7＞7，能组成三角形，∴此三角形的周长为7+7+5=19．
∴这个三角形的周长是17或19．
点评：用到的知识点为：等腰三角形的周长由2腰和一底边长构成，两腰相等；3条线段组成三角形的条件为：较短的两条边线段之和大于最长的一条线段．
10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是24 cm．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题：分类讨论．
分析：题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
解答：解：当4cm是腰时，4+4＜10cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当10cm是腰时，周长=10+10+4=24cm
故该三角形的周长为24cm
故填24．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．。

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