人教课标版高中数学选修2-1拓展训练：双曲线及其标准方程
高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
人教新课标版数学高二-数学选修2-1能力拓展 2-3-1 双曲线及其标准方程
能力拓展提升一、选择题11．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) [答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)．12．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.13．已知双曲线x 2－y22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.43 B.53 C.233 D. 3[答案] C[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3，设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20－y 202＝1.∴y 20＝43，∴y 0＝±233，故选C.14．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||FA |的值为( )A.25B.52C.54D.45[答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)，|FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |，所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||FA |＝810＝45，选D. 二、填空题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________.[答案] 56[分析] 由正弦定理可将sin A －sin Csin B 转化为边的比，而△ABC 的顶点A 、C 已知，故边AC 长可求，B 在双曲线上，由定义可求|BC |－|BA |.[解析] 由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56.[点评] 圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决．16．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．[答案] x 24－y 212＝1(x ≥2)[解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．三、解答题17．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 18．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形．[解析] ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1， 即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ′＝1，2c ′＝2，b ′2＝c ′2－a ′2.∴⎩⎨⎧a ′＝12，b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》梳理探究
数学人教A 选修2-1第二章2.3.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.会求双曲线的标准方程.1.双曲线的概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_________)的点的轨迹叫做___________.(2)双曲线的焦点与焦距双曲线定义中的两个定点F 1，F 2叫做_________，两个焦点间的距离叫做_________.双曲线的定义中，在0＜2a ＜|F 1F 2|的条件下，当|PF 1|－|PF 2|＝2a 时为双曲线的一支(含F 2的一支)；当|PF 2|－|PF 1|＝2a 时为双曲线的另一支(含F 1的一支).当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 不表示任何图形.【做一做1】 动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线 2.双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________，焦点F 1_________，F 2_________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________，焦点F 1_________，F 2_________. (3)在双曲线中，a ，b ，c 的关系为____________________.给定双曲线的标准方程，如果含x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；如果含y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上.【做一做2－1】 双曲线x 23－y 22＝1的焦点坐标是( )A.(±5，0)B.(0，±5)C.(±1,0)D.(0，±1)【做一做2－2】 以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点，且经过点M (3，15)的双曲线的标准方程为__________.答案:1.(1)|F 1F 2| 双曲线 (2)焦点 焦距 【做一做1】 C2.x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2【做一做2－1】 A【做一做2－2】 x 24－y 212＝1 焦点在x 轴上可设标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝|72＋(15)2－(－1)2＋(15)2|＝|8－4|＝4＝2a ，∴a ＝2. 又c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝12. 故双曲线的标准方程为x24－y 212＝1.1.求双曲线的标准方程的方法剖析：求双曲线方程一般可采用待定系数法，其解题方法是先定位，再定量.“定位”是指除了中心在原点之外，还要判断焦点在哪条坐标轴上，以便使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程，就是要求出a 2和b 2这两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，并按条件列出关于a 2和b 2的方程组.解得a 2和b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a ，b ，c 等数值的确定.解题步骤分为：首先判断焦点的位置，其次求出关键数据，最后写出双曲线方程.因此，确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a ，b ，一个定位条件：焦点坐标.求双曲线的标准方程的方法还有轨迹方程法. 2.椭圆和双曲线的比较 剖析：方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线.当方程表示椭圆时，m ，n 应满足m ＞n ＞0或n ＞m ＞0.当方程表示双曲线时，m ，n 应满足mn ＜0，且m ＞0，n ＜0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线.知道双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，但不知道焦点在哪一个坐标轴上，这时双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)(或mx 2＋ny 2＝1，mn ＜0).题型一 双曲线的定义【例题1】 若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是什么？分析：由双曲线的标准方程可知，若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则(2－m )(|m |－3)＜0.解此不等式即可得m 的取值范围.反思：由方程判断曲线类型，主要看其分母，再结合双曲线、椭圆的不同要求，构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.题型二 求双曲线的标准方程【例题2】 (1)求与椭圆x 225＋y 25＝1有共同焦点且过点(32，2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程. 分析：第(1)题由椭圆的方程确定焦点坐标，可求得c 值，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)，用待定系数法可求得a ，b ；第(2)题可先设出标准方程，然后把点P 1，P 2的坐标代入方程，联立方程组，求出a 2，b 2的值.反思：求解双曲线的方程主要是依据题目给出的条件确定a 2，b 2的值，要注意焦点在哪个坐标轴上；求解过程中也可以用换元思想.题型三 双曲线定义的应用【例题3】 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积.分析：如图所示，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|.结合双曲线的定义可求出|PF 1|·|PF 2|的值，面积即可求得.反思：此类问题一般结合双曲线的定义和正弦定理、余弦定理来解决，要注意“设而不求”、“整体思想”的应用.题型四 易错辨析【例题4】双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距为6，求k 的值.错解：方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝32k ，∴2×6k 2＝6，即k ＝6.答案: 【例题1】 解：若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则(2－m )(|m |－3)＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0， m |－3<0①或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0， |m |－3>0，② 由①，解得－3＜m ＜2；由②，解得m ＞3. ∴实数m 的取值范围为(－3,2)∪(3，＋∞).【例题2】 解：(1)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝20.又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1.综上可得a 2＝20－210，b 2＝210，∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1.(2)∵双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).①∵点P 1，P 2在双曲线上，∴点P 1，P 2的坐标适合方程①.将(3，－42)，⎝⎛⎭⎫ 94，5分别代入方程①中， 得方程组22222222(319541,a b a b ⎧--=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪-=⎪⎩ 将1a 2和1b 2看作整体，解得⎩⎨⎧1a 2＝116， 1b 2＝19，∴a 2＝16，b 2＝9，即双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.【例题3】 解：在双曲线的方程中，a ＝3，b ＝4， ∴c ＝5.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m ＞n )， 由双曲线的定义可知，m －n ＝2a ＝6， 两边平方，得m 2＋n 2－2mn ＝36. 又∵∠F 1PF 2＝90°，∴由勾股定理得m 2＋n 2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100. ∴mn ＝32.∴S △F 1PF 2＝12mn ＝16.【例题4】 错因分析：误认为k ＞0，忘记讨论k 的符号.正解：当k ＞0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝32k .∴2×6k 2＝6.∴k ＝6.当k ＜0时，方程化为y 2－k －x 2－k 2＝1，c 2＝－32k ，∴2×－6k2＝6，解得k ＝－6. 综上所述，k ＝－6或6.1 (2010安徽高考，理5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为() A.2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭0) 答案:C 双曲线方程化为标准式为x 2－212y ＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32. ∴c.2 若双曲线22215x y a -=与椭圆2212516x y +=有共同的焦点，且a ＞0，则a 的值为( ) A.2D.6答案:A ∵椭圆2212516x y +=的焦点坐标为(±3,0)， ∴a 2＋5＝9，a 2＝4. ∵a ＞0，∴a ＝2.3 F 1，F 2是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝__________.答案:90° 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. ∴r 1r 2＝32，|r 1－r 2|＝2a ＝6. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝2212r r +－2r 1r 2co s α，∴cos α＝2221212(2)2r r c rr +-＝22121212()243664100264r r rr c r r -+-+-=＝0. ∴α＝90°.4 求适合下列条件的双曲线的标准方程：a ＝4，且经过点A ⎛ ⎝⎭. 答案:解：若设所求双曲线方程为22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入，得22216x y b -＝1.又∵点A 在双曲线上， ∴211601169b -=. 由此得b 2＜0，∴不合题意，舍去.若设所求双曲线方程为22221y x a b -=＝1(a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入，得222116y x b -=，代入点A ，得b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为221169y x -=. 5 动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9，C 2：(x －3)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.答案:解：如下图，由题意，得定圆圆心C 1(－3,0)，C 2(3,0)，半径r 1＝3，r 2＝1，设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，则|CC 1|＝r ＋3，|CC 2|＝r ＋1.两式相减，得|CC 1|－|CC 2|＝2，∴点C 的轨迹为以C 1，C 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支. ∵a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴方程为x 2－28y ＝1(x ≥1).。
高中数学人教版选修2-1配套课件：2.3.1双曲线的标准方程
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
[答案] D [解析] 选项A和选项C易判断是错误的，对选项B而言， 若|PF1|＝15，|PF2|＝5，则|PF1|＋|PF2|＝20，则|F1F2|＝26，即
有|PF1|＋|PF2|<|F1F2|＝26，这与“三角形的两边之和大于第三
1. 已知 F1( － 8,3) ， F2(2,3) ，动点 P 满足 |PF1| － |PF2| ＝ 10 ，
则点P的轨迹是(
A．双曲线 C．直线 [答案] D [解析]
)
B．双曲线的一支 D．一条射线
由双曲线的定义可得，∵F1，F2是两定点，|F1F2|
＝10，∴满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹为一条射线．
c2－a2 _______________ ＝b2(b>0)
x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 a2＋b2＝1， a2＋b2＝1(a>b>0) a2－b2＝1，a2－b2＝1(a>0，b>0)
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
边”相矛盾，即这样的点P不存在．
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
x2 y2 4．已知方程 ＋ ＝1 表示焦点在 y 轴上的双曲线， k－3 2－k 则 k 的取值范围是________．
2＝a2＋b2 c ________________
标准方程 焦点坐标
2＝a2＋b2 a，b，c的 c ________________ 关系
高中数学 选修2-1双曲线导学案加课后作业及参考答案
双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2探究点一 双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三 与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=-__________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．（3））的双曲线。
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第二章 2.3 2.3.1双曲线及其标准方程 (共64张PPT)
人教版【高中数学】选修2-1第二章双曲线-双曲线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1能力拓展 2-1-2 曲线方程的求法
能力拓展提升一、选择题11．设动点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上任意一点，点A (0，－1)，点M 使得PM →＝2MA →，则M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13[答案] A[解析] 设M 为(x ，y )， ∵PM →＝2MA →，A (0，－1)， ∴P (3x,3y ＋2)．∵P 为y ＝2x 2＋1上一点， ∴3y ＋2＝2×9x 2＋1， ∴y ＝6x 2－13.故选A.12．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π [答案] B[解析] 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，∴(x －2)2＋y 2＝4，可知圆面积为4π.13．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案] A[解析]由AC⊥BD，AC⊥DD1知AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.由AB1⊥A1B，AB1⊥A1D1知，AB1⊥平面A1BD1，∴AB1⊥BD1.又AP⊥BD1，∴BD1⊥平面APC，BD1⊥平面APB1，∴平面APC与平面APB1重合，∴P 点在线段B 1C 上， 故P 点的轨迹为线段B 1C .14．一条线段长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且AM →＝4MB →，则M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8[答案] B[解析] 设M (x ，y )，因为AM →＝4MB →，且A 、B 分别在x 轴和y 轴上，则A (5x,0)，B (0，54y )，又|AB |＝10所以(5x )2＋(54y )2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B.二、填空题15．直线x －3y ＝0和直线3x －y ＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________．[答案] x ＋y ＝0或x －y ＝0[解析] 设P (x ，y )为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P 到直线x －3y ＝0和3x －y ＝0的距离相等，∴|x －3y |12＋32＝|3x －y |32＋12，∴|x －3y |＝|3x －y |，∴x －3y ＝±(3x －y )， ∴x －3y ＝3x －y 或x －3y ＝－(3x －y )， ∴x ＋y ＝0或x －y ＝0.∴所求角平分线方程为x ＋y ＝0或x －y ＝0.16．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．[答案] y 2＝－8x[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．∴|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)．由已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x . 三、解答题17．设△ABC 的两顶点分别是B (1,1)、C (3,6)，求第三个顶点A 的轨迹方程，使|AB |＝|BC |.[解析] 设A (x ，y )为轨迹上任一点，那么 (x －1)2＋(y －1)2＝(3－1)2＋(6－1)2，整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29.因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)．18．已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→成公差小于0的等差数列，则点P 的轨迹是什么曲线？[解析] 设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(1＋x )＋2(1－x )]2(1－x )－2(1＋x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3x >0， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)．。
人教a版-高中数学-选修2-1-第二章-圆锥曲线_2.3双曲线_-2.3.2_双曲线的简单几何性质-练习与答案
C．6
D．4 3
23、如图， ax－ y ＋ b＝ 0 和 bx2＋ ay2＝ ab(ab≠ 0)所表示的曲线只可能是 ( )
24、已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点， 且 AB 的中点为 N( －12 ，－ 15) ，则 E 的方程为 ( )
10．已知 F1、F2 是双曲线 a2－b2＝1( a>0，b>0) 的两个焦点， PQ是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲
线的弦．如果∠ PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
2
2
11. 求 x y 1 的准线方程、两准线间的距离 .
34
5 12．设双曲线中心是坐标原点，实轴在 y 轴上，离心率为 2 ，已知点 P(0,5) 到这双曲线上的
17．与椭圆 x2 y 2 1有共同焦点，渐近线方程为 x 16 8
3y 0 的双曲线方程为 ________.
18．求与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－ 2) 的双曲线方程．
19. 求与双曲线 x2 y2 1有公共渐近线， 且经过 A 2 3, 3 点的双曲线的标准方程及离心率． 16 9
x2 y2
(A)
1
36
x2 y2
(B)
1
45
(C)
x2 y2 1
63
x2 (D)
5
y2 1 4
x2 25.直线 2x-y-10=0 与双曲线
y2
1 的交点是 _______.
20 5
26. 经过点 M(2,2) 作直线 l 交双曲线 x2 y 2 1于 A,B 两点，且 M为 AB中点 . 4
人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过高Biblioteka 的奢望，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
(x c)2y2(x c)2y2 2 a
2
2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学双曲线1 .第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.双曲线第二定义：平面内到一定点F 与定直线l ，(F 不在l 上)的距离之比为e ，当e ＞1时动点轨迹叫双曲线.①若|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线;②若|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线;③若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线; ④若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离，常用椭圆的第二定义转化为点到准线的距离来研究.①定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为双曲线；另一方面，双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题的捷径.2．双曲线的方程（1）双曲线的标准方程（a>b>0）①焦点在x 轴上：2222by a x -=1（a>0,b>0）; ②焦点在y 轴上：2222bx a y -=1（a>0,b>0）. 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，其步骤是：定型，定量 .涉及几个独立的参变量，那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点位置不确定时，方程可以有两种形式，应防止遗漏.（2）中心在（x 0,y 0）的双曲线方程①焦点在直线y=y 0上：220220)()(b y y a x x ---=1; ②焦点在直线x=x 0上：220220)()(bx x a y y ---=1. （3）双曲线的参数方程x=⎩⎨⎧==ααtan ,sec b y a x (α为参数). 方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方，两种曲线有许多共同点，但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义.问题·探究问题1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程，在学习标准方程时要注意些什么？探究:（1）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为正且分母为a 2，含y 2的项为负且分母为b 2，所以方程为2222b y a x -=1. （2）“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程，就要求出a 2，b 2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a 2，b 2的方程组，解得a 2，b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程.因此“定量”是指a,b,c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a 2,b 2在方程中的位置.问题 2 有些天体运动的轨迹是圆，有些天体运动的轨迹是椭圆，天体运动的轨迹有没有可能是双曲线？运动的轨迹是有什么决定的？探究:物理学中，每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学和物理的区别.至于列F=ma 解出一个椭圆，不难.但要有微积分的知识，尤其是微分方程.可以简单讲讲过程，其实都是数学的问题：1.建坐标系，分别在三个方向(就是x,y,z)列出万有引力公式（要知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，这就得到三个微分方程）2.化简，得到轨道是一个平面.再变换几下，分别得到能量守恒与动量守恒.3.转换成极坐标系，再解方程，得到ρ=ep （1-ecosθ）（就是解析几何中那个圆锥曲线的统一表达式）,天体运行的轨道可以是椭圆、抛物线或双曲线（取决于初始能量和初始动量）. 有些知识对我们来说还是很陌生的，但是在以后的更深层次的学习中会逐步学习到. 典题·热题例1 讨论ky k x -+-92522=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 思路分析：由于k≠9，k≠25，则k 的取值范围为k<9，9<k<25，k<25，分别进行讨论． 解：（1）当k<9时，25-k>0,9-k>0，所给方程表示椭圆，此时a 2=25-k,b 2=9-k,c 2=a 2-b 2=16,这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（2）当9<k<25时，25-k>0,9-k<0，所给方程表示双曲线，此时，a 2=25-k ，b 2=k-9,c 2=a 2+b 2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（3）k<25,k=9,k=25时，所给方程没有轨迹．深化升华 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．例2 在周长为48的直角三角形MPN 中，∠MPN=90°，tanPMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a ，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．解：∵△MPN 的周长为48，且tanPMN=43, ∴设|PN|=3k ，|PM|=4k ，则|MN|=5k ．由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为2222by a x +=1（a>0,b>0）． 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a 2=4．由|MN|=20，得2c=20,c=10．由b 2=c 2-a 2=96，得所求双曲线方程为96422y x -=1． 方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．例3 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0)、A 1（1,0）的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P 的轨迹．思路分析：本题的关键在于讨论a ．因|AA 1|=2，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a=0,a ∈（0,2）,a=2,a>2．解：|AA 1|=2．(1)当a=0时，轨迹是线段AA 1的垂直平分线，即y 轴，方程为x=0．(2)当0<a<2时，轨迹是以A 、A 1为焦点的双曲线，其方程为4142222a y a x --=1. (3)当a=2时，轨迹是两条射线y=0（x≥1）或y=0（x≤-1）．(4)当a>2时无轨迹．误区警示 (1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东6千米处，C 在B 正北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．思路分析：点P 到B 、C 距离相等，因此点P 在线段BC 的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P 在以B 、A 为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P 的坐标，进而求炮击的方位角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （-3,0）、A （3,0）、C （-5,32）.因为|PB|=|PC|，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上．因为k BC =3-,BC 中点D （-4，3），所以直线PD ：313=-y （x+4） ①又|PB|-|PA|=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．设P （x,y ），则双曲线方程为5422y x -=1（x≥0） ② 联立①②式，得x=8,y=35,所以P （8,35）．因此k PA =33835=-． 故炮击的方位角为北偏东30°.方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．。
高中数学选修2-1-双曲线的方程及其性质
双曲线的方程及其性质知识集结知识元双曲线的定义知识讲解1．双曲线的定义【定义】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．【标准方程】①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．【性质】这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．【实例解析】例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【考点点评】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．例题精讲双曲线的定义例1.'已知点A（-，0），B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的中点坐标及其弦长DE．'例2.'若动点P到两个定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（0≤a≤2），试求动点P的轨迹．'例3.'已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2．动圆M与两圆都相切，求动圆圆心M的轨迹方程．'双曲线的标准方程知识讲解1．双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a ＞0，b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞0，b ＞0；c 2＝b 2+a 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞0，b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞0，b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点（a ，0）和（﹣a ，0）（0，a ）和（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，实轴长2a ，虚轴长2b焦点在实轴上x 轴、y 轴，实轴长2a ，虚轴长2b焦点在实轴上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2+b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2+b 2离心率e ＝（e ＞1）e ＝（e ＞1）渐近线即y ＝±x即y ＝±x准线x ＝±y ＝±例题精讲双曲线的标准方程例1.'求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率：（1）x 2-8y 2=32；（2）9x 2-y 2=81；（3）x 2-y 2=-4；（4）-=-1．'例2.'已知双曲线=1的离心率e =3，直线y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，求双曲线的方程．'例3.'双曲线=1（a >0，b >0）过点P （-3，2），过双曲线的右焦点且斜率为的直线与直线x =和x=-（c 2=a 2+b 2）分别相交与点M ，N ，若以|MN |为直径的圆过原点，求此双曲线的方程．'双曲线的性质知识讲解1．双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a ＞0，b ＞0）（a ＞0，b ＞0）图形性焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c |F 1F 2|＝2c 范围|x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（﹣a ，0）．（a ，0）（0，﹣a ）（0，a ）轴实轴长2a ，虚轴长2b质离心率e ＝（e＞1）准线x ＝±y ＝±渐近线±＝0±＝例题精讲双曲线的性质例1.下列曲线中实轴长为的是（）A ．B ．C ．D ．例2.双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形．则双曲线C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．2例3.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A ．B ．C ．或D ．或当堂练习单选题练习1.已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，AB是右支上过F2的一条弦，且|AF1|：|AB|=3：4，则C的离心率是（）A．B．5C．D．练习2.已知F1为双曲线C：=1（b>a>0）的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B．若AB的中点为M（1，8），则此双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．练习3.双曲线C：=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，C的右支上一点P满足∠F1PF2=60°，若坐标原点O到直线PF1距离是，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3练习4.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若|AF1|：|AB|=3：4，|BF2|=3|AF2|，则双曲线C的离心率是（）D．5 A．B．C．练习5.已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．练习6.F1，F2是双曲线-=1（a>0，b>0）的左右焦点，若双曲线上存在点P满足=-a2，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]填空题练习1.已知P为双曲线C：-=1（a>0，b>0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当=时，△AOB的面积为2b，则双曲线C的实轴长为__。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》知识导引(第2课时)
第二课时问题探究现在对于环境的治理尤为重视,对于污水的处理又是重中之重.排水工程中的冷却塔大部分都是双曲线型的样子,那为何要设计成双曲线的模型呢?思路分析:设计成双曲线型关键是充分利用了双曲线的几何性质,达到冷却的最大利用值. 自学导引1.双曲线的标准方程形式为 .2.求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出__________，并由____________确定方程形式. 答案： 1. 22a x -=1(a>0,b>0)或22a y -22bx =1(a>0,b>0) 2.a 、b 的值 焦点所在的坐标轴疑难剖析1.用待定系数法求双曲线的方程求解双曲线的标准方程也就是确定焦点位置,然后求解a 2与b 2.【例1】 双曲线22a x +22by =1(a>0,b>0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20,求该双曲线的方程.解析:将x=6代入双曲线方程,得226a -22by =1, 则y=±a b226a -,设一个交点P 的坐标为(6, a b226a -),则由题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-++-=22222222230)6()6(20302ba c a abc a , 解之得a=5,b 2=3658925⨯. 故所求的双曲线方程为252x -36589252⨯y =1. 温馨提示:求双曲线方程就是求出a 、b 的值,利用已知列出关于a 、b 的方程组是关键.【例2】 在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN=1[]2,tan ∠MNP=2,建立适当坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程.解析:以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设P （x 0,y 0)、M(-c,0)、N(c,0)(y 0＞0,c ＞0)（如下图）,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅⋅=-=+122122100000y c c x y c x y . 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==--==23143,332063522220c a y a x y x 设双曲线方程为. 将点P （635，332）代入，可得a 2=125. ∴所求双曲线方程为1252x -312y =1. 温馨提示:选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程.【类题演练1】 (1)“ab ＜0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的（ ）A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)在双曲线中，a c =25,且双曲线与椭圆4x 2+9y 2=36有公共焦点，求双曲线的方程. 2.双曲线方程及第一、二定义的简单应用【例3】 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a, 求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解析:∵｜AA′｜=2,∴(1)当a=2时，轨迹方程是y=0(x≥1或x≤-1)，轨迹是两条射线.(2)当a=0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x=0.(3)当0＜a ＜2时，轨迹方程是422a x -4122a y - =1，轨迹是双曲线. （4）当a>2时，无轨迹.温馨提示:定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同.【例4】 求与两圆(x+5)2+y 2=49,(x-5)2+y 2=1都外切的动圆圆心的轨迹方程.解析:由已知,两圆的圆心分别为A(-5,0)、B(5,0),两圆的半径分别为r 1=7,r 2=1,设动圆圆心为P,半径为R,则|PA|=7+R,|PB|=1+R,∴|PA|-|PB|=(7+R)-(1+R)=6.又6<10,∴动圆圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点,长轴长为6的双曲线的右支. 故所求动圆圆心的轨迹方程为92x -162y =1(x>0). 温馨提示:求动圆圆心的轨迹方程应先判断轨迹的类型,在利用双曲线定义解题时,要注意绝对值的作用.【类题演练2】(1)求焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(27,3)和Q(-7,-62)的双曲线方程.(2)P 是双曲线x 2-y 2=16的左支上一点,F 1、F 2分别是左、右焦点,求|PF 1|-|PF 2|的值. 答案：1.(1)解析:若ax 2+by 2=c 表示双曲线，即b c y a c x 22+=1表示双曲线，则abc 2＜0,这就是说“ab ＜0”是必要条件，然而若ab ＜0,c 可以等于0，即“ab ＜0”不是充分条件.答案: A(2)解析:把椭圆的方程写成标准方程:92x +42y =1， ∴椭圆的焦点坐标是(±5，0).∵双曲线与椭圆有相同的焦点，∴双曲线的焦点在x 轴上，且c=5. ∵a c =25,∴a=2. ∴b 2=c 2-a 2=1. ∴双曲线的方程为42x -y 2=1. 答案: B2.(1)解析:当焦点在x 轴上时,设双曲线方程为22a x -22by =1(a>0,b>0), 由题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+1724919282222b ab a 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==v b u a 2211则u>0,v>0,且⎩⎨⎧=-=-172491928v u v u 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==751251v u ∴⎪⎩⎪⎨⎧==752522b a 故所求双曲线方程为252x -752y =1. 当焦点在y 轴上时,设双曲线方程为22a y -22bx =1(a>0,b>0). 由题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1497212892222b a b a (*) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,1,122v b u a 则u>0,v>0,且⎩⎨⎧=-=-②①149721289v u v u ①×8-②,得v=-251<0. ∴方程(*)无解.综上,所求双曲线的方程为252x -752y =1. (2)解析:由x 2-y 2=16,知a=4,又∵P 在双曲线x 2-y 2=16的左支上,∴|PF 1|-|PF 2|=-2a=-8.拓展迁移【拓展点】 如图,圆x 2+y 2=4与y 轴的两个交点分别为A 、B.以A 、B 为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D.当梯形ABCD 的周长最大时,求此双曲线的方程.解析:设双曲线的方程为22a y -22bx =1(a>0,b>0),C(x 0,y 0)(x 0<0,y 0>0),|BC|=t(0<t<22). 连结AC,则∠ACB=90°.作CE ⊥AB 于E,则有|BC|2=|BE|·|AB|,∴t 2=(2-y 0)×4,即y 0=2-42t . ∴梯形ABCD 的周长l=4+2t+2y 0.即l=-21t 2+2t+8=-21(t-2)2+10. 当t=2时,l 最大.此时|BC|=2,|AC|=23.又C 在双曲线的上支上,且B 、A 分别为上、下两焦点,∴|AC|-|BC|=2a,即2a=23-2.∴a=3-1,即a 2=4-23.∴b 2=c 2-a 2=23. ∴所求双曲线方程为3242 y -322x =1.。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习双曲线及其标准方程
§2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程一、基础过关1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－12．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为( ) A ．－25 B ．25 C ．－1 D ．13．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是 ( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9 4．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．125．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 6．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0)C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 7．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．二、能力提升8．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．9．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．10.如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．11．在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝12|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．12.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判别△MF1F2的形状．三、探究与拓展13．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，求A应沿什么方向炮击P地．答案 1．B 2.C 3.B 4.B 5.A 6．C7．188．(1,3)9.x 24－y 2＝1 10．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1 (x ≤－32)． 11．解 以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示：则B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m 2，0. 设点A 坐标(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |. 根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝12m . 可知点A 在以B 、C 为焦点的双曲线上．这里2a ＝12m ，∴a ＝m 4. 又c ＝12m ，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m2＝1(y ≠0)． 12．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．13.解 如图所示，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y轴建立坐标系，则B (－3,0)、A (3,0)、C (－5，23)，∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．∵k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD：y－3＝13(x＋4)①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为x24－y25＝1 (x≥2)②联立①、②式，得x＝8，y＝53，所以P(8,53)．因此k PA＝538－3＝3，故A应沿北偏东30°方向炮击P地．。
高中数学人选修2-1第二章 2.3.1 双曲线的标准方程
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？ 不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.
y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动 点P的轨迹方程.
人教课标版高中数学选修2-1：《双曲线及其标准方程》教案-新版
2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程一、教学目标 （一）学习目标1．理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；2．掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置． （二）学习重点 1．双曲线的定义； 2．双曲线的标准方程． （三）学习难点1．由双曲线的标准方程确定焦点位置； 2．根据条件求双曲线的标准方程． 二、教学设计 （一）预习任务设计 1．预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 的距离差的绝对值 等于常数 2a ，小于|F 1F 2| 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两定点间距离叫做 焦距 ．（2）双曲线的标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>．焦点在y 轴上：22221(0,0)y x a b a b -=>>．2．预习自测1．下面语句正确的个数是（ ）①平面内到点12(0,4),(0,4)F F -的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ②双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222a b c +=．③双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B （二）课堂设计探究一：结合实例，认识双曲线 ●活动① 回顾旧知，实验探索前面我们学习了椭圆，椭圆是如何定义的？平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2||)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?我们不妨通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．（如图）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1，F 2的距离的差为常数．这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考．画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12{|||||}P M MF MF =-=常数如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：21{|||||}P M MF MF =-=常数．现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛．(如：冷却塔、立交桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线．【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题．从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲． ●活动② 抽象概括，归纳定义类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为122F F c =．我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． 当a =0时，点的轨迹为12F F 的垂直平分线； 当a <c 时，点的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线； 当a =c 时，点的轨迹为线段12F F 的延长线或反向延长线； 当a >c 时，点的轨迹不存在．图1图2【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解． 探究二：探究双曲线的方程 ●活动① 类比椭圆，建立方程得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究． 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质．你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？ 分析如下：（1）建系设点：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设M (x,y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c >0)，那么21,F F 的坐标分别是12(,0),(,0)F c F c -．又设点M 与21,F F 的距离的差的绝对值为2a ．（2）写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． （3）列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =,2-=±a（4）化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(-)-(-)x c y a x c y c a x a y a c a ++=±-+=移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观，即222221x y a c a-=-设222(0)c a b b -=>，代入上式222221x y a c a -=-，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>．类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可，这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，即为()222210,0-=>>y x a b a b ．●活动② 归纳梳理，强化概念得到了双曲线的定义和方程．借助于表格进行双曲线再认识．●活动③ 巩固基础，检查反馈例1：求满足条件的双曲线方程：a =，经过点A (2,-5)． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】若焦点在x 轴上，设其方程为2221(0)20x y b b -=>，将A (2,-5)代入得2425120b -=，22545b =-无解； 若焦点在y 轴上，设其方程为222120y x b -=，将A (2,-5)代入得2254120b-=，216b =， 综上，所求双曲线的方程为2212016y x -=．【思路点拨】求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支．【答案】2212016y x -=．同类训练 求满足条件的双曲线方程：焦点在y 轴上，中心在原点，且经过点)24,3(1-P 和)5,49(2P ． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】法一：因为双曲线的焦点在，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为：12222=-bx a y （0,0>>b a ）则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b a b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为191622=-x y法二：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为221(0,0)my nx m n -=>>则1329116811251169m n m m n n ⎧-==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩故所求双曲线的标准方程为191622=-x y 【思路点拨】用待定系数法来求解b a ,时，得到关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组也可用一般方程，利用形式更为简便的二元一次方程组来求解．【答案】191622=-x y例2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A CB sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即6||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2'6a =（为了与前面的a 进行区分）的双曲线的左支其方程为：)3(127922-<=-x y x【思路点拨】解决轨迹方程问题，需要突出数形结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【答案】)3(127922-<=-x y x同类训练 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆（x +3）2+y 2=9的圆心为F 1，圆（x -3）2+y 2=1的圆心为F 2，则由动圆与定圆都外切得r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ，由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-y x )1(≥x ． 【思路点拨】求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂．【答案】18122=-y x )1(≥x ．●活动④ 强化提升，灵活应用例3． 已知双曲线的两个焦点为M 、N ，M (-2,-12)且点S (-7,0)、T (7,0)在双曲线上，利用双曲线的定义求点N 的轨迹方程． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设点N 的坐标为(x,y )，它不同于点M (-2,-12)，由双曲线的定义知||||||||||||0SM SN TM TN -=-≠．(7,0)(7,0)S T -Q 、||13,||15SM TM ∴==①当||||||||SM SN TM TN -=-时，有||||214||TN SN ST -=<=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的双曲线的左支，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-． ②当||||(||||)SM SN TM TN -=--时，有||||2814||TN SN ST +=>=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的椭圆，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(2)196147x y x +=≠-． 综上，N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-． 【思路点拨】解本题的关键就是抓住双曲线定义中动点到两定点的距离之差的绝对值为定值这一特征，找出N 满足的几何条件，判断出曲线类型，要注意，依定义解题是圆锥曲线中的重要方法．【答案】221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-．3． 课堂总结 知识梳理（1）双曲线定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．（2）双曲线标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上：()222210,0-=>>y x a b a b重难点归纳（1）定义中的距离之差的“绝对值”不可缺少，若点P 满足12||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线右支；若点P 满足 21||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线左支；（2）求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支． （三）课后作业 基础型 自主突破1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【知识点】双曲线的方程．【解题过程】方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm >0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】D ．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22D ．2【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】A ．3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．－3<k <－2 B ．k <－3 C ．k <－3或k >－2D ．k >－2 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由题意可知，⎩⎨⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2．【思路点拨】由双曲线定义判断即可． 【答案】A ．4．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1 C ．－1D ．不存在 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3． 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2．∴m 2＝1，即m ＝±1【思路点拨】注意到椭圆与双曲线中,,a b c 三者的不同关系． 【答案】A5．双曲线2x 2－y 2＝m 的一个焦点是(0，3)，则m 的值是__________________． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m ＝1，由题意得a 2＝－m ，b 2＝－m 2，∴c 2＝－32m ＝3， ∴m ＝－2．【思路点拨】由双曲线性质即可． 【答案】－26．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________． 【知识点】双曲线的方程．【解题过程】椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9．由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a2－15b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1．【思路点拨】充分利用两种圆锥曲线的相同焦点，再结合,,a b c 三者关系解题． 【答案】y 24－x 25＝1能力型 师生共研7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是（ ） A ．16 B ．18 C ．21D ．26【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】D8．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是（ ） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故选C ． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】C 探究型 多维突破9．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】(1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1．(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1．①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝2．③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1． (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 【思路点拨】由双曲线性质分类讨论求解即可． 【答案】见解析10．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1， 即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2．∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线∴⎩⎨⎧2a ′＝1，2c ′＝2，b ′2＝c ′2－a ′2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝12，b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1．由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．【思路点拨】注意利用线段的长度判断轨迹是双曲线的左支还是右支． 自助餐1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为（ ） A ．x 29－y 27＝1B ．x 29－y 27＝1(y >0) C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D ．x 29－y 27＝1(x >0)【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)． 【思路点拨】利用双曲线的定义求解,,a b c ． 【答案】D2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A ．23 B ．1 C ．2D ．4【知识点】双曲线的定义．【解题过程】NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ． 【思路点拨】利用几何关系结合双曲线定义解题． 【答案】D3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10， ∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24． 【思路点拨】利用双曲线的定义计算△PF 1F 2的三边求解面积． 【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________．【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56． 【思路点拨】圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决． 【答案】565．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为________．【知识点】双曲线的方程．【解题过程】∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该直线方程为x ＝7， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833．【思路点拨】通过点的坐标计算长度．【答案】8336．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为______________． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．【思路点拨】注意结合线段的长度大小确定双曲线的左右支． 【答案】x 24－y 212＝1(x ≥2)．。
双曲线及其标准方程 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章
2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程基础过关练题组一 双曲线的定义及应用1.已知M(-2,0),N(2,0),||PM|-|PN||=3,则动点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.射线 D.双曲线2.已知双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( )A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m3.已知定点A(1,4),F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( ) A.6 B.8 C.9 D.12 4.设F 1,F 2是双曲线x2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于 .题组二 双曲线的标准方程5.若方程x 2k+3+y 2k+2=1,k∈R表示焦点在x 轴上的双曲线,则k 的取值范围是( )A.-3<k<-2B.k<-3C.k<-3或k>-2D.k>-26.若ax 2+by 2=b(ab<0),则这个曲线是( ) A.双曲线,焦点在x 轴上 B.双曲线,焦点在y 轴上 C.椭圆,焦点在x 轴上 D.椭圆,焦点在y 轴上7.已知双曲线的中心在坐标原点,两个焦点F 1,F 2的坐标分别为(√5,0)和(-√5,0),点P 在双曲线上,且PF 1⊥PF 2,△PF 1F 2的面积为1,则双曲线的标准方程为( )A.x 22-y 23=1B.x 23-y 22=1 C.x 24-y 2=1 D.x 2-y24=1 8.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F 1(-√5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1中点的坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )A.x 24-y 2=1 B.x2-y 24=1 C.x 22-y 23=1 D.x 23-y 22=19.以椭圆x 28+y 25=1长轴的两端点为焦点,且经过点(3,√10)的双曲线的标准方程为 .10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A,B 为左、右焦点,且双曲线过C,D 两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .11.已知焦点在x 轴上的双曲线过点P(4√2,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.题组三 与双曲线有关的轨迹问题12.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( )A.x 216-y 29=1B.x 216-y 29=1(x≥4)C.x 29-y 216=1D.x 29-y 216=1(x≥3) 13.已知定圆F 1:x 2+y 2+10x+24=0,定圆F 2:x 2+y 2-10x+9=0,动圆M 与定圆F 1,F 2都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.能力提升练一、选择题1.(河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知双曲线x 2a -3+y 22-a=1的焦点在x 轴上,若焦距为4,则a=( ) A.212B.7C.92D.122.(广西梧州高二期末,★★★)已知F 1,F 2为双曲线C:x 2-y 2=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=( ) A.2 B.4 C.6 D.83.(2018四川绵阳培城模拟,★★★)如图,F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F 1(-√7,0)的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的方程为( )A.5x 27-5y 228=1 B.x 26-y 2=1 C.x2-y 26=1 D.5x 228-5y 27=1 4.(2018四川成都诊断,★★★)已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上,点Q在曲线C 2:(x+5)2+y 2=1上,点R 在曲线C 3:(x-5)2+y 2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( ) A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题5.(安徽阜阳三中高二月考,★★☆)已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 29=1(a>0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|PF 1|=2|PF 2|=16,则△PF 1F 2的周长是 .6.(★★★)已知方程x 24-t +y 2t -1=1表示的曲线为C.给出以下四个结论:①当1<t<4时,曲线C为椭圆;②当t>4或t<1时,曲线C为双曲线;③若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t<52;④若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4. 其中正确的是(只填正确结论的序号).三、解答题7.(★★★)已知双曲线x 24-y29=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.8.(天津一中高二期末,★★★)已知点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.(1)求点P的轨迹方程;(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.9.(★★★)A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,与B相距4 km,P为敌炮兵阵地,某时刻A处发现敌炮兵阵地发出的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4 s后,B,C 才同时发现这一信号,已知此信号的传播速度为1 km/s,A若炮击P地,求炮击的方向角.答案全解全析 基础过关练1.D 因为||PM|-|PN||=3<|MN|=4,所以由双曲线的定义可知,点P 的轨迹是双曲线.2.B 由题意知{|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a ,即{|AF 1|=2a +|AF 2|,|BF 1|=2a +|BF 2|,又|AF 2|+|BF 2|=|AB|=m,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2m.3.C 由双曲线的方程可知a=2,设其右焦点为F 1,则F 1(4,0).|PF|-|PF 1|=2a=4,即|PF|=|PF 1|+4,所以|PF|+|PA|=|PF 1|+|PA|+4≥|AF 1|+4,当且仅当A,P,F 1三点共线时取等号,此时|AF 1|=√(4-1)2+42=√25=5,所以|PF|+|PA|≥|AF 1|+4=9,即|PF|+|PA|的最小值为9.4.答案 24解析 由题意得a=1,2a=2,焦距|F 1F 2|=2×√1+24=10.∵3|PF 1|=4|PF 2|,∴|PF 1|=43|PF 2|,∴|P F 1|-|PF 2|=43|PF 2|-|PF 2|=13|PF 2|=2,∴|PF 2|=6,|PF 1|=8,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴PF 1⊥PF 2,∴S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×6×8=24.5.A 由题意知{k +3>0,k +2<0,解得-3<k<-2.6.B 原方程可化为x 2b a+y 2=1,因为ab<0,所以ba <0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y 轴上. 7.C 由题意得,{|PF 1|·|PF 2|=2,|PF 1|2+|PF 2|2=(2√5)2,∴(|PF 1|-|PF 2|)2=16,即(2a)2=16,则2a=4,解得a=2,又c=√5,∴b=1,∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.故选C.8.B 由双曲线的一个焦点为F 1(-√5,0)知c=√5,因为线段PF 1中点的坐标为(0,2),所以P(√5,4),设双曲线的右焦点为F 2,则有PF 2⊥x 轴,且PF 2=4,又点P 在双曲线右支上,所以PF 1=√(2√5)2+42=√36=6,所以PF 1-PF 2=6-4=2=2a,所以a=1,b 2=c 2-a 2=4,所以双曲线的标准方程为x 2-y 24=1. 9.答案x 23-y 25=1解析 由题意得,双曲线的焦点在x 轴上,且半焦距为2√2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0), 则有{a 2+b 2=c 2=8,9a 2-10b 2=1,解得a 2=3,b 2=5.故所求双曲线的标准方程为x 23-y 25=1.10.答案 x 2-y 23=1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3), ∴{a 2+b 2=4,4a 2-9b 2=1,解得{a 2=1,b 2=3,∴双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.11.解析 因为双曲线的焦点在x 轴上,所以设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),焦点F 1(-c,0),F 2(c,0).因为双曲线过点P(4√2,-3),所以32a2-9b 2=1.①因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即-c 2+25=0,解得c 2=25.② 又c 2=a 2+b 2,③所以由①②③解得a 2=16或a 2=50(舍去). 所以b 2=9,所以所求双曲线的标准方程是x 216-y 29=1.12.D 由题意知,点M 的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.易得c=5,a=3,∴b 2=16,∴点M 的轨迹方程为x 29-y 216=1(x≥3). 13.解析 由题意得,圆F 1:(x+5)2+y 2=1,圆心F 1(-5,0),半径r 1=1.圆F 2:(x-5)2+y 2=42,圆心F 2(5,0),半径r 2=4. ∴|F 1F 2|=10.设动圆M 的半径为R,则|MF 1|=R+1,|MF 2|=R+4,∴|MF 2|-|MF 1|=3<|F 1F 2|. ∴点M 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5,∴b 2=c 2-a 2=914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29-4y 291=1(x ≤-32).能力提升练一、选择题1.C ∵双曲线x 2a -3+y 22-a =1的焦点在x 轴上,焦距为4, ∴{2-a <0,a -3>0,√a -3-2+a =2,解得a=92. 2.B 由双曲线方程得a=1,b=1,c=√2, ∴|F 1F 2|=2√2, 在△F 1PF 2中,|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos∠F 1PF 2, 即8=|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|, 即8=(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|, 又||PF 1|-|PF 2||=2a=2, ∴8=22+|PF 1|·|PF 2|, ∴|PF 1|·|PF 2|=4.3.C 根据双曲线的定义,有|AF 2|-|AF 1|=2a①,|BF 1|-|BF 2|=2a②,由于△ABF 2为等边三角形,则|AF 2|=|AB|=|BF 2|,①+②,得|BF 1|-|AF 1|=4a, 则|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a,|BF 1|=6a,又∠F 1BF 2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a 2=c 2=7,解得a 2=1,则b 2=c 2-a 2=6, 所以双曲线的方程为x 2-y 26=1.4.C 不妨设C 1:x 216-y 29=1的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),且|PF 1|-|PF 2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y 2=1和(x-5)2+y 2=1的圆心,两圆(x+5)2+y 2=1和(x-5)2+y 2=1的半径分别是r 2=1,r 3=1,所以|PQ|max =|PF 1|+1,|PR|min =|PF 2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF 1|+1)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+2=8+2=10. 故选C.二、填空题5.答案 34解析 ∵|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 2|=8,|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a,∴a=4.又b 2=9,∴c 2=25,∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.6.答案 ②③④解析 ①错误,当t=52时,曲线C 为圆;②正确,若曲线C 为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正确,若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴1<t<52;④正确,若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线,则{4-t <0,t -1>0,∴t>4.三、解答题7.解析 设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2(不妨设r 1>r 2),θ=∠F 1MF 2,因为S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ, θ已知,所以只要求r 1r 2即可,因此考虑到用双曲线的定义及余弦定理的知识,求出r 1r 2.(1)当θ=90°时,S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ=12r 1r 2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=√13, 由双曲线的定义,得|r 1-r 2|=2a=4,两边平方,得r 12+r 22-2r 1r 2=16,又r 12+r 22=|F 1F 2|2, 所以|F 1F 2|2-4S △F 1MF 2=16,即52-16=4S △F 1MF 2,解得S △F 1MF 2=9.(2)若∠F 1MF 2=120°,在△MF 1F 2中,|F 1F 2|2=r 12+r 22-2r 1r 2cos 120°=(r 1-r 2)2+3r 1r 2=52,所以r 1r 2=12, 所以S △F 1MF 2=12r 1r 2sin 120°=3√3. 同理,若∠F 1MF 2=60°,则S △F 1MF 2=9√3.(3)由以上结果可见,随着∠F 1MF 2的增大,△F 1MF 2的面积将减小.证明如下:由双曲线的定义及余弦定理,得{(r 1-r 2)2=4a 2,①r 12+r 22-2r 1r 2cosθ=4c 2.②②-①,得r 1r 2=4c 2-4a 22(1-cosθ), 所以S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ=(c 2-a 2)sinθ1-cosθ =b 2cot θ2. 因为0<θ<π,所以0<θ2<π2, 在(0,π2)内,y=cot θ2是减函数. 因此当θ增大时,S △F 1MF 2=b 2cot θ2减小.8.解析 (1)设动点P 的坐标为(x,y).∵点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P 满足|PM|+|PN|=6>|MN|,∴点P 的轨迹是以M,N 为焦点的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),且a=3,c=2,∴b 2=9-4=5. ∴点P 的轨迹方程为x 29+y 25=1. (2)在△MPN 中,cos∠MPN=|PM |2+|PN |2-162|PM |·|PN | =(|PM |+|PN |)2-2|PM |·|PN |-162|PM |·|PN | =10-|PM |·|PN ||PM |·|PN |.∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,∴(1-10-|PM |·|PN ||PM |·|PN |)·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,由{|PM |·|PN |=6,|PM |+|PN |=6,得||PM|-|PN||=2√3<6,∴点P 在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线x 23-y 2=1上, 联立{x 29+y 25=1,x 23-y 2=1,解得点P 的坐标为(3√32,√52),或(3√32,-√52)或(-3√32,√52)或(-3√32,-√52). 9.解析 如图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴,以1 km 为一个单位长度,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2√3).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.设敌炮兵阵地的坐标为(x,y),BC的中点为D,易求得k BC=-√3,D(-4,√3),所以直线PD:y-√3=√3(x+4).①又|PB|-|PA|=4<|AB|,故P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且其方程为x 24-y25=1(x≥2).②联立①②,得x=8,y=5√3,所以P的坐标为(8,5√3).因此k PA=5√38-3=√3.故A若炮击P地,则炮击的方向角为北偏东30°.。
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2.2.1双曲线及其标准方程
1. 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1,F 2,∠F 1MF 2=120o ,则双曲线的离心率为( )
3
3D. 36C 26B. 3.A 2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为),0,7(F 直线y=x-1与其相交于M, N 两
点,MN 的中点的横坐标为32
-
,则此双曲线的方程是( ) 152D 125C 134B.143A =-=-=-=-2
2222222y x . y x . y x y x .
3.设双曲线0)0,( 122
22>>=-b a b y a x 的一条准线与两渐近线的两个交点和相应焦
点组成等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率是( )
3D. C.3 2B. 2 .A 4.._________341244922是为渐近线的双曲线方程有相同焦点且以与椭圆x y y x ±==+ 5.曲线的右焦点为圆心的圆与双的离心率为半径以双曲线,142
2=-m y x 一条渐近线相切，则m=_______.
6.已知双曲线=-22
22b y a x 1的右焦点是F ，右顶点是A ，虚轴的上端点是B ，
AF AB ⋅=6－34，∠BAF=150°.
（1）求双曲线的方程；
（2）设Q 是双曲线上的一点，且过点F.Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若,02=+ 求直线l 的斜率.
参考答案
1.B
2.D
3.A
4. 116922=-y x
5. 3
4 6. （1）由条件知A （a ，0），B （0，b ），F （c ，0），
346)()0,(),(-=-=-⋅-=⋅c a a a c b a
.2
3150cos )()(cos -=︒=-=--==∠c a a c c c a a BAF ∴c a 2
3=，代入.2,6,22 346)(222=-==∴=-=-a c b a c c a a 中得 故双曲线的方程为12
62
2=-y x （2）∵点F 的坐标为)0,22(， ∴可设直线l 的方程为),22(-=x k y 令x=0，得k y 22-=，即)22,0(k M -，设Q （m ，n ）， 则由02=+QF MQ 得
),0,0(),22(2)22,(=--++n m k n m 即),0,0()22,24(=--n k m 即⎪⎩⎪⎨⎧==k
n m 2224 ∵12)22(6)24( ,1262222=-∴=-k n m ， 得.639,12132±==k k 故直线l 的斜率为6
39±.。