弹性力学试卷及答案

一、概念题（32分）
1、 如图所示三角形截面水坝，其右侧受重度为γ的水压力作用，左侧为自
由面。

试列出下述问题的边界条件
解：1）右边界（x=0）
1
1 2）左边界（x=ytg β）
1 1 由： 2
2
2、何谓逆解法和半逆解法。

答：1. 所谓逆解法，就是先设定各种形式、满足相容方程的应力函
数，利用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。

4 2. 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状与受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后考察该应力函数是否满足相容方程，以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。

如果相容方程和各方面的条件都能满足，就可得到正确解答；如果某一方面不能满足，就需要另作假设，重新考察。

4
3、已知一点的应力状态，试求主应力的大小及其作用的方向。

200,0,400x y xy MPa MPa σστ===-
解：根据公式122x y σσσσ+= 2
和公式11tan x
xy σσατ-=，求出主应力和主应力方向： 2
2000512.31312.322MPa σσ+==- 2 512200
tan 0.7808,3757'11400
αα-==-=- 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 （3） 方程和 应力 （3）
边界条件，选择位移函数仅需满足 位移 （2） 边界条件。

二、图示悬臂梁，长度为l , 高度为h ，l >>h ，在梁上边界受均布荷载。

试检验应力函数
523322
ΦAy Bx y Cy Dx Ex y
能否成为此问题的解？，如果可以，试求出应力分量。

（20分）
00
0y x x xy x σγτ=-===()
()
cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπ
ββ====+=-()
()
()
()
x y l m x xy s s
l m xy y s s f f σττσ+=+=⎫⎪⎬⎪⎭(
)
()()
()
cos sin 0
cos sin 0
x xy s s xy y s s
σβτβτβσβ-=+=⎫⎪⎬⎪⎭
解：将应力函数代入到兼容方程
444204224x x y y
∂Φ∂Φ∂Φ
++=∂∂∂∂ 得到，当5B A =-时Φ可作为应力函数 5
根据 2
22
22x
y
y x
xy x y
σ
στ∂
Φ
=
∂∂
Φ
=
∂∂Φ
=-
∂∂ 3
求得应力表达式：
32206632222(62)Ay Bx y Cy
x
By D Ey
y Bxy Ex xy σστ=++=++=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 3
由应力边界条件确定常数
()()(),0,0
222q y y xy y h y h y h σστ=-===-==±
端部的边界条件
()()22
0,02200h h dy ydy x x h h x x σσ==⎰⎰--== 5
解得333,,,,51044q q q q q
A B C D E h h h h
==-=-=-= 2 三、应力分量（不计体力）为2
2
3
462253134322
31422h y
x q x y h h q y y y h h q x y xy h h σστ=--=--+=--⎛
⎫
⎪
⎪⎝⎭
⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2
三、已知轴对称平面应力问题，应力和位移分量的表达式为:（23分）
C A
22
+=
ρσρ, C A
22
+-
=ρσϕ, 0==ϕρρϕττ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=
ρμρμρC A
E u )1(2)1(1 0=ϕu
.有一个内、外半径分别为a 和b 的圆筒，筒外受均布压力q 作用，求其应力，位移及圆筒厚度的改变值。

解：1.本题为位移轴对称平面问题，位移与ϕ无关，因此应力表达式为： 222,2,0A A C C ρϕρϕϕρσσττρρ=+=-+==
1(1)2(1)0
A
u C E u ρϕμμρρ⎡⎤=-++-⎢⎥
⎣⎦= 2.有边界条件确定常数，求出应力分量
()
()
0,q a b
σσρ
ρρρ==-== 4
22
202A
C a A C q b ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩ 2 ()
222
,22222qa b qb A C b a b a
==--- 4
(
)(
)
(
)(
)
2
22
2
212
2
22222
2
2
2
212
2
22220
qb a qb
a b a
b a qb a qb
a b a
b a ρσρρρρσϕρρτρϕ-=-=--+=-+=--=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
3
圆环的径向位移（平面应变情况下）将E 换成2
1μ-E ，μμ-1 2
()()()()2
2
12222221qb a a E b a u ρ
μμρρμρ--++---⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦ 4
1. 圆环内、外半径变化，壁厚的改变值
∆
分别为
()()
()
2
22122qab
u a E b a μρρ-=-
=- 2
()
()
()
()
22
122
22()221qb u a b a b b Eb b a μμρρμ-=-++-=--⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ 2 ()
()
()()()()()2
1()1(121()
qb u u a b a b b a E b a qb a b E a b μ
μ
ρρρρμμμ-∆=-=
-+
+==+-+=+-+⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎣⎦ 2
4、弹性力学中的几个基本假设为:物体是 ; 物体是 ; 物体是 ; 物体的位移和变形是 。

(8分)
三 、已知图（a ）示集中力作用下半平面体内应力分量为：（15分）
()
()
()
2
22
22
22
2
2
22
3
2,
2,
2y
x y
x p
y
x xy p
y
x x p
xy y x +-
=+-
=+-
=πτπσπσ
试求图（b）示3个集中力作用下半平面体内应力分布
1、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？两者的异同之处。

5.试列出下图所示的全部边界条件。

解：在2
h
y±
=边界上()()
1
2
,0q
h
y
yx
h
y
y
-
=
=
=
=
τ
σ
()()0
,
2
2
=
=
-
=
-
=h
y
yx
h
y
y
qτ
σ
在x=0的次要边界上
列出3个积分的应力边界条件()
N
F
dy
h
h x
x
-
=
⎰-=
2
20
σ
()M
ydy
h
h x
x
-
=
⎰-=
2
20
σ
()
⎰-=-=
2
h
h S
x
xy
F
dy
τ。