弹性力学试卷及答案

一、概念题（32分）

1、 如图所示三角形截面水坝，其右侧受重度为γ的水压力作用，左侧为自

由面。试列出下述问题的边界条件

解：1）右边界（x=0）

1

1 2）左边界（x=ytg β）

1 1 由： 2

2

2、何谓逆解法和半逆解法。

答：1. 所谓逆解法，就是先设定各种形式、满足相容方程的应力函

数，利用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。 4 2. 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状与受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后考察该应力函数是否满足相容方程，以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，就可得到正确解答；如果某一方面不能满足，就需要另作假设，重新考察。 4

3、已知一点的应力状态，试求主应力的大小及其作用的方向。

200,0,400x y xy MPa MPa σστ===-

解：根据公式122x y σσσσ+= 2

和公式11tan x

xy σσατ-=，求出主应力和主应力方向： 2

2000512.31312.322MPa σσ+==- 2 512200

tan 0.7808,3757'11400

αα-==-=- 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 （3） 方程和 应力 （3）

边界条件，选择位移函数仅需满足 位移 （2） 边界条件。

二、图示悬臂梁，长度为l , 高度为h ，l >>h ，在梁上边界受均布荷载。

试检验应力函数

523322

ΦAy Bx y Cy Dx Ex y

能否成为此问题的解？，如果可以，试求出应力分量。（20分）

00

0y x x xy x σγτ=-===()

()

cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπ

ββ====+=-()

()

()

()

x y l m x xy s s

l m xy y s s f f σττσ+=+=⎫⎪⎬⎪⎭(

)

()()

()

cos sin 0

cos sin 0

x xy s s xy y s s

σβτβτβσβ-=+=⎫⎪⎬⎪⎭

解：将应力函数代入到兼容方程

444204224x x y y

∂Φ∂Φ∂Φ

++=∂∂∂∂ 得到，当5B A =-时Φ可作为应力函数 5

根据 2

22

22x

y

y x

xy x y

σ

στ∂

Φ

=

∂∂

Φ

=

∂∂Φ

=-

∂∂ 3

求得应力表达式：

32206632222(62)Ay Bx y Cy

x

By D Ey

y Bxy Ex xy σστ=++=++=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 3

由应力边界条件确定常数

()()(),0,0

222q y y xy y h y h y h σστ=-===-==±

端部的边界条件

()()22

0,02200h h dy ydy x x h h x x σσ==⎰⎰--== 5

解得333,,,,51044q q q q q

A B C D E h h h h

==-=-=-= 2 三、应力分量（不计体力）为2

2

3

462253134322

31422h y

x q x y h h q y y y h h q x y xy h h σστ=--=--+=--⎛

⎫

⎪

⎪⎝⎭

⎛

⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

2

三、已知轴对称平面应力问题，应力和位移分量的表达式为:（23分）

C A

22

+=

ρσρ, C A

22

+-

=ρσϕ, 0==ϕρρϕττ

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++-=

ρμρμρC A

E u )1(2)1(1 0=ϕu

.有一个内、外半径分别为a 和b 的圆筒，筒外受均布压力q 作用，求其应力，位移及圆筒厚度的改变值。 解：1.本题为位移轴对称平面问题，位移与ϕ无关，因此应力表达式为： 222,2,0A A C C ρϕρϕϕρσσττρρ=+=-+==

1(1)2(1)0

A

u C E u ρϕμμρρ⎡⎤=-++-⎢⎥

⎣⎦= 2.有边界条件确定常数，求出应力分量

()

()

0,q a b

σσρ

ρρρ==-== 4

22

202A

C a A C q b ⎧+=⎪⎪⎨

⎪+=-⎪⎩ 2 ()

222

,22222qa b qb A C b a b a

==--- 4

(

)(

)

(

)(

)

2

22

2

212

2

22222

2

2

2

212

2

22220

qb a qb

a b a

b a qb a qb

a b a

b a ρσρρρρσϕρρτρϕ-=-=--+=-+=--=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

3

圆环的径向位移（平面应变情况下）将E 换成2

1μ-E ，μμ-1 2

()()()()2

2

12222221qb a a E b a u ρ

μμρρμρ--++---⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦ 4

1. 圆环内、外半径变化，壁厚的改变值

∆

分别为

()()

()

2

22122qab

u a E b a μρρ-=-

=- 2

()

()

()

()

22

122

22()221qb u a b a b b Eb b a μμρρμ-=-++-=--⎡⎤⎢⎥⎣

⎦ 2 ()

()

()()()()()2

1()1(121()

qb u u a b a b b a E b a qb a b E a b μ

μ

ρρρρμμμ-∆=-=

-+

+==+-+=+-+⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

⎡⎤⎣⎦ 2

4、弹性力学中的几个基本假设为:物体是 ; 物体是 ; 物体是 ; 物体的位移和变形是 。(8分)

三 、已知图（a ）示集中力作用下半平面体内应力分量为：（15分）

()

()

()

2

22

22

22

2

2

22

3

2,

2,

2y

x y

x p

y

x xy p

y

x x p

xy y x +-

=+-

=+-

=πτπσπσ