高考数学一轮复习53平面向量的数量积与平面向量的应用课件理新人教B版

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高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:53平面向量的数量积及其应用30页PPT

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A.322
B.3
15 2
C.-322
D.-3
15 2
因为������������ =(2,1),������������ =(5,5),所以向量������������ 在������������ 方向上的投影为
|������������|cos<������������, ������������>=|������������|·������������·������������
θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. 想一想 b 在 a 上的投影是向量吗?
答案:不是,b 在 a 上的投影是一个数量|b|cos<a,b>,它可以为正, 可以为负,也可以为 0.
第五章
5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
第五章
5.3 平面向量的数量积及其应用
考纲要求 梳理自测 探究突破 巩固提升
3.平面向量数量积的性质
已知非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)
性质
几何表示
定义
a·b=|a||b|cos<a,b>
a·a=|a|2 或|a|= ������·������
模 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则������������=(x2-x1,y2-y1)
4.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为π3,则|a+b|=
.
∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=12+2×1×2×cosπ+22=7.
3
∴7|a+b|= (������ + ������)2 = 7.

人教版高三数学一轮复习精品课件6:§5.3 平面向量的数量积

人教版高三数学一轮复习精品课件6:§5.3   平面向量的数量积
ห้องสมุดไป่ตู้
答案:B
4.已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λb 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围为________.
解析:∵a 与 a+λb 均为非零向量,且夹角为锐角, ∴a·(a+λb)>0,即(1,2)·(1+λ,2+λ)>0. ∴(1+λ)+2(2+λ)>0.∴λ>-53. 当 a 与 a+λb 共线时,存在实数 m,使 a+λb=ma,
行,那么 a 与 b 的数量积等于( )
A.-72
B.-12
3 C.2
解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),
D.52
由题意得 3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则 m=-12,
所以 a·b=-1×-12+2×1=52.
答案:D
4.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|a+2b|=2 3,则|b|=( )
解析:法一:(等价转化思想)因为D→F=91λD→C,D→C=12A→B,C→F=D→F- D→C=91λD→C-D→C=1-9λ9λD→C=11-8λ9λA→B,A→E=A→B+B→E=A→B+λB→C,
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示

|a|= a·a
|a|= x12+y21
夹角
a·b
cos θ= |a||b|
a⊥b 的充要条件 a·b=0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤ |a||b|
cos θ=
=F→O2+F→O·(O→E+O→D)+O→D·O→E=132+0-1=-89,故选 C. 答案:C

《向量的数量积》平面向量及其应用PPT课件

《向量的数量积》平面向量及其应用PPT课件
(2)向量 a 与向量 b 的夹角的夹角120度,求 a b
(3)当 ab ,求 a b
(2)向量 a 与向量 b 的夹角的夹角60度,求向量 a
在向量 b 方向上的投影
新知探究
例1:若 | a | 2,| b | 4,
(1)当 a//b ,求 a b 解:(1)当a//b,若 a, b 同向,则a与b的夹角为0度
|3a-4b|2=(3a-4b)2 =9a2-24a·b+16b2 =9×16-24×(-4)+16×4=304, ∴|3a-4b|=4 19.
(a+b)·(a-2b) =a2-a·b-2b2 =16-(-4)-2×4=12, ∴|(a+b)·(a-2b)|=12.
课后小结
1.向量的夹角定义 2.向量垂直、平行成立的充要条件 3.向量数量积的定义及向量的几何意义 4.向量数量积的性质都有什么? 5.向量数量积的运算律有哪些?
A
3 C
2 O
B 7
随堂练习2
3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)|a+b|;
(2)|3a-4b|;
(3)|(a+b)·(a-2b)|.
a·b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°=-4, a2=|a|2=16,b2=|b|2=4.
|a+b|2=(a+b)2 =a2+2a·b+b2 =16+2×(-4)+4=12, ∴|a+b|=2 3.
A
B
C
新知探究
例2:已知向量 a,b 满足 | a || b | 1 ,| 3a 2b | 7 ,求 a与b 的夹角 解:设 a, b 的夹角为θ,由题意得:(3a 2b)2 ( 7)2 7
9 | a |2 12a b+4 | b |2 7 又| a |2

高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用

高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用

1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已 知两 个 非 零 向 量 a , b , O 是平 面上的 任意一 点 , 作


=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20

D.-20







解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,


>=-5×8× =-20.故选 B.

3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(

A.-


C.

B.


解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=




||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量




最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=

高考数学一轮复习第5章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件新人教版B版

高考数学一轮复习第5章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件新人教版B版

〈a,b〉=-1,即 2|b|cos〈a,b〉=-1,∴向量 b 在向量 a 方向上的投
影为|b|cos〈a,b〉=- 22,故选 A.
解析 答案
(2)(2019·天津高考)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,
∠A=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE=BE,则B→D·A→E=___-__1___.
(3)若图形适合建立平面直角坐标系,则建立坐标系,求出 a,b 的坐标, 通过坐标运算求解.
[即时训练] 1.(2019·湖北荆门模拟)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,
-1),D(3,4),则向量A→B在C→D方向上的投影为( )
A.3 2 2
B.3
15 2
C.-3 2 2
D.-3
24+5=23.
解析
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:cosθ=|aa|·|bb|,要注意 θ∈[0,π]. (2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0 ⇔|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a2=a·a=|a|2 或|a|= a·a; ②|a±b|= a±b2= a2±2a·b+b2; ③若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.
[即时训练] 3.(2019·济宁模拟)平面四边形 ABCD 中,A→B+C→D=0,(A→B
-A→D)·A→C=0,则四边形 ABCD 是( )
A.矩形
B.正方形
C.菱形
D.梯形
解析 因为A→B+C→D=0,所以A→B=-C→D=D→C,所以四边形 ABCD 是
平行四边形.又(A→B-A→D)·A→C=D→B·A→C=0,所以四边形对角线互相垂直,

2021版新高考数学一轮复习第五章5.3平面向量的数量积及平面向量的应用课件新人教B版

2021版新高考数学一轮复习第五章5.3平面向量的数量积及平面向量的应用课件新人教B版

所以 PA +3 PB =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|PA +3 PB |= 25+(3b-4y)2 (0≤y≤b),
当y=
3 4
b时,| PA +3 PB |取得最小值5.
答案:5
【解后反思】
1.求向量的模有哪些方法?
提示:(1)公式法,利用|a|= 化为数量积运算.
学 霸 好 方 法
1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|= a a 的应用,即将向量的长度(或 模)转化为向量数量积. 2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦, 然后利用余弦函数的单调性求角. 3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充 要条件,得出一个等式,然后求解.
3
所以 OP=1[2(1-)OD+(1+2)OC]
3
=2(1-)OD+1+2 OC,
3
3
又 2(1-)+1+2 =1,
3
3
所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
考点三 平面向量数量积的综合应用
命 题 精 解 读
考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题; (2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想. 怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角 余弦值,参数等等.
【命题角度2】平面向量的夹角
【典例】1.(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a- 5 b, 则cos<a,c>=________. 【解析】因为c2=(2a- 5 b)2=4a2+5b2-4 5 a·b=9, 所以|c|=3, 因为a·c=a·(2a- 5 b)=2a2- 5 a·b=2, 所以cos<a,c>= a c 2 2 .

新高考一轮复习人教A版5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用课件(49张)

新高考一轮复习人教A版5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用课件(49张)

7a+ |a||c|
2b)|=
7|a|2+ |a|·|c|
2a·b=
37,又〈a,c〉∈[0,
π],所以 sin〈a,c〉=
1-
372=
2 3.
另解:不妨取 a=(1,0),b=(0,1),利用坐标运算求得. 故选 B.
命题角度 3 判断两个向量的垂直关系
(1)(2020 全国Ⅱ卷)已知单位向量 a,b 的夹角为 60°,则在下列向量中,与
(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.
(2)由 a·b=0 可得 a=0 或 b=0.
()
(3)a·b=b·c 且 b≠0,则 a=c.
()
(4)(a·b)c=a(b·c).
()
(5)若 a·b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a·b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.
C. 0
D. 2
解:由题意,a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|·cos120°=1+1×1×(-12)=12. 故选 A.
(2)(2020 云南省云天化中学高三期末)已知 a=(4,2),b=(3,9),则 a 在 a-b 方向上的
投影向量的模为
()
A. 2
B. 5
2 C. 2
10 D. 3
解:a-λb=(1,3)-λ(3,4)=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b 可得,3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,
解得 λ=35. 故填35.
若 O 为空间中一定点,动点 P 在 A,B,C 三点确定的平面内且满足(O→P-O→A)·(A→B-A→C) =0,则点 P 的轨迹一定过△ABC 的__________心.
【点拨】 求向量模的常用方法是利用公式|a|2=a2,即|a|= a2,将模的运算转化 为向量的数量积.

2025版高考数学一轮总复习第五章平面向量的数量积及平面向量的应用pptx课件

2025版高考数学一轮总复习第五章平面向量的数量积及平面向量的应用pptx课件
17
C.
5
5
2 5
D.
5
解:由题意,得 + = 5,3 , − = 1, −1 .则 + = 25 + 9 = 34,
− = 1 + 1 = 2, + ⋅ − = 2.故cos⟨ + ,
− ⟩ =
+ ⋅ −
+ −
=
2
34× 2
=
17
A. ⊥

B. =
解:因为 + = − ,所以 +
故选A.
C.//
2
)
D. >
= − 2 .整理得4 ⋅ = 0,所以 ⊥ .
【点拨】 两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即对于两个非零
向量 = 1 , 1 , = 2 , 2 , ⊥ ⇔ ⋅ = 0 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0.
投影向量为(
A. 2,2
)
B. −2,2

C. 1,1
解:由 = −1,1 ,得 = 2.
− ⋅ = ⋅ − 2 = 2,则 ⋅ = 4.
则向量在向量上的投影向量为


×


= −2,2 .故选B.
D. −1,1
(2)(2023年全国乙卷)正方形的边长是2,是的中点,则 ⋅ =
2
= 2 ,即 = 2 ,将模的运算转
变式2 (2023年新课标Ⅱ卷)已知向量,满足 − = 3, + = 2 − ,
3
则 =____.
解:因为 + = 2 − ,所以 +

5.3平面向量的数量积与平面向量的应用课件文新人教B版

5.3平面向量的数量积与平面向量的应用课件文新人教B版
③|a|=
2 2 ������1 + ������2
; ������1 ������1 + ������2 ������2
2 2
④cos<a,b>=
2 ������2 1 + ������2 · ������1 + ������2
.
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
2.向量在轴上的正射影
1× 3+ 3× 1 3 2 2 2 2 = = ,所以∠ABC=30°,
1×1 2
故选 A.
A
解析
关闭
答案
-12知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
4.(2017全国Ⅰ,文13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂 直,则m= .
关闭
因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3).
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
6.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量 的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理 学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积, 即W= |F||s|cos θ (θ为F与s的夹角).
-9知识梳理 双基自测 自测点评
因为a+b与a垂直,所以(a+b)· a=0,
即 7 -(m-1)+2×3=0,解得m=7.
已知向量 a 和轴 l(如图),作������������=a,过点 O,A 分别作轴 l 的垂线, 垂足分别为 O1,A1,则向量������1 ������1 叫做向量 a 在轴 l 上的正射影(简 称 射影 ),该射影在轴 l 上的坐标,称作 a 在轴 l 上的 数量 或 在轴 l 的方向上的 数量 . ������������=a 在轴 l 上正射影的坐标记作 al,向量 a 的方向与轴 l 的正 向所成的角为 θ,则由三角函数中的余弦定义有 al=|a|cos θ.

高三数学(理)一轮总复习课件第五章第三节 平面向量的数量积与平面向量应用ppt版本

高三数学(理)一轮总复习课件第五章第三节 平面向量的数量积与平面向量应用ppt版本

即(| AB|·| AC |)2=( AB·AC )2+(| AB|·| AC |·
sin〈 AB, AC 〉)2,
∴| AB|·| AC |·sin〈 AB, AC 〉=2- 3,
∴S△ABC=12| AB|·| AC |·sin〈 AB, AC 〉=1-
3 2.
答案:1-
3 2
角度三:平面向量的垂直 5.(2014·重庆高考改编)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=
所以 a·b=-1×-12+2×1=52.
答案:52
2.设向量a,b均为单位向量,且|a+b|=1,则a与b的夹角为 ________.
解析:∵|a+b|=1,∴a2+2a·b+b2=1. 又|a|=|b|=1,∴cos〈a,b〉=-12. 又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=23π. 答案:23π
AF = AB+ BC +CF =-BA+BC +152BA=-172BA+BC ,
∴ AE ·AF =23
BC - BA
·-172
BA + BC


=172| BA|2-2158 BA·BC +23|BC |2
=172×4-2158×2×1×12+23 =2198.
答案:梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC, AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE =23BC , DF =16 DC ,则 AE ·AF 的值 为________.
解析:取 BA, BC 为一组基底,
则 AE = BE - BA=23BC -BA,
[方法归纳] 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角:cos θ=|aa|··b|b|,要注意θ∈[0,π]. (2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥ b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a2=a·a=|a|2或|a|= a·a. ②|a±b|= a±b2= a2±2a·b+b2. ③若a=(x,y),则|a|= x2+y2.

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt

C.-38
D.-14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y), 则A(0,0),B(1,0),C(1,2), 所以P→B=(1-x,-y), P→A+P→C=(-x,-y)+(1-x,2-y)=(1-2x,2-2y), 故(P→A+P→C)·P→B=(1-2x)(1-x)+(2-2y)(-y)=2x-342+2y-122-58, 所以当 x=34,y=12时,平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图,在△ABC 中,cos∠BAC=14,点 D 在线段 BC 上,且 BD =3DC,AD= 215,则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为 BD=3DC,A→D=14A→B+34A→C, 又 AD= 215,cos∠BAC=14, 所以A→D2=14A→B+34A→C2=116c2+196b2+38bccos∠BAC =116c2+196b2+332bc,
试用
a,b
表示D→E为__32_b_-__12_a_,若A→B⊥D→E,则∠ACB
π 的最大值为___6___.
D→E=C→E-C→D=32b-12a, A→B=C→B-C→A=b-a, 由A→B⊥D→E得(3b-a)·(b-a)=0,
即3b2+a2=4a·b, 所以 cos∠ACB=|aa|·|bb|=34b|2a+||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|= 23,
又145=116c2+196b2+332bc=41c2+43b2+332bc≥2×14c×43b+332bc=1352bc, 当且仅当c=3b时,等号成立. 所以 bc≤8,又 sin∠BAC= 415, 所以 S△ABC=12bcsin∠BAC≤12×8× 415= 15.
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