第2章：确定信号的频谱分析

2.2 周期信号的频域分析
二、周期信号 简单形式 x(t) Asin(t ) Asin(2ft )
A — 正弦信号的幅值 ω— 正弦信号的圆频率 rad/s f — 频率 Hz θ— 正弦信号的相位 rad
周期为T的周期函数可以用一系列以T为周期的正弦函数 所组成的级数来表示：
f (t ) A0 An sin(nt n) n1
x(t)
A
(0 t T / 2)
图示：
x(t )
4A
n
s in n 0 t
n1
4A
n
n1
cos(n0t
2
)
2.2 周期信号的频域分析
求Fourier级数的一般步骤：
1） 写出波形在一个周期内的表达式； 2） 求常值分量a0； 3） 判断函数的奇偶性，求an,bn ； 4） 求x(t)，作频谱图。
周期性信号的Fourier级数表示形式：
三角函数展开式：
x(t ) a0 (an cos n0t bn sinn0t ) n1 a0 An sin(n0t n ) n1 n 1,2,3
复指数函数展开式：
x(t ) cne jn0t n 0,1,2,3 n
2.2 周期信号的频域分析
各态历经随机信号 非各态历经随机信号
2.1 信号的分类
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x (t) = x (t+nT)
简单周期信号
复杂周期信号
例：单自由度振动系统作无阻尼自有振动位移：
x(t) x0 sin( k t )
m
m
x0,φ0 — 初始条件常数 m — 质量 K — 弹簧刚度
幅值谱，相位谱，能量谱，功率谱等
第二章、信号分析基础
2.1 信号的分类
信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的， 在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。 信号波形：被测信号的信号幅度随时间的变化历 程称为信号的波形。
波形
2.1 信号的分类
A
0
t
信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标， 用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变 化情况。
2
xx((tt))
ac00
n 1
(cann•coesjnn0t 0t
nb1ncsni•n
enjn0
0t
t)
n1
x(t) ncn •1e,2jn,3 0t n 0,1,2
n
x(t ) cne jn0t n 0,1,2,3 n
cn
1 T
T
2 T
x(t )e jn0t dt
2
满足狄里克雷条件的周期信号，可在一个周期T内
用正弦函数和余弦函数表示成傅里叶级数形式：
x(t ) a0 (an cos n0t bn sinn0t ) n1
n 1,2,3
1
a0 T
T
2 T
x(t )dt
2
2
an T
T
2 T
x(t)cos n0tdt
2
常值分量 余弦分量幅值
bn 2 T
2.2 周期信号的频域分析
频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn
(ω 0)为横坐标，bn 、an为纵坐标画图，称为实频－虚
频谱图；以fn为横坐标， An、 n为纵坐标画图，则称
为幅值－相位谱；以fn为横坐标，An2 为纵坐标画图， 则称为功率谱。
图例
2.2 周期信号的频域分析 例：求周期性三角波信号的Fourier级数
三角脉冲信号
b) 频域有限信号 在频率区间(f1，f2 )内有定义，其外恒等于零．
正弦波幅值谱
2.1 信号的分类
4 模拟信号与数字信号
a) 连续时间信号:在所有时间点上有定义
b)离散时间信号:在若干时间点上有定义
模拟信号:时间和幅值均为连续的信号
数字信号:幅值可以是连续的，也可以是离 散的。
采样信号:时间为离散的而幅值取连续值
T
2 T
x(t ) sin n 0tdt
2
正弦分量幅值
2.2 周期信号的频域分析
傅里叶级数也可表示为以下三角表示式：
x(t ) a0 An cos(n 0t n)
n1
a0 An sin(n 0t n)
n1
An
an2 bn2
n arctan bn
an
n n
2
可见： 周期信号是一个或几个，乃至无穷多个不同 频率的谐波迭加而成。
机械工程测试技术与信号分析的基本内容 :
在噪声背景下提取有用信息。
信号分析的经典方法：
1、时域分析
瞬时值，最大值，最小值， 均值，均方值，均方根值等。
1）图形或表达式分析；
2）时域分解；
稳定分量，波动分量
3）相关分析； 4）概率密度分布
信号本身的相似程度 信号之间的相似程度
信号幅值分布
2、频谱分析
物理意义：用不同频率的简谐振动的叠加表示一 个较复杂的周期运动。
2.2 周期信号的频域分析
方波信号的合成与分解
x(t) Asin(t) Asin(3t) / 3 Asin(5t) / 5 .... n1
2.2 周期信号的频域分析
手机和弦铃声的合成:
2.2 周期信号的频域分析
三、傅里叶级数
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
2.1 信号的分类
b)功率信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限
值．此时，研究信号的平均功率更为合适。
T
lim
1 2T
T x2 (t)dt
T
一般持续时间无限的信号都属于功率信号:
2.1 信号的分类
3 时限与频限信号
a) 时域有限信号 在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零．
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
0
f
2.2 周期信号的频域分析
一、信号的时域描述和频域描述
时域描述— 测量中以时间为独立变量，一般能反 映信号的幅值随时间变化的状态，不能明确揭示 信号的频率组成成分 。
t — 横坐标；An —纵坐标；
频域描述—测量中以频率为独立变量，可表述信 号的频率结构、各频率成分的幅值和相位关系。
幅频谱 ω— 横坐标；An —纵坐标 相位谱 ω— 横坐标；φn —纵坐标
2.2 周期信号的频域分析
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
时域描述
频域描述
2.2 周期信号的频域分析
时域分析与频域分析的关系
幅值
信号频谱X(f)代表了信号 在不同频率分量成分的大 小，能够提供比时域信号 波形更直观，丰富的信息。
2.1 信号的分类 例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2， 若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t) 仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
x(t) sin t 1 sin 3t 1 sin 5t
2
4
2.1 信号的分类 b) 非周期信号：不会重复出现的信号。
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成 公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(√2t)
瞬态信号:持续时间有限的信号， 如 x(t)= e-Bt . Asin(2πft)
机械工程测试技术与信号分析
第二章、确定信号的频谱分析
本章学习要求：
1.了解信号分类方法 2.掌握信号频域分析方法
信号——传递某个实际系统状态或行为信息的一 种物理现象或过程。其基本表现形式是变化着的 电压或电流。
信息——人类社会、自然界一切事物运动与状态 的特征，是提供判断或决策的一种资料。
关系： 信号是信息的实际载体； 信息则是信号经过处理之后的有用部分。 即： 脱离信息的信号是毫无实际意义的。
（1）sin2t是周期信号，其周期为：T1= 2π/ 2= π cos3t是周期信号，其周期为：T2= 2π/ 3
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其 周期为T1和T2的最小公倍数2π。
（2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= π， T2= 2 ，由 于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
2
bn T0
T0
2 T0
X (t)sinn0tdt
0
2
2.2 周期信号的频域分析 三角波信号的傅里叶级数展开式表示为：
A An
2
0
n arctan
()
bn an
0
3 0
5 0
0
3 0
周期性三角波信号的频谱图
5 0
2.2 周期信号的频域分析
例子：方波信号的频谱展开
A (T / 2 t 0)
2.2 周期信号的频域分析
三角波信号在一个周期中可表示为：
4
a0 T0
T0 ( A 2 A t )dt A
0
T0
an
2 T0
T0
2 T0
X (t)cos n 0tdt
2
4
T0 2
(
A
2
A
t ) cos
n
0tdt
T0 0
T0
4A n n2 2 sin 2
4A
n2
2
0
n 1,3,5 n 2,4,6
例：正弦、余弦函数的频谱图表示
x1(t)
t
x2(t)
t
An 三角函数表示形式的频谱
1 f
An 1 f
f0
f0
f0
f0
1
Cn
2
f0
f
Cn 1 2 f
f0
1
f0
f0
2 复指数函数表示形式的频谱
2.2 周期信号的频域分析
傅里叶级数两种表示形式的频谱图的比较
2.2 周期信号的频域分析 例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.2 周期信号的频域分析
四、周期信号的复指数函数表示
欧拉公式
e jt cost j sint j 1 cost 1 (e jt e jt )
2
sint j 1 (e jt e jt )
2.1 信号的分类
为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究 是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 从信号描述上分
--确定性信号与非确定性信号；
2 从信号的幅值和能量上分 --能量信号与功率信号；
3 从分析域上分 --时域与频域；
2.1 信号的分类 4 从连续性
--连续时间信号与离散时间信号；
2.1 信号的分类
5 物理可实现信号与物理不可实现信号
a) 物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件： t＜0时，x(t) = 0， 即在时刻小于零的一侧全为零。
2.1 信号的分类
b) 物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预制 知信号。
第2章、信号分析基础
2.2 周期信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t) 变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度 来了解信号的特征。
时域分析
频域分析
2.2 周期信号的频域分析
频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是
信号分析中最常用的一种手段。
源自文库
案例：在齿轮箱故障诊断
通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障 齿轮。
案例：螺旋浆设计
可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。
A x(t)
k
1、最简单最常用的周期信号是正弦信号。 2、复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正 弦信号迭加而成.
x(t )
sin 0t
1 2
sin
30t
1 4
sin
50t
x(t) sin 80 t 3sin100 t 5sin120 t .....
其频率的比为有理数，所以，是周期函数，周期的确定根据 各周期值的最小公倍数来确定。
5 从可实现性 --物理可实现信号与物理不可实现信号。
2.1 信号的分类
1 确定性信号与非确定性信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性
信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性
信号。
简单周期信号 周期信号
信号
确定性信号
复杂周期信号
瞬变信号 非周期信号
准周期信号
非平稳随机信号 非确定性信号
平稳性随机信号 （随机信号）
cn的 模 ：| cn |
an2 bn2 An
2
2
cn的
相
角
：n
arct
an
bn an
一般情况，cn 是个复数。即
cn cnR jcnI | cn | e jn
2.2 周期信号的频域分析
负频率的说明:
x(t) cn • e jn 0t n 0,1,2 n
n可取正、负值。当n为负值时，谐波频率nw0为“负频 率”，即相应的角速度按反方向旋转。而一个向量的实部 可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和， 虚部则为其在虚轴上投影之差。
2.1 信号的分类 c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位 变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
2.1 信号的分类
2 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限
值的信号称为能量信号，满足条件：
x 2 (t )dt