第11章-无穷级数 高等数学教学课件

如果 | q | 1, 则由 lim qn 0 , 可得 n
级数(11.1.2)收敛, 其和为 a ; 1 q
lim
n
s
n
a 1 q
, 因此
如果 | q | 1 , 则由 lim qn n
,得
lim
n
sn
, 这时级数发散.
当 | q | 1时, 如果q=-1, 部分和 sn a a a L (1)n1a
注意 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后 原来的级数也收敛. 例如, 级数
(11) (11) (11)
收敛于零, 但级数
1111 11
却是发散的.
性质5 (级数收敛的必要条件) 如果级数 un 收敛, 则它
n 1
的一般项un当n时趋于零,
即
lim
n
un
0
.
注意 级数的一般项当n时趋于零是级数收敛的必要条
s1,s2,…,sn,…称为级数的部分和数列.
部分和数列{ sn }可能收敛, 也可能发散, 我们可据此
定义级数收敛或发散.
定义 如果级数 un 的部分和数列{ sn }有极限s,
n 1
即
lim
n
sn
s
, 则称级数
un 收敛, 这时极限s叫做这个
n 1
级数的和, 并写成
s u1 u2 u3 L un L
u1 u2 u3 un
叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 un ,
n 1
即
un u1 u2 u3 L un L
n1
其中第n项un叫做级数的一般项或通项.
级数(11.1.1)的前n项之和 n sn u1 u2 L un uk k 1
称为级数(11.1.1)的部分和, n依次取1,2,…时得数列
随n为奇数或偶数而等于a 或0, 从而
lim
n
sn
不存在,
级数
(11.1.2)发散; 如果q=1, 部分和sn a a L a na , 从
而
lim
n
sn
, 因此级数发散.
综上所述, 几何级数 aq n , 当 | q | 1 时收敛, 其和为 a
; 当| q | 1 时发散. n0
如果{ sn }没有极限, 则称级数 un 发散. n 1
对于收敛级数, 其部分和sn可作为级数的和s的近似值, 它们之间的差
rn s sn un1 un2 L uk k n1
叫做级数的余项. | rn | 表示sn代替和s时所产生的误差. 显
然, 对于收敛级数有
lim
n
rn
0
.
从上述定义可知, 级数与数列极限有着密切的联系.
n
所以
lim
n
sn
,
故调和级数发散.
二、常数项级数的基本性质
性质1 如果常数k 0, 则级数 un 与 kun 有相同的敛
n 1
n1
散性. 且若级数 un 收敛于s, 则 kun 收敛于ks, 即
n 1
n1
有
kun k un
.
n1
n1
性质2 如果级数 un 及 vn 分别收敛于s及s, 则
1
(1)n
1 n
收敛于1, 从而不收
敛于零, 所以该级数发散.
定理 (柯西审敛准则) 级数 un 收敛的充分必要条件为: n 1
给定级数 un , 就有相应的部分和数列{sn}; 反之, 给定数 n 1
列{sn}, 就有以{sn}为部分和数列的级数
s1 (s2 s1) (s3 s2 ) L (sn sn1) L un n1
其中 u1 s1, un sn sn1 (n 2)
按定义, 级数 un 与数列{sn}同时收敛或同时发散, n 1
n1 n
23
n
证调和级数发散.
称为调和级数. 试
证 利用第三章的微分中值定理可证得: 当x>0时, 有
x>ln(1+x). 于是调和级数的部分和
11
1
sn
1
2
3
n
ln(11) ln(1 1) ln(1 1) ln(1 1)
2
3
n
ln(2 3 4 n 1) ln(n 1)
23
n 1
n 1
(un vn ) 也收敛, 且其和为s s ,
n 1
即有 (un vn ) un vn .
n1
n1
n1
推论 如果 un 收敛, 而 vn 发散, 则 (un vn ) 发散.
n 1
n 1
n 1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级 数的敛散性.
性质4 收敛级数加括号后所成的新级数仍然收敛, 且其 和不变. 推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原级数也发散.
件而不是充分条件. 有些级数, 如前面的例3, 虽然一般项
趋于零,
但仍然是发散的.
其逆否命题，即“若
lim
n
un
0,
则级数 un 必定发散”， 可用它判断发散级数.
n 1
例4 判断级数的敛散性,并对收敛级数求和.
(1)
(1 1) ( 1 2 3 22
1 ) 32
( 1 2n
1 ) 3n
(2) 1 (1)n 1 .
且在收敛时, 有
n
un
n 1
lim
n
sn
,
即
un
n1
lim
n
k 1
uk
.
例1 讨论如下公比为q的等比级数(也称几何级数)的敛散
性
aqn a aq aq2 L aqn L
n0
(a 0)
解 当 | q | 1时, 部分和
sn
a aq aq2 L
aqn1
a(1 qn ) 1 q
§11.1 常数项级数的概念和性质 §11.2 常数项级数的审敛法 §11.3 幂级数 §11.4 函数的幂级数展开及其应用 §11.5 傅立叶级数
§11.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
一般地, 给定一个数列 u1, u2 , u3 , , un , , 则由这 数列构成的表达式
1 q
例2 判别级数
1
的收敛Βιβλιοθήκη Baidu.
n1 n(n 1)
解 由于
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
, 所以部分和
sn
1 1 2
1 23
1 n(n 1)
(1 1) (1 1) (1 1 )
2 23
n n1
1
1 n 1
1
n
故所求级数收敛, 其和为1.
例3 级数 1 1 1 1 1
n1
n
解: (1) 由于
1
n1 2n
=1;
1 3n
n1
1 2
, 根据性质2, 这两个收敛
级数之和仍然是收敛级数, 所以题(1)的级数收敛且
(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 )
2 3 22 32
2n 3n
1 2n
n1
1 3n
n1
1
1 2
3 2
(2)
由于级数的一般项un
=