坐标系的变化与图形变换
冀教版数学八年级下册《图形变化与图形上点的坐标之间的关系》教学设计
冀教版数学八年级下册《图形变化与图形上点的坐标之间的关系》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级下册《图形变化与图形上点的坐标之间的关系》这一章节主要介绍了图形在坐标系中的变换,包括平移、旋转和轴对称等,以及这些变换与图形上点的坐标之间的关系。
通过本章的学习,学生能够理解图形变换的实质,掌握图形变换的方法,并能运用坐标表示和计算图形变换后点的坐标。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了坐标系和坐标的概念,对坐标系有一定的认识,但对于图形变换和坐标之间的关系可能还没有完全理解。
因此,在教学过程中,需要引导学生通过实际操作和思考,逐步理解图形变换与坐标之间的关系。
三. 教学目标1.理解图形变换的实质,掌握图形变换的方法。
2.能够运用坐标表示和计算图形变换后点的坐标。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.图形变换的实质和方法的掌握。
2.图形变换与坐标之间的关系的理解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生通过实际操作和思考,探索图形变换与坐标之间的关系。
2.运用多媒体辅助教学,直观展示图形变换的过程,帮助学生理解和掌握。
3.采用小组合作学习,鼓励学生互相讨论和交流,提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.坐标纸、直尺、圆规等学习工具。
3.教学课件和练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个简单的图形变换实例,引导学生思考图形变换的过程和坐标的变化。
例如,将一个点(2,3)进行平移,让学生观察坐标的变化。
2.呈现(15分钟)利用多媒体展示各种图形变换的实例,包括平移、旋转和轴对称等,并引导学生思考这些变换与坐标之间的关系。
3.操练(15分钟)让学生分组进行实际操作,利用坐标纸和学具进行图形变换,并记录变换后点的坐标。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)让学生独立完成一些图形变换的练习题,巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行点评和讲解。
平面直角坐标系下的图形变换
平面直角坐标系下的图形变换王建华图形变换是近几年来中考热点,除了选择题、解答题外,创新探索题往往以“图形变换”为载体,将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力,一般难度较大。
在平面直角坐标系中,探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的关系,是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势,这类试题设计灵活平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变左右平移横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数旋转:改变图形的位置,不改变图形的大小和形状旋转角旋转半径弧长公式L=nπR/180一、平移例1,如图1,已知△ABC的位置,画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC,并写出三角形各顶点的坐标,平移后与平移前对应点的坐标有什么变化?解析:△ABC的三个顶点的坐标是:A(-2,5)、B(-4,3)、C(-1,2).向右平移5个单位长度后,得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是:A′(3,5,、B′(1,3)、C′(4,2).比较对应顶点的坐标可以得到:沿x轴向右平移之后,三个顶点的纵坐标都没有变化,而横坐标都增加了5个单位长度.友情提示:如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位,三角形各顶点的横坐标都不变,而纵坐标都减少5个单位.(请你画画看).例2. 如图,要把线段AB平移,使得点A到达点A'(4,2),点B到达点B',那么点B'的坐标是_______。
析解:由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位,再向上平移1个单位,∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B反思:①根据平移的坐标变化规律:★左右平移时:向左平移h个单位),(),(bhaba-→向右平移h个单位),(),(bhaba+→★上下平移时:向上平移h个单位),(),(hbaba+→向下平移h个单位),(),(hbaba-→二、旋转例3.如图2,已知△ABC,画出△ABC关于坐标原点0旋转180°后所得△A′B′C′,并写出三角形各顶点的坐标,旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化?解析:△ABC三个顶点的坐标分别是:A(-2,4),B(-4,2),C(-1,1).△A′B′C′三个顶点的坐标分别是:图2图1B/图2图1A′(2,-4),B′(4,-2),C′(1,-1).比较对应点的坐标可以发现:将△ABC沿坐标原点旋转180°后,各顶点的坐标分别是原三角形各顶点坐标的相反数.例3如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0).点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称:点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O 对称,….对称中心分别是A、B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2、P7、P100的坐标.分析:本题是一道和对称有关的探索题,是在中心对称和点的坐标知识基础上的拓宽题,由于是规律循环的对称,所以解决问题的关键是找出循环规律.如图,标出P1到P7各点,可以发现点P7和点P1重合,继续下去可以发现点P8和点P2循环,所以6个点循环一次,这样可以求出各点的坐标.解:如图P2(1,-1),P7(1,1),因为100除以6余4,所以点P100和点P4的坐标相同,所以P100的坐标为(1,-3).三、对称例4.如图3,已知△ABC,画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′,并写出各顶点的坐标.关于x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系?解析:△ABC三个顶点的坐标分别是:A(1,4),B(3,1),C(-2,2).△A′B′C′三个顶点的坐标分别是:A′(1,-4),B′(3,-1),C′(-2,-2).观察各对应顶点的坐标可以发现:关于x轴对称两个三角形的对应顶点的横坐标不变,纵坐标互为相反数.友情提示:关于y轴对成的两个图形,对称点的纵坐标不变,横坐标互为相反数.在直角坐标系中,ABC△的三个顶点的位置如图3所示.(1)请画出ABC△关于y轴对称的A B C'''△(其中A B C''',,分别是A B C,,的对应点,不写画法);(2)直接写出A B C''',,三点的坐标:(_____)(_____)(_____)A B C''',,.析解:如图4,根据关于y轴对称的点的纵坐标不变,横坐标为原横坐标的相反数,即横坐标乘以1-,故可得(2)(23)A',,(31)B',,(12)C'--,反思:★关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标为原纵坐标的相反数,即纵坐标乘以1-★关于y轴对称的点的纵坐标不变,横坐标为原横坐标的相反数,即横坐标乘以1-★关于原点成中心对称的点的,横坐标为原横坐标的相反数,纵坐标为原纵坐标的相反数,即横坐标、纵坐标同乘以1-四、位似例4 如图4,已知△ABC,画出△ABC以坐标原点0为位似中心的位似△A′B′C′,使△A′B′C′在第三象限,与△ABC 的位似比为21,写出三角形各顶点的坐标,位似变换后对应顶点发生什么变化?解析:△ABC三个顶点的坐标分别是:A(2,2),B(6,4),C(4,6).△A′B′C′三个顶点的坐标分别是:A′(-1,-1),B′(-3,-2),C′(-2,-3).图31 2 xO1-1ABCy1 2 xO1-1ABCA'B'C'y图3 图4C B AA 2C 2A 1B 1C 1O观图形可知,△A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC对应各顶点坐标21的相反数.友情提示: △ABC 以坐标原点0为位似中心的位似△A ′B ′C ′,当△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为21,且△A ′B ′C ′在第一象限时, △A ′B ′C ′各顶点的坐标分别是△ABC 各顶点坐标的21.课前练习:在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A 2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2,OA=2223+=13点A 旋转到A 2,所经过的路线长为:ι=9013131802ππ⋅=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度;平移变换要明确平移的方向和距离;作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心,且对应点到对称中心的距离相等;作一个图形关于某一条直线的的对称图形,要明确对应点的连线被对称轴平分,且对应点到对称轴的距离相等。
小学生数学问题的图形变换与坐标系认知
小学生数学问题的图形变换与坐标系认知在小学生的数学学习中,图形变换与坐标系认知是两个非常重要的概念。
它们不仅能够帮助孩子们更好地理解数学知识,还能培养他们的空间思维和逻辑推理能力。
图形变换,简单来说,就是图形的位置、形状或大小发生了改变。
常见的图形变换包括平移、旋转和对称。
对于小学生来说,理解这些概念可能一开始会有些困难,但通过生动有趣的例子和实际操作,他们能够逐渐掌握。
平移,就像是一个物体在平面上沿着直线滑动。
比如说,一辆小汽车在笔直的公路上行驶,它的位置发生了改变,但形状和大小没有变化,这就是平移。
我们可以让孩子们用手中的图形卡片,在纸上进行平移的操作,感受图形在平移过程中的特点。
旋转呢,则是图形围绕一个点转动。
比如家里的风扇,叶片不停地绕着中心轴转动,这就是旋转。
在教学中,可以让孩子们自己制作一个小风车,观察风车转动时的情况,从而理解旋转的概念。
对称,是指图形沿着某条直线对折后,两边能够完全重合。
我们生活中有很多对称的例子,像蝴蝶的翅膀、人的脸等。
让孩子们通过折纸的方式,找出对称轴,能够更直观地感受对称的美。
图形变换在解决数学问题中有着广泛的应用。
例如,在计算一些复杂图形的面积时,通过将图形进行平移或旋转,可以将其转化为我们熟悉的简单图形,从而更容易计算。
而坐标系则是一个用来确定位置的工具。
想象一下,我们在一个大广场上,如果没有坐标,要描述一个人的位置会非常困难。
但如果有了坐标系,我们就可以准确地说出这个人在第几行第几列。
在小学阶段,孩子们通常先接触到的是简单的平面直角坐标系。
它由两条互相垂直的数轴组成,水平的数轴叫做 x 轴,垂直的数轴叫做 y 轴。
坐标轴上的刻度就像是一个个“地址”,通过这些刻度,我们可以确定一个点的位置。
为了让孩子们更好地理解坐标系,我们可以用教室的座位来举例。
把教室的横排看作 x 轴,纵排看作 y 轴,那么每个同学的座位就可以用一个坐标来表示。
比如,小明坐在第 3 排第 4 列,我们就可以用(4,3)来表示他的位置。
平面直角坐标系与图形的对称变换
根据点P所在的象限,可以确定其坐标符号。第一象限内点的坐标符号为(+,+) ,第二象限内点的坐标符号为(-,+),第三象限内点的坐标符号为(-,-),第四象 限内点的坐标符号为(+,-)。
距离公式和中点公式应用
距离公式
两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离 公式为d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
其他特殊图形对称性质
除了上述几种特殊图形外,还有许多其他图 形也具有对称性质,如菱形、矩形、正六边 形等。这些图形的对称性质可以根据其定义 和性质进行推导和证明。
03
平面直角坐标系中图形对称变换规 律
轴对称变换在坐标系中实现方法
确定对称轴
根据题目要求或图形特点 ,确定对称轴的位置。
找对应点
在对称轴的一侧任取一点 ,通过翻折找到它的对应 点。
逐步进行变换
按照基本变换的顺序,逐步进行 变换操作。
注意变换顺序
复合对称变换中,变换的顺序可 能会影响最终的结果。
图形对称性质在解题中运用策略
利用对称性简化问题
01
利用图形的对称性,可以将复杂的问题简化为更易于解决的问
题。
构造对称图形辅助解题
02
根据题目要求,构造出具有对称性的辅助图形,帮助解题。
性质
平面直角坐标系具有对称性、平 移不变性和旋转不变性。
坐标轴上点表示方法
01
02
03
原点
坐标系的原点用O表示, 其坐标为(0,0)。
x轴上点
x轴上的点用(x,0)表示, 其中x为实数。
y轴上点
y轴上的点用(0,y)表示, 其中y为实数。
平面内任意点坐标确定
图形与坐标变换
图形与坐标变换在数学和计算机图形学中,图形的展示离不开坐标变换。
坐标变换是一种将图形从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法,在处理图形的旋转、平移和缩放等操作时起到了至关重要的作用。
本文将介绍常见的图形坐标变换方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着坐标轴的方向平移一定的距离。
平移变换的数学表示为:```(x', y') = (x + dx, y + dy)```其中,(x,y)是原始点的坐标,(x',y')是平移后的点的坐标,dx和dy分别是平移的水平和垂直距离。
平移变换在图形处理中常用于移动对象、实现图像的滚动以及图形的布局调整等。
通过修改坐标偏移量,可以将图形相对于原始位置进行任意平移。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕一个旋转中心点旋转一定的角度。
旋转变换的数学表示为:```x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ```其中,(x,y)是原始点的坐标,(x',y')是旋转后的点的坐标,θ是旋转的角度。
旋转变换常用于图像的翻转、旋转效果的实现以及物体在平面内的旋转变化等。
通过调整旋转角度,可以改变图形的朝向和角度。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照比例因子进行放大或缩小。
缩放变换的数学表示为:```x' = x * sxy' = y * sy```其中,(x,y)是原始点的坐标,(x',y')是缩放后的点的坐标,sx和sy分别是水平和垂直方向的缩放比例因子。
缩放变换常用于图像的放大和缩小、图形的形变效果实现以及物体的大小调整等。
通过调整缩放因子,可以改变图形的大小比例。
四、矩阵变换矩阵变换是一种将多种变换方法结合起来进行处理的方式,常用的矩阵变换包括平移、旋转、缩放和剪切等。
矩阵变换的数学表示为:```[x'] [a b c] [x][y'] = [d e f] * [y][1] [g h i] [1]```其中,(x,y)是原始点的坐标,(x',y')是变换后的点的坐标,矩阵[A]是变换矩阵。
图形的变换与坐标精华版_图文
段依次连
–3
接,观察.
–4
–5
一、平移
1. 各点横坐标+a(-a)
图形向右(向左) 平移 a个 单位;
2. 各点纵坐标+a(-a)
图形 向上(向下)平移a个单位;
练习:
图形上各点按下列方式进行坐标变化,
所得的图案与原来的图案相比有什么变 化?
(1)(x,y) (x,y +5)
(2)(x,y) (x +1,y)
图形的变换与坐标精华版_图文.ppt
情境导入
• 在同一直角坐标系中,图形 经过平移、旋转、轴对称、 放大或缩小之后,点的坐标 会如何变化呢?
y
描出各点
5
:(0,0)
(5,1) (5,-
2
1) (3,0)
1
0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
(4,-2) (0,0) 用线
–2
四、放大缩小:
(x,y) (k x, ky) 形状不变,放大或缩小k倍;
若k>1,图形整个被放大; 若 0<k<1,图形整个被压缩。
1、将坐标作如下变化时,图形将怎样变 化? 1. (x,y)(x,y+4) 4. (x,y)(3x , y)
2. (x,y)(x,y-2) 5. (x,y)(x , y)
3. (x,y)(x,-y)
6. (x,y)(3x , 3y)
2.将图中的△ABC作下列运动,画出相应的 图形,指出三个顶点的坐标所发生的变化. (1)沿y轴正向平移2个单位; (2)关于y轴对称; (3)以B点为位似中心,放大到2倍.
·
图形的变换与坐标
曹营中心校
饶玉秋
知识回顾
什么是平面直角坐标系?怎样用坐标表示平
面内的点?
全等变换有哪些?在全等变换中只改变图形
两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系; 用有序实数对表示点的坐标(横前纵后)
的什么?
相似变换改变了图形的什么?不改变图形的
平移、旋转、对称;全等变换只改变图形的位 置,而形状和大小都不改变。
想一想?
先完成P92页练习第3题,然
后相互交流自己的看法。
课堂作业:
1、P93页第2题。 2、已知△ABC各顶点的坐标为A(2,1),B (0,3),C(4,0) (1)把△ABC向上平移一个单位,所得三角 ( 2,2)( 0,4) ( 4,1) 形三个顶点坐标为 _____ 、____ 、 __ (2)把△ABC向右平移一个单位,所得三角 ( 1,3) ( 5,0) ( 3,1) 形三个顶点坐标为 _____ 、 ____ 、 __ (3)把△ABC先向下平移一个单位,再向左 平移一个单位,所得三角形三个顶点坐标为 ( 1,0) (-1,2 ) ( 3,-1) ____ 、 ____ 、 ______ 。
什么?
改变大小,不改变形状。
教学目标 1、掌握图形在变换过程中坐标的变化情 况,能求图形变换后的坐标;
2、进一步体会用坐标确定位置需要两个
数据;
3、通过了解图形在变换前后坐标的变化
情况的学习,体会数学的和谐美。
自学指导 认真自学教材Pຫໍສະໝຸດ 8-92页部分内容,思考下列问题:
1、图形沿x轴左右平移时,坐标是怎样变化的?图形沿y 轴上下平移时坐标又是怎样变化的?左右平移时改变的 是什么坐标,什么坐标不变?上下平移时改变的又是什 么坐标,什么坐标不变?
图形的变换与坐标教案
图形的变换与坐标教案第一章:图形的认识与坐标系的建立1.1 平面直角坐标系的认识讲解平面直角坐标系的定义和构成演示坐标轴上的点与实际物体的对应关系让学生通过实例理解坐标系在几何中的应用1.2 坐标与图形的关系解释点的坐标表示方法分析直线、三角形等基本图形在坐标系中的表示让学生通过实例掌握坐标与图形之间的关系第二章:图形的平移变换2.1 平移变换的概念讲解平移变换的定义和特点演示平移变换对图形的影响让学生通过实例理解平移变换的性质2.2 平移变换的坐标表示讲解平移变换的坐标表示方法分析平移变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握平移变换的坐标表示方法第三章:图形的旋转变换3.1 旋转变换的概念讲解旋转变换的定义和特点演示旋转变换对图形的影响让学生通过实例理解旋转变换的性质3.2 旋转变换的坐标表示讲解旋转变换的坐标表示方法分析旋转变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握旋转变换的坐标表示方法第四章:图形的缩放变换4.1 缩放变换的概念讲解缩放变换的定义和特点演示缩放变换对图形的影响让学生通过实例理解缩放变换的性质4.2 缩放变换的坐标表示讲解缩放变换的坐标表示方法分析缩放变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握缩放变换的坐标表示方法第五章:图形变换的应用5.1 图形变换在几何中的应用讲解图形变换在几何问题中的应用分析实例问题,让学生理解图形变换对几何问题的重要性让学生通过练习题巩固图形变换在几何中的应用5.2 图形变换在实际问题中的应用讲解图形变换在实际问题中的应用分析实例问题,让学生理解图形变换在实际问题中的作用让学生通过练习题巩固图形变换在实际问题中的应用第六章:组合图形的变换6.1 组合图形变换的概念讲解组合图形变换的定义和特点演示组合图形变换对图形的影响让学生通过实例理解组合图形变换的性质6.2 组合图形变换的坐标表示讲解组合图形变换的坐标表示方法分析组合图形变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握组合图形变换的坐标表示方法第七章:坐标与图形变换的综合应用7.1 坐标与图形变换在几何问题中的应用讲解坐标与图形变换在几何问题中的应用分析实例问题,让学生理解坐标与图形变换对几何问题的重要性让学生通过练习题巩固坐标与图形变换在几何中的应用7.2 坐标与图形变换在实际问题中的应用讲解坐标与图形变换在实际问题中的应用分析实例问题,让学生理解坐标与图形变换在实际问题中的作用让学生通过练习题巩固坐标与图形变换在实际问题中的应用第八章:计算机辅助几何设计8.1 计算机辅助几何设计的基本概念讲解计算机辅助几何设计的基本概念和特点演示计算机辅助几何设计在图形变换中的应用让学生通过实例理解计算机辅助几何设计的基本原理8.2 计算机辅助几何设计软件的使用讲解计算机辅助几何设计软件的基本操作分析实例问题,让学生掌握计算机辅助几何设计软件的使用方法让学生通过练习题熟练使用计算机辅助几何设计软件第九章:图形变换与坐标系的拓展9.1 非平面直角坐标系中的图形变换讲解非平面直角坐标系中的图形变换方法演示非平面直角坐标系中图形变换对图形的影响让学生通过实例理解非平面直角坐标系中图形变换的性质9.2 变换群与图形变换讲解变换群的基本概念和性质分析变换群在图形变换中的应用让学生通过实例理解变换群与图形变换的关系第十章:复习与拓展10.1 复习本章所学内容复习本章所学的基本概念、方法和技巧分析典型问题,让学生巩固本章所学知识让学生通过练习题检验自己的学习成果10.2 拓展图形变换的应用领域讲解图形变换在其他学科领域中的应用分析实例问题,让学生了解图形变换的广泛应用激发学生对图形变换在实际问题中应用的兴趣重点和难点解析重点环节一:平面直角坐标系的认识重点关注学生对坐标系的理解和实际物体的对应关系。
专题20 图形的变换与坐标(学生版)
知识点01:轴对称变换【高频考点精讲】1、轴对称图形把一个图形沿一条直线折叠,直线两边的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的对应点,叫做对称点。
常见的轴对称图形:等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等。
2、轴对称性质(1)关于直线对称的两个图形是全等图形。
(2)对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
3、关于x轴、y轴对称的点的坐标(1)关于x轴的对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,﹣y);(2)关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣x,y)。
4、最短路线问题在直线l上方有两个点A、B,确定直线l上到A、B的距离之和最短的点,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线l的对称点,对称点与另一点的连线与直线l的交点即为所求。
知识点02:平移变换【高频考点精讲】1、把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离,得到一个新的图形,图形的这种移动,叫做平移。
2、平移的两个要素:(1)图形平移的方向;(2)图形平移的距离。
3、平移性质:对应点所连线段平行且相等。
4、平移变换与坐标变化(1)坐标点P(x,y)向右平移a个单位,得出P(x+a,y);(2)坐标点P(x,y)向左平移a个单位,得出P(x﹣a,y);(3)坐标点P(x,y)向上平移b个单位,得出P(x,y+b);(4)坐标点P(x,y)向下平移b个单位,得出P(x,y﹣b)。
知识点03:旋转变换【高频考点精讲】1、将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度,这样的图形变换叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质(1)对应点到旋转中心的距离相等.(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
坐标与图形的变化
缩放变换是图形变换中常用的一种,它通过改变图形上所有点的坐标值来实现放大或缩小。在缩放变 换中,图形上任意一点都按照相同的比例因子进行放大或缩小,保持了图形之间的相对关系不变。
旋转变换
总结词
旋转变换是指图形绕某一点旋转一定的角度,同时改变其方向和位置。
详细描述
旋转变换是图形变换中常用的一种,它通过旋转图形上所有点的坐标值来实现旋转。在旋转变换中,图形上任意 一点都绕着旋转中心按照相同的旋转角度进行旋转,保持了图形之间的相对关系不变。
在实际应用中,坐标与图形变化的应用非常广泛。例如,在计算机图形学中,坐标与图形变 化被用于生成和处理各种类型的图像;在物理学中,它们被用于描述物体的运动轨迹和状态 变化;在工程学中,它们被用于设计和分析各种机械系统和控制系统。
对未来研究的展望与建议
• 随着科技的不断发展,坐标与图形变化的应用前景将更加广阔。未来,我们可 以进一步探索如何将坐标与图形变化应用于更多领域,以解决更多实际问题。
在机械设计中,可以通过建立坐标系来描述机器部件的位置和运 动轨迹,从而进行精确的设计和制造。
航空航天
在航空航天领域,通过建立三维坐标系,可以描述飞行器的位置和 姿态,从而进行导航和控制。
自动化控制
在自动化控制领域,通过建立坐标系,可以描述机器的位置和状态, 从而进行精确的控制和监测。
05
总结与展望
• 总之,坐标与图形变化是一个充满活力和潜力的研究领域。未来,我们可以通 过不断深入研究和探索,推动该领域的发展和应用,为解决更多实际问题提供 更多有效的方法和工具。THAKS感谢观看04
坐标与图形变化的应用
在几何学中的应用
01
02
03
坐标变换
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x + a,y)(或(x - a,y));- 将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y + b)(或(x,y - b))。
- 例如:点A(2,3)向右平移3个单位长度,得到点A'(2 + 3,3)=(5,3);点A(2,3)向下平移2个单位长度,得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如,三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3),将三角形ABC向右平移a个单位长度,再向上平移b个单位长度,则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b),B点变为B'(x_2+a,y_2 + b),C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b),新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如:点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说,图形关于x轴对称,就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称,A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1),B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2),C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3),新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
常用坐标系介绍及变换PPT课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心,x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴,用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化, 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点,可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛,可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化,包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点,可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛,需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作,以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法,通过将物体离散化为有限个单元,可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用,可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上,包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联,实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状, 只改变其方向。
图形的变换与坐标教案
图形的变换与坐标教案一、教学目标1. 让学生理解图形变换的概念,掌握图形变换的基本方法。
2. 让学生掌握坐标系中图形的变换规律,能够运用坐标解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 图形变换的概念及基本方法2. 坐标系中图形的变换规律3. 实际问题中的坐标变换应用三、教学重点与难点1. 教学重点:图形变换的概念,坐标系中图形的变换规律。
2. 教学难点:图形变换在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究图形变换的规律。
2. 利用多媒体辅助教学,直观展示图形变换过程。
3. 结合实际例子,让学生动手操作,加深对图形变换的理解。
五、教学准备1. 教学课件:图形变换的动画演示。
2. 教学素材:纸张、剪刀、直尺等。
3. 练习题:巩固所学知识。
教案内容请参考下述示例:教案示例:一、教学目标1. 让学生了解图形变换的概念,掌握图形变换的基本方法。
2. 让学生掌握坐标系中图形的平移和旋转规律。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 图形变换的概念及基本方法2. 坐标系中图形的平移和旋转规律3. 实际问题中的坐标变换应用三、教学重点与难点1. 教学重点:图形变换的概念,坐标系中图形的平移和旋转规律。
2. 教学难点:图形变换在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究图形变换的规律。
2. 利用多媒体辅助教学,直观展示图形变换过程。
3. 结合实际例子,让学生动手操作,加深对图形变换的理解。
五、教学准备1. 教学课件:图形变换的动画演示。
2. 教学素材:纸张、剪刀、直尺等。
3. 练习题:巩固所学知识。
六、教学内容1. 图形缩放的概念及方法2. 坐标系中图形的缩放规律3. 实际问题中的图形缩放应用七、教学重点与难点1. 教学重点:图形缩放的概念,坐标系中图形的缩放规律。
2. 教学难点:图形缩放在实际问题中的应用。
小学数学说课稿-图形的变换与坐标
小学数学说课稿:图形的变换与坐标(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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知识点4 坐标与图形的变化(含解析)
知识点4 坐标与图形的变化知识链接1、坐标与图形变化---对称(1)关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数.即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,-y).(2)关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数.即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(-x,y).(3)关于直线对称①关于直线x=m对称,P(a,b)⇒P(2m-a,b)②关于直线y=n对称,P(a,b)⇒P(a,2n-b)2、坐标与图形变化---平移(1)平移变换与坐标变化向右平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x+a,y)向左平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x-a,y)向上平移b个单位,坐标P(x,y)⇒P(x,y+b)向下平移b个单位,坐标P(x,y)⇒P(x,y-b)(2)在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.(即:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.)3 坐标与图形变化---旋转(1)关于原点对称的点的坐标.即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(-x,-y).(2)旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.同步练习1.(2014•大连)在平面直角坐标系中,将点(2,3)向上平移1个单位,所得到的点的坐标是()A.(1,3)B.(2,2)C.(2,4)D.(3,3)考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据向上平移,横坐标不变,纵坐标加解答.解答:∵点(2,3)向上平移1个单位,∴所得到的点的坐标是(2,4).故选:C.2.(2014•呼伦贝尔)将点A(-2,-3)向右平移3个单位长度得到点B,则点B所处的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:坐标与图形变化-平移.分析:先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减) ,,求出点B的坐标,再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限.解答:点A(-2,-3)向右平移3个单位长度,得到点B的坐标为为(1,-3),故点在第四象限.故选D.3.(2014•牡丹江)如图,把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′,如果△ABC上点P的坐标为(x,y),那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A.(-x,y-2)B.(-x,y+2)C.(-x+2,-y)D.(-x+2,y+2)考点:坐标与图形变化-平移.分析:先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位,再关于y轴对称可得到△A′B′C′,然后把点P(x,y)向上平移2个单位,再关于y轴对称得到点的坐标为(-x,y+2),即为P′点的坐标.解答:∵把△ABC向上平移2个单位,再关于y轴对称可得到△A′B′C′,∴点P(x,y)的对应点P′的坐标为(-x,y+2).故选:B.4.(2014•潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)考点:翻折变换(折叠问题);正方形的性质;坐标与图形变化-对称、平移.专题:规律型.分析:首先由正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1),然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标,即可得规律:第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标.解答:∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).∴对角线交点M的坐标为(2,2),根据题意得:第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为:(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第n次变换后的点M的对应点的为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n为偶数时为(2-n,2),∴连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(-2012,2).故选:A.点评:此题考查了对称与平移的性质.此题难度较大,属于规律性题目,注意得到规律:第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为:当n为奇数时为(2-n,-2),当n 为偶数时为(2-n,2)是解此题的关键.5.(2014•昆明)如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,3),将线段OA向左平移2个单位长度,得到线段O′A′,则点A的对应点A′的坐标为.考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据点向左平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x-a,y)进行计算即可.解答:∵点A坐标为(1,3),∴线段OA向左平移2个单位长度,点A的对应点A′的坐标为(1-2,3),即(-1,3),故答案为:(-1,3).6.(2014•宜宾)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是.考点:坐标与图形变化-平移;关于x轴、y轴对称的点的坐标.分析:首先根据横坐标右移加,左移减可得B点坐标,然后再关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标符号改变可得答案.解答:点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到的B的坐标为(-1+3,2),即(2,2),则点B关于x轴的对称点C的坐标是(2,-2),故答案为:(2,-2).7.(2014•厦门)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(1,3),将线段OA向右平移3个单位,得到线段O1A1,则点O1的坐标是,A1的坐标是.考点:坐标与图形变化-平移.分析:根据向右平移,横坐标加,纵坐标不变解答.解答:∵点O (0,0),A (1,3),线段OA 向右平移3个单位,∴点O 1的坐标是(3,0),A 1的坐标是(4,3).故答案为:(3,0),(4,3).*8.(2014•巴中)如图,直线y =−34x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把△A 0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′,则点B ′的坐标是 .考点:坐标与图形变化-旋转.分析:首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标,B ′的横坐标等于OA +OB ,而纵坐标等于OA ,进而得出B ′的坐标.解答:直线y =-34x +4与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,4)两点, ∵旋转前后三角形全等,∠O ′AO =90°,∠B ′O ′A =90°∴OA =O ′A ,OB =O ′B ′,O ′B ′∥x 轴,∴点B ′的纵坐标为OA 长,即为3,横坐标为OA +OB =OA +O ′B ′=3+4=7,故点B ′的坐标是(7,3),故答案为:(7,3).点评:本题主要考查了对于图形翻转的理解,其中要考虑到点B 和点B ′位置的特殊性,以及点B ′的坐标与OA 和OB 的关系.9.(2013•梅州)如图,在平面直角坐标系中,A (-2,2),B (-3,-2)(1)若点C 与点A 关于原点O 对称,则点C 的坐标为______;(2)将点A 向右平移5个单位得到点D ,则点D 的坐标为______;(3)由点A ,B ,C ,D 组成的四边形ABCD 内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点,求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率.考点:关于原点对称的点的坐标;坐标与图形变化-平移;概率公式.分析:(1)根据关于原点的对称点,横纵坐标都互为相反数求解即可;(2)把点A 的横坐标加5,纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标;(3)先找出在平行四边形内的所有整数点,再根据概率公式求解即可.解答:(1)∵点C 与点A (-2,2)关于原点O 对称,∴点C 的坐标为(2,-2);(2)∵将点A 向右平移5个单位得到点D ,∴点D 的坐标为(3,2);(3)由图可知:A (-2,2),B (-3,-2),C (2,-2),D (3,2),∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个,其中横、纵坐标和为零的点有3个,即(-1,1),(0,0),(1,-1),∴P =153=51. 点评:本题考查了关于原点对称的点的坐标,坐标与图形变化-平移,概率公式.难度适中,掌握规律是解题的关键.10.(黄冈)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标是A (-2,3),B (-4,-1),C (2,0),将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置,点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1,若点A 1的坐标为(3,1).则点C 1的坐标为______.考点:坐标与图形变化-平移.分析:首先根据A 点平移后的坐标变化,确定三角形的平移方法,点A 横坐标加5,纵坐标减2,那么让点C 的横坐标加5,纵坐标-2即为点C 1的坐标.解答:由A (-2,3)平移后点A 1的坐标为(3,1),可得A 点横坐标加5,纵坐标减2,则点C 的坐标变化与A 点的变化相同,故C 1(2+5,0-2),即(7,-2). 故答案为:(7,-2).点评:本题主要考查图形的平移变换,解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律.11.(北京)操作与探究:(1)对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘以31,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P 的对应点P ′.点A ,B 在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A ′B ′,其中点A ,B 的对应点分别为A ′,B ′.如图1,若点A 表示的数是-3,则点A ′表示的数是______;若点B ′表示的数是2,则点B 表示的数是______;已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E ′与点E 重合,则点E 表示的数是______.(2)如图2,在平面直角坐标系xOy 中,对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ,将得到的点先向右平移m 个单位,再向上平移n 个单位(m >0,n >0),得到正方形A ′B ′C ′D ′及其内部的点,其中点A ,B 的对应点分别为A ′,B ′.已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F ′与点F 重合,求点F 的坐标.考点:坐标与图形变化-平移;数轴;正方形的性质;平移的性质.。
华东师大版九年级上册数学课件:图形的变换与坐标
三、例题分析
如图,已知A(-4,1)、B(-1,-1)、C (-3,2)。利用关于原点对称的点的坐标 的关系,作出与关于原点对称的图形。
总结:由例题可知,在直角坐标系中, 作关于原点对称的图形的步骤为
E(-3,-4) A’( , ),B’( , )
Image C’( , ),D’( , )
E’( , ),
小组讨论内容: 1、两个对称点所处的象限有什么关系? 2、两个对称点的横坐标的符号有什么关系
?纵坐标呢? 3、两个对称点的横坐标的绝对值有什么关
系?纵坐标呢?能否以点E为例用全等知 识进行说明?
即点P( x, y)关于原点对称的点为P’( , )
2、本节课所利用的数学方法是 _____;
七、课后作业,自我检评 1、《学业评价》P60 1~10; 2、配套练习
谢谢
图形的变换与坐标
【教学目标】 1、知识目标 学生掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关 系。 2、能力目标 学生通过经历——猜想——验证的实践过程,积累数学 活动的经验。 3、情感、态度与价值观目标 学生从坐标的角度揭示中心对称与轴对称之间的关系, 培养视察、分析、合作与探究交流的学习习惯,体验事 物的变化之间是有联系的。
9、点( x2 2x 3,)8 关于原点对称的点在第 _____象限;
10、已知点P (2x, y 2 4与) 点Q (x2 1,关4 y)于 坐标原点对称,试求 x 的y 值。
六、融会贯通,总结升华
1、关于原点对称的点的坐标的关系是: 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号
_______,
图形变换与坐标规律总结
图形变换与坐标规律总结一、图形变换与坐标变化点的坐标的变化与图形的变换的关系,通过点的坐标的变化可得到图形变换的规律.总结如下:问题:在直角坐标系中描出点(1,2)、(2,6)、(3,2)、(4,6)、(5,2),并将各点用线段依次连接起来,观察所得的图形,你认为它是一个什么图形?解析:通过正确的作图可得,按题目的要求连接后,得到一个图形,如图1所示,这是一个“M”型。
图1 图2变换1:将图1中的点A、B、C、D、E的纵坐标不变,横坐标分别变成原来的2倍,再将所得的点A1、B1、C1、D1、E1按题目中的连接方式连接,所得的图形与原来的图形相比有什么变化?解析:点A1(2,2),B1(4,6),C1(6,2),D1(8,6),E1(10,2),按要求连接起来如图2所示.和原图形比较,M字图被横向拉长为原来的2倍.总结规律:(1)当纵坐标不变,横坐标变为原来的n(n>1)倍时,则图形被横向拉长原来n倍;(2)当横坐标不变,纵坐标变为原来的n(n>1)时,则图形被纵向拉长原来的n倍.(3)当横坐标、纵坐标分别变为原来的n(n>1)倍,则所得图形形状不变,大小变为原来的n2倍.变换2:将图1中的点A,B,C,D,E的点横坐标不变,纵坐标都加上3,再将所得A2,B2,C2,D2,E2点按题目的要求连接,所得的图形与原图形比较有什么变化?解析:点A2(1,5)、B2(2,9)、C2(3,5)、D2(4,9)、E2(5,5).按要求连接后,所得的图形如图3所示,与原来的图形相比,M字形大小、形状不变,而向上平移了3个单位长度.图3总结规律:(1)横坐标不变,纵坐标分别增加(或减少)n个单位长度,则图形向上(或向下)平移了n个单位长度.(n>0);(2)当纵坐标不变,横坐标分别增加(或减少)n个单位长度,则图形向右(或左)平移了n个单位长度.(n>0)变换3:将图1中的点A,B,C,D,E的横坐标,纵坐标都乘以-1,再将所得A3,B3,C3,D3,E3点按题目的要求连接,所得的图形与原图形比较有什么变化?图4解析: A3(-1,-2)、B3(-2,-6)、C3(-3,-2)、D3(-4,-6)、E3(-3,-2).所得的图形如图4所示,与原图形相比,M字形绕O点旋转了180度,即两个图形关于O点成中心对称.总结规律:(1)横、纵坐标分别乘以-1,则所得图形与原图形关于原点成中心对称;(2)当横坐标不变,纵坐标都乘以-1时,所得图形与原图形关于横轴成轴对称;(3)当纵坐标不变,横坐标都乘以-1时,所得的图形与原图形关于纵轴成轴对称.二、图形变换与坐标变化的应用例1如图5,已知△ABC三个顶点的坐标是:A(-2,5)、B(-4,3)、C(-1,2),这三个顶点的纵坐标不变,将横坐标都加上5,得到A′、B′、C′,写出点A′、B′、C′的坐标,并画出△A′B′C′,△A′B′C′与△ABC相比发生了怎样的变化?解析:A(-2,5)、B(-4,3)、C(-1,2)的纵坐标不变,横坐标都加上5,得到对应点的坐标分别是:A′(3,5)、B′(1,3)、C′(4,2),顺次连结A′B′、B′C′、C′A′,即得△A′B′C′.比较△A′C′B′与△ABC可以发现:△ABC向右平移5个单位长度后,得到的△A′B′C′.图5 图6例2如图6,已知△ABC三个顶点A(-2,4),B(-4,2),C(-1,1),将点A、B、C的横坐标,纵坐标都乘以-1,得对应点A′、B′、C′.写出点A′、B′、C′的坐标,并画出△A′B′C′,△A′B′C′与△ABC相比,发生了怎样的变化?解析:A(-2,4),B(-4,2),C(-1,1)的横、纵坐标都乘以-1,得对应点的坐标分别为:A′(2,-4),B′(4,-2),C′(1,-1).作出点A′、B′、C′,顺次连结A′B′、B′C′、C′A′,即得△A′B′C′.比较△A′B′C′与△ABC可以发现:△A′B′C′是由△ABC绕坐标原点顺时针旋转180°后得到.例3如图7,已知△ABC,A(1,4),B(3,1),C(-2,2).将点A、B、C三点的纵坐标都乘以-1,横坐标不变,得对应点A′、B′、C′,写出点A′、B′、C′点的坐标,并画出△A′B′C′,比较△A′B′C′与△ABC,△A′B′C′与△ABC相比发生了怎样的变化?图7解析:A(1,4),B(3,1),C(-2,2)的纵坐标都乘以-1,得A′(1,-4),B′(3,-1),C′(-2,-2).顺次连接A′B′、B′C′、C′A′,得△A′B′C′.比较△A′B′C′与△ABC可以发现:△A′B′C′是由△ABC关于x轴对称得到的.例4已知△ABC各顶点的坐标分别是A(0,2),B(1,3),C(2,-2),各点的纵坐标不变,横坐标都乘以2,所得的对应点分别是A′、B′、C′,写出A′、B′、C′点的坐标,并连接A′B′、B′C′、C′A′,比较所得△A′B′C′与原△ABC,发生了怎样的变化?解析:A(0,2),B(1,3),C(2,-2)各点的横坐标分别乘以2,得对应点的坐标分别是A′(0,2),B′(2,3),C′(4,-2),顺次连结A′B′、B′C′、C′A′,得△A′B′C′′,可以发现△ABC 被横向拉伸了2倍.图8 图9例5 如图9,已知△ABC .各顶点的坐标分别是A (-4,0),B (1,0),C (-1,4),将各点的横坐标不变,纵坐标都乘以21后,得对应点为A ′、B ′、C ′,作出△A ′B ′C ′,将 △A ′B ′C ′与△ABC 比较,发生了怎样的变化? 解析:A (-4,0),B (1,0),C (-1,4)纵坐标乘以21,得对应点的坐标分别为A ′(-4,0),B ′(1,0),C ′(-1,2),顺次连结A ′B ′、B ′C ′、C ′A ′得△A ′B ′C ′,比较△A ′B ′C ′与△ABC ,△ABC 被纵向压缩了21. 试一试身手1、在直角坐标系中,(1)描出下列各点,并将这些点用线段依次连接起来.(-5,0),(-5,4),(-8,7),(-5,6),(-2,8),(-5,4);(2)把(1)中的图案向右平移10个单位,作出平移后的图案.2、如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3……已知:A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).观察每次变换前后的三角形有何变化,按照变换规律,第五次变换后得到的三角形A5的坐标是,B5的坐标是.参考答案1、解析:首先根据题意在下面的坐标系中描出各点,再依次用线段将其连接起来,即可得出坐标系中y轴左边的图形,再依据要求将各点分别向右平移10个单位,并依次连接各点即可得出y轴左边的图形向右平移10个单位后的图形,如下图所示.2、解析:观察给出的各点的坐标可知:对A、A1,A2,A3而言,后面各点的横坐标分别是前面点的横坐标的2倍,为2n(其中n为各点的下标序数).而纵坐标不变都为3;对2 n(其中n为B、B1,B2,B3而言后面各点的横坐标分别是前面点的横坐标的2倍,为1各点的下标序数),纵坐标不变都为0,由此可知第五次变换后A5的坐标为(32,3),B5的坐标为(64,0).。
常用坐标系介绍及变换
常用坐标系介绍及变换1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一、它由两条垂直的坐标轴组成,通常被标记为x轴和y轴。
每个点都可以用一个有序的数对(x,y)来表示,其中x是点在x轴上的位置,y是点在y轴上的位置。
直角坐标系广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
2.极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系。
它使用一个有序的数对(r,θ)来表示一个点,其中r是点到极点的距离,θ是点与极轴的夹角。
极坐标系适用于描述圆形和对称图形,例如极坐标系可以更方便地表示一个点相对于圆心的位置。
3.三维直角坐标系三维直角坐标系是在直角坐标系的基础上增加了一条垂直于x轴和y轴的z轴。
每个点可以用一个有序的数对(x,y,z)来表示。
三维直角坐标系广泛应用于空间几何、工程学、计算机图形学等领域。
4.柱坐标系柱坐标系是一种类似于极坐标系的坐标系,但它增加了一个z坐标轴,也被称为高度坐标轴。
一个点可以用一个有序的数对(r,θ,h)来表示,其中r是点到z轴的距离,θ是点到x轴的夹角,h是点在z轴上的位置。
5.球坐标系球坐标系是一种三维坐标系,它使用一个有序的数对(r,θ,φ)来表示一个点,其中r是点到原点的距离,θ是点到x轴的夹角,φ是点到z轴的夹角。
球坐标系适用于描述球体和球对称图形。
在不同坐标系之间进行坐标变换是很常见的操作。
常见的坐标变换包括:1.直角坐标系与极坐标系的变换:直角坐标系到极坐标系的变换可以通过以下公式实现:r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y / x)极坐标系到直角坐标系的变换可以通过以下公式实现:x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)2.直角坐标系与三维直角坐标系的变换:直角坐标系到三维直角坐标系的变换可以通过以下公式实现:x=x'y=y'z=z'三维直角坐标系到直角坐标系的变换可以通过以下公式实现:x'=xy'=yz'=z3.极坐标系与柱坐标系的变换:极坐标系到柱坐标系的变换可以通过以下公式实现:r'=rθ'=θh'=z柱坐标系到极坐标系的变换可以通过以下公式实现:r=r'θ=θ'z=h'以上是一些常见的坐标系介绍及变换。
直角坐标系中的变换知识点归纳总结
直角坐标系中的变换知识点归纳总结1.平移变换:平移是直角坐标系中最简单的变换之一,它保持点的形状和大小不变,只改变其位置。
平移变换可以表示为(X',Y')=(X+a,Y+b),其中(a,b)是平移的位移向量。
2.缩放变换:缩放是改变图形大小的变换,可以将图形按照比例放大或缩小。
缩放变换可以表示为(X',Y')=(sX,sY),其中s是缩放的因子。
3. 旋转变换:旋转是将图形绕着一个固定点旋转一定角度的变换。
旋转变换可以表示为(X', Y') = (Xcosθ - Ysinθ, Xsinθ + Ycosθ),其中θ是旋转的角度。
4.矩阵变换:矩阵变换是直角坐标系中一种通用的线性变换方法,可以表示平移、缩放、旋转和剪切等复合变换。
矩阵变换可以用一个2×2的矩阵表示,对于一个点(X,Y)的变换,可以表示为(X',Y')=(a11X+a12Y,a21X+a22Y),其中矩阵A=[a11a12;a21a22]表示变换的系数。
5.对称变换:对称变换是指将图形绕着一个直线对称成对称图形的变换。
常见的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、直线对称等,对称变换可以通过变换矩阵来表示。
6.剪切变换:剪切变换是指将图形按照一定比例沿着一些方向延伸或收缩的变换。
剪切变换可以表示为(X',Y')=(X+aY,Y+bX),其中(a,b)是两个剪切因子。
7.一般线性变换:一般线性变换是指包括平移、旋转、缩放、剪切等多种变换同时进行的复合变换。
一般线性变换可以表示为(X',Y')=(aX+bY+c,dX+eY+f),其中(a,b,c,d,e,f)是六个变换系数。
8.坐标轴变换:坐标轴变换是指将直角坐标系中的坐标轴按照一定角度旋转或者倾斜得到的新的坐标系。
在坐标轴变换中,点的坐标可以通过坐标轴旋转矩阵或者倾斜矩阵来进行变换。
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坐标系的变化与图形变换
private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e)
{
Graphics g = e.Graphics;
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50);
g.DrawEllipse(Pens.Black,10,10,10,10);
g.ScaleTransform(2.0f, 3.0f);
g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50);
g.DrawEllipse(Pens.Black, 10, 10, 10, 10);
g.ScaleTransform(0.5f, 0.3333333f);
g.DrawRectangle(Pens.Red, 20, 30, 100, 150);
g.DrawEllipse(Pens.Red, 20, 30, 20, 30);
}
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
Font f = new Font("Times New Roman", 24);
g.DrawString("Traslation",f,Brushes.Black,0,0);
g.TranslateTransform(150, 75);
g.DrawString("Traslation", f, Brushes.Black, 0, 0); }
private void button2_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
for (int i = 1; i <= 5; ++i)
{
g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 30, 50);
g.TranslateTransform(2, 10);
}
}
private void button3_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
g.DrawEllipse(Pens.Black, 20, 20, 30, 50);
g.TranslateTransform(-15, 0);
g.DrawEllipse(Pens.Black, 20, 20, 30, 50);
g.ResetTransform();
g.TranslateTransform(0, 30);
g.DrawEllipse(Pens.Black, 20, 20, 30, 50);
}
private void button4_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
Font f = new Font("Times New Roman", 24);
g.DrawString("Rotation", f, Brushes.Black, 0, 0);
g.RotateTransform(45);
g.TranslateTransform(100, 10);
g.DrawString("Rotation", f, Brushes.Black, 0, 0);
}
private void button5_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
Font f = new Font("Times New Roman", 16);
for (float angle = 0; angle < 360; angle += 45)
{
g.ResetTransform();
g.TranslateTransform(ClientRectangle.Width / 2, ClientRectangle.Height / 2);
g.RotateTransform(angle);
g.DrawString("Hello World", f, Brushes.Red, 50, 0);
}
}
private void button6_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
Font f = new Font("Times New Roman", 24);
g.TranslateTransform(175, 50);
g.DrawString("BOBUI.DH", f, Brushes.Black, 0, 0);
g.ScaleTransform(-1, 1);
g.DrawString("BOBUI.DH", f, Brushes.Black, 0, 0);
}
private void button7_Click(object sender, EventArgs e)
{
Graphics g = this.CreateGraphics();
g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle);
Matrix m = new Matrix();
m.Shear(0.6f, 0);
g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50);
g.MultiplyTransform(m);
g.DrawRectangle(Pens.Black, 70, 10, 50, 50);
}
Form1_Paint:这里里面实现了一个图形的放缩
ScaleTransform:将指定的缩放操作应用于此 Graphics 的变换矩阵,方法是将该对象的变换矩阵左乘该缩放矩阵
button1_Click:坐标系平移实现图像位置的变化
TranslateTransform:通过使此 Graphics 的变换矩阵左乘指定的平移来更改坐标系统的原点。
button2_Click:坐标原点的变换,这个例子说明TranslateTransform变换坐标是连续的
button3_Click:还原系统原点
ResetTransform:将此 Graphics 的世界变换矩阵重置为单位矩阵
button4_Click:图像的旋转
RotateTransform:指定旋转应用于此 Graphics 的变换矩阵
button5_Click:坐标系变换与旋转综合示例
button6_Click:图形的变换
ScaleTransform:指定的缩放操作应用于此 Graphics 的变换矩阵,方法是将该对象的变换矩阵左乘该缩放矩阵
button7_Click:图形的变换
MultiplyTransform:将此 Graphics 的世界变换乘以指定的 Matrix
Shear:通过预先计算切变向量将指定的切变向量应用到此 Matrix。