信号与系统 于敏慧(第二版)第八周作业答案

再参见 P263 例 7-2：
∑ ∑ Z[(1 )−n u[−n −1]] = −
−1
∞
[(−2)n z −n ] = − {
[(−2)−n z n ] + 20 z 0}
2
n=−∞
m=1
∑∞
1 − ( z )n+1
= −1 + 2−n z n = −1 + lim 2 = −1 +
2
=−
z
=−
1
则
X
(z)
=
−z
d dz
X1(z)
−
X1(z)
=
z +1 (z −1)3
ROC :| z |> 1
（3） 法一：这题应由 z 域的积分性质求，然我们的教材上没有积分性质，可由定义求
∑ Z{ a n u[n]} = ∞ a n z −n = [1 + az −1 + (az −1)2 + (az −1)3 + + (az −1)n−1 + ]
2 m=0
2 (z −1)2
7.3 利用 Z 变换的性质求下列序列的 Z 变换 X（z）。
k
∑ （1） (−1)n nu[n] ；（4） (−1)i ；（5） (n +1)[u[n] − u[n − 3]]*[u[n] − u[n − 4]] 。 i=0
解：
(1)
因为
Z [(−1) n
u[n]]
=
1
7.3 利用 Z 变换的性质求下列序列的 Z 变换 X（z）。
（2） (n −1)2 u[n −1] ；（3） an u[n] n +1
解：（2）
因为
u[n
−
1]
Z
←→
z
1 −
1
；设
x1[n]
=
(n
−
1)u[n
−
1]
则
X1(z)
=
(z
z − 1) 2
z −1
=
(z
1 − 1) 2
x[n] = (n − 1)2 u[n − 1] = (n − 1)x1[n] = nx1[n] − x1[n]
第二种方法：利用线性加权性质（P269 式 7-29）：
若
x[n]
Z
←→
X
[z]
；则
nx[n]
Z
←→ −
z
dX
[z]
dz
∑ Z
因为： u[n]←→
z
， ∞ mz m = −z d (
z
)=
z
z −1 m=0
dz z − 1 (z − 1)2
∑ 故： X (z) = − 1 ∞ mz m = − 1 z ； ROC :| z |< 1）
（2） z < 0.5 对应的左边序列
x[n] = Z −1{ z − z } = [−0.5n + 2n ]u[−n −1] z − 0.5 z − 2
（3） 0.5 < z < 2 对应的双边序列，X(z)可以看成是一个右边序列和一个左边序列的叠加，
其反变换 x[n]在 0.5 < z 收敛域内是右边序列，在 z < 2 收敛域是左边序列 x[n] = Z −1{ z − z } = (0.5)n u[n] + 2n u[−n −1] z − 0.5 z − 2
z
>a
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第八周作业 2
7.4； 7.9 (2)、(4); 7.11； 7.14 (2)； 7.19； 7.20；7.22
7.4 用长除法、留数定理、部分分式法求以下 X(z)的 Z 反变换。
1 − 1 z −1 （1） 2 ,
1 +z
−1
=
z z +1 ； ROC :| z |> 1
由线性加权性质：若
x[n]
Z
←→
X
[z]
；则
Z
nx[n] ←→−
z
dX
[
z]
dz
Z[(−1)n nx[n]] = −z d ( z ) = − z dz z +1 (z +1)2
（4）因为 Z[(−1)n u[n]] =
1 1 + z −1
，
用叠加原理求出总的 Z 变换
当 n≥0 时，因为（参见 P262 例 7-1） Z[a nu[n]] = 1 ；这里 a = 1
1 − az −1
4
故
Z[( 1 )n u[n]] 4
=
1−
1 1
z −1
； ROC :|
z |>
1 4
4
当 n≤0 时，（参见 P265 例 7-3）： ( 1 )−n u[−n −1] = −[−(2)n u[−n −1]] 2
利用线性叠加性质：
∑ X (z)
=
∞
a n[cos(ω0n) + sin(ω0n)]⋅ z −n
n=0
=
1 − z −1a[sin ω0 + cos ω0 ] 1 − z −1[2a cos ω0 ] + a 2 z −2
； ROC
:|
z
|>
a
（3）此题的 x[n]为双边序列，故可以分别按左边序列与右边序列求出它们的 Z 变换后再利
1− 1 z−2 4
z
>
1 2
1− 2z −1 ；（2） 1− 1 z −1 ,
4
z <1 4
解：（1） 由收敛域知，原序列为右边序列，因
1 − 1 z −1 2=
1
1 − 1 z −2 1 + 1 z −1
4
2
法一：长除法：因为
1 = 1 − 1 z −1 + 1 z −2 − 1 z −3 + 1 z −4 −
=
X1(z)X1(z)
=
(z3
+
z2
−1)(z 2 + (z −1)z5
1)(z
+ 1)
；
ROC
:
z >1
7.6
画出
X (z)
=
− 3z −1 2 − 5z −1 + 2z −2
的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左边序列？
右边序列？双边序列？并求各对应序列。
（1） z > 2 ； （2） z < 0.5 ； （3） 0.5 < z < 2 。
则： X1(z) = Z{x1[n]} =
z (z −1)2
+
z
z −
1
−
(
3z − 2 z −1)2 z
2
−
(
z
1 − 1) z
2
=
z3 + z2 −1 (z −1)2 z 2
X 2 (z) = Z{x2[n]} =
z − z −3 z −1
=
(z2
+1)(z +1) z3
根据时域卷积性质：
X
(z)
;
z−a
ROC : z > a
∫ ∫ 积分性质： Z[ 1 x[n]] = −z a z
n+a
−∞
X (v) v a+1
dv
；
Z[1 n
x[n]]
=
−
z −∞
X (v)v−1dv
v
∫ ∫ Z[ an u[n]] = n +1
z
∞ z
v−a v2
dv
=
z
∞ z
1 v(v − a)
=
z ln( z ) ； a z−a
解：因为 X (z) =
− 3z −1 2 − 5z −1 + 2z −2
=−3 2
z (z − 2)(z − 0.5)
Im
Re
0
0.5 2
故可画出其零极点图如右图所示 进一步还可画出题目所给出的三种收敛域 由已知的收敛域，可知：
（1） z > 2 为右边序列；（2） z < 0.5 为左边序列；
z
>1
∑ 由累加性质：
Z{
i
k =−∞
x[k
]}
=
1
1 −z
−1
X (z)
∑k
故 Z{
i=0
(−1)i} =
1 1 − z −1
⋅
1
1 +z
−1
=
z2 ； z2 −1
ROC :
（5） (n +1)[u[n] − u[n − 3]]*[u[n] − u[n − 4]]
z >1
设： x1[n] = (n +1)[u[n] − u[n − 3]] ； x2[n] = u[n] − u[n − 4]
（7） x[n] = neanu[n], a ∈ R.。
（4） x[n] = (1)−n u[n] ； 3
（6） x[n] = 1 nu[−n] ； 2
解：（1）直接由定义可以得：
∑ ∑ X (z) =
∞
x[n]z −n =
2 x[n]z −n = − 1 z 2 − 1 z + 1 + 1 z −1 + 1 z −2 ； ROC : O <| z |< ∞
∑ 故： X (z) = − 1 ∞ mz m = − 1 z −1 = − 1 z ； ROC :| z |< 1
2 m=0
2 (1 − z −1 )2 2 (z − 1)2
∞
∑ mz m = z −1 + 2z −2 + 3z −3 + 4z −4 +
m=0
= z −1 (1 + z −1 + z −2 + z −3 + z −4 +
n=−∞ 3
m=0
1− 3z z − 1
3
3
∑ ∑ ∑ ∑ （6）x[n]是左边序列， X (z) =
∞
x[n]z −n =
0
(1 n)z −n
∞
=−
(1 m)z m = − 1
∞
mz m
n=−∞
n=−∞ 2
m=0 2
2 m=0
∑ 有多种方法可得
∞
mz m =
z −1
，
m=0
(1 − z −1 )2
, ROC :| Leabharlann Baidu |< 2
n=0
n→∞ 1 − z
2 − z z − 2 1 − 2z −1
2
综合上述，即可得
X [z] = 1 − 1 ； ROC : 1 <| z |< 2
1 − 1 z −1 1 − 2z −1
4
4
（4）易知：x[n]是右边序列，故参见 P262 例 7-1 可得
∑ ∑ ∑ X (z) = ∞ x[n]z −n = ∞ 3n z −n = ∞ ( 3)n = 1 ； ROC :| z |> 3
Z[a n
cos(ω 0 n)u[n]]
=
1−
1 − z −1[a cosω0 ] z −1[2a cosω0 ] + a 2 z −2
；
ROC :| z |> a
仿上：
Z[a
n
sin(ω
0
n)u[n]]
=
1
−
z
z −1[a sin −1[2a cosω
ω0] 0]+
a
2
z
−2
； ROC :| z |> a
（3） 0.5 < z < 2 为双边序列。
（1） z > 2 对应的右边序列：
因为 X (z) = − 3
1
= 1 − 1 ； X (z) = z − z ；
z
2 (z − 2)(z − 0.5) z − 0.5 z − 2
z − 0.5 z − 2
故： x[n] = Z −1[ X (z)] = Z −1{ z − z } = [(0.5)n − 2n ]u[n] z − 0.5 z − 2
7.1； 7.3(1)、(4)、(5); 7.6； 7.3 (2)、(3)
7.1 求下列序列的 Z 变换，并确定其收敛域。 （1） ；
（2） x[n] = a n[cos(ω0n) + sin(ω0n)] ⋅ u[n], a ∈ R ；
（3）
x[n]
=
((114))−nn,,nn
≥ <
0 0
；
2
（5） x[n] = (1)n u[−n] ； 3
n=−∞
n=−2
42
24
∞
∞
∑ ∑ （2） X (z) = x[n]z −n = a n[cos(ω0n) + sin(ω0n)] ⋅ z −n
n=−∞
n=0
因为（参见 P262 例 7-1） Z[a nu[n]] = 1 ； ROC :| z |> a 1 − az −1
又因（参见
P268
例
7-7）：
（第一种方法：直接计算
+ z −1 + z −2 + z −3 + z −4 +
+ z −2 + z −3 + z −4 +
+
= z −1 ( 1 + z −1 + z −2 + z −3 +
) = z −1
1 − z −1 1 − z −1 1 − z −1 1 − z −1 (1 − z −1 )2
1− 4z
X (z) =1+ 7 = 8 + 7 ⋅ 4z + 7 ⋅ 42 z2 + 7 ⋅ 43 z3 + 7 ⋅ 44 z4 +
1− 4z
故： x[n] = {8,7 ⋅ 4,7 ⋅ 42 ,7 ⋅ 43 ,7 ⋅ 44 , 7 ⋅ 4n }u[−n −1]
n=−∞
n=0
n=0 z
1 − 3z −1
（5）x[n]是左边序列，但从原点开始，因 (1)n u[−n] = 1
3
n=0
参见 P263 例 7-2：
1
∑ ∑ Z[(1)n u[−n]] = 0 [(1)n z −n ] ={ ∞ [(3z)m ]} = 1 = − 3 ; ROC : z < 1
3
n +1
n=0 n +1
2
3
4 n
=
−
1 az −1
{−[az
−1
+
(az −1)2 2
+
(az −1)3 3
+
(az −1)4 4
++
(az −1)n n
+ ]}
=
−
ln(1− az −1) az −1
=
z a
ln(
z
z −
); a
az −1 < 1; z > a
Z
法二：因为 anu[n]←→
z
2
法三：部分分式法：因
1 − 1 z −1 2=
1
=z
1− 1 z −2 1+ 1 z −1 z + 1
4
2
2
查表直接可得 x[n] = (− 1 )n u[n] 2
（2）由收敛域知，原序列为左边序列。因
X (z)
=
1− 2z −1 1− 1 z −1
=1+ 7 1− 4z
4
法一：长除法：因为 7 = 7 + 7 ⋅ 4z + 7 ⋅ 42 z 2 + 7 ⋅ 43 z3 + 7 ⋅ 44 z 4 +
1 + 1 z −1
2
4
8
16
2
x[n] = {1,− 1 , 1 ,− 1 ,+ 1 − } = (− 1 )n u[n] 2 4 8 16 2
法二：留数定理：
x[n]
=
{Re
s{X
(
z)
z
n−1}
z
=−
1
u[n]
=
{(
z
+
2
1) 2
z ⋅ z n−1
z+
1
} z=−
1
2
= (− 1 )n u[n] 2