应用多元统计分析习题解答聚类分析

应用多元统计分析习题

解答聚类分析

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

第五章 聚类分析

5.1 判别分析和聚类分析有何区别？

答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。

5.2 试述系统聚类的基本思想。

答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。

5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？

答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1()()p

q q

ij ik jk k d q X

X ==-∑ q 取不同值，分为

（1）绝对距离（1q =）

（2）欧氏距离（2q =）

（3）切比雪夫距离（q =∞）

（二）马氏距离

（三）兰氏距离

对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。

将变量看作p 维空间的向量，一般用

（一）夹角余弦

（二）相关系数

5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？

答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。

（1）. 最短距离法

（2）最长距离法

（3）中间距离法 22222

121pq kq kp kr D D D D β++=

其中

（4）重心法 （5）类平均法

（6）可变类平均法

其中?是可变的且? <1

（7）可变法

22221()2

kr kp kq pq D D D D ββ-=++ 其中?是可变的且? <1 （8）离差平方和法

通常选择距离公式应注意遵循以下的基本原则：

（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。

（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。

（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定最合适的距离测度方法。

2

2

22(1)()p q kr kp kq pq r r n n D D D D n n ββ=-++

5.5试述K 均值法与系统聚类法的异同。

答：相同：K —均值法和系统聚类法一样，都是以距离的远近亲疏为标准进行聚类的。

不同：系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K —均值法只能产生指定类数的聚类结果。

具体类数的确定，离不开实践经验的积累；有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K —均值法确定类数的参考。

5.6 试述K 均值法与系统聚类有何区别？试述有序聚类法的基本思想。

答：K 均值法的基本思想是将每一个样品分配给最近中心（均值）的类中。系统聚类对不同的类数产生一系列的聚类结果，而K —均值法只能产生指定类数的聚类结果。具体类数的确定，有时也可以借助系统聚类法以一部分样品为对象进行聚类，其结果作为K 均值法确定类数的参考。

有序聚类就是解决样品的次序不能变动时的聚类分析问题。如果用)()2()1(,,,n X X X 表示n 个有序的样品，则每一类必须是这样的形式，即)()1()(,,,j i i X X X +，其中,1n i ≤≤且n j ≤，简记为},,1,{j i i G i +=。在同一类中的样品是次序相邻的。一般的步骤是（1）计算直径{D （i,j ）}。（2）计算最小分类损失函数{L[p(l,k)]}。(3)确定分类个数k 。

（4）最优分类。

5.7 检测某类产品的重量， 抽了六个样品， 每个样品只测了一个指标，分别为1，2，3，6，9，11.试用最短距离法，重心法进行聚类分析。

（1）用最短距离法进行聚类分析。

采用绝对值距离，计算样品间距离阵

1 0

2 1 0

5 4 3 0

8 7 6 3 0

10 9 8 5 2 0

由上表易知中最小元素是于是将，，聚为一类，记为计算距离阵

3 0

6 3 0

8 5 2 0

中最小元素是=2 于是将，聚为一类，记为

计算样本距离阵

3 0

6 3 0

中最小元素是于是将，聚为一类，记为因此，

（2）用重心法进行聚类分析

计算样品间平方距离阵

1 0

4 1 0

25 16 9 0

64 49 36 9 0

100 81 64 25 4 0