(完整版)求圆锥曲线离心率的几种方法
求解圆锥曲线离心率的常用方法
求解圆锥曲线离心率的常用方法离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题，在历年的高考中经常出现，本文通过实例介绍几种求解圆锥曲线离心率的常用方法．一、直接求出a 、c ，求解离心率e例1. 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. 23 B. 23 C. 26 D. 332 解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ， 即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ， 则02322=--c c ，解得33232====a c e a c ，，， 故选D 。
二、构造a 、c 的齐次式，解出离心率e抓住题目中的等量关系,根据a,b,c 的关系,构造出关于a,c(尤其是ａ,c 的齐次式), 进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2.(07高考浙江) 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，ab PF PF 421=⋅，则双曲线的离心率是（ ）Ｃ．2 Ｄ．3解:设),(2m ca P ,则),(21m c c a PF +=→,),(22m c c a PF -=→,由21PF PF ⊥得:02224=+-m c ca ,而ab mc PF PF 4221=⋅=⋅,两式联立得:2422224c a c c b a -=,即44224a c b a -=,b 转化为c a ,两边同除以4a 有,03424=+-e e ,又1>e 得3=e , 所以选项为B例3．.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）AB ．12CD解:)3,(),0,(),0,(221c c a P c F c F -,c F F 221=,()222203-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c a P F 所以22224424c a c c a =-+即22==a c e 选项为B 这种方法也是圆锥曲线中最常用的方法,应该引起重视.在解题中要牢牢抓住试题中的等量关系,根据等量关系列出c a ,得式子(有b 的转化为c a ,),在经过变形就可以求出ac e =这个整体的值,注意椭圆和双曲线中e 的范围限制. 三.求离心率e 的取值范围.此类题目一般要找题目往往要根据题目给出的条件,建立起有关字母(主要是),c a 的关系式或不等式,通过处理这些关系式达到解题的目的.例4.设P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点,且 9021=∠PF F ,其中21,F F 是椭圆的两个焦点,求椭圆离心率的范围. 解法1（利用二次方程有实根建立不等式）:a PF PF 221=+,因为 9021=∠PF F ,所以222122214c F F PF PF ==+, 所以)(22221c a PF PF -=⋅,所以21,PF PF 是方程0)(22222=-+-c a ax x 的两个根,所以08422≥+-=∆c a ,又1<e ,所以解得⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,22e . 解法2（利用x 或y 的有界性建立不等式）： 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c ae 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[ 上面两种方法是我们求离心率范围的实质，要抓住题目中的不等量关系建立起关于ca ,的不等式，从而求出e 的范围。
圆锥曲线离心率的求法(已整理)
圆锥曲线离心率的求法进修目的1.控制求解椭圆.双曲线离心率及其取值规模的几类办法;2.造就学生的剖析才能.懂得才能.常识迁徙才能.解决问题的才能; 进修重难点重点：椭圆.双曲线离心率的求法;难点：经由过程回归界说,联合几何图形,树立目的函数以及不雅察图形.设参数.转化等门路肯定离心率教授教养进程：温习回想：圆锥曲线离心率的概念 一.求离心率探讨一：应用界说直接求a ,c例1．已知椭圆E 的短轴长为6,核心F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于．演习1：在正三角形ABC 中,点D.E 分离是AB.AC 的中点,则以B.C 为核心,且过D.E 的双曲线的离心率为( )A.53B.3－1C.2＋1D.3＋1 探讨二：结构关于e 的(a,b,c 的齐次)方程 例2．已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上核心为F ,左.右极点分离为12,B B ,下极点为A ,直线2AB 与直线1B F 交于点P ,若22AP AB =,则椭圆的离心率为___________演习2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左.右核心分离是F1.F2,过F1作竖直角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )A.6B.3C.2D.33探讨三：以直线与圆锥曲线的地位关系为布景,设而不求肯定e 的方程例3．椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0),点F 的直线交椭圆于A.B 两点,→OA +→OB 求e?二.求离心率的规模(1.直接依据题意树立,a c 不等关系求解. 例 4.已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的半焦距为ｃ,若042<-ac b, 则双曲线的离心率规模是（ ） Ａ．521+<<e Ｂ522+<<e Ｃ．5252+<<-eＤ．223<<e2.借助平面几何干系树立,a c 不等关系求解 例5.设12F F ，分离是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左.右核心,若在直线ｘ=2a c 上消失,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值规模是（ ）A ．(02，B ．(0C ．1)2 D.1)3.应用圆锥曲线相干性质树立,a c 不等关系求解.例6.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0) ,F1是左核心,O 为坐标原点,若双曲线上消失点P,使|PO|＝|PF1|,则此双曲线的离心率的取值规模是()A ．(1,2] B ．(1,＋∞)C．(1,3) D ．[2,＋∞)4.应用数形联合树立,a c 不等关系求解 例7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右核心为F,若过点F 且竖直角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值规模是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 5.应用函数思惟求解离心率 例8.设1>a ,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值规模是A ．)2,2( B.)5,2( C.)5,2( D.)5,2(演习 3. 设A1.A2,若在椭圆上消失异于A1.A2的点P ,使得02=⋅PA PO ,个中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值规模是A. B. C.小结：求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特点三角形.经常应用办法:1.应用曲线变量规模.圆锥曲中变量的变更规模对离心率的影响是直接的,充分应用这一点,可优化解题．2.应用直线与曲线的地位关系.依据题意找出直线与曲线相对的地位关系,列出相干元素的不等式,可敏捷解题．3.应用点与曲线的地位关系.依据某点在曲线的内部或外部,列出不等式,再求规模,是一个主要的解题门路．4.联立方程组.假如有两曲线订交,将两个方程联立,解出交点,再应用规模,列出不等式并求其解．5.三角函数的有界性.用三角常识树立等量关系,再应用三角函数的有界性,列出不等式易解．6.用根的判别式依据前提树立与ａ.ｂ.ｃ相干的一元二次方程,再用根的判别式列出不等式,可得简解7.数形结正当：解析几何和平面几何都是研讨图形性质的,只不过平面几何只限于研讨直线形和圆.是以,在题设前提中有关圆.直线的问题,或标题中结构出直线形与圆,可以应用平面几何的性质简化盘算. 演习1.如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b -=>的两极点为1A ,2A ,虚轴两头点为1B ,2B ,两核心为1F ,2F . 若认为12A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分离为,,,A B C D . 则双曲线的离心率e =;2.设12,F F0)b>的两个核心,P 是C 上一点,若1PF PF +30,则C 的离心率为___. 3.如图,1,F 2C 的公共核心,B A ,分离是1C ,2C 21BF AF 2C （ ）A ．2B ．3B ．C ．23D ．264.设双曲线C ：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1订交于两个不合的点A,B. 求双曲线C 的离心率e 的取值规模。
圆锥曲线之求解离心率
一、快速求离心率的两种技巧 1. 赋值法适用于知道c b a ,,中两者之间的关系，如b a 2=,令12==b a ,,则233==e c , 2. 齐次式（等式两边次数和相同）如ac b 22=,则ac c a 222=-,该式左右两边次数之和都是二次,因此同乘21a 得e e 212=-,解得21+-=e （负值舍去）如22442c a c a =-应同乘41a ,2333ac c a =-应同乘31a注意:齐次式的方法必须消去b ,如222422c ab b a c b a =++⇒=+就无法用此法, 应该222222244442c a ac a c b ac a c b a c -=-+⇒=-+⇒=- 二、利用顶角求离心率的取值范围在椭圆中,顶角∠211F P F 最大. 证明:设∠θ=21PF F ,由余弦定理知()1412422424222222222-≥-=--+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m b mn b mn mn c n m mn c n m θcos 当且仅当n m =,θcos 取得取最小值.又因为(]πθ，0∈,θcos 单调递减,所以θcos 取得取最小值时,θ最大,此时a n m ==,=θ∠211F P F .例1. 椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 为其上一点,且∠321π=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .例2.（2017全国I,12）设B A ,是椭圆1322=+my x C :长轴的两个端点,若C上存在点M 满足∠︒=120AMB ,则m 的取值范围是A . (][)+∞⋃,,910B . (][)+∞⋃,,930C . (][)+∞⋃,,410D . (][)+∞⋃,,430变式1：若B A ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,长轴的两个端点,Q 为椭圆上的一点,使∠︒=120AQB ,求此椭圆离心率最小值为 .变式2:已知21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a b y a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠9021=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .三、利用焦半径求离心率取值范围在椭圆中,21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-2同理,双曲线中,a c PF -≥2. 例1.椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 是椭圆上一点,且212PF PF =,则此椭圆离心率的取值范围是 . 例2.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,点P 在双曲线的右支上,且214PF PF =,则此双曲线离心率e 的最大值为 .变式1.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,P 是双曲线上异于实轴端点的点,满足1221F PF a F PF c ∠=∠sin sin ,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A . ()3121++, B . ()+∞+,21C . ()212+, D . ()211+,四、利用渐近线求离心率取值范围过双曲线内一点①与双曲线只有一个交点的直线有两条(与渐近线平行)②与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,a b a b③与双曲线左、右两支相交于两点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+-a b a b ,.例1. 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个焦点分别在左右两支上,则双曲线离心率的取值范围是 例2.设双曲线()01222>=-a y ax C :与直线1=+y x l :相交于两个不同的点B A ,,求双曲线C 的离心率e 的取值范围.变式 1. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A . (]21,B . ()21,C . [)+∞,2 D . ()+∞,2五、椭圆与双曲线共焦点问题 例1.已知共焦点21F F ,的的椭圆与双曲线,它们的一个公共点是P ,若021=⋅P F P F ,则椭圆的离心率1e 与双曲线的离心率2e 的关系式为( ) A .2112221=+e e B . 2112221=-e e C . 22221=+e e D . 22122=-e e变式 1. 设椭圆11022=+y x 双曲线1822=-y x 的公共焦点分别为21F F ,, P 是这两个曲线的交点,则21F PF ∆的外接圆半径为( )A . 1B . 2C . 22D . 3变式 2. 已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且321π=∠PF F ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .334 B . 332 C .3 D . 3 六、圆锥曲线再论共焦点模型设椭圆和双曲线的长半轴分别为21a a ,,由椭圆和双曲线的定义知22112122a PF PF a PF PF =-=+,解得212211a a PF a a PF -=+=例1.椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,它们在第一象限的交点为A ,且21AF AF ⊥,︒=∠3021F AF ,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A . 2B . 3C .21D .23 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为21F F ,,且两条曲线在第一象限的交点为P ,21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若101=PF ,椭圆与双曲线的离心率分别为21e e ,,则121+⋅e e 的取值范围为( )A . ()+∞,1B . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34 C .⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 D . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,910变式1.已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且11PF PF >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,若211F F PF =,则3321e e +的最小值为( )A . 326+B . 226+C . 8D . 6变式2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,都在x 轴上,记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ,若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为七、圆锥曲线三站共焦点模型设θ221=∠PF F ,在21F PF ∆中,221211212122cb a a PF PFc F F +==+=由余弦定理知,()()()θθθ212421222212121221212221221cos cos cos +-=+-+=-+=PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F可得()θθ212212212121cos cos +=+-=b c a PF PF ,θθθθtan cos sin sin 21212121222121b b PF PF S PF F =+==∆ 同理可得,θtan 2221b S PF F =∆ 所以θθtan tan 2221b b =⇒()()222222212222221a c c a a c c a -=-⇒-=-θθθcos sin tan 两边同时除以2c ,得到1222212=+e e θθcos sin 例1.设21e e ,分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和圆锥曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则()2212221e e e e +的值为( ) A .21B . 1C . 2D . 不确定 例2.已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则当211e e 取最大值时,的值分别是( )A .2622, B . 2521, C . 633, D . 342, 变式 1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则2111e e +的最大值为 .变式2.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同,且离心率互为倒数,21F F ,是它们的公共21e e ,焦点,P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点,若321π=∠PF F ,则椭圆1C 的离心率为A .33 B . 23 C . 22 D . 21八、圆锥曲线线段最值问题空间中定点到圆锥曲线上动点线段长度问题 处理策略:1. 二次函数 2. 参数方程例1. 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A . 25B .246+ C . 27+ D . 26九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e .对椭圆12222=+b y a x ,相对于焦点()0,c F 的准线方程是c a x 2=设过左焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,,过A 向准线ca x 2=作垂线于点D⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=θcos 1211AF c c a e AD e AF e AD AF 解得θcos c a b AF -=21同理可得,θcos c a b BF +=21设()121>=λλAF AF ,得θθθθθθλcos cos cos cos cos cos e e c a c a c a b c a b -+=-+=+-=1122⇒11-+=λλθcos e 即1111BF AF BF AF e +-==和差θcos例1. 双曲线),(:0012222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 与B A ,两点,若FB AF 4=,则C 的离心率为例2. 已知椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的离心率为23,过右焦点F 且斜率为)(0>k k 的直线与C 相交于与B A ,两点.若BF AF 3=,则=k变式 1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为变式 2. 设椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的右焦点F ,过F 的直线与椭圆C 相交于与B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,FB AF 2= (1) 求椭圆C 的离心率 (2) 如果215=AB ,求椭圆C 的的方程.十、椭圆的焦半径公式坐标式 设椭圆上一点),(y x A ,则exa AF ex a AF -=+=21例1. 已知ABC ∆是椭圆192522=+y x 的内接三角形,F 是椭圆的右焦点,且ABC ∆的重心在原点0,则C B A ,,三点到F 的距离之和为( )A . 9B . 15C . 12D . 8变式1. 已知椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21F F ,,P 为椭圆上一动点. (1) 求21PF PF 的取值范围； (2) 求21PF PF ⋅的取值范围.九、快速求离心率的两种技巧 十、利用顶角求离心率的取值范围 例1.解:由题意知,有一点P 使∠321π=PF F ,则椭圆的顶角∠3211π≥F P F ,所以∠621π≥F OP ,又因为a c F OP =21sin ,则21621=≥=πsin sin a c F OP 故⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈121,e例2.变式1.变式2.十一、利用焦半径求离心率取值范围例1.例2.变式1.十二、利用渐近线求离心率取值范围例1变式1十三、椭圆与双曲线共焦点问题例1变式2十四、圆锥曲线再论共焦点模型例1例2变式1变式2十五、圆锥曲线三站共焦点模型例1例2变式1变式2十六、圆锥曲线线段最值问题例1九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式例1例2变式1变式2十、椭圆的焦半径公式坐标式例1变式1。
求圆锥曲线离心率的方法
思路探寻离心率是圆锥曲线中双曲线和椭圆的重要性质.在解答圆锥曲线离心率问题时，要重点关注圆锥曲线的性质、离心率公式以及圆锥曲线的标准方程，根据题中所给的条件求出a 、c 的值或关系式，进而求得圆锥曲线的离心率.具体可采用以下三种方法.一、公式法我们知道，离心率e =ca.在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据题目中的已知条件直接对问题进行求解.求出a 、b 、c 的值或关系式后，结合圆锥曲线标准方程中a 、b 、c 之间的关系来求得a 、c 的值，再根据公式e =ca求出离心率.例1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0，双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点构成一个四边形，且四边形中有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为.解：设双曲线C 的焦点坐标是F 1和F 2，虚轴的两个端点是B 1和B 2，则四边形F 1B 1F 2B 2为菱形．若∠B 2F 1B 1=60°，则∠B 2F 1F 2=30°，由勾股定理可知c=3b ,a =2b ,故双曲线C 的离心率e =c a =.若∠F 1B 2F 2=60°，则∠F 1B 2B 1=30°，由勾股定理可知b =3c ，不满足c ＞b .综上所述，双曲线C 的离心率为e =.解答本题，我们需首先根据题意绘制出几何图形，然后根据菱形的性质和勾股定理求出a 、c 的关系式，再利用离心率公式求得结果.二、定义法定义法是根据圆锥曲线的定义来求其离心率的方法.运用这一方法解题，需熟知圆锥曲线的第一定义和第二定义.我们根据第一定义，分析曲线上的点与两焦点的距离，便可以求出2a 、2c 的值或关系式；根据第二定义，通过研究曲线上点到准线的距离，就可以确定曲线的离心率.例2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1()a >0,b >0，过双曲线C 的右焦点F 且斜率为3的直线与双曲线C交于A ,B 两点，若 AF =4FB ,则C 的离心率为.解：设l 为双曲线C :x 2a 2-y2b2=1的右准线，过A ,B分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，BD ⊥AM 于D ，如图所示，∵直线AB 的斜率为3，∴AB 的倾斜角为60∘，∴∠BAD =60∘,|| AD =12|| AB .根据双曲线的第二定义可得||AM -||BN =||AD =1e()AF - FB =12|| AB =12()||AF +|| FB .又∵ AF =4 FB ，1e ∙3FB =52FB ，∴e =65.我们首先根据圆锥曲线的第二定义作出准线，结合几何图形找出曲线上的点到准线的距离，建立关系式，便可求出曲线的离心率.三、齐次式法有时，我们根据已知条件和圆锥曲线的定义、性质很难求出a 、c 的值，只能得到相关的关系式，此时，可以根据已知条件构造关于a 、c 的齐次式，然后通过恒等变换将其转化为关于离心率e 的一元二次方程，解方程便可快速求得曲线的离心率.例3.已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ,B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是.解：∵F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，∴F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，A æèçöø÷-c ,b 2a ，B æèçöø÷-c ,b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2a 2c＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2并整理得e 2+2e -1＞0，解得e ＞2-1或e ＜-2-1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1).我们首先根据锐角三角形的性质确定∠AF 2F 1的取值范围，由此建立关于a 、c 的二次齐次式，然后将其转化为关于e 的一元二次方程来进行求解.上述三种方法都是求圆锥曲线离心率的常用方法.其中，公式法与定义法是同学们使用较多的方法，也较为简单.而齐次式法一般适用于求解较为复杂的题目，解题过程中的计算量也较大.(作者单位:新疆阿克苏地区第二中学)求圆锥曲线离心率的方法荀文文53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
求解圆锥曲线离心率问题的两种途径
思路探寻离心率是圆锥曲线的基本性质之一.圆锥曲线的离心率问题常以填空或选择题的形式出现，题目的难度适中.这类问题的常见命题形式有：（1）求椭圆、双曲线的离心率；（2）求圆锥曲线离心率的取值范围、最值.本文主要探讨一下求解圆锥曲线离心率问题的两种途径：构造齐次方程和利用离心率公式.一、构造齐次方程在求解圆锥曲线的离心率问题时，我们通常可根据已知的条件和圆锥曲线的方程，得到关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系.那么我们就可以结合椭圆、双曲线的方程中参数a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2或a 2-b 2=c 2，将关于a 2、b 2、c 2或a 、b 、c 的等量关系进行变形，构造出关于a 、b 、c 齐次方程，将问题转化为求c 2a 2，进而求得圆锥曲线的离心率e .例1.已知点A 、B 是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1()a >b >0长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上(异于A 、B 两点).若直线PA 、PB 斜率之积为a -4c3a，则椭圆的离心率为().A.13B.14C.23D.34解：设点P 的坐标为()m ,n ，则m 2a 2+n 2b 2=1，m 2-a 2=-a 2n 2b 2，设A ()-a ,0，B ()a ,0,则k PA ∙k PB =n m +a ∙n m -a =n 2m 2-a 2=n 2-a 2n 2b 2=-a 2b2=-a -4c 3a ，整理得3c 2+4ac -4a 2=0，即3e 2+4e -4=0，解得e =23或e =-2(舍去)，故答案为选项C .解答本题，需先根据椭圆的方程和直线的斜率公式建立关于a 、b 、c 的方程；然后根据椭圆的a 、b 、c 之间的关系a 2+b 2=c 2，将所得的关系式变形为关于a 、c 的齐次方程3c 2+4ac -4a 2=0，通过解方程求得e 的值.例2.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与过原点的直线l 交于P 、Q 两点(P 在第一象限)，过点P 作l 的垂线，与双曲线交于另一个点A ，直线QA 与x 轴交于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为______.解：由题意可知，直线PQ 的斜率存在且不为零，设直线PQ ：y =kx ()k ≠0，设点P ()t ,kt ，得点Q ()-t ,-kt ，点B ()-2t ,0,∵AP ⊥PQ ，∴k AP =-1k，∴直线AP ：y -kt =-1k()x -t ，又∵k AQ =k BQ =kt -2t +t=-k，∴直线AQ ：x =-1ky -2t ，由ìíîïïy -kt =-1k()x -t ,x =-1k y -2t ,可得ìíîïïïïx =-3k 2t +tk 2-1,y =kt ()3+k 2k 2-1,即A æèççöø÷÷-t ()3k 2+1k 2-1,kt ()k 2+3k 2-1，∵点A 在双曲线上，∴t 2()3k 2+12a 2()k 2-12-k 2t 2()k 2+32b 2()k 2-12=1，又∵P 在双曲线上，∴t 2a 2-k 2t 2b 2=1，∴t 2=a 2b 2b 2-a 2k 2，可得b 2()3k 2+12()k2-12()b 2-a 2k2-k 2a 2()k 2+32()b 2-a 2k 2()k2-12=1，化简得b 2()8k 4+8k 2=a 2k 2()8k 2+8，50思路探寻∵k≠0，∴b2=a2，∴a2=c2-a2，可得c2a2=2，即双曲线的离心率e=2.本题较为复杂，我们需首先结合直线AP、PQ的方程和双曲线的方程建立关于k、t、b、a的关系式；然后结合双曲线中a、b、c之间的关系a2+b2=c2，通过消元、代换，得到关于a、c的齐次方程，进而求得离心率e的值.二、利用公式法公式法是求解圆锥曲线离心率问题的重要方法，主要是利用离心率公式e=c a来求圆锥曲线的离心率.在解题时，可先灵活运用圆锥曲线的定义、几何性质列出关于a、b、c的关系式；然后通过移项、化简等方式，将关系式转化为关于a、c的关系式；最后根据公式e=c a求出离心率的值.例3.如图1，已知F1、F2分别是曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于点P、Q两点，若PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，则双曲线C的离心率为().图1A.6-3B.5-22C.5+22D.1+22解：因为PQ⊥PF1，||PQ=||PF1，由双曲线的定义可得||PF1-||PF2=||PQ-||PF2=||QF2=2a，||QF1-||QF2=2a，所以||QF1=4a，由∠F1QF2=π4,得||F1F2=2c，在△QF1F2中，由余弦定理可得16a2+4a2-2×4a×2a=4c2，化简得e==5-22.故答案为选项C.我们根据已知条件，利用双曲线的定义、余弦定理得到a、c等量关系式，即可根据离心率公式直接求得双曲线的离心率.例4.如图2，已知F1、F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F1的直线与双曲线交左支于A、B两点，且||AF1=2||BF1,以点O为圆心，OF2为半径的圆经过点B，则椭圆C的离心率为_____.图2解：由题意可得∠F1BF2=90°，设||BF1=m，||BF2=m+2a，||AF1=2m，则||AF2=2m+2a，||AB=3m，在Rt△ABF2中，由勾股定理可得()2a+m2+()3m2=()2m+2a2，解得m=23a，则||BF1=2a3，||BF2=8a3，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得æèöø2a32+æèöø8a32=()2c2,化简得c=，所以椭圆的离心率为e=ca=.在解答本题时，要先仔细研究图形，结合圆的几何性质以及椭圆的定义找出a、b、c之间的关系；然后利用勾股定理得到关于a、c的关系式；最后将其代入圆锥曲线的离心率公式中，就能得到椭圆的离心率.相比较而言，公式法比较直接、简单，但需灵活运用圆锥曲线的性质和定义；而齐次化法较为复杂，运用该方法解题运算量较大.同学们需反复练习，领悟其中的要义，从而高效地解答问题.（作者单位：云南省曲靖市第二中学）51。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。
解法1:利用曲线范围 设P(x,y ）,又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()解法３:利用三角函数有界性 记||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有解法4:利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即解法5:利用基本不等式 由椭圆定义,有 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||解法6:巧用图形得几何特性 由，知点Ｐ在以为直径得圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ 故有演练一、直接求出或求出a与ｂ得比值,以求解。
在椭圆中,,1、已知椭圆得长轴长就是短轴长得2倍,则椭圆得离心率等于_＿＿＿＿2、已知椭圆两条准线间得距离就是焦距得２倍,则其离心率为_____３、若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆得离心率为＿___4、已知矩形ＡBＣD,AＢ=4,BC＝3,则以Ａ、Ｂ为焦点,且过C、D两点得椭圆得离心率为＿__5、若椭圆短轴端点为满足,则椭圆得离心率为＿＿_6、、已知则当ｍｎ取得最小值时,椭圆得得离心率为_＿＿_７、椭圆得焦点为,,两条准线与轴得交点分别为,若,则该椭圆离心率得取值范围就是____＿＿_＿_8、已知F１为椭圆得左焦点,Ａ、B分别为椭圆得右顶点与上顶点，P为椭圆上得点,当ＰF1⊥F1A,PO∥AB(Ｏ为椭圆中心)时,椭圆得离心率为＿__＿_______9、P就是椭圆＋=1（a>b＞0)上一点,就是椭圆得左右焦点,已知椭圆得离心率为＿＿＿__10、已知就是椭圆得两个焦点,P就是椭圆上一点,若，则椭圆得离心率为____＿＿_１1、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为，焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为_＿＿_＿__二、构造得齐次式,解出1.已知椭圆得焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆得离心率就是____２.以椭圆得右焦点F２为圆心作圆，使该圆过椭圆得中心并且与椭圆交于M、Ｎ两点,椭圆得左焦点为F1,直线ＭF１与圆相切，则椭圆得离心率就是____＿３.以椭圆得一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆得中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣ＭF∣=∣MO∣,则椭圆得离心率就是_＿__＿4.设椭圆得两个焦点分别为F1、、F2,过F２作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是____＿５.已知Ｆ１、F2就是椭圆得两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直得直线交椭圆于A、Ｂ两点,若△ABF2就是正三角形,则这个椭圆得离心率就是_＿_＿_三、寻找特殊图形中得不等关系或解三角形。
高二数学圆锥曲线中离心率的求法
圆锥曲线中离心率的求法在解析几何中，求离心率在高考中经常出现，解法较灵活，下面就介绍些常用的方法。
1、公式法：即利用ace =这一公式求离心率。
[例1]已知椭圆m y mx5522=+的离心率510=e ，求m 的值。
解：将椭圆方程化为标准方程得：1522=+my x （1）当50<<m 时，51055,5,,5222=-==-=∴==m ac e m c m b a ，可得3=m ；（2）当5>m 时，5105,5,5,222=-==-=∴==m m a c e m c b m a ，可得325=m ；3253==∴m m 或。
[例2]已知双曲线的渐近线为x y 43±=，求双曲线的离心率。
解：（1）当双曲线的焦点在X 轴上时，可得：43=a b ，从而451222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+==a b a b a ac e ； （2）当双曲线的焦点在Y 轴上时，可得：43=b a ，同理可得35=e ； ∴双曲线的离心率为4535或。
2、几何法：求与焦点三角形有关的离心率，可根据三角形的特征设一条边，再想办法求出2a,2c ，从而可得离心率。
[例3]以椭圆的右焦点2F 为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线)(11为左焦点F MF 是圆2F 的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）13- （B ）32- （C ）22（D ）23 解：如图，由题意得21F MF ∆为直角三角形，设12=MF ，则221=F F ，从而31=MF ，131322121-=+=+=∴MF MF F F e ，故选A 。
[例4]F 1，F 2为椭圆的左右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，求椭圆的离心率。
解：设2,1,111===Q F PQ PF 则，a QF PQ PF 411=++ ，()261212,2212222222221=-+=+=+=+=∴a PF PF c a ，3622-==∴ace 。
高考数学解题方法与技巧---圆锥曲线的离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，我们知道，椭圆的离心率 0 < e < 1 ，双曲线 的离心率 e > 1，抛物线的离心率 e = 1．因此求椭圆，双曲线，抛物线的离心率成了近 年高考热点，为了使大家更也的理解和撑握此类题型解题方法与技巧，本人结合近年 高考以及实际经验，介绍以下几种求圆锥曲线离心率常用方法，希望能对大家有所帮 助。
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解：由 F1(1,0) 、F2 (3,0) 知 2c = 3 −1，∴ c = 1 ，又∵椭圆过原点，∴ a − c = 1，a + c = 3 ，
∴ a = 2 ， c = 1 ，所以离心率 e = c = 1 .故选 C. a2
−
a
，得
c a
2
−
2
c a
−
2
=
0
，解得
e = c =1+ a
3 （1−
3 舍去），故选 D
x2 变式练习 1：设双曲线 a 2
−
y2 b2
= 1（ 0 < a < b ）的半焦距为 c ，直线 L 过 (a,0)，(0,b) 两
点.已知原点到直线的距离为 3 c ，则双曲线的离心率为(
)
= −6x 的准线是 x
=
3 2
，即双曲线的右准线 x
=
a2 c
=
c2 −1 = c
3
，则 2
2c2 − 3c − 2 = 0 ，解得 c = 2 ， a = 3 ， e = c = 2 3 ，故选 D a3
求解圆锥曲线离心率问题的两种措施
解题宝典圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率，其中椭圆的离心率0<e <1，双曲线的离心率e >1(抛物线的离心率e =1).圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现.熟练掌握一些求解离心率问题常用的思路，有助于提升解题的效率.本文结合例题，主要谈一谈解答圆锥曲线离心率问题的两种措施.一、运用公式法圆锥曲线的离心率公式为e =ca ，求解圆锥曲线的离心率问题，通常要用到公式e =ca.而求a 、c 及其关系式，往往要根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间关系来进行转化.在椭圆中，a 2=b 2+c 2；在双曲线中，a 2=c 2-b 2.例1.已知椭圆C 1:x 2m +2-y 2n=1和双曲线C 2:x 2m +y2n=1有相同的焦点，则椭圆C 1离心率e 的取值范围是______.解：∵椭圆C 1:x 2m +2-y 2n =1，∴a 12=m +2，b 12=-n ，c 12=m +2+n ，即e 12=c 12a 12=1+n m +2，∵双曲线C 2:x 2m +y 2n =1，∴a 22=m ，b 22=-n ，c 22=m -n ，由题意可得m +2+n =m -n ，∴n =-1，∴e 12=c 12a 12=1-1m +2，∵m >0，m +2>2，∴1m +2<12，-1m +2>-12，∴e 12=1-1m +2>12，解得e 1∵0<e 1<1，e 1<1.要求椭圆C 1离心率e 的取值范围，需根据椭圆离心率公式求得a 、c 及其关系式.于是先根据椭圆与双曲线的方程明确a 2、b 2、c 2的表达式；然后根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间的关系和离心率公式，求得e 1、e 2的表达式，通过确定m 、n 的取值范围，求得离心率的取值范围.例2.设F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点，且||F 1F 2=2c ，若椭圆上存在一点P ，使||PF 1⋅||PF 2=2c 2，则椭圆离心率的最小值为_____.解：由题意知F 1()-a,0、F 2()a,0，设P ()x 0,y 0，得||PF 1⋅||PF 2=()a +ex 0()a -ex 0=a 2-e 2x 02=2c 2，∴x 2=a 2-2c 2e 2≤a 2，即a 2-2c 2a 2=1-2e 2≤e 2，解得e 2≥13，即e∵0<e <1，e <1，∴我们首先设出P 点的坐标，根据椭圆的焦半径公式将已知条件||PF 1⋅||PF 2=2c 2转化为与a 、c 有关的等式；再根据椭圆上点的范围，建立关于a 、c 、e 的不等关系式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的不等式，通过解不等式，求得离心率的最小值.二、利用几何图形的性质我们知道圆锥曲线的离心率e =ca，其中a 为椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长，c 为椭圆和双曲线的半焦距.在解答圆锥曲线的离心率问题时，可根据椭圆和双曲线的定义、几何性质求得2a 、2c 的值，也可将椭圆的长半轴、双曲线的实半轴看作三角形、梯形的一条边，利用三角形、梯形的性质来求线段的长.例3.已知两定点A ()-1,0和B ()1,0，动点P ()x ,y 在直线l :y =x +3上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点，且经过点42解题宝典P，则椭圆C离心率的最大值为().解：由题意可得，椭圆的半焦距为1，由椭圆的定义可知||PA+||PB=2a.而点A()-1,0关于直线l:y=x+3的对称点A'()-3,2，连接A'B，交直线l于点P，如图1所示.图1由图1可知||PA+||PB=||PA'+||PB=||A'B，而||A'B=25，则椭圆C的长半轴长的最小值为25，所以椭圆C离心率的最大值为e=ca=15故正确的答案为A.由于c=1，所以要求e=ca的最大值，需确定a的最小值.根据椭圆的定义可知||PA+||PB=2a，于是画出图形，作A关于直线l的对称点A'，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，即||PA'+||PB>||A'B，即可确定||PA+||PB取最小值的情形：A'、B、P三点共线，从而根据两点间的距离公式求得离心率的最大值.例4.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1()a>b>0与圆C2:x2+y2=b2，若椭圆上存在一点P，使由点P作圆C2的两条切线互相垂直，求椭圆C1离心率的取值范围.解：如图2，由椭圆长轴的端点作圆C2的两条切线PA、PB，设过P作圆的切线，切点为A、B，连接OA、OB、OP，图2由于PA⊥PB，所以根据圆的对称性可知∠APO=∠BPO=45°.在RtΔAPO中，PO=2PA≤a,即2b≤a，所以2b2≤a2，则2b2≤a2，由a2=b2+c2，可得a2c2，即e2≥12，解得e因为0<e<1，e<1，则椭圆C1离心率的取值范围为ëöø÷.解答本题需灵活运用圆的两个性质：圆的切线与过切点的半径成90°；对称性，以及全等三角形的性质.据此建立RtΔAPB的两条边PO、PA之间的关系，从而判断出椭圆的长半轴与焦半径之间的关系，求得椭圆离心率的取值范围.例5.已知双曲线x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且||MF2=7||MF1，则此双曲线离心率的最大值为().A.43B.53C.2D.73解：由双曲线的定义可得，||MF2-||MF1=6||MF1=2a，因为点M在双曲线的左支上，所以||MF1=a3≥c-a，则e=ca≤43，故双曲线离心率的最大值为43，则正确答案为A.求双曲线离心率的最大值，需求ca的最大值.于是首先根据双曲线的定义建立焦半径与虚半轴长之间的关系；然后根据双曲线的性质：双曲线的左（右）支上点到右（左）焦点的距离大于c-a，建立关于a、c的关系式，进而求得双曲线离心率的最大值.总之，求解圆锥曲线的离心率问题，可从离心率公式和图形的几何性质入手，来寻找解题的思路.这就要求同学们熟练掌握圆锥曲线的定义、公式、几何性质，以灵活运用这些知识来解题.（作者单位：江苏省南通市如皋市搬经中学）43。
谈谈求圆锥曲线离心率的技巧
离心率是圆锥曲线的重要性质之一，是用来描述圆锥曲线轨道形状的量.求圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，但题型多变.本文主要介绍求圆锥曲线离心率的三个技巧，以帮助同学们提升解题的效率.一、巧用定义法定义法是求圆锥曲线离心率的重要方法.圆锥曲线的离心率是指圆锥曲线上的动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比.在椭圆中，焦距与长轴长的比为离心率，即e=c a；在双曲线中，焦距与实轴长的比为离心率，即e=c a；抛物线的离心率e=1.由圆锥曲线离心率的定义可知，求圆锥曲线的离心率关键是求得椭圆或双曲线方程中参数a、c、c a的值.例1.已知两个正数a，b的等差中项等于5，等比中项等于4，则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为_____.解：由题意可得：a+b=10，ab=16，解得{a=2，b=8，或{a=8，b=2，∴c=a2+b2=17，∴e=ca=17或.在利用定义法求圆锥曲线的离心率时，要学会根据椭圆中a、b、c之间的关系c=a2+b2，双曲线中a、b、c的关系c=a2-b2，求得a、c的值.二、构造焦点三角形若P是双曲线上任意一点（异于两交点），椭圆的左右焦点分别是F1、F2，则△PF1F2为焦点三角形.由于该三角形的两个顶点为焦点，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a；若∠F2PF1=θ，则4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ.在求圆锥曲线的离心率时，可根据焦点三角形的几何性质、圆锥曲线的定义、正余弦定理来建立关于a、b、c的关系式，从而求得a、c的值和离心率.例2.已知F1，F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为______.解：设MF1=m，因为sin∠MF2F1=13，所以MF2=3m，因为MF1与x轴垂直，所以|F1F22根据双曲线的定义可知：2a=|MF21，2c=|F1F2|=22m，所以离心率e=ca=2.焦点三角形MF2F1为直角三角形，设出MF1，便可根据直角三角形的性质分别求得焦点三角形三条边的长度，再根据双曲线的定义，即可求得离心率的值.三、构造关于a、c的齐次式有些圆锥曲线离心率问题较为复杂，我们可根据题意设出圆锥曲线的方程，将其代入题设中建立关于a、b、c的关系式，再根据椭圆中a、b、c之间的关系c=a2+b2，双曲线中a、b、c的关系c=a2-b2，构造关于a、c的齐次式，得到关于e的一元二次方程，通过解方程求得椭圆或双曲线的离心率.例3.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A=AB，F1B⋅F2B=0，则C的离心率为______.解：根据题意绘制如图所示的图形，∵F1B⋅F2B=0，∴F1B⊥F2B，∵O为F1F2的中点，∴OB=OF1=OF2，∵F1A=AB，∴F1A=AB，∴BF2∥OA，∴∠BF2O=∠AOF1，∴∠BOF2=∠AOF1，∴∠BOF2=∠BF2O，∵OB=OF2，∴△BOF2是正三角形，即∠BOF2=60°，∴渐近线OB的斜率为：ba=3，∴双曲线的离心率e=ca=1+()32=2.解答本题，需得到等量关系b a=3，并构造齐次式，然后根据双曲线中a、b、c的关系c=a2-b2求得离心率.相比较而言，第一个技巧比较常用，且最为简单，通常适用于求解较为简单的题目；第二、三个技巧较为复杂，适用于求解较为复杂的题目.由上述分析可知，求解圆锥曲线的离心率，需重点研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，建立关于a、b、c的关系式.（作者单位：江苏省南京市江宁高级中学）解题宝典39。
圆锥曲线中离心率的求法
圆锥曲线中离心率的求法韩锋离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也是高考中的一个重要考点，本文对圆锥曲线的离心率的求法予以归纳，并通过例题加以说明。
一、由圆锥曲线定义结合图形性质求离心率例 1. 已知21F F 、是双曲线1b y a x 2222=-的左右焦点，双曲线恰好通过正A F F 21∆的两边A F A F 21、的中点，求双曲线的离心率。
解：如图，双曲线恰好通过正A F F 21∆两边A F A F 21、的中点，所以12AF M F ⊥。
在21F MF Rt ∆中，︒=∠=30F MF ,c 2|F F |1221，所以c 3|MF |,c |MF |21==，由双曲线的定义知a 2|MF ||MF |12=-，即13a c e ,a 2c c 3+===-。
二、利用正弦定理求离心率例 2. 已知21F F 、是椭圆)0b a (1b y a x 2222>>=+的两个焦点，点P 在椭圆上，且︒=∠︒=∠15F PF ,105F PF 1221，求椭圆的离心率。
解：在21PF F ∆中，由正弦定理得.60sin |F F |105sin |PF |15sin |PF |2121︒=︒=︒ 由合比定理得.60sin |F F |105sin 15sin |PF ||PF |2121︒=︒+︒+.22105sin 15sin 60sin |PF ||PF ||F F |a 2c 2e 2121=︒+︒︒=+==三、由定比分点坐标公式求离心率例3. 已知等腰梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，AB ∥CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为8：11，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，求双曲线的离心率。
解：建立如图所示平面直角坐标系。
因为C 、D 在双曲线上，且AB ∥CD ，所以C 、D关于y 轴对称。
设双曲线方程为),0b ,0a (1b y a x 2222>>=-)0,c (B ),0,c (A -，因|,CD |2|AB |=可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n ,2c C 。
最新解圆锥曲线离心率的求法大全
求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。
椭圆的离心率e ∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式来解决。
例１. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（） A.B.C.D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D ．变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14解：由F1、F2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C.变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A.32 B. 62C. 32 D2解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =32,因此选C变式练习３： 点P （-3，1）在椭圆的左准线上，过点P 且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得．则。
故选A 。
二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，沟通a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例２. 已知F 1、F 2是双曲线的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A.B.C.D.解：如图，设MF 1的中点为P ，则P 的横坐标为。
由焦半径公式，即，得，解得，故选D 。
变式练习１：设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.233解：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式，得ab a 2+b2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2, 两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0. 解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b 2a 2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A. 变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120︒，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）62 （C ）63 （D ）33解：如图所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b 2)＝cos 120︒＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12，∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B.三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例３．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
例谈求解圆锥曲线中离心率问题的三种思路
考点透视图9由题意可得，已知条件中含有a、b的关系式，根据等差中项、等比中项的定义建立关于a、b的方程组，求得a、b的值，即可运用圆锥曲线的离心率公式e=c a求得问题的答案.二、构造齐次式有些问题中只给出了关于a、b、c的关系式，或根据题意可直接求得关于a、b、c的关系式，此时可通过构造关于a、b、c的齐次式，即a、b、c的次数相同的式子，再根据椭圆中a、b、c的关系a2=c2+b2，双曲线中a、b、c的关系c2=a2+b2，将齐次式转化为关于a、c的等式，最后在其左右同时除以c2、c4等，得到关于c a的方程，解方程即可求得c a的值，从而得到圆锥曲线的离心率.例2.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的左焦点为F，右顶点为A，点B()0,-b，且FA∙AB=0，则该双曲线的离心率为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，图1因为FA∙AB=0，所以FA⊥AB，所以Rt∆AOB∽Rt∆BOF，则||OB||OA=||OF||OB，即ba=c b，b2=ac，因为c2=a2+b2，所以c2-a2=ac，即æèöøca2-1=ca，解得ca，所以e=.解答本题主要运用了构造齐次式法，首先建立关于a、b、c的关系式：c2-a2=ac，再在其左右同时除以a2，将该关系式化为齐次式，再根据椭圆、双曲线中a、b、c的关系得到关于c a的方程，进而求得离心率的值.三、利用几何性质法圆锥曲线均为平面几何图形.在求解圆锥曲线的离心率时，可根据圆锥曲线的几何性质建立关于椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径的关系式.也可将椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径看作三角形、平行四边形、梯形的一条边，或圆中的一条弦，利用三角形、平行四边形、梯形、圆的性质来建立关于a、b、c的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例3.已知A、B是双曲线C的左、右顶点，点M在双曲线C上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求双曲线C的离心率.解：过点M作x轴的垂线，垂足为C，如图2所示.图2∵△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，∴BM=2a，∠MBC=60°，∴BC=a，MC=3a,∴点M的坐标为()2a,3a，将其代入双曲线的方程中可得()2a2a2-()3a2b2=1，①又c2=a2+b2，②由①②可得e=2.解答本题，需先明确AB为等腰三角形的底边，然后采用几何性质法，根据等腰三角形的性质和已知条件求得点M的坐标，再将其代入双曲线的方程，从而建立关于a、b、c的关系式.本文主要介绍了三种求解圆锥曲线中离心率问题的思路.从上述分析可以看出，不论运用哪一种思路解题，都需根据题意建立关于a、b、c的关系式，或求得a、c的值.因此，同学们在建立关系式时，要将其与a、b、c关联起来.（作者单位：福建省南安市五星中学）考点透视39。
求圆锥曲线离心率的几种方法
关于椭圆离心率解法1:利用曲线范围则 F j P F 2P 即(X c)(x 仆 2 2得Xy0， c) y 22c2 a 2c 2 a 2b 2x2a b但由椭圆范围及 F 1PF 2知0由椭圆定义知 |PF i | |PF 2I 2a |PF i |2 |PF 2I 2 2|PF iH PF 2I 4a2设 P (x , y ),又知 F i ( c . 0), F 2(c , 0)，则F i P (X c ，y)， F 2 P(Xy)由 F i PF 290，知 F i P F 2P ， 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得可得从而得 所以eb 2，即c 2e c—，且 ea 2恵、 ［亍，0c 2，且解法2： 利用二次方程有实根2设椭圆笃 a 2占1 椭圆上存在点P,使(a b 0)的左、右焦点分别为 F i 、F 2，如果F 1PF 290 ，求离心率e 的取值范围。
902 2X a 2 22 2a c ab 2 72又由 F j PF ? 90，知 2 |PF 1| 则可得 这样， 2 2 2 |P F 2I IF 1F 2I 4c |P F 1IIPF 2I 2(a 2 c 2) |PF 1|与|PF 2|是方程u 22au 2(a 2 c 2)0的两个实根，因此c 2) 0 24a 2 8(a 2 2c ~2a 昱2，1)解法3:利用三角函数有界性 记 P F 1 F 2 PF 2F 1，由正弦定理有|P F i | IPF 2I IF 1F 2Isin sin sin 90|P F 1| |P F2|IF 1F 2Isin sin又|PF 1I |PF 2I 2a ，IF 1F 2Icsin1 si n 2c ,则有 190 45cos ------ 12从而可得—— e 122 sin ----- c os —2 272 cos —2解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 | PF i | a ex , | PF 2I a ex 又由 |P F 112 |P F 2|2 | F 1 F 2 |2，所以有 a 2cx e x a 2cx e x 4c c 222c a2e且x a ，则知0即a 2 e 2x 2 2c 2， x 2 又点P (x ，y )在椭圆上,x 2 a 2，即o2c 2 a 2 20 ---- 2——ae42得e ["2-，1)解法5:利用基本不等式 由椭圆定义，有2a |PF 1||P F 2I 平方后得4a 2 | PF i l 2 |PF 2I 2 2|PF i ll PF 2I 2(|PF i |2 |PF 2|2) 2|F i F 2I 2 8c 21421所以有e ［牙，1)解法6：巧用图形的几何特性 由 F 1PF 2 90 ，知点P 在以|F 1F 2| 2c 为直径的圆上。
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
圆锥曲线的离心率是一个非负实数，表示椭圆或双曲线在长轴与短轴之间的偏离程度。
下面是三种思路来求解圆锥曲线离心率范围的问题：
1. 几何定义法：
根据圆锥曲线的定义，可以通过几何性质来求解其离心率范围。
对于椭圆，其离心率范围是0到1，即0≤e<1；对于双曲线，其离心率范围大于1，即e>1。
这种方法是直观和简单的，适用于初步了解圆锥曲线的性质。
2. 参数方程法：
圆锥曲线可以用参数方程表示，形式为x=f(t)，y=g(t)，其中
t是参数。
通过参数方程可以计算圆锥曲线上的点与焦点的距离，并据此确定离心率的范围。
具体步骤是：首先计算离焦点的距离d1，再计算离顶点的距离d2，最后求取d1/d2的范围。
如果d1/d2 < 1，则表示点离焦点的距离小于离顶点的距离，
即离心率小于1；如果d1/d2 > 1，则表示点离焦点的距离大于
离顶点的距离，即离心率大于1。
3. 方程法：
对于标准的圆锥曲线方程，可以通过方程进行计算来求解离
心率的范围。
以椭圆为例，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据离心率的定义，可以推导出离心率e与半长轴a和半短轴b之间的关系，即e
= √(a^2 - b^2)/a。
根据这个公式，可以计算出离心率e的范围。
综上所述，这是三种常见的思路用来求解圆锥曲线离心率范围的问题。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。
高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法
高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质。
椭圆的离心率：0＜e＜1；双曲线的离心率：e＞1；抛物线离心率：e=1。
下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法。
一、直接求出a、c，求解e在求解离心率e，椭圆中存在：a2=b2+c2双曲线中存在：c2=a2+b2这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的。
已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。
例1、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. B. C. D. 分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。
解：易知A（-1，0），则直线的方程为。
直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。
例2、已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于多少？解：二、变用公式，整体求出e椭圆与双曲线求离心率还有如下变形例3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。
解：由（其中k为渐近线的斜率）。
这里，则，从而选A。
三、统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例4、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。
由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。
四、(等量关系)利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b2=a2-c2(椭圆)或者b2=c2-a2(双曲线)，消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e。
求解圆锥曲线离心率的常用方法 人教版
求解圆锥曲线离心率的常用方法曾安雄离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。
一、根据离心率的范围，估算e利用圆锥曲线的离心率的范围来解题，有时可利用椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1来解决。
例1. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. （）解：由，知，故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率e>1，排除A、B、C，故选D。
二、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式来解决。
例2. 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D。
例3. 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为则解得则。
故选A。
三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
例4. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。
由焦半径公式，即，得，解得，故选D。
练习：1. 过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点A，则双曲线的离心率等于_______。
（答案：2）2. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
（答案：）。
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经典的，不会那么容易过时------------- 1
关于椭圆离心率
设椭圆x a y b
a b 222
210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果
椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围
设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则
F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222
9000→→
→
→
→
→
=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，
则，
即得
将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得
x a c a b a b F PF x a
a c a
b a b
a 2
2222
22
1222
2222
222
9000=
--∠=︒
≤<≤--<但由椭圆范围及知即
可得，即，且从而得，且所以，）
c b c a c c a e c a e c a e 2222222
2212
2
1≥≥-<=
≥=<∈[
解法2：利用二次方程有实根
由椭圆定义知
||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=
经典的，不会那么容易过时------------- 2
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此
∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()
||||()
∆=--≥⇒=≥
⇒≥
4801
22
2
2222
22a a c e c a e ()
因此，e ∈[
)2
2
1 解法3：利用三角函数有界性
记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有
||sin ||sin ||
sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos
PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222
122
βααβ
αβαβαβαβ
==
︒⇒++=+====+=+-=
-又，，则有
而知从而可得09002
45222
12
2
1
≤-<︒≤
-<︒<-≤≤<||||
cos αβαβαβ
e
经典的，不会那么容易过时------------- 3
解法4：利用焦半径 由焦半径公式得
||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222
2
2
2
2
2
22
2
22224220=+=-+=+++-+=+==
-≠±≤<，又由，所以有
即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即
022
2
1222
2≤-<∈c a e a
e 得，）
[
解法5：利用基本不等式
由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得
42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||
得c a
2212≥ 所以有，）e ∈[2
21 解法6：巧用图形的几何特性
由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222
由此可得，）e ∈[
2
2
1
经典的，不会那么容易过时------------- 4
演练
一、直接求出或求出a 与b 的比值，以求解。
在椭圆中，， 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
_____
2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为
_____
3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为____
4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为
___
5.若椭圆短轴端点为满足，则
椭圆的离心率为___
6..已知
则当mn 取得最小值时，椭圆的的离心率为____
a c ，e a c
e =222
22221a
b a b a a
c a c e -=-===)0,3(),0,1(21F F )0(,122
22>>=+b a b
y a x P 21PF PF ⊥=e )0.0(12
1>>=+n m n
m 122
22=+n y m x
经典的，不会那么容易过时------------- 5
7.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的
交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范
围是_________
8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为___________
9.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已
知 椭圆的离心率为_____ 10.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
， 则椭圆的离心率为
_______
11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为_______
二、构造的齐次式，解出
1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是____
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是_____
3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是_____
4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆
于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_____
22
221(0)x y a b a b
+=>>1F 2F x M N ，12MN F F 2≤22a x 22
b
y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F =e 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF 2a c ，e
经典的，不会那么容易过时------------- 6
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是_____
三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
_______
2．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
，椭圆离心率e 的取值范围为
_______
3．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
，椭圆离心率e 的取值范围为
______
4．设椭圆（a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一
点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值范围为
_______
5．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率____
6．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若
在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心
率的取值范围是______-
1F 2F 120MF MF ⋅=M 21F F 、 9021=∠PF F 21F F 、 6021=∠PF F 122
22=+b
y a x ABC △AB BC =7
cos 18
B =-A B ，
C e =
12F F ，22
221x y a b
+=0a b >>,P 1PF 2F。