结构力学第三章

F
ql
l/2
ql
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
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14
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
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7
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
返回
集中力偶作用处
集中力作用处 发生突变
Q图
平行轴线
＋
－
＋
P
无变化
－
发生突变 m 两直线平行
M图
斜直线
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
注备
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
5m
45° 141kN
125kN.m
5m
Q1= 50 +5×5－141×0.707 =－25kN M1=1源自文库5 +141×0.707×10－50×5 －5/2×5² =812.5kNm (下拉）
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§3.2 荷载与内力之间的关系
1 ） 微分关系 Q ↓↓↓↓↓↓↓ Q+d dN/dx= － q x qx N+d N Q dQ/dx=－qy ， qy向下为正 →→→→→ N x M+d dM/dx=Q M M 微分关系给出了内力图的形状特征 dx y 2） 增量关系
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斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB
MA
l
MB MA
ql2/8
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§3.5多跨静定梁(statically determinate multi-span beam)
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1
Statically Determinate Beam and Plane Frame
弯 矩 图 对 误 判 别
不 求 或 少 求 反 力 画 弯 矩 图
静 定 刚 架 内 力 图
多 跨 静 定 梁 内 力 图 叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 内 力 图 的 形 状 特 征
2
§3.1 截面内力(inteernal forces)计算
1、平面杆件的截面内力分量及正负规定 轴力N (normal force) 截面应力(stresses)沿轴线切向的 合力，以拉力为正，压力为负。 剪力Q (shearing force) 截面上应力沿轴线法向的合力， 以绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的 力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。
l
YA
由分离体平衡可得：
YA°
2 ql ql qx Y Ao ,M o x2 2 2 ql Q - qx 2
ql qx 2 =M° M x2 2 Q q( l - x)cos Qo cos 2 N -q( l - x)sin -Qo sin 2
斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。
基本要求：
掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内力图 的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅 速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会根据 几何组成寻找求解途径。
截 面 内 力 计 算
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例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
5
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
ql 2 解得： M B 12 3- 3 6 l
解得： x
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MB=ql2/12
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MA
q
MB
MB MB
＋
M°
MB
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q
10
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ 2）直杆情况 A 1、首先求出两杆端 弯矩，连一虚线； ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2、然后以该虚线为 NA 基 线，叠加上简支梁 MA QA 在跨间荷载作用下的 q MA 弯矩图。 ↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ 对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 YA° 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 M' 内各相邻截面间是连续的 MA M° 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。举例
几何可 变体系 桁架 刚架
一、刚架的特点 ①刚架的内部空间大，便于使用。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 ③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
ql2/8
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常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架
q 、M q Q、 、Q M 、M q 、q Q 、 、 Q M 、 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 零、平、斜、抛 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
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§3.3 叠加法(superposition method)作弯矩图
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ 1）简支梁情况 几点注意： MA 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 M' ° MA 标M ，如同M、M′一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 q 利用叠加法绘制弯矩图可以 ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ 少求一些控制截面的弯矩值， M° 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单 M M' MA 图形的方法。举例
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桥梁示意图、计算简图、构造层次图、传力途径
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多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 q qa qa
40 (kN· m)
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例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F q
l/2
l
x
q (l - 2 x ) M 2
B
↓↓↓↓↓↓
q (l - 2 x ) 2
(由基本部分及附属部分组成)
A
B
C
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
H
E
F H
A
B
C
D
E
F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, ABC，DEFG是基本部 不能独立平衡其上外力的称为附属部分， 分，CD，GH是附属部分。 附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。
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q
B NB MB
MB
QB
YB °
MB
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql /8 l
2
m/2 m m/2 l l
Mmax=FPab/l a l
b
当 a=b=l/2 时，Mmax=FPl/4
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ql A
q
ql /2
B
ql2/4
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
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§3.4简支斜梁计算
q
q+q0

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q0l ql
q
q q0 cos

l
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斜梁：
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q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
YA 由整体平衡：
↓↓↓↓↓↓
M Q
ql 2
N
= YA
o
x YA
x
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
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如三铰结构是由三 二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 个单铰组成的，用 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 整体、半边、整体 2、三铰刚架的反力计算 的思路求其反力。 q=4kN/m 整体平衡 如三铰结构中有虚 2 qa qa =3kN 铰时，就要具体问 a=3m M 0 2 aY 0 Y B A A 2 4 题具体分析。不能 左半边平衡 使用这种方法。 qa qa q ↓↓↓↓↓↓ M C a - X A ×1.5a 0 X A 2(kN )
l q
x
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q (l - 2 x ) 2
ql 2 M B MB MG可按叠加法求得：M G 8 2
q(l - 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l - 2 x) M B - x qx 2 2
A 1m RA=17kN 17 ＋
4kN/m 由 Q 可得： 16kN.m H=QC－qx=0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ x＝Q /q＝9/4＝2.25(m) G C B C D ＝M +(CH段 E Q图的面积） F M H C ＝26+9 ×2.25÷2 1m 2m 2m 1m 1m ＝36.1（kN.m) 8kN
15
RB=7kN
16
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 28
H
－
7 7 23
7
30
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 8 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
－
qa/2
qa2
Q图（kN）
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa
qa2/2
qa2
qa2/2
M图（kN.m）
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40k N
A 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m
G 4m 2m H
50
40
20
40
40
40
20 M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
qa
qa
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
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22
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
2qa
qa
a
a 3qa/4
＋
2a qa qa/2
－
a 9qa/4
＋
a
a
qa/2
qa/4
qa
－
qa/2 7qa/4
M N
M
N
Q
Q
图示均为正的轴力和剪力
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3
2、截面内力计算方法： 截面法：将杆件在指定截面切开,取左边部分或右 举例1 边部分为隔离体,利用隔离体的平衡条件,确定此截 面的三个内力分量. 截开、代替、平衡。 内力的直接算式： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕 截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩 及外力矩产生相同的受拉边。 画隔离体受力图要注意： 1、要与周围约束全部截断；2、约束力要符合约束的性质；3、 受力图中只画隔离体所受到的力；4不要遗漏力；5、宜选取外 力较少部分为隔离体
MG=ql2/8
演示
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
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§3-6 静定刚架内力计算及内力图绘制
(statically determinate frame)
ΔN=－PX ΔQ=－Py
qy
Q N m
M
Px Py
Q+ΔQ
N+ΔN M+ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征 由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去 3） 积分关系： 该段qy的合力； QB=QA－∫qydx 右端弯矩等于左端弯矩加上 MB＝MA+∫Qdx 该段剪力图的面积。
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