结构力学第三章
合集下载
结构力学第三章
极 值
有尖角
(尖角突出方 向同Fy指向)
有突变
(突变值 为MO)
为 零
注：
• (１)在铰结处一侧截面上如无集中力偶 作用，M＝０。 • 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用， 则该截面弯矩＝此外力偶值。
• (２)自由端处如无集中力偶作用，则该 端弯矩为零。 • 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯 矩＝此外力偶值。
FQBA
B
FQBE
D E FP3=1kN
FxA =3kN FyA =3kN
A
MA=15kN· m
（2）、作弯矩图:
• • • • • • • • 求各杆杆端弯矩: 5 1 CB段: MCB=0 MBC=1kN· (左侧受拉) 1.25 m BE段: MEB=0 MBE= - 4kN· m(上侧受拉) BA段: MBA=5kN· (左侧受拉) m MAB=15kN· m(左侧受拉) 15
一系列简支梁的M图
21.25kN· m
静定多跨梁与相应的多个简支梁弯矩图的比较 后，可以看到：在多跨静定梁中弯矩分布要均匀一 些。这是由于多跨静定梁中设置了带伸臂梁的基本 部分。这样，一方面减小了附属部分的跨度，另一 方面，在基本部分的支座处产生了负弯矩，它使跨 中正弯矩减小。 一般来说，多跨静定梁较相应的多个简支梁， 材料用量可以少一些，但构造要复杂一些。
FP2=4kN
q=0.4kN/m
FP3=1kN
FxA=3kN 先求各杆杆端弯 矩，再用分段叠加法 MA=15kN· m FyA =3kN 作弯矩图。
作隔离体图,如左图:
FP1=1kN FP2=4kN
FP1=1kN
C
MBC
B FQBC
FP2=4kN
结构力学第三章静定结构组合结构及拱
0 FNJ 右 FQJ 右 sin FH cos (7.5) (0.447) 10 0.894
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
3.35 8.94 12.29kN (压)
二、三较拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
15kN K右
Fº ＝－2.5kN QK右
0 0 (FH 10kN , FQK左 12.5kN , FQK右 2.5kN )
(sin 0.447, cos 0.894)
0 FQK 左 FQK 左 cos FH sin 12.5 0.894 10 0.447
67.5kN
50
A F C G E
B
30
D
M图
kN.m
求AC杆和BC杆剪力
F
FQAC
y
0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5 32.5 10kN/m FNAD
FAy
+ _
15
+
7.15 67.5kN 35 FQ图 kN
作业
3-20
§3-6 三铰拱受力分析
拱 (arch)
FN DE 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
FAy
D
FCx 135kN , FCy 15kN
FNDA
FNDF
D
FN DA FN EB＝ kN 151
FNDE
2m
F
50kN.m
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN 5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
MD FRD
结构力学第三章-扭转
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
45 max , 45 0
90 0 , 90 max
´
由此可见：圆轴扭转时，在横截 45° 面和纵截面上的切应力为最大值；在 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 论，就可解释前述的破坏现象。
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
O
令
I p A 2dA
结构力学第3章
D (a)
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
结构力学第三章
第三章 静定结构的内力计算
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学-第三章
M FN FQ M+dM
dx dx
FN+d FN FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
1.结构力学的截面内力分量及其正负号规定
FN FN
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
C
25 5 20 25 50 20
F
55
G
85 40 10
H
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m 5 50 20 50 40k N D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m 55 40 40 20 F
20k N/m G 4m 85 40 10 2m H
M 图（k N· m）
20k N/m
A
2
2
YA
C
YB
XC
YC
B
XB
2)取右部分为隔离体 Fp l M C 0, X B l YB 2 0, X B 4 () Fp Fy 0, YC YB 0, YC YB 2 () Fp Fx 0, X B X C 0, X C 4 ()
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 q F
A B C D E F G H
q F
E C A B D F G H
F A F A B C D E B C D E
q F q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
dx dx
FN+d FN FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
1.结构力学的截面内力分量及其正负号规定
FN FN
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的 合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
C
25 5 20 25 50 20
F
55
G
85 40 10
H
50
40k N A 25 2m B 2m C 2m 5 50 20 50 40k N D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m 55 40 40 20 F
20k N/m G 4m 85 40 10 2m H
M 图（k N· m）
20k N/m
A
2
2
YA
C
YB
XC
YC
B
XB
2)取右部分为隔离体 Fp l M C 0, X B l YB 2 0, X B 4 () Fp Fy 0, YC YB 0, YC YB 2 () Fp Fx 0, X B X C 0, X C 4 ()
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。 q F
A B C D E F G H
q F
E C A B D F G H
F A F A B C D E B C D E
q F q F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
《结构力学》第三章 单跨静定梁
l
l/2 l/2
MM
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
M
1 ql2 2
P 1 ql2
4
l
l/2 l/2
l
M
2M
MM
l
l
lM
M
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
1 ql2 2
P 1 ql2
4
q
1 ql2
l
l/2 l/2
2l
l
M
2M
M
MM
M
M
M
M MM
M
l
l
MM
练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图
M图
Q图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 Q图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
Q图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
1 ql2 16
种结构型式?
简支梁(两个并列) 多跨静定梁
连续梁
例.对图示静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截
面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.
q
A
D
B
C
x
l
l
RD
q
q(l x)2 / 8
RD
B
解: RD q(l x) / 2()
M B qx2 / 2 q(l x)x / 2 q(l x)2 / 8 qx2 / 2 q(l x)x / 2
结构力学第3章
MA
MB
(b)
Fp
(c)
abFp/l MA MB
(d)
下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段——区段 区段 下面把上述叠加法推广应用于直杆的任一区段 叠加法。 叠加法。 以图示简支梁的KJ段为例说明区段叠加法应用过程 段为例说明区段叠加法应用过程。 以图示简支梁的 段为例说明区段叠加法应用过程。
q
M CA = M CB = VB × 4 − Fp × 2 = 120 kN.m
1 V A = (F p × 2 + q × 4 × 6 ) = 70kN 8
MC FNC C FQC
图(b) 70
Fp=40kN
B
VB
FQ图(kN)： ：
⊕
x 10
⇓ 50 M图(kN.m)： 图 ：
极值点的弯矩 在剪力图中， 在剪力图中，利用几何关系得
(1)无荷载区段，M图为斜直线，故只需求出该区段任意 无荷载区段， 图为斜直线 无荷载区段 图为斜直线， 两控制截面的弯矩便可绘出； 两控制截面的弯矩便可绘出； (2)均布荷载区段，M图为抛物线且其凸出方向与荷载指 均布荷载区段， 图为抛物线且其凸出方向与荷载指 均布荷载区段 向相同； 向相同； (3)M图的极值点，或在 Q=0处，或在 Q发生变号处； M图的极值点，或在F 处 或在F 发生变号处；
1.1 截面法的基本步骤 (1)将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开(截)； 将结构沿所求内力的截面，用一假想的平面切开 截 ； 将结构沿所求内力的截面 (2)取其任一部分为研究对象（称隔离体），把丢弃部分对 取其任一部分为研究对象（ ），把丢弃部分对 取其任一部分为研究对象 称隔离体）， 研究的作用用内力代替（ 研究的作用用内力代替（取）； (3)对研究对象应用平衡方程，即可求出指定截面的内力 对研究对象应用平衡方程， 对研究对象应用平衡方程 （列方程求解）。 列方程求解）。 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（荷载及约 注意：在列方程求内力之前，结构的全部外力（ 束反力）必须为已知或已求出。 束反力）必须为已知或已求出。 1.2 梁的内力正负符号规定 轴力F 拉力为正； 轴力 N——拉力为正； 拉力为正 剪力F 绕隔离体顺时针方向转的为正； 剪力 Q——绕隔离体顺时针方向转的为正； 绕隔离体顺时针方向转的为正 弯矩M——使梁下部纤维受拉的为正。 使梁下部纤维受拉的为正。 弯矩 使梁下部纤维受拉的为正 下面举例说明截面法及其应注意的事项
结构力学第三章-扭转.
对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2
d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
结构力学第3章
M图(kNm)
12
3-3 静定平面刚架
例
2kN/m
解
（1）求支反力
x xB yA
C
D
3m
F 0， F F 0， F M 0， M
y A
0 12 kN
A
12 kNm
A 12kNm 4m
B
1m
FxB=0
（2）作内力图
2m
FyA=12kN
3-3 静定平面刚架
8
4 12 12 4 16
例
l q
解
FP=ql
l ql
l/2
l/2 ql FN图 ql2/2 ql2/8
ql
ql
0
ql FQ图
ql2/2
M图
3-3 静定平面刚架
例 M M/2l M/2l l l 0 M/2 M/2l FN图 l l M/2l 解 M/2l
FQ图
M图
M/2
3-3 静定平面刚架
例 FP l FP l 0 Pl FP FPl FN图 解 FP
FP 2 FP FP 2
xB yA
FyA=FP /2
FP /2
（2）作内力图
FPa
FP /2
FN图
FP FQ图
M图
3-3 静定平面刚架
例
2FP A FyA=3FP/4 B FxB=2FP l C FP
解 （1）求支反力
l
（2）作内力图
l/2
FyC=7FP/4 FP
l/2
3FPa/4 F a/2 P FPa/4 FQ图 M图
R NC
FQ图
5kN
5kN
FN图
★取隔离体时： a：约束必须全部断开，用相应的约束反力来代替。 b：正确选择隔离体，标上全部荷载。
结构力学第三章
计算反力并绘
x2=3m VA 11kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
VA VA
26983 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
（2）内力计算
y2
以截面2为例
4f 44 x l x 312 3 3m l2 12 2
0.600
0.000
A
1
x2=3m
1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375
2
y2
q=2kN .m
6m x 6m 3m
B
3
2
4 5 6 7
P=8kN
0.000
8
M图 kN.m
N图 kN
Q图 kN
f=4m
3.4.3三铰拱的受力特性
1. 在竖向荷载作用下，会产生水平推力 ——对拱趾处基础要求较高； 2.由于水平推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比简支 梁的弯矩小 ——适合大跨度结构； 3.在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 轴力较大，且一般为压力 ——便于利用抗压性能较好而抗拉 性能较差的材料。 再现赵州桥
qc
f y
q qc y
y
y*
x
e
x
shx chx
e x , 即
y
H
y
qc , H
d y 1 qc y 2 dx H
特征方程为：
2
2
H
0
x
H
H
2 33 41,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
结构力学第三章
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
1
Statically Determinate Beam and Plane Frame
弯 矩 图 对 误 判 别
不 求 或 少 求 反 力 画 弯 矩 图
静 定 刚 架 内 力 图
多 跨 静 定 梁 内 力 图 叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 内 力 图 的 形 状 特 征
几何可 变体系 桁架 刚架
一、刚架的特点 ①刚架的内部空间大，便于使用。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 ③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
ql2/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
28
常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
5
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
18
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB
MA
l
MB MA
ql2/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
19
§3.5多跨静定梁(statically determinate multi-span beam)
1
Statically Determinate Beam and Plane Frame
弯 矩 图 对 误 判 别
不 求 或 少 求 反 力 画 弯 矩 图
静 定 刚 架 内 力 图
多 跨 静 定 梁 内 力 图 叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 内 力 图 的 形 状 特 征
几何可 变体系 桁架 刚架
一、刚架的特点 ①刚架的内部空间大，便于使用。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 ③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
ql2/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
28
常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
5
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
18
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB
MA
l
MB MA
ql2/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
19
§3.5多跨静定梁(statically determinate multi-span beam)
结构力学第三章应掌握的知识点
结构力学第三章应掌握的知识点
结构力学是力学的一个分支，研究物体或结构受力时的应力、应变、
变形等问题。
第三章主要介绍了刚体的平衡条件及刚体平衡问题。
下面是
第三章应掌握的知识点：
1.刚体的基本概念：刚体是指在受到外力作用时不发生形变的物体。
刚体的特点是其内部任何两点的相对距离保持不变。
2.刚体的平衡条件：刚体处于平衡状态时，必须满足平衡条件。
平衡
条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
3.力的平衡条件：力的平衡条件是指刚体上作用的各个力的合力为零。
力的平衡条件可以用矢量法、法向量法和坐标法等方法求解。
4.力矩的平衡条件：力矩的平衡条件是指刚体上作用的各个力的合力
矩为零。
力矩的平衡条件可以用叉乘法和矢量法求解。
5.等力作用的刚体平衡：当刚体受到等力作用时，刚体处于平衡状态。
6.非等力作用的刚体平衡：当刚体上作用的力不相等或有多个力时，
刚体处于平衡状态。
7.平衡问题的求解：解决平衡问题需要综合运用力平衡条件和力矩平
衡条件，通过列方程、构建力矩方程和代入数值等方法求解。
8.刚体的静定问题：静定问题指在已知外力或力矩的情况下，求解刚
体的平衡条件以及未知力或力矩的问题。
9.刚体结构的应用：刚体结构的应用广泛，包括桥梁、楼房、机械设
备等。
在实际应用中，需要合理设计结构以满足力学平衡和稳定的要求。
总之，第三章主要介绍了刚体的平衡条件、力的平衡和力矩平衡的基本概念和方法，并通过实例加深了对概念和方法的理解和运用。
掌握这些知识点对于理解和解决结构力学中的问题非常重要。
最新结构力学龙驭球第3章静定结构的受力分析语文ppt课件
练习：画出该梁的内力图
130KN 1m 1m 2m
4m
M图
130
340
140
210
280
130
FQ图
30
310KN 2m
160
120 40
190
第3章 静定结构受力分析
第3章 静定结构受力分析
§3-2 静定多跨梁
计算简图
计算简图 支撑关系
第3章 静定结构受力分析
第3章 静定结构受力分析
1）静定多跨梁的组成 由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的
弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号。
第3章 静定结构受力分析
2. 截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部 分为隔离体，利用平衡条件，确定此截面的三 个内力分量。
注意：取隔离体后，未知力一般假设为正方向
轴力=截面一边的所有外力沿杆轴线方向的投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。
集中力 偶m作 用处
铰 处
剪力图 水平线 斜直线
有突变
(突变值=FP)
无变化
无 影 响
一般 弯矩图 为斜
直线
抛物线 下凸
有尖角 (向下）
有突变 （突变 为零 值=m）
用分段叠加法画弯矩图
简支梁的弯矩图 必须熟记
▲ 简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力作 用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作 用下的弯矩图
第3章 静定结构受力分析
静定结构
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的相反
结构力学第3章
29
特殊结点 1、L型结点 2、T型结点 3、X型结点
30
判断零杆
31
32
3-4-2截面法
例3-11 试求图3-44a所示桁架中a、b和c三杆的
内力。
1、求反力
2、求内力
作截面I-I
作截面II-II
∑Fy=80kN－2×40kN+Fyc=0 FNc=Fyc=0
∑FFxNMaa==4﹣﹣= 8110220k3kN.6N×9k6Nm－（4压0k力N）×3m+Fxa×3m = 0 ∑MO=﹣80kN×6m+40kN×9m+Fyb×12m=0 Fyb=10kN FNb=16.67kN
步骤： 1、求支座反力 2、计算各链杆的轴力 3、计算受弯杆件的内力。
37
例3-13 试分析图3-53a所示组合结构的内力。
1、求支座反力：
FFFxyyAAB
= = =
04，0kN(↑)， 20kN(↑)
2、内力 作截面Ⅰ-Ⅰ，取其右部为隔
离体，
Σ1mMC==020kN× 4.5m-FNDE×
得
FNDE = 90kN
2、按外形
（1）平行弦桁架
（2）折弦桁架
（3）三角形桁架
26
桁7
桁架内力计算方法 1、结点法 2、截面法 3、结点法与截面法联合使用
28
结点法
结点1 ∑Fy=0，FN13=－100 kN， ∑Fx=0，FN12=60 kN 结点2 ∑Fx=0， FN24=60 kN， ∑Fy=0， FN23=80 kN。 结点3 ∑Fy=0， FN34=0， ∑Fx=0 ，FN35=－60 kN
40
§3-7 静定结构的一般性质 （1）温度变化、支座位移和制造误差等非荷 载因素不引起静定结构的反力和内力。
特殊结点 1、L型结点 2、T型结点 3、X型结点
30
判断零杆
31
32
3-4-2截面法
例3-11 试求图3-44a所示桁架中a、b和c三杆的
内力。
1、求反力
2、求内力
作截面I-I
作截面II-II
∑Fy=80kN－2×40kN+Fyc=0 FNc=Fyc=0
∑FFxNMaa==4﹣﹣= 8110220k3kN.6N×9k6Nm－（4压0k力N）×3m+Fxa×3m = 0 ∑MO=﹣80kN×6m+40kN×9m+Fyb×12m=0 Fyb=10kN FNb=16.67kN
步骤： 1、求支座反力 2、计算各链杆的轴力 3、计算受弯杆件的内力。
37
例3-13 试分析图3-53a所示组合结构的内力。
1、求支座反力：
FFFxyyAAB
= = =
04，0kN(↑)， 20kN(↑)
2、内力 作截面Ⅰ-Ⅰ，取其右部为隔
离体，
Σ1mMC==020kN× 4.5m-FNDE×
得
FNDE = 90kN
2、按外形
（1）平行弦桁架
（2）折弦桁架
（3）三角形桁架
26
桁7
桁架内力计算方法 1、结点法 2、截面法 3、结点法与截面法联合使用
28
结点法
结点1 ∑Fy=0，FN13=－100 kN， ∑Fx=0，FN12=60 kN 结点2 ∑Fx=0， FN24=60 kN， ∑Fy=0， FN23=80 kN。 结点3 ∑Fy=0， FN34=0， ∑Fx=0 ，FN35=－60 kN
40
§3-7 静定结构的一般性质 （1）温度变化、支座位移和制造误差等非荷 载因素不引起静定结构的反力和内力。
结构力学第三章
FS ＝７kN. FS ＝ ７kN(注意:集中力
章目录 第三节 第四节 第五节
•
偶矩对剪力无影响).
• ③CD段均布荷载,方向向下,根据微分关系,
FS 的一阶导数为 q , q 为常数,可推知 FS 是一次函数,
此段剪力图是斜直线 . 又因为 q 向下指向 , 和坐标正向相反 , 即 q ＜０ , 此区段剪力递减 . 只需求
静力平衡
3.1.2 利用静力平衡求解杆件内力
第三章 静定结构的内力分析
章目录 第一节 第二节 章目录 第三节 第四节 第五节
第1节
3.1.2 利用静力平衡求解杆件内力
静力平衡
• 计算截面内力的基本方法是截面法,即将结构沿拟求内力的截面截开,选取截面 任意一侧的部分为研究对象(取隔离体),去掉部分对留下部分的作用,用内力来 代替,然后利用平衡条件可求得截面内力。 • 截面法中,可根据平衡推出用外力计算内力分量的简便方法。 • (１)弯矩:等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。 • (２)剪力:等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。 • (３)轴力:等于截面一侧所有外力沿截面法线方向的投影代数和。
判断弯矩曲线的凹凸性。
图 3.5
结构力学课件
第三章 静定结构的内力分析
章目录
3.2.2
第一节 第二节 章目录 第三节 第四节 第五节
•
利用微分关系作内力图
第2节
静定梁
关于内力曲线凹凸性的判断,数学中有个雨伞法则:
•
由于工程中习惯将弯矩图画在杆件的受拉一侧 ,这样梁的弯矩图竖标人为地翻下来 ,以向下为正. 为方便记忆,经研究发现弯矩曲线的凸向与 q 的指向相同. 利用微分关系作内力图,总是要将梁分 成若干段,一段一段地画.梁的分段点为集中力、集中力偶作用点,以及分布荷载的起、终点。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本要求：
掌握结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内力图 的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅 速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会根据 几何组成寻找求解途径。
截 面 内 力 计 算
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
M N
M
N
Q
Q
图示均为正的轴力和剪力
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
3
2、截面内力计算方法： 截面法：将杆件在指定截面切开,取左边部分或右 举例1 边部分为隔离体,利用隔离体的平衡条件,确定此截 面的三个内力分量. 截开、代替、平衡。 内力的直接算式： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕 截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩 及外力矩产生相同的受拉边。 画隔离体受力图要注意： 1、要与周围约束全部截断；2、约束力要符合约束的性质；3、 受力图中只画隔离体所受到的力；4不要遗漏力；5、宜选取外 力较少部分为隔离体
q
B NB MB
MB
QB
YB °
MB
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql /8 l
2
m/2 m m/2 l l
Mmax=FPab/l a l
b
当 a=b=l/2 时，Mmax=FPl/4
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
13
ql A
q
ql /2
B
ql2/4
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
l q
x
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q (l - 2 x ) 2
ql 2 M B MB MG可按叠加法求得：M G 8 2
q(l - 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l - 2 x) M B - x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3- 3 6 l
解得： x
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
25
MB=ql2/12
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
16
§3.4简支斜梁计算
q
q+q0
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q0l ql
q
q q0 cos
l
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
斜梁：
17
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
YA 由整体平衡：
↓↓↓↓↓↓
M Q
ql 2
N
= YA
o
x YA
x
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MA
q
MB
MB MB
＋
M°
MB
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
q
10
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ 2）直杆情况 A 1、首先求出两杆端 弯矩，连一虚线； ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2、然后以该虚线为 NA 基 线，叠加上简支梁 MA QA 在跨间荷载作用下的 q MA 弯矩图。 ↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ 对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 YA° 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 M' 内各相邻截面间是连续的 MA M° 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。举例
q 、M q Q、 、Q M 、M q 、q Q 、 、 Q M 、 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 零、平、斜、抛 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
9
§3.3 叠加法(superposition method)作弯矩图
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ 1）简支梁情况 几点注意： MA 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 M' ° MA 标M ，如同M、M′一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 q 利用叠加法绘制弯矩图可以 ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ 少求一些控制截面的弯矩值， M° 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单 M M' MA 图形的方法。举例
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
18
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB
MA
l
MB MA
ql2/8
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
19
§3.5多跨静定梁(statically determinate multi-span beam)
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
5
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
qa
qa
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
22
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
2qa
qa
a
a 3qa/4
＋
2a qa qa/2
－
a 9qa/4
＋
a
a
qa/2
qa/4
qa
－
qa/2 7qa/4
MG=ql2/8
演示
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
26
§3-6 静定刚架内力计算及内力图绘制
(statically determinate frame)
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
如三铰结构是由三 二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 个单铰组成的，用 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 整体、半边、整体 2、三铰刚架的反力计算 的思路求其反力。 q=4kN/m 整体平衡 如三铰结构中有虚 2 qa qa =3kN 铰时，就要具体问 a=3m M 0 2 aY 0 Y B A A 2 4 题具体分析。不能 左半边平衡 使用这种方法。 qa qa q ↓↓↓↓↓↓ M C a - X A ×1.5a 0 X A 2(kN )
l
YA
由分离体平衡可得：
YA°
2 ql ql qx Y Ao ,M o x2 2 2 ql Q - qx 2
ql qx 2 =M° M x2 2 Q q( l - x)cos Qo cos 2 N -q( l - x)sin -Qo sin 2
斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。
－
qa/2
qa2
Q图（kN）
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2
qa
qa2/2
qa2
qa2/2
M图（kN.m）
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
23
40k N
A 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m
G 4m 2m H
50
40
20
40
40
40
20 M
A 1m RA=17kN 17 ＋
4kN/m 由 Q 可得： 16kN.m H=QC－qx=0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ x＝Q /q＝9/4＝2.25(m) G C B C D ＝M +(CH段 E Q图的面积） F M H C ＝26+9 ×2.25÷2 1m 2m 2m 1m 1m ＝36.1（kN.m) 8kN
7
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
返回
集中力偶作用处
集中力作用处 发生突变
Q图
平行轴线
＋
－
＋
P
无变化
－
发生突变 m 两直线平行
M图
斜直线
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
注备
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
15
RB=7kN
16
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 28
H
－
7 7 23
7
30
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 8 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！