高等代数3章习题

第三章 线性方程组 自我检测题

一．判断题

1.含零向量的向量组线性相关.

2.若一向量组的一个部分组线性相关,则它也线性相关.

3.线性无关向量组的任何一个部分组均线性无关.

4. 任一向量组都有极大线性无关向量组.

5. 一向量组的极大线性无关组是唯一的.

6.方程个数小于未知数个数的齐次线性方程组必有非零解.

7. 向量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于它所含向量的个数.

8.若向量组123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表出.

9. 若向量12,αα线性相关, 12,ββ线性相关, 1122,αβαβ++线性相关.

10. 若向量组123,,ααα线性无关,则12αα+,23αα+,31αα+也线性无关.

11. 如果向量组12,,,n ααα 线性相关，则12αα+，23αα+，...…，

1n n αα-+，1n αα+线性相关。

12.若向量12,αα线性无关, 3α不能由12,αα线性表出，则向量组123,,ααα线性无关.

13.若n 阶矩阵A 的秩r

14.线性方程组的解的线性组合仍是它的解。

15. 线性方程组有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相同。

16.齐次线性方程组系数矩阵秩r

17.任意n+1个n 维向量必线性相关。

18. 矩阵A 的秩大于等于r 的充要条件是A 有一个r 级子式不为0.

19. 一向量组线性无关的充要条件是其中任意两个向量不成比例。

20. 一向量组线性无关的充要条件是其中任意两个向量线性无关.

二.计算与证明

1．已知123123(,,)(,,)r r αααβββ=，1(1,2,3)'α=-，2(3,0,1)'α=，3(9,6,7)'α=-，1(0,1,1)'β=-，2(,2,1)'a β=，3(,1,0)'b β=，且3β可由123,,ααα线性表示，求a,b 。

2. R 是实数域，对任意正整数m n ≥，证明：在n R 中存在m 个向量12,,,m ααα ，使其

中任意n 个向量线性无关。

3．a 取何值时,齐次线性方程组 1231231

23102(2)2033(3)0a x x x x a x x x x a x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩（＋） 有非零解？并求通解。 4．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321

321321ax x x x ax x a x x ax ，讨论a 的值，使（1）方程组有唯一解；（2）方

程组无解；（3）方程组有无穷多组解，并求其一般解。

5．将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何？（求在500至1000范围内的解）

6．百鸡术：母鸡每只5钱，公鸡每只3钱，小鸡3只1钱，百钱买百鸡，各买几何？