二次根式(一)ppt.
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《二次根式》课件
《二次根式》
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
人教版数学八年级下册二次根式(第1课时)教学课件
（3） 3 8
（4） 4 a2
不是(bù shi)
不是
不是
（5） - m (m 0)
是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1
不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是 1 （10） 3
是
第九页，共三十页。
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件(tiáojiàn)求字母的取值范 例2 当x是怎围样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
课堂小结
二次根式
(gēnshì)有意 义的条件和 非负性
二次根式
(gēnshì)的
定
义
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
形如 a (a 0)的式子叫做 二次根式
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式或不等式组
求出其解集
二次根式
的双重非 负性
二次根式 a中,a≥0且
a ≥0
第二十九页，共三十页。
课后作业(zuòyè)
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1取最小值，其最小值
为_____0_．
第二十三页，共三十页。
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且_x_≠_2__.
第二十四页，共三十页。
第十五页，共三十页。
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个(yī ɡè)非负数（或式）的算术平方
根.对于任意一个二次根式 ，必须a满足以下两条：
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
北师大版数学八年级上册二次根式第1课时二次根式(一)课件
须满足：含有二次根号“
”；被开方数a必须是__非__负__数___.
对点范例 1. 下列各式中，不是二次根式的是( B )
知识重点 知识点二：二次根式的性质
=_________（a≥0，b≥0）；
=_________（a≥0，b＞0）.
对点范例 2. 计算：
36
4
9
知识重点 知识点三：最简二次根式 一般地，被开方数不含___分__母____，也不含能__开__得__尽__方____的因数 或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
典例精析 【例5】化简： （1）
思路点拨：利用二次根式的性质正确化简即可.
举一反三 5. 化简: （1）
谢谢
对点范例 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ D ）
Байду номын сангаас
课堂演练 典例精析 【例1】下列式子中，二次根式有（ B ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
思路点拨：根据二次根式的定义判断即可.
D. 5个
举一反三 1. 下列各式中，不属于二次根式的是（ B ）
典例精析 【例2】要使代数式 _________.
有意义，则x的取值范围是 x＞1
思路点拨：二次根式的被开方数必须是非负数；如果是分数， 注意分母不能为0.
举一反三
2. 若式子 )B A. x≠2 C. x≤2
在实数范围内有意义，则x的取值范围是(
B. x≥2 D. x≠-2
典例精析 【例3】下列各式计算正确的是（ D ）
思路点拨：利用二次根式的性质正确计算即可.
举一反三 3. 下列各式的化简：
y≥0），其中正确的是（ B ）
A. ①②
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
二次根式PPT(第一课时)
第二十三章二次根式
23.1 二次根式(1)
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用 (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 ，算术平方根
2x+6≥0 ∵ -2x＞0 x≥-3
∴
x＜ 0
已知 在第 二
1 有意义,那么A(a, a
a)
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
1 有意义？ 当x取怎样的实数时， 2 x 3 x 1
解：由题意得
X≥ 2 x 3 0 ， ∴ X ≠-1 x 1 0 3 ∴ x ，且x 1. 2
a≥0
(双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
例2.下列各式是二次根式吗?
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a 1
2
2
4
1 1 2a
a 3
2
3 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
1 下列式子 2 x 6 中字母x的 2x 3 x 0 取值范围是 ________
23.1 二次根式(1)
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用 (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 ，算术平方根
2x+6≥0 ∵ -2x＞0 x≥-3
∴
x＜ 0
已知 在第 二
1 有意义,那么A(a, a
a)
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
1 有意义？ 当x取怎样的实数时， 2 x 3 x 1
解：由题意得
X≥ 2 x 3 0 ， ∴ X ≠-1 x 1 0 3 ∴ x ，且x 1. 2
a≥0
(双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
例2.下列各式是二次根式吗?
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a 1
2
2
4
1 1 2a
a 3
2
3 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
1 下列式子 2 x 6 中字母x的 2x 3 x 0 取值范围是 ________
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
新知探究
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
浙教版八年级下册 1.3.1 二次根式的计算 课件(共17张PPT)
1.3 二次根式的运算（1）
Hale Waihona Puke 一、知识储备二次根式有哪些性质？
（1） ( a )2 a（a≥0）
（2）
a2 |a|＝
a 当a≥0时 -a 当a＜0时
（3） ab a • b（a ≥0 ， b≥0）
（4） a a （a ≥0 ， b＞0） bb
二、讲解新知 计算
0.9 10
0.03 3
想一想：怎样计算上述两个式子？
A
DB
∴CD= AC BC 6 2
AB
22
作业题4
已知等腰直角三角形的斜边长为 求它的面积。
2，
解：设直角边为x，由已知得：
x2 x2 ( 2)2
∵x＞0
∴x=1
∴三角形的面积为： 1 11 1
2
2
尽可能用多种方法计算
24 24 3 24 3 6 2 2
2 3 2 3 3
6
6
2
2
在 Rt△ACD中，
AD= AC2 CD2 (2 2)2 ( 2)2 6.
∴S△ABC =
1 2
BC×AD=
12 2
2
62
3
(平方单位).
答:这个路标的面积为 2 3 平方单位.
五、巩固练习
课内练习1： (1) 12 3
(2) 1000 0.1 (3) 3 2
23 (4) 24 3
课内练习2：（1） 7 （2） 3105 （3） 1
6
2.7 103
5
课内练习3
如图,在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠,
BC= 2 ，AC= 6 ，求斜边上的高CD。
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
Hale Waihona Puke 一、知识储备二次根式有哪些性质？
（1） ( a )2 a（a≥0）
（2）
a2 |a|＝
a 当a≥0时 -a 当a＜0时
（3） ab a • b（a ≥0 ， b≥0）
（4） a a （a ≥0 ， b＞0） bb
二、讲解新知 计算
0.9 10
0.03 3
想一想：怎样计算上述两个式子？
A
DB
∴CD= AC BC 6 2
AB
22
作业题4
已知等腰直角三角形的斜边长为 求它的面积。
2，
解：设直角边为x，由已知得：
x2 x2 ( 2)2
∵x＞0
∴x=1
∴三角形的面积为： 1 11 1
2
2
尽可能用多种方法计算
24 24 3 24 3 6 2 2
2 3 2 3 3
6
6
2
2
在 Rt△ACD中，
AD= AC2 CD2 (2 2)2 ( 2)2 6.
∴S△ABC =
1 2
BC×AD=
12 2
2
62
3
(平方单位).
答:这个路标的面积为 2 3 平方单位.
五、巩固练习
课内练习1： (1) 12 3
(2) 1000 0.1 (3) 3 2
23 (4) 24 3
课内练习2：（1） 7 （2） 3105 （3） 1
6
2.7 103
5
课内练习3
如图,在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠,
BC= 2 ，AC= 6 ，求斜边上的高CD。
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
浙教八年级下册数学第一章第2节《二次根式的性质(1)》参考课件1(共19张PPT)
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
0 02 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0. | 0 | ___
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a2 ____; a a ;当a 0 时, a2 ____.
2 3 那计算式子 7 5
2
4 3 呢？ 5 7
2
2.计算
(1) (7) ( 7 )
2 2
2
(2)( 11 ) (13)
2
3 如图, P 5, 2 是直角坐标系 中一点,求点P到原点的距离.
3
y
2
P
5, 2
O
5
x
二次根式的性质及它们的应用:
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
3.化简
(1 p)
2
2 p
2
1 p (2 p) p 1 2 p 1
化简（ 1 3x ) 1 x
2
如果 a a 2 2a 1 1 那么a的取值范围是＿＿＿
化简：
(1)
2.数a在数轴上的位置如图,
1 (2)( 3 ) ______ (1) (1) ______ 3
则
a . a _____
2
a
-2
-1
0
1
计算:
3 2 2 4 2 ( ) 5 3 5 3
解：
3 2 4 2 0, 0 5 3 5 3
《二次根式》实数PPT课件(第1课时)
（来自《点拨》）
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
下载
/shiti
/
教案
下载
/jiao
an/
PPT
论坛
二次： 根式的定义
www
二次.1p根pt 式的性质
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
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二次： 根式的定义
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《二次根式的概念》课件
2023-2026
ONE
KEEP VIEW
《二次根式的概念》 ppt课件
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
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《二次根式的概念》 ppt课件
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
数学八年级下册二次根式_PPT公开课
初步应用 巩固知识
问题5. 指出下列哪些是二次根式？ （1） 5 √
（2） -3 （3）3 21
（4） x2+1 √ （5） a-2（a ≥ 2）√
（6） a-b（a ＜b）
合作探究 深化知识
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥-2．
看到分数线，分母不为0 （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积
（2）
（填“有”或“没有”）
根式，“ ”称为二次根号．
而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：
看到偶次根式，被开方数大于等于0 根式，“ ”称为二次根号．
而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： 指出下列哪些是二次根式？
C、 x>4
D 、x≥3且x≠4
如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
难点：具体问题的解决技巧
看到0指数，底数不为0 （3）﹣x≥0的解集是____________.
总结梳理 内化新知
独立思考 深化理解
(1)C
（2）a≤3
(4)①a≥-2 ②a＞0
（3）x=1,y=0 ③a=0
人教版八年级下册数学
二次根式（1）
• 《二次根式》这一章是在学完了七年级下册《实数》
内容的基础上继续学习的，它也是我们学习下一章第十七 章《勾股定理》及其他数学知识的基础。
教学三维目标：
知识与技能：理解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数 的理由； 过程与方法：从具体实例中建立二次根式模型，探索被开方数中 字母的取值范围； 情感态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等数学活动， 体验发现的快乐．
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：（4）144 25 144 25 125 60
（5） 49 2 49 2 7 2
（6） 81 = 81 = 9 121 121 11
例1的化简结果中，被开放数中都不含 有分母，也不含能开得尽的因数。
一般地，被开方数不含分母 也不含能开得尽的因数或因 式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式
2.二次根式的性质：（1）二次根式的双重非
负性
（积2的）算术ab平方a根• ，b(a等 0于,b算 0术), 平ba 方ba根(a的 积0,b； 0商)
的算术平方根，等于算术平方根的商。
3.最简二次根式满足的条件：（1）被开方数 不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方 的因数或者因式。
作业：
判断是否是最简二次根式
(1) 6
(2) 18
(3) 8
(5) 2 7
(4)3 5
现学现卖（导学案21页）：
最简二次根式的定义：一般地，被开方数不
含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。
这样的二次根式，叫做最简二次根式。
(1) 50
(2) 2 7
(3) 1 3
解 （1） 50= 25 2= 25 2=5 2
5
随堂练习：（课本42页）
2、化简：
(1) 32
(2) 72
(3) 12 7
解：（1） 32 16 2 16 2 4 2 4 2
（2） 72 36 2 36 2 6 2
（3） 12 12 7 4 3 7 4 21 2 21
7 77
7
7
7
本节课收获
1形如（a）的式子叫做二次根式；
积的算术平方根，等于算术平方根的积
商的算术平方根，等于算术平方根的商
做一做 2
例1 化简：
81 64
解：原式 81 64 98 72
25 6
解：原式 25 6 5 6
5 9
解：原式 5 完成 P21导学案（3）化简
9 5
3
(4) 144 25 (5) 492
(6) 81 121
实习老师： 涂顺峰
【自主预习】（导学案P20）
1、观察下列数式：
5 , 11, 7, .2
,
49 121
((c其b)中(c bb=) 24,c=25)
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，你能找出它们 的共同特征吗？
都含有开平方运算，并且被开方数都是非负
数
2.二次根式的定义：一般地，形如 （a≥0）的式 子叫做二次根式，a 叫做被开方a数
书本随堂P练4习3知识技能 1,2 习题6.2
感谢下 载
感谢下 载
做一做 2
计算下列各式:
49 6
4 2
9
3
=
25 5
49 7
4 9 6
4 2
9
3
25 5
49
7
想一想，根据上面的结果，你能得到什么结论？
想一想 2
二次根式的性质:
(1)式子中 a 的双重非负性：一是a≥0， 二是 ≥ 0 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) ab a • b(a 0,b 0), a a (a 0,b 0) bb
：
（2） 2 = 2 7 = 2 7 = 14 7 77 77 7
（3）1 = 1 3 = 3 3 3 3 3
模仿练习：
(4) 18
(5) 12 5
解：（4）18= 9 2= 9 2=3 2
（5） 12 = 12 5 = 125 5 55 55
= 4 3 5 = 4 15 = 2 15
5
5