天然肠衣搭配问题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：

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日

期：年月日

天然肠衣搭配问题

摘要

本文主要是对天然肠衣搭配问题进行探讨与研究，建立线性规划数学模型，

利用LINGO编程，得到符合实际的最优方案。文章以成品规格表和原料描述表

为参考依据，采用整数规划，分别从“最大捆数、最优方案和时间限制”三个方

面建立优化模型，利用LINGO编程最优求解，最终制作出了一套科学、合理和

实用的搭配方案。

本文分三步解决问题，具体如下：

首先，通过分析题设，按照要求（1）、（3）和（4），建立“最大捆数”的优

化模型。根据文中给出的三种成品规格，我们建立了三个求最大捆数的整数规划

模型。考虑到剩余原料可以降级规格使用，我们采用“倒序”原则，利用LINGO

编程，先算出第三种规格的最大捆数，接着把剩余原料23.5-23.9米的6根和

25.5-25.9米的1根降级到第二种规格搭配使用，以此类推，LINGO运行得到三

种规格的最大捆数，分别为134捆,41捆和16捆。

其次，根据最大捆数，本文得到两个具体的搭配方案。方案一是根据材料使

用情况建立最大损失函数模型，通过LINGO编程得到搭配方案（表4

5-）。方案

二是按照原料的最大利用原则建立优化模型，利用LINGO编程得到搭配方案（表

5-），按照要求（2），比较两个方案的剩余原料（表6

5-），档次低的原料越5

多，搭配方案越好。我们最终选择方案二。对剩余原料再次替代，得到优化方案

（表7

5-）。

最后，考虑到食品保鲜，要求30分钟内产生方案，而第三规格原料数据太

多，给程序运行带来困难，我们对模型改进。把第三规格原料分成5个批次（表

5-、10

9

5-），对每个批次分别建模，求出的最大捆数分别32,32,32,18,19。

然后通过LINGO编程分别求出各个批次的搭配方案（表11

5-、13

5-）。

5-、12

最后剩余的5根，利用替代原则，再优化1捆，得到最终的搭配方案（表14

5-）。

关键词：整数规划LINGO搭配方案最优求解天然肠衣

1 问题重述

天然肠衣的制作加工首先要经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），然后进入组装工序。传统的生产方式就是人工边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，以0.5米为一档，附表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。附表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：

（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

（3）为提高原料使用率，总长度允许有0.5

±米的误差，总根数允许比标准少1根；

（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级规格使用。如长度为14米的原料可以和长度介于13.5

7米的规格；

-

-

7米的进行捆扎，成品属于13.5

（5）为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

根据上述问题建立数学模型，给出求解方法，并对附表1、附表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

2 问题分析

问题中要求根据成品规格和原料描述，以及公司对搭配方案的具体要求，设

计一个原料的最优搭配方案。

2.1对最大捆数的分析

制作原料的搭配方案，首先要确定最大捆数。考虑到文中要求（1）装出的成品捆数越多越好，因此把三个规格的最大捆数作为目标函数。

文中的要求（3）指出总长度可以允许5.0

±米的误差，鉴于最大捆数的要求，把要求（3）作为约束条件对目标函数进行优化。文中（4）要求，如果原料有剩余，可以考虑降级规格使用。所以，先求第三种规格的最大捆数。此规格中剩余的原料，降级使用，安排到第二种规格里面，作为新的长度档，参与第二种规格的分配。同理，第二种规格中剩余的原料降级到第一种规格使用。

对建立的目标函数，根据题目的约束条件，进行LINGO编程，运行得到最大捆数为191捆。

2.2对最优搭配方案的分析

在求出最大捆数的前提下，通过建立不同的目标函数得到两种优化模型：一种是按照原料的最大损失函数建立的优化模型，另一种是根据原料的最大利用原则建立优化模型，通过LINGO分别编程，得出两种搭配方案。鉴于文中要求（2）提出：最短长度最长的成品越多，方案越好，我们选择第二种方案作为最终搭配方案。要求（3）中提出：总长度允许有5.0

±米误差、总根数允许比标准20根少一根。在满足要求（3）的前提下，又把剩余的原料中档次较高的去替代档次较低的，使得搭配方案更加合理优化，达到了最优的搭配效果。

2.3改进的最优搭配方案

根据第二种方案，利用LINGO编程，可以很快的求出原料第一、二规格的具体搭配方案。但是在求第三种规格搭配方案时，由于数据较多，程序运行会占用很多时间，从而不满足要求（5）中的食品保鲜，即要求30分钟内产生方案。

本文对搭配方案模型进行改进，采用“化整为零”的思想优化模型：把第三规格原料分成5个批次，对每个批次分别建模，再用LINGO进行编程，求出最大捆数分别32,32,32,18,19。然后通过对每个批次建立最优搭配模型，LINGO编程分别求出各个批次的搭配方案。最后剩余的5根，利用替代原则，再优化1捆，得到最终的搭配方案（表14

5-）。

3 模型假设

（1）假设分割后的肠衣没有损坏；

（2）假设原料的丈量误差忽略不计；

（3）假设原料的分档无误；

（4）假设肠衣在捆装的过程中不出现断裂；

（5）假设电脑运行正常；

（6）假设在测量长度时不出现重叠；

（7）假设工人可以看懂搭配方案；

（8）假设肠衣在制作过程中不收缩变形；

（9）假设不考虑温度、湿度等外界因素对肠衣质量的影响；

4 符号说明