第九章 属性(分类)数据分析

1. 2检验
在双向表的情形下，如果行变量与列变量无关联性的 原假设H0成立，则列联表中各行的相对分布应近似相等， 即
或
n
j
n ij

ij
n
i
ij
n
ij def
（j = 1，2，…，c）
n ij
n n
ij j i
n
（j = 1，2，…，c） m ij
其中 mij称为列联表中单元 ij在无关联性假设下的期望频 数，而nij是单元ij的观测频数。
源自文库
3. V系数
鉴于 φ系数无上界、 c系数小于 1 的不便，克莱默提出 了V系数（Cramer's V），其计算公式如下：
第九章 属性（分类）数据分析

9.1 属性数据及其分析
9.2 SAS中的属性数据分析

9.1
属性数据及其分析

9.1.1 属性数据分析与列联表


9.1.2 属性变量关联性分析
9.1.3 属性变量关联度计算

9.1.4 有序变量关联性分析
9.1.1 属性数据分析与列联表
1. 属性变量与属性数据分析
对于不同的属性变量，从列联表中可以得到它们联合 分布的信息。但有时还想知道形成列联表的行和列变量 间是否有某种关联性，即一个变量取不同数值时，另一 个变量的分布是否有显著的不同，这就是属性变量关联 性分析的内容。 属性变量关联性检验的假设为 H0：变量之间无关联性； H1：变量之间有关联性 由于变量之间无关联性说明变量互相独立，所以原假 设和备择假设可以写为： H0：变量之间独立； H1：变量之间不独立
元的期望频数均不小于5。 2校正的条件：n≥40但有单元的期望频数小于5。
2. Fisher精确检验
Fisher精确检验建立在概率论中超几何分布的基础上， 对于单元频数小的列联表来说，它是特别合适的。 Fisher精确检验计算在H0成立的条件下，当总频数和 边缘频数固定时，各种可能的表的超几何概率p之和
由于2分布是一种连续性分布，而属性数据是不连续的， 故上式只是一个近似计算公式。计算出来的2值往往偏 大，相应的 p 值偏小，从而人为地增加了犯第一类错误 的机会。为纠正这种偏性，可采用校正2，用C2表示。
2 C m 2 i 1j 1 ij 注：通常要求 检验应满足的条件是： n≥40且所有单 r c 2 (| n m | 0 . 5 ) ij ij
i1
n i2

i1
n ic
n
i 1 j 1
这是一张具有r行和c列的一般列联表，称它为rc表。 其中，第i行第j列的单元表示为单元ij。交叉表常给出在 所有行变量和列变量的组合中的观测个数。表中的总观 测个数用n表示，在单元ij中的观测个数表示为 nij，称为 单元频数。
9.1.2 属性变量关联性分析
2. 列联表
列联表（ contingency table ）是由两个以上的属性变 量进行交叉分类的频数分布表。例如一个集团公司在四 个不同的区域设有分公司，现该集团公司欲进行一项改 革，此项改革可能涉及各分公司的利益，故采用抽样调 查方法，从四个分公司共抽取 420个样本单位，了解职 工对此项改革的看法，调查结果如表9-1所示。
交叉表的基本形式如图9-1所示。
列
第1列
第1行 行 第2行 … 第r行 列边缘频数 n11 n21 … n r1
r
第2列
n12 n22 … n r2
r
…
… … … … …
第c列
n1c n2c … nrc
r
行边缘频数


c
j1 c
n1 j
n2j
j1
…

r
c
j1
n rj
c ij

i1
n i1

从变量的测量水平来看分为两类：连续变量和属性 (Categorical) 变量，属性变量又可分为有序的 (Ordinal) 和无序的变量。 对属性数据进行分析，将达到以下几方面的目的： 1) 产生汇总分类数据——列联表； 2) 检验属性变量间的独立性(无关联性)； 3) 计算属性变量间的关联性统计量； 4) 对高维数据进行分层分析和建模。
为了检验无关联性，将观测的单元频数与无关联的原假 设为真时单元的期望频数进行比较。一个通常使用的检 验是2检验。2统计量为：
2
i 1 j 1
r
c
2 (n m ) ij ij
m ij
在 H0 成立的条件下，当观测数据较大时， 2 统计量的 分布近似服从自由度为(r - 1)(c – 1)的2分布。
2. 列联系数
列联系数（ Contingency coefficient ）简称为 c 系数， 主要用于大于22表的情况。c系数的计算公式为：
c
2 2 n
c系数的取值范围：–1 < c < 1，特别当r c表中两个 变量相互独立时，c = 0。c系数的最大值依赖于列联表 的行数和列数，且随着 r 或 c 变大而变大。例如，对于 22表，c = 0.7071；对于33表，c = 0.8165；对于44表， c = 0.87，…等等。 c系数的缺点是，根据不同行列的列联表计算出来的 c 系数不便比较。
表9-1 关于改革方案的调查结果（单位：人）
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司 合计
赞成该方案
反对该方案 合计
68
32 100
75
45 120
57
33 90
79
31 110
279
141 420
表中的行 (row) 是态度变量，这里划分为两类：赞成改 革方案或反对改革方案；表中的列 (column)是单位变量， 这里划分为四类，即四个分公司。表 9-1 所示的列联表 称为24表。
PROB p
A
对于双边检验，A是具有概率p小于或等于观测表概率 的表的集合；对于左（右）边检验，A是这样一些表的 集合，其中每个表的单元 ij 中频数小于（大于）或等于 观测表中相应的频数。
9.1.3 属性变量关联度计算
1. φ系数
φ系数是描述22表数据关联程度最常用的一种相关系 数。其计算公式为： 2 / n 其中，2即2统计量。 |φ|的取值范围是在0 ~ 1之间，φ的绝对值越大，说明 行变量与列变量的关联程度越高。φ = 0，表示变量之间 相互独立；|φ| = 1，表示变量之间完全相关，此时列联 表某个方向对角线上的值全为0。 当列联表r c中的行数r或列数c大于2时，φ系数将随 着r或c变大而变大，且φ无上界。此时可用列联系数。