非线性算子

非线性算子又称非线性映射，不满足线性条件的算子。泛函分析的研究对象主要是线性算子及其特殊情况线性泛函。但是，自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的。数学物理中的一些线性方程其实都是在一定条件下的近似。为研究这些非线性问题，涉及到的算子(映射)将不能只局限于线性算子。人们从两种不同的途径研究非线性问题：①针对具体问题，考察具体非线性算子的特征，解释非线性现象。②从一般的算子概念出发，添加适当的分析、拓扑或代数性质导出一些一般性的结论。

代数、几何、拓扑中各种非线性映射是形形色色的，分析学中经常遇到的非线性算子则大抵由乘法、函数的复合以及各种线性算子组合而成。常见的非线性积分算子有:乌雷松算

子其中K(x,y，t)是 0≤x，y≤1，t∈R1上的连续函数;哈默

斯坦算子·，其中K是【0,1】×【0,1】上某p次可积函数，ƒ(y,t)在【0,1】×R1上可测，对固定的y关于t连续。常见的微分算子有:KdV算子,极小曲面算子等。

许多非线性算子出现于非线性方程之中，从而有关非线性算子的理论就围绕着非线性方程的求解的研究而展开。设T是从B空间（巴拿赫空间）X到B空间Y的算子，设y∈Y，求解x∈X，满足：

(1)

有时特别地考察y =θ（θ是Y中的零元）的情形，称解x为T的零点。显然，若T是一个满射，则(1)总有解,于是人们讨论在什么条件下T具有满射性.又若X=Y，方程(1)的求解问题有时化归寻求算子T1x = Tx+x-y的不动点

(2)

的问题。这样提问题有助于利用几何直观。

和线性方程的解集总是仿射集(线性子空间的平移)不同，方程(1)的解集构造很复杂，它可能对某些y是空集，而对另一些y则非空。其个数可能只有一个,可能有有穷多个，也可能有无穷多个；可能是孤立的，可能有聚点，也可能是连续统。

以X为定义域，取值为Y（映X入Y中）的子集的映射，称为集值映射。相应于(1)的求解问题写成下列从属关系：

(3)

算子的微分学从分析上研究一般算子的途径是把数学分析中研究函数的微积分学推广到算子。设X、Y都是B空间，U是X中的一个开集,f:U→Y,称f在x0∈U连续，是指

相应于方向导数概念的是加托导数，简作G导数。称f在x0处G可微,是指对任意的h∈X，存在d f(x0,h)∈Y，使得

，

当t →0,x 0+th ∈U 。称d f (x 0,h )为f 在x 0处沿方向h 的G 导数。相应于全微分概念的是弗雷歇导数，简作 F 导数。称f 在x 0处F 可微,是指存在A ∈L (X ,Y ),(L (X ,Y )表示X 到Y 的线性有界算子空间)X →Y 是线性有界算子空间，使得对任意的h ∈X ，当x 0+h ∈U 时，有

当h →θ。称A 为f 在x 0处的F 导数，并且记作)(0'x f 。

G 可微与F 可微之间的关系如下:①若ƒ:U →Y 在x 0∈U 处F 可微,则ƒ在x 0必G 可微,并且

,任意的h ∈X 。②设 f :U →Y 在 U 内 G 可微,且d f (x ,h )关于h 线

性，即d f (x ,·∈L (X ，Y )，任意的x ∈U 。如果d f (x ,·)还是关于x 连续的，那么ƒ在x ∈U 是F 可微的。

算子的微分学与函数的微分学很相似。

① 锁链法则 设X 、Y 、Z 、是B 空间，U ⊂X ，V ⊂Y 是开集。若ƒ:U →Y F 可微；g :V →Z F 可微；且f (U )⊂V ，则g 。f 在U 内F 可微，并且

②反函数定理 设 f :U →Y 在 U 上有连续的F 导数()x f ',又若式中x 0∈U ，则ƒ是x 0

的一个邻域到f (x 0)的一个邻域的微分同胚，并且

③ 隐函数定理 设 X 、Y 、Z 是B 空间，O 是X ×Y 中的一个开集，()O y x ∈00,，又设f :O →Z 连续，满足：,f 在O 上关于y 的F 导数()y x f ,'是连续的，并且

，则必存在x 0的一个邻域U 和y 0的一

个邻

域V ，以及惟一的连续映射φ:U →V ，满足

隐函数定理与反函数定理对于求解算子方程 (1)有十分重要的意义。它们表明：对于具有连续导数的一般非线性算子，只要在一点上，它的线性化方程是可解的（在一定意义下），那么它在这点附近便是可解的。许多非线性方程的局部可解性理论都基于这一基本事实。 为了近似求解方程，f (x )=θ，数学分析里的牛顿求根法，也被推广。在准确解x *

∈U

的邻近任取x 0∈U ，构作迭代序列：n =0,1,2,…，可以证明：x n →x *。

然而，反函数定理有时不够用,其中的条件

不满足。这种情形在一些微分方程理论中出现，例如，线性算子()10'-x f 不能保持值域中的函数足够光滑。为此，J.K.

莫泽修改了牛顿求根法的迭代格式，并用它来推广反函数定理。由此发展起来的一套技巧在好几个重要的问题中非常有效。例如小除数问题、黎曼流形的嵌入问题等，被称之为纳什－莫泽技巧。

反函数定理给出了 f 成为局部同胚的条件。为了得到整体性的同胚，仅用微分学是不够的，借助于紧性概念以及拓扑学中的同伦概念可以得到整体的反函数定理：为了使连续映射ƒ是一个同胚,必须且仅须它是局部同胚，并有f 是固有的。所谓算子f 是固有的，指紧集的原像是紧集。

Y =R 1或C 1的映射称为泛函，设φ:U →R 1,x 0∈U 称为它的一个局部极小 (或极大)点，如果φ(x )≥φ(x 0)（或φ(x )≤φ(x 0)对一切x ∈V ,其中V 是x 0的某个邻域。费马原理被自然地推广：设φ在x 0∈U 达到局部极值,且φ在x 0处G 可微，则d φ(x 0,h )=θ，对任意的h ∈X 。在变分学中，它对应着泛函极值的必要条件即欧拉方程。

算子高阶导数的概念要求引入多线性算子，实际上，高阶 F 导数还是对称的多线性算子。带余项的泰勒公式在形式上与函数的泰勒公式是一样的。

积分学也被推广到一般算子。黎曼积分的定义与普通函数的积分定义一样，而勒贝格积分的推广则分强、弱两种,前者称为博赫纳积分,后者称为佩蒂斯积分。

不动点及可解性 下面是几类重要的不动点定理。

压缩型算子 一个最简单、熟知、应用最广泛的不动点定理是压缩映射定理。在一个度量空间(X ,d )上,T 映X 至自身，称其为压缩的,如果d (Tx ,Ty ) ≤ αd (x ,y )对任意的x ,y ∈X ,式中0<α<1。每个压缩算子在X 中必有唯一的不动点。这个不动点可以从任意点x 0出发，通过简单迭代法求出。令，n =1,2,…，则X n 收敛到不动点。条件α<1一般不能去掉。在定义中若α=1，则称T 为非扩张算子。实直线上的一个平移显然是非扩张的，但没有不动点。然而对于一致凸的 B 空间的一个闭、凸、有界子集C ，若T :C →C 是非扩张的,则T 在C 上必有不动点。对于压缩算子的研究导致下列逆问题：若T :X →X ，则在什么条

件下能在X 中引入可度量化的拓扑，使得T 是一个压缩算子。答案是：每个T n ，n =1，2，…,

在X 中都只有惟一的不动点。

单调算子 单调算子的概念起源于可微凸泛函的导数。设φ是在B 空间X 上定义的这种函数，则()()>--表示'

X 与X 之间的对偶。直线上的可微凸函数的导函数是单调不减的，于是就把满足下面这些条件的算子T :X →'X ，

称为单调算子，如果α>0则称为强单调算子。自反B 空间上弱线段连续的强单调算子是 X