非线性算子
基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征癫痫发作自动检测算法
第１４卷㊀第３期Ｖｏｌ．１４Ｎｏ．３㊀㊀智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ㊀㊀２０２４年３月㊀Ｍａｒ．２０２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号：２０９５－２１６３（２０２４）０３－０１２８－０５中图分类号：ＴＰ１８，ＴＰ３９９文献标志码：Ａ基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征癫痫发作自动检测算法何雪兰，吴㊀江，蒋路茸（浙江理工大学信息科学与工程学院，杭州３１００１８）摘㊀要：针对癫痫发作自动检测算法多集中于时域㊁频域等传统特征，无法全面表征癫痫脑电信号的信息等问题，本文结合癫痫脑电图中异常波振幅和频率提高的现象，提出一种基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征癫痫发作自动检测算法㊂该算法使用传统的时域㊁频域特征，结合尖峰相关性特征对脑电信号进行刻画，使用有监督的机器学习分类器，测试癫痫发作自动检测的有效性和可靠性㊂本文将提出的方法在开源数据集ＣＨＢＭＩＴ上进行了评估，获得了９６．５２％的准确率㊁９５．６５％的敏感性和９７．０９％的特异性㊂实验结果表明，基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征，能够作为癫痫脑电信息的补充，提高癫痫发作检测的性能㊂关键词：癫痫发作检测；机器学习；尖峰相关性；平滑非线性能量算子Ａｕｔｏｍａｔｉｃｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｓｐｉｋｅ－ｒｅｌａｔｅｄｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｓｍｏｏｔｈｅｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｎｅｒｇｙｏｐｅｒａｔｏｒｄｉｖｉｓｉｏｎＨＥＸｕｅｌａｎ，ＷＵＪｉａｎｇ，ＪＩＡＮＧＬｕｒｏｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｊｉａｎｇＳｃｉ－ＴｅｃｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍｏｓｔｃｕｒｒｅｎｔｓｅｉｚｕｒｅａｕｔｏｍａｔｉｃｄｅｔｅｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｃｕｓｏｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｆｅａｔｕｒｅｓｓｕｃｈａｓｔｉｍｅｄｏｍａｉｎａｎｄｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎ，ｗｈｉｃｈｃａｎｎｏｔｆｕｌｌｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｅｐｉｌｅｐｔｉｃＥＥＧｓｉｇｎａｌｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｎａｕｔｏｍａｔｉｃｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｓｐｉｋｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｆｅａｔｕｒｅｓｄｉｖｉｄｅｄｂｙａｓｍｏｏｔｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｎｅｒｇｙｏｐｅｒａｔｏｒ，ｔａｋｉｎｇｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔｔｈｅｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎｔｈａｔｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅａｎｄｆｒｅｑｕｅｎｃｙｏｆａｂｎｏｒｍａｌｗａｖｅｓｉｎｅｐｉｌｅｐｔｉｃＥＥＧｗｉｌｌｉｎｃｒｅａｓｅ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｕｓｅｓｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｔｉｍｅ－ｄｏｍａｉｎａｎｄｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－ｄｏｍａｉｎｆｅａｔｕｒｅｓ，ｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｓｐｉｋｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｆｅａｔｕｒｅｓｔｏｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅＥＥＧｓｉｇｎａｌ，ａｎｄｕｓｅｓｓｕｐｅｒｖｉｓｅｄｍａｃｈｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇｃｌａｓｓｉｆｉｅｒｓｔｏｔｅｓｔｉｔｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓａｎｄｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｆｏｒａｕｔｏｍａｔｉｃｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ．ＴｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｖａｌｕａｔｅｓｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｏｎｔｈｅｏｐｅｎｓｏｕｒｃｅｄａｔａｓｅｔＣＨＢＭＩＴａｎｄｏｂｔａｉｎｓ９６．５２％ｏｎａｃｃｕｒａｃｙ，９５．６５％ｏｎｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙａｎｄ９７．０９％ｏｎｓｐｅｃｉｆｉｃｉｔｙ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｓｐｉｋｅ－ｒｅｌａｔｅｄｆｅａｔｕｒｅｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｓｍｏｏｔｈｅｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｎｅｒｇｙｏｐｅｒａｔｏｒｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｃａｎｂｅｕｓｅｄａｓａｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｔｏｔｈｅｅｐｉｌｅｐｔｉｃＥＥＧｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ；ｍａｃｈｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇ；ｓｐｉｋｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ；ｓｍｏｏｔｈｅｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｎｅｒｇｙｏｐｅｒａｔｏｒ基金项目：浙江省基础公益项目（ＬＧＦ１９Ｆ０１０００８）；北京邮电大学泛网无线通信教育部重点实验室（ＢＵＰＴ）（ＫＦＫＴ－２０１８１０１）；浙江省重点研发计（２０２２Ｃ０３１３６）；国家自然科学基金（６１６０２４１７）㊂作者简介：何雪兰（１９９９－），女，硕士研究生，主要研究方向：癫痫检测；吴㊀江（１９７８－），男，博士，高级工程师，主要研究方向：无线通信技术，工业物联网㊂通讯作者：蒋路茸（１９８２－），男，博士，教授，主要研究方向：生理电信号处理㊁复杂网络和无线传感器网络㊂Ｅｍａｉｌ：ｊｉａｎｇｌｕｒｏｎｇ＠ｚｓｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ收稿日期：２０２３－０３－１５０㊀引㊀言癫痫是一种神经系统疾病，由大脑神经元异常放电引起［１］，常常表现为突发性㊁反复性和复发性等特点㊂癫痫发作的临床症状复杂多样，如阵发性痉挛㊁意识丧失㊁认知功能障碍等［２］㊂这些发作事件对患者的认知水平及正常生活都产生了明显影响㊂因此，癫痫的诊断和治疗对于预防癫痫发作和改善生活质量至关重要㊂头皮脑电图是一种用于临床记录脑活动的无创信号采集方法［３］，用于记录大脑活动时的电波变化㊂头皮脑电图包含丰富的生理㊁心理和病理信息，是评估癫痫和其他脑部疾病的有效工具［４］㊂在脑电图的记录中，癫痫发作和癫痫样放电（如棘波㊁尖波和棘慢波复合体）是癫痫的重要生物标志物［５］，并被广泛应用于临床评价㊂目前，临床上基于脑电图的识别与分析是医生进行癫痫检测的黄金标准，但对海量的临床脑电数据进行人工筛查，不仅给医生带来沉重的负担，还存在较强的主观性㊁判断标准不统一等问题［６－７］，影响分析的效率和准确性㊂因此，设计一种自动的癫痫发作检测方法是亟待解决的问题㊂为了克服传统诊断方法的局限性㊁提高医疗效率，伴随着机器学习的快速发展，癫痫发作的自动检测已成为行业内关注的重点㊂研究者们根据头皮脑电图的时域㊁频域或非线性特征建立了特征工程方法［８－１０］，并通过具有一个或多个特征的分类器检测癫痫发作㊂Ｍｕｒｓａｌｉｎ等学者［１１］从时域㊁频域和基于熵的特征中选择突出特征，使用随机森林分类器学习选定特征集合的特性，获得了更好的分类结果㊂杨舒涵等学者［１２］使用时域和非线性特征对脑电信号进行表征，结合ＸＧＢｏｏｓｔ分类器，实现了癫痫的自动检测㊂Ｚａｒｅｉ等学者［１３］使用离散小波变换ＤＷＴ和正交匹配追踪（ＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＭａｔｃｈｉｎｇＰｕｒｓｕｉｔ，ＯＭＰ）提取ＥＥＧ中不同的系数，计算非线性特征和统计特征，使用ＳＶＭ进行分类，获得了较好的检测性能㊂吴端波等学者［１４］使用ａＥＥＧ尖峰和ｃＥＥＧ棘波提取的方法计算棘波率，使用阈值法对癫痫进行发作检测㊂上述模型虽然都能取得较好的分类结果，但是也存在以下问题：（１）多数研究在特征提取阶段仅从时域㊁频域或时频域中表征脑电信号信息，这些特征所涵盖的信息量并不足以全面描述一段ＥＥＧ信号㊂（２）在癫痫发作的自动检测中，强调周期性的信号转换对于有效㊁可靠地区分癫痫发作的重复特征至关重要，而互相关是时域上广泛用于表示信号周期性的方法㊂针对上述问题，本文提出一种基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关（ＳｐｉｋｅＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ，ＳＣ）特征的癫痫发作自动检测算法㊂ＳＣ是关于自适应提取的脑电图尖峰信号段之间时间延迟的最大互相关㊂使用平滑非线性能量算子衡量癫痫脑电信号中出现的异常波，将脑电信号在癫痫发作期和非发作期的尖峰相关特征作为度量患者大脑活动的一个重要补充㊂本文提出的算法主要使用巴特沃斯滤波器对脑电信号进行滤波，去除外部伪迹的干扰，然后从传统特征角度出发，提取时域㊁频域特征，再结合提出的尖峰相关特征，进一步表征癫痫发作时的异常信息㊂最后结合有监督的机器学习分类模型，实现癫痫发作的自动检测㊂１㊀方法癫痫发作自动检测整体流程设计如图１所示，其中包含预处理㊁特征提取和分类等３个模块㊂脑电信号通道筛选滤波数据分割归一化预处理特征提取传统特征:时域、频域尖峰相关特征分类癫痫发作/非发作图１㊀癫痫发作自动检测流程图Ｆｉｇ．１㊀Ｆｌｏｗｃｈａｒｔｏｆｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ１．１㊀脑电信号预处理头皮脑电数据通过放置在头皮固定位置的电极采集得到㊂由于外置电极，这种采集方式很容易受到外部干扰，导致采集到的数据被噪声污染㊂此外，由于受试者在采集过程中生理活动产生的内部伪迹（如：眨眼㊁心脏跳动等）［１５］，也会对数据产生干扰，影响分类结果㊂因此，针对内部伪迹，本文首先对采集到的脑电信号进行通道筛选，剔除受眼部运动干扰严重的２个电极ＦＴ１和ＦＴ２；同时，由于左侧耳电磁极易受到心电伪迹的干扰，因此也剔除了靠近耳部的２个电极ＦＴ９和ＦＴ１０㊂所以，在通道筛选阶段，共选择了脑电图中２０个通道信号㊂㊀㊀滤波是一种常见的去除脑电信号外部伪迹的方法，本文采用１ ４８Ｈｚ的带通巴特沃斯滤波器进行滤波，抑制其他频率范围的信号［１６］㊂根据数据集中标注的癫痫发作开始和结束时间，为了保证波形的完整性，设置重叠率为５０％的滑动窗口，将脑电信号分割成４ｓ的数据片段，最后对所有片段进行归一化处理㊂由于通道筛选和滤波后的脑电信号幅值的浮动一般是在可接受范围内，最大最小标准化能够较大程度地还原真实ＥＥＧ信号波形㊂因此，本文采用最大最小标准化对原始ＥＥＧ信号进行归一化操作，推得的公式为：Ｘｍｉｎ－ｍａｘ＝Ｘ－Ｘ－ｍａｘＸ()－ｍｉｎＸ()（１）１．２㊀特征提取原始脑电信号数据量庞大，且不具有代表性，而特征提取方法可以提炼出能够表征癫痫发作特征的数据，用于模型的建立㊂因此，本文主要使用传统时域㊁频域特征和基于平滑非线性能量算子的尖峰相关性特征，对脑电数据进行特征提取㊂１．２．１㊀传统特征提取研究主要从时域和频域两个角度对脑电信号进行传统特征提取㊂本文主要提取时域上每个通道的最大值㊁最小值㊁平均值㊁峰度（Ｋｕｒｔｏｓｉｓ）㊁偏斜度９２１第３期何雪兰，等：基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征癫痫发作自动检测算法（Ｓｋｎｅｗｎｅｓｓ）和线长（ＬｉｎｅＬｅｎｇｔｈ）；频域上主要提取每个信号频域分量的振幅㊂其中，峰度㊁偏斜度和线长的数学定义分别见式（２） （４）：Ｋｕｒｔｏｓｉｓ＝Ｅ［（ｘ－ｍｅａｎ（ｘ））４］｛Ｅ［（ｘ－ｍｅａｎ（ｘ））２］｝２（２）Ｓｋｎｅｗｎｅｓｓ＝Ｅ［（ｘ－ｍｅａｎ（ｘ）ｓｔｄ（ｘ））３］（３）ＬｉｎｅＬｅｎｇｔｈ＝１ｎðｎｉ＝１ａｂｓｘｉ＋１－ｘｉ()（４）㊀㊀其中，ｘ表示脑电信号片段；Ｅ表示对括号中数值求期望；ｘｉ表示采样点ｉ的值；ｎ表示片段ｘ中采样点数㊂１．２．２㊀尖峰相关特征提取根据癫痫发作时脑电信号异常波的振幅和频率发生改变的特异性现象，本文提出将尖峰相关特征作为表征癫痫发作时异常特征的补充㊂非线性能量算子（ＮＬＥＯ）是一种对信号进行能量度量的方法［１７］，能够跟踪信号的瞬时能量㊂对于离散信号ｘｎ，其非线性能量算子表达如式（５）所示：φ［ｘ（ｎ）］＝ｘ（ｎ－ｌ）ｘ（ｎ－ｐ）－ｘ（ｎ－ｑ）ｘ（ｎ－ｓ）（５）㊀㊀通常，当癫痫脑电信号中出现异常放电时，脑电波的振幅和频率会有所提高，可以更好地突出异常波在平稳状态下的放电波形，但非线性能量对脑电信号中可能存在的噪音信号也具有很高的敏感度㊂为了进一步提高ＮＬＥＯ对非平稳信号的表征能力和抗干扰能力，文献［１８］提出了一种ＮＬＥＯ的改进方法，即平滑非线性能量算子（ＳＮＬＥＯ），将计算所得的能量与一个窗函数进行卷积运算，在一定程度上减小低波幅噪音信号对输出结果的影响㊂ＳＮＬＥＯ计算见式（６）：φ［ｘ（ｎ）］＝ｗ（ｎ）∗φ［ｘ（ｎ）］（６）㊀㊀其中，ｗ是一个矩形的窗函数， ∗ 表示卷积操作㊂在非线性能量算子的计算中，本文使用的参数值为ｌ＝１，ｐ＝２，ｑ＝０和ｓ＝３，并采用７个点的窗函数进行卷积计算㊂获得ＳＮＬＥＯ后，需要设定一个合适的阈值，尽可能多地筛选出可能是尖峰的样本，同时最小化漏检率㊂本文使用自适应阈值，对ＳＮＬＥＯ进行尖峰筛选识别㊂本文采用影响检测尖峰数量没有大范围变化的阈值作为最优阈值㊂最优阈值的搜索范围为ＳＮＬＥＯ的１０％ ９０％［１９］，相邻２个峰值的中间被确定为一个尖峰的起始点或结束点㊂由于数据在划分过程中导致波形的不连续问题，本文将检测到的第一个和最后一个尖峰丢弃，以确保每个片段具有完整的尖峰形态㊂如果检测出尖峰，则将每个划分好的尖峰与后续５个尖峰片段相关联㊂本文使用尖峰相关性（ＳｐｉｋｅＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ，ＳＣ）来定义该矩阵，并将ＳＣ的平均值和标准差作为癫痫发作检测的特征㊂ＳＣ计算见式（７ ８）：ＳＣｉ，ｊ＝ｍａｘｍＲｘｉｘｊ（ｍ）（７）Ｒｘｉｘｊ（ｍ；ｉ，ｊ）＝Ｅ［ｘｉ（ｎ）ｘｊ（ｎ＋ｍ）］σｘｉσｘｊ（８）㊀㊀其中，ｘｉ㊁ｘｊ是脑电ＥＥＧ信号的片段，这里ｉ＝［２， ，Ｓ－６］，ｊ＝［ｉ＋１， ，ｉ＋５］；Ｓ表示在一个片段中检测到的峰值数；σ表示脑电图片段的标准差㊂估计ＳＣ特征的处理过程如图２所示㊂将一个片段的第一个和最后一个丢弃，而后根据得到的尖峰计算其与后面５个尖峰的相关性㊂根据图２（ａ）中样例计算出的尖峰相关矩阵如图３所示㊂10050-501234时间/s(a)癫痫发作片段样例EEG/μV400200SNLEO/μV23224168尖峰数/个1234时间/s(b)片段(a)对应的S N L E Ot h(c)基于（b)确定的自适应阈值t h阈值104.87710050-50EEG/μV1234时间/s(d)划分好的尖峰片段(“*”表示丢弃的片段)12345678910t h图２㊀使用自适应阈值的ＳＮＬＥＯ计算尖峰相关性示意图Ｆｉｇ．２㊀ＳｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆＳＮＬＥＯｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｓｐｉｋｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇａｄａｐｔｉｖｅｔｈｒｅｓｈｏｌｄ1234567892345678910图３㊀尖峰片段得到的最大相关矩阵Ｆｉｇ．３㊀Ｍａｘｉｍｕｍｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｍａｔｒｉｘｏｂｔａｉｎｅｄｆｒｏｍｓｐｉｋｅｆｒａｇｍｅｎｔｓ０３１智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀㊀㊀此外，计算了ＳＮＬＥＯ的平均值㊁标准差和平均最大ＳＮＬＥＯ值ｓｐｉｋｉｎｅｓｓ㊂其中，ｓｐｉｋｉｎｅｓｓ被定义为ＳＮＬＥＯ中峰值的最大值除以ＳＮＬＥＯ的平均值［２０］，以及检测到的峰值数量（ｓｎｕｍ）㊁平均持续时间（ｓｗｉｄｔｈ）和平均峰值间间隔（ｓｇａｐ）㊂基于ＳＮＬＥＯ划分的尖峰相关特征的具体描述见表１㊂表１㊀尖峰相关特征的描述Ｔａｂｌｅ１㊀Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｓｐｉｋｅ－ｒｅｌａｔｅｄｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ特征描述ｍｅａｎ（ＳＣ）尖峰相关性矩阵的平均值ｓｔｄ（ＳＣ）尖峰相关性矩阵的标准差ｍｅａｎ（ＳＮＬＥＯ）ＳＮＬＥＯ的平均值ｓｔｄ（ＳＮＬＥＯ）ＳＮＬＥＯ的标准差ｓｐｉｋｉｎｅｓｓ平均最大ＳＮＬＥＯ值ｓｎｕｍ峰值数量ｓｗｉｄｔｈ平均持续时间ｓｇａｐ平均峰值间间距１．３㊀分类模型使用传统机器学习分类器ＲＦ和ＳＶＭ来评估本文提出的方法，这些分类器经常被用于癫痫发作的自动检测㊂２㊀实验２．１㊀数据集本研究采用公开的头皮脑电数据集ＣＨＢ－ＭＩＴ㊂该数据集共记录了美国波士顿儿童医院的２３名癫痫患者的头皮脑电数据，每个患者的数据都是由多个．ｅｄｆ文件组成，采样频率２５６Ｈｚ，共含有１５７次癫痫发作㊂大多数文件包含有２３个ＥＥＧ通道信号，并采用国际标准１０－２０系统使用的ＥＥＧ电极位置命名这些通道记录㊂由于癫痫发作时间远小于发作间期的时间，为了保证数据集正负样本的均衡性，本文采用欠采样的方式在发作间期随机采样和癫痫发作样本数量相当的负样本㊂２．２㊀评价指标为了验证本文方法的有效性，采用准确率（Ａｃｃ）㊁敏感性（Ｓｅｎ）㊁特异性（Ｓｐｅ）㊁Ｆ１值和ＡＵＣ等指标进行实验评估㊂计算方法见式（９） 式（１１）：Ａｃｃ＝ＴＰ＋ＴＮＴＰ＋ＴＮ＋ＦＰ＋ＦＮ（９）Ｓｅｎ＝ＴＰＴＰ＋ＦＮ（１０）Ｓｐｅ＝ＴＮＴＮ＋ＦＰ（１１）㊀㊀其中，ＴＰ㊁ＦＰ㊁ＦＮ和ＴＮ分别为真阳性㊁假阳性㊁假阴性和真阴性㊂本文产生的所有实验结果都是在配置为Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）ｉ７－９７００ＣＰＵ＠３．００ＧＨｚ，１６ＧＢＲＡＭ的计算机上实现的㊂实验模型使用Ｐｙｔｈｏｎ３．７和Ｓｃｉｋｉｔ－ｌｅａｒｎ构建㊂２．３㊀结果分析本文先对提取的传统时域㊁频域特征分别使用ＲＦ和ＳＶＭ分类模型进行测试，所得实验结果见表２㊂由表２可知，ＳＶＭ分类模型表现最佳㊂表２㊀基于传统特征的实验结果Ｔａｂｌｅ２㊀Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｂａｓｅｄｏｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ特征分类器ＡｃｃＳｅｎＳｐｅ传统特征ＲＦ０．８６２１０．７５３３０．９３３９ＳＶＭ０．９５９００．９３８５０．９７３６㊀㊀在确定分类模型ＳＶＭ的基础上，将传统特征和尖峰相关特征结合，探讨尖峰相关特征对癫痫脑电信号的表征能力㊂添加前后对比结果见表３㊂表３㊀尖峰相关特征对比的分类结果Ｔａｂｌｅ３㊀Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｓｐｉｋｅ－ｒｅｌａｔｅｄｆｅａｔｕｒｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ分类器特征ＡｃｃＳｅｎＳｐｅＳＶＭ传统特征０．９５９００．９３８５０．９７３６传统特征＋尖峰相关特征０．９６５２０．９５６５０．９７０９㊀㊀由表３可知，尖峰相关特征能够对癫痫脑电信号信息进行表征㊂加入尖峰相关特征后，检测结果在Ａｃｃ上提升了０．６２％，在Ｓｅｎ上提升了１．８％，在Ｓｐｅ上有所降低㊂在实际的临床应用中，正确识别发作样本比正确识别非发作样本更重要，因此Ｓｅｎ指标更能准确衡量方法的优劣㊂本文提出的方法虽然在Ｓｐｅ上略有降低，但Ｓｅｎ指标上有一定程度的提升㊂３㊀结束语本文提出了一种基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征的癫痫发作自动检测算法㊂该算法使用传统的时域㊁频域特征，结合尖峰相关性特征对脑电信号进行刻画，使用ＲＦ和ＳＶＭ分类器来测试癫痫发作自动检测的有效性和可靠性㊂将所提方法在开源数据集ＣＨＢ－ＭＩＴ上进行了评估，ＳＶＭ分类器获得了更好的结果，其准确率㊁敏感性和特异性分别为９６．５２％，９５．６５％和９７．０９％㊂此外，研究开展的特征消融实验结果表明，提出的基于平滑非线性能１３１第３期何雪兰，等：基于平滑非线性能量算子划分的尖峰相关特征癫痫发作自动检测算法量算子划分的尖峰相关特征，能够作为癫痫脑电信息的补充，进一步提高癫痫发作检测的性能㊂参考文献［１］ＰＡＴＥＬＤＣ，ＴＥＷＡＲＩＢＰ，ＣＨＡＵＮＳＡＬＩＬ，ｅｔａｌ．Ｎｅｕｒｏｎ–ｇｌｉａｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｐａｔｈｏｐｈｙｓｉｏｌｏｇｙｏｆｅｐｉｌｅｐｓｙ［Ｊ］．ＮａｔｕｒｅＲｅｖｉｅｗｓＮｅｕｒｏｓｃｉｅｎｃｅ，２０１９，２０（５）：２８２－２９７．［２］ＳＰＥＣＣＨＩＯＮ，ＷＩＲＲＥＬＬＥＣ，ＳＣＨＥＦＦＥＲＩＥ，ｅｔａｌ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＬｅａｇｕｅＡｇａｉｎｓｔＥｐｉｌｅｐｓｙｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎａｎｄｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｅｐｉｌｅｐｓｙｓｙｎｄｒｏｍｅｓｗｉｔｈｏｎｓｅｔｉｎｃｈｉｌｄｈｏｏｄ：ＰｏｓｉｔｉｏｎｐａｐｅｒｂｙｔｈｅＩＬＡＥＴａｓｋＦｏｒｃｅｏｎＮｏｓｏｌｏｇｙａｎｄＤｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｅｐｉｌｅｐｓｉａ，２０２２，６３（６）：１３９８－１４４２．［３］ＳＣＨＡＤＡ，ＳＣＨＩＮＤＬＥＲＫ，ＳＣＨＥＬＴＥＲＢ，ｅｔａｌ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆａｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎａｎｄｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｎｏｎ－ｉｎｖａｓｉｖｅａｎｄｉｎｔｒａｃｒａｎｉａｌｌｏｎｇ－ｔｅｒｍＥＥＧｒｅｃｏｒｄｉｎｇｓ［Ｊ］．ＣｌｉｎｉｃａｌＮｅｕｒｏｐｈｙｓｉｏｌｏｇｙ，２００８，１１９（１）：１９７－２１１．［４］ＢＥＮＢＡＤＩＳＳＲ，ＢＥＮＩＣＺＫＹＳ，ＢＥＲＴＲＡＭＥ，ｅｔａｌ．ＴｈｅｒｏｌｅｏｆＥＥＧｉｎｐａｔｉｅｎｔｓｗｉｔｈｓｕｓｐｅｃｔｅｄｅｐｉｌｅｐｓｙ［Ｊ］．ＥｐｉｌｅｐｔｉｃＤｉｓｏｒｄｅｒｓ，２０２０，２２（２）：１４３－１５５．［５］王学峰．癫癎的脑电图：传统观点㊁新认识和新领域［Ｊ］．中华神经科杂志，２００４，３７（３）：７－９．［６］刘晓燕，黄珍妮，秦炯．不同类型小儿癫痫持续状态的临床及脑电图分析［Ｊ］．中华神经科杂志，２０００，３３（２）：７３－７３．［７］ＭＡＴＵＲＡＮＡＭＩ，ＭＥＩＳＥＬＣ，ＤＥＬＬＫ，ｅｔａｌ．Ｃｒｉｔｉｃａｌｓｌｏｗｉｎｇｄｏｗｎａｓａｂｉｏｍａｒｋｅｒｆｏｒｓｅｉｚｕｒｅｓｕｓｃｅｐｔｉｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．ＮａｔｕｒｅＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２０２０，１１（１）：２１７２．［８］彭睿旻，江军，匡光涛，等．基于ＥＥＧ的癫痫自动检测：综述与展望［Ｊ］．自动化学报，２０２２，４８（２）：３３５－３５０．［９］ＨＯＳＳＥＩＮＩＭＰ，ＨＯＳＳＥＩＮＩＡ，ＡＨＩＫ．ＡｒｅｖｉｅｗｏｎｍａｃｈｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇｆｏｒＥＥＧｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｉｎｂｉｏｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥＲｅｖｉｅｗｓｉｎＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０２０，１４：２０４－２１８．［１０］ＡＣＨＡＲＹＡＵＲ，ＨＡＧＩＷＡＲＡＹ，ＤＥＳＨＰＡＮＤＥＳＮ，ｅｔａｌ．ＣｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｆｏｃａｌＥＥＧｓｉｇｎａｌｓ：Ａｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．ＦｕｔｕｒｅＧｅｎｅｒａｔｉｏｎＣｏｍｐｕｔｅｒＳｙｓｔｅｍｓ，２０１９，９１：２９０－２９９．［１１］ＭＵＲＳＡＬＩＮＭ，ＺＨＡＮＧＹ，ＣＨＥＮＹ，ｅｔａｌ．Ａｕｔｏｍａｔｅｄｅｐｉｌｅｐｔｉｃｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎｕｓｉｎｇｉｍｐｒｏｖｅｄｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ－ｂａｓｅｄｆｅａｔｕｒｅｓｅｌｅｃｔｉｏｎｗｉｔｈｒａｎｄｏｍｆｏｒｅｓｔｃｌａｓｓｉｆｉｅｒ［Ｊ］．Ｎｅｕｒｏｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１７，２４１：２０４－２１４．［１２］杨舒涵，李博，周丰丰．基于机器学习的跨患者癫痫自动检测算法［Ｊ］．吉林大学学报（理学版），２０２１，５９（１）：１０１－１０６．［１３］ＺＡＲＥＩＡ，ＡＳＬＢＭ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎｕｓｉｎｇｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｃｈｉｎｇｐｕｒｓｕｉｔ，ｄｉｓｃｒｅｔｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ａｎｄｅｎｔｒｏｐｙｂａｓｅｄｆｅａｔｕｒｅｓｏｆＥＥＧｓｉｇｎａｌｓ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒｓｉｎＢｉｏｌｏｇｙａｎｄＭｅｄｉｃｉｎｅ，２０２１，１３１：１０４２５０．［１４］吴端坡，王紫萌，董芳，等．基于ａＥＥＧ尖峰和ｃＥＥＧ棘波提取的癫痫发作检测算法［Ｊ］．实验技术与管理，２０２０，３７（１２）：５７－６２．［１５］骆睿鹏，冯铭科，黄鑫，等．脑电信号预处理方法研究综述［Ｊ］．电子科技，２０２３，３６（４）：３６－４３．［１６］ＯＣＢＡＧＡＢＩＲＨＴ，ＡＢＯＡＬＡＹＯＮＫＡＩ，ＦＡＥＺＩＰＯＵＲＭ．ＥｆｆｉｃｉｅｎｔＥＥＧａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｓｅｉｚｕｒｅｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｉｎｅｐｉｌｅｐｔｉｃｐａｔｉｅｎｔｓ［Ｃ］／／２０１３ＩＥＥＥＬｏｎｇＩｓｌａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ（ＬＩＳＡＴ）．Ｆａｒｍｉｎｇｄａｔｅ，ＵＳＡ：ＩＥＥＥ，２０１３：１－６．［１７］ＢＯＯＮＹＡＫＩＴＡＮＯＮＴＰ，ＬＥＫ－ＵＴＨＡＩＡ，ＣＨＯＭＴＨＯＫ，ｅｔａｌ．ＡｒｅｖｉｅｗｏｆｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎａｎｄｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｉｎｅｐｉｌｅｐｔｉｃｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎｕｓｉｎｇＥＥＧ［Ｊ］．ＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０２０，５７：１０１７０２．［１８］ＭＵＫＨＯＰＡＤＨＹＡＹＳ，ＲＡＹＧＣ．Ａｎｅｗｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｎｅｒｇｙｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｉｔｓｅｆｆｉｃａｃｙｉｎｓｐｉｋｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９８，４５（２）：１８０－１８７．［１９］ＴＡＰＡＮＩＫＴ，ＶＡＮＨＡＴＡＬＯＳ，ＳＴＥＶＥＮＳＯＮＮＪ．ＩｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇｓｐｉｋｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓｉｎｔｏａｎＳＶＭ－ｂａｓｅｄｎｅｏｎａｔａｌｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｏｒ［Ｃ］／／ＥＭＢＥＣ＆ＮＢＣ２０１７：ＪｏｉｎｔＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｆｔｈｅＥｕｒｏｐｅａｎＭｅｄｉｃａｌａｎｄＢｉｏｌｏｇｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ（ＥＭＢＥＣ）ａｎｄｔｈｅＮｏｒｄｉｃ－ＢａｌｔｉｃＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＭｅｄｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ（ＮＢＣ）．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０１８：３２２－３２５．［２０］ＴＡＰＡＮＩＫＴ，ＶＡＮＨＡＴＡＬＯＳ，ＳＴＥＶＥＮＳＯＮＮＪ．Ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇＥＥＧｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓｉｍｐｒｏｖｅａｕｔｏｍａｔｅｄｎｅｏｎａｔａｌｓｅｉｚｕｒｅｄｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｅｕｒａｌＳｙｓｔｅｍｓ，２０１９，２９（４）：１８５００３０．２３１智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀。
第六章 线性算子的表示方法
3．几种典型的核函数
3.1 线性系统的几种常用核函数形式 ①L 是冲击响应为 h(t , ) 的线性系统
(t , s) (t s)
( s, t ) ( s t )
(t , s) (t s)
(s, t ) (s t )
其核函数为：
M f span{xm1, xm2 xn }
结论： a. 值域空间的维数为 L 的秩 m，且 m n ； b. 当 m n 时，L 存在一个 n m 维的零空间。 c. 当 m=n 时，称 L 为非奇异的，存在逆映射 L1 。
2.2 线性泛函序列表示法 设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A、B 空间 的基与对偶基分别为
{x, Lx x A}
故非线性算子的表示十分困难。
线性算子的表示方法就简单得多， 而且实际使用中的算子大都是 线性算子，或可进行线性化近似。 如下图中的线性系统可用冲击响应来表示， 冲击响应是线性系统 的一种表示方法。
x (t) f t,) h(
y (t ) x( )h(t , )d
i 1 i 1 m m
其中 wi (i , L j ) j
j 1
n
2.3 矩阵表示法 与泛函序列表示法相同，设 L : A B 为 n 维空间 A 到 m 维空间 B 的线性变换，A 与 B 的基分另为 {1 , 2 n } {1 ,2 n } 和 {1,2 m}
对 x(t ) 进行线性变换得到 y(t )
y (t ) Lx(t ) L u ( s ) (t , s )ds
s
u ( s ) L (t , s )ds
s s
第四章4.1-4.3线性泛函与线性泛函的延拓定理(短)
T 是线性算子。 {Tn }是基本列 0, N , 当 n, m N 时，Tn Tm Tn Tm Tn 为基本数列 Tn 有界，设 Tn M , ( n 1, 2,3, ) Tn x Tn x M x Tx M x（n ） T 是有界算子 T B ( X , Y )
注：1）定义中，D为算子T的定义域; M是算子T的界值；T(D)={Tx|xD}称
为算子T的值域 2）有界算子与有界函数不同。例如 f(x)=x 无界函数 有界算子: |f(x)|=|x|<2|x|
3) T是连续算子 T在D上处处连续
2. 有界线性算子的性质 定理1 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY 是线性算子，则
x X
定理2 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1) ||Tx||||T|| ||x||, xD (2)
T sup Tx Y sup Tx Y
x 1 xD x 1 xD
(即||T||是有界线性算子T的最小界值） （可作为范数定义）
x 1 x D
则B (X,Y)成为线性赋范空间，称之为（有界）线性算子空间。
2. 线性算子空间中的极限理论 定义4 （算子序列的一致收敛与强收敛）设X、Y是两个线性赋范 空间，Tn, TB(X,Y), n=1,2,…
(1) 如果||Tn-T||0, 则称算子序列{Tn}按范数收敛于T, 或称{Tn}一致收敛于T. (2) 如果xX,||Tnx -Tx||0, 则称算子序列{Tn}强收敛 于T, 或称{Tn}按点收敛于T.
T su p T x T x 0 m ax
4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
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例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
第8页
事实上，T 显然是线性算子
可以证明
T是有界算子,且 因此
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注:1)定义中,D -算子T的定义域; M -算子T的界值;T(D)={Tx|xD}- 算子T的值域 无界函数
2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
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3页
2 有界线性算子的性质 定理1 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是线性算子,则
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且 事实上，T 显然是线性算子
第9页
T是有界算子,且 可以证明 因此
注:乘法算子T: L2[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
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例4 积分算子T: C[a,b]C[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a
故T是有界算子,且||T||1. 另一方面, 取
故T是有界线性算子,且 ||T||=1.
第12页
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第13页 例7 Fredholm算子(以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]C[a,b]
也是有界线性算子,且 事实上，T显然是线性算子,且对x=x(t)C[a,b], 有
T(x1+x2)=Tx1+Tx2
非线性算子方程的泰勒展式算法
jeE 0n OXjA
319
3, - 2.-J /m NWi@ 1w: @ uapp = y ∈ Hn U.
Pn F (y ) = Pn f. 2(2.5)
w: @ uapp = y + z ∈ H , yn ∈ Hn , z ∈ H − Hn U.
Pn F (y + z ) = Pn f, Qn F (y ) + DF (y )z = Qn f. (2.6) (2.7)
|Au| ≤ 2 |f | + ν −2 c2 0 |u| · u ν
2
= M2 .
(3.12)
c;o
Pm : H → Hm
Hm = Span {w1 , w2 , · · · , wm },
Qm = I − Pm , Hm
/Swy<id;Q
m = n, N . Pm A = APm , Qm A = AQm , 1 2 |u|, u ≥ λ1 1 2 q ≥ λm +1 |q |, 1 2 |p|, p ≤ λm s 2 |A p| + |As q |2 = |As (p + q )|2 , · .
->
|u|2 =
Ω
|u|2 dx,
u
2
=
Ω
|∇u(x)|2 dx,
320
b
%
%
(·, ·)
41
H o H ^ V /0; :/a jH o -76 V × V × V P/N W I3,T; b +h %]. Y
^ ((·, ·)).
, ∀u, v, w ∈ V,
b(u, v, w ) = B (u, v ), w
求解非线性不适定算子方程的一种Landweber迭代法
引 言
考虑 非线 性算 子方程
Ｆ （ ）＝Ｙ ． （ １ ）
数学 两个 学 科 的真 正 的 研 究 领 域 ］ ． 其 理 论 研 究 大 致有 以 下 几个 方 面 如 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ正 则 化 方 法 ， 最
大嫡方法 ， 有限维逼近等 ］ ． 对 于非线性 问题人 们对 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法 给 予 了很 大 关 注 ， 文献 ［ ５ ］ 证明了 Ｆ ｒ ｏ ｇ ｅ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 的收敛 性并进行 了数 值试 验 ． ｆ Ｘ ｋ ， Ｊ ＋ ！ ＝ ’ ＋ Ｆ （ ） （ ｙ—Ｆ （ ｘ ， ） ） ，
其中： Ｆ： Ｄ（ Ｆ）ｃ
Ｆ ｒ ｅ ｃ ｈ ｅ ｔ 可微．
】 ， ， ， ｙ为 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｎ空间． Ｆ是
这里考虑算子方程 的解 不连续依赖于右端数 据 的情况 ． 由于不稳 定性 并 且在实 际 问题 中只有近 似数据 满足 ｌ ｌ Ｙ 一 Ｙ ｌ ｌ ≤ ６ 这里 为测 量误 差 ６＞ ０的界 ． 对于此类非线 陛问题的解法 ， 一般通过正则化 方法 来得 到其 解 的近 似 ． 由于 非线 不适 定 问题在
似的前提条件 下， 基于 Ｆ ｒ ｏ ｚ ｅ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 ， 提 出双扰动的双循环 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代格 式． 在 一定的 条件 下， 通过证明迭代 格式的单调性和收敛性 ， 得 出该迭代格 式是有 效的．
关键词 ： 非 线 性 不 适 定 问题 ； Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 ： 收 敛 性 中图 分 类 号 ：０ ２ ４ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２— ０ ９ ４ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ５ ８ ８— ０ ４
数学专业词汇(N)
n ary relation n元关系n ball n维球n cell n维胞腔n chromatic graph n色图n coboundary n上边缘n cocycle n上循环n connected space n连通空间n dimensional column vector n维列向量n dimensional euclidean space n维欧几里得空间n dimensional rectangular parallelepiped n维长方体n dimensional row vector n维行向量n dimensional simplex n单形n dimensional skeleton n维骨架n disk n维圆盘n element set n元集n fold extension n重扩张n gon n角n graph n图n homogeneous variety n齐次簇n person game n人对策n simplex n单形n sphere bundle n球丛n th member 第n项n th partial quotient 第n偏商n th power operation n次幂运算n th root n次根n th term 第n项n times continuously differentiable n次连续可微的n times continuously differentiable function n次连续可微函数n tuple n组n tuply connected domain n重连通域n universal bundle n通用丛nabla 倒三角算子nabla calculation 倒三角算子计算nabla operator 倒三角算子napier's logarithm 讷代对数natural boundary 自然边界natural boundary condition 自然边界条件natural coordinates 自然坐标natural equation 自然方程natural equivalence 自然等价natural exponential function 自然指数函数natural frequency 固有频率natural geometry 自然几何natural injection 自然单射natural isomorphism 自然等价natural language 自然语言natural logarithm 自然对数natural mapping 自然映射natural number 自然数natural oscillation 固有振荡natural sine 正弦真数natural transformation 自然变换naught 零necessary and sufficient conditions 必要充分的条件necessary and sufficient statistic 必要充分统计量necessary condition 必要条件necessity 必然性negation 否定negation sign 否定符号negation symbol 否定符号negative 负数negative angle 负角negative binomial distribution 负二项分布negative complex 负复形negative correlation 负相关negative definite form 负定型negative definite hermitian form 负定埃尔米特形式negative definite quadratic form 负定二次形式negative function 负函数negative number 负数negative operator 负算子negative parity 负电阻negative part 负部分negative particular proposition 否定特称命题negative proposition 否定命题negative rotation 反时针方向旋转negative semidefinite 半负定的negative semidefinite eigenvalue problem 半负定特盏问题negative semidefinite form 半负定型negative semidefinite quadratic form 半负定二次形式negative sign 负号negative skewness 负偏斜性negative variation 负变差negligible quantity 可除量neighborhood 邻域neighborhood base 邻域基neighborhood basis 邻域基neighborhood filter 邻域滤子neighborhood retract 邻域收缩核neighborhood space 邻域空间neighborhood system 邻域系neighborhood topology 邻域拓扑neighboring vertex 邻近项点nephroid 肾脏线nerve 神经nested intervals 区间套net 网net function 网格函数net of curves 曲线网net of lines 直线网network 网络network analysis 网络分析network flow problem 网络潦题network matrix 网络矩阵neumann boundary condition 诺伊曼边界条件neumann function 诺伊曼函数neumann problem 诺伊曼问题neumann series 诺伊曼级数neutral element 零元素neutral line 中线neutral plane 中性平面neutral point 中性点newton diagram 牛顿多边形newton formula 牛顿公式newton identities 牛顿恒等式newton interpolation polynomial 牛顿插值多项式newton method 牛顿法newton potential 牛顿位势newtonian mechanics 牛顿力学nice function 佳函数nil ideal 零理想nil radical 幂零根基nilalgebra 幂零代数nilpotency 幂零nilpotent 幂零nilpotent algebra 幂零代数nilpotent element 幂零元素nilpotent group 幂零群nilpotent ideal 幂零理想nilpotent matrix 幂零矩阵nilpotent radical 幂零根基nine point circle 九点圆nine point finite difference scheme 九点有限差分格式niveau line 等位线niveau surface 等位面nodal curve 结点曲线nodal line 交点线nodal point 节点node 节点node locus 结点轨迹node of a curve 曲线的结点noetherian category 诺特范畴noetherian object 诺特对象nomogram 算图nomographic 列线图的nomographic chart 算图nomography 图算法non additivity 非加性non archimedean geometry 非阿基米德几何non archimedean valuation 非阿基米德赋值non countable set 不可数集non critical point 非奇点non denumerable 不可数的non denumerable set 不可数集non developable ruled surface 非可展直纹曲面non enumerable set 不可数集non euclidean geometry 非欧几里得几何学non euclidean motion 非欧几里得运动non euclidean space 非欧几里得空间non euclidean translation 非欧几里得平移non euclidean trigonometry 非欧几里得三角学non homogeneity 非齐non homogeneous chain 非齐次马尔可夫链non homogeneous markov chain 非齐次马尔可夫链non isotropic plane 非迷向平面non linear 非线性的non negative semidefinite matrix 非负半正定阵non oriented graph 无向图non parametric test 无分布检验non pascalian geometry 非拍斯卡几何non ramified extension 非分歧扩张non rational function 无理分数non relativistic approximation 非相对性近似non reversibility 不可逆性non singular 非奇的non stationary random process 不平稳随机过程non steady state 不稳定状态non symmetric 非对称的non symmetry 非对称non zero sum game 非零和对策nonabsolutely convergent series 非绝对收敛级数nonagon 九边形nonassociate 非结合的nonassociative ring 非结合环nonbasic variable 非基本变量noncentral chi squre distribution 非中心分布noncentral f distribution 非中心f分布noncentral t distribution 非中心t分布noncentrality parameter 非中心参数nonclosed group 非闭群noncommutative group 非交换群noncommutative ring 非交换环noncommutative valuation 非交换赋值noncommuting operators 非交换算子noncomparable elements 非可比元素nondegeneracy 非退化nondegenerate collineation 非退化直射变换nondegenerate conic 非退化二次曲线nondegenerate critical point 非退化临界点nondegenerate distribution 非退化分布nondegenerate set 非退化集nondense set 疏集nondenumerability 不可数性nondeterministic automaton 不确定性自动机nondiagonal element 非对角元nondiscrete space 非离散空间nonexistence 不存在性nonfinite set 非有限集nonholonomic constraint 不完全约束nonhomogeneity 非齐性nonhomogeneous 非齐次的nonhomogeneous linear boundary value problem 非齐次线性边值问题nonhomogeneous linear differential equation 非齐次线性微分方程nonhomogeneous linear system of differential equations 非齐次线性微分方程组nonisotropic line 非迷向线nonlimiting ordinal 非极限序数nonlinear equation 非线性方程nonlinear functional analysis 非线性泛函分析nonlinear lattice dynamics 非线性点阵力学nonlinear operator 非线性算子nonlinear optimization 非线性最优化nonlinear oscillations 非线性振动nonlinear problem 非线性问题nonlinear programming 非线性最优化nonlinear restriction 非线性限制nonlinear system 非线性系统nonlinear trend 非线性瞧nonlinear vibration 非线性振动nonlinearity 非线性nonlogical axiom 非逻辑公理nonlogical constant 非逻辑常数nonmeager set 非贫集nonmeasurable set 不可测集nonnegative divisor 非负除数nonnegative number 非负数nonnumeric algorithm 非数值的算法nonorientable contour 不可定向周线nonorientable surface 不可定向的曲面nonorthogonal factor 非正交因子nonparametric confidence region 非参数置信区域nonparametric estimation 非参数估计nonparametric method 非参数法nonparametric test 非参数检定nonperfect set 非完备集nonperiodic 非周期的nonperiodical function 非周期函数nonplanar graph 非平面图形nonprincipal character 非重贞nonrandom sample 非随机样本nonrandomized test 非随机化检验nonrational function 非有理函数nonremovable discontinuity 非可去不连续点nonrepresentative sampling 非代表抽样nonresidue 非剩余nonsense correlation 产生错觉相关nonsingular bilinear form 非奇双线性型nonsingular curve 非奇曲线nonsingular linear transformation 非退化线性变换nonsingular matrix 非退化阵nonspecial group 非特殊群nonstable 不稳定的nonstable homotopy group 非稳定的同伦群nonstandard analysis 非标准分析nonstandard model 非标准模型nonstandard numbers 非标准数nonsymmetric relation 非对称关系nonsymmetry 非对称nontangential 不相切的nontrivial element 非平凡元素nontrivial solution 非平凡解nonuniform convergence 非一致收敛nonvoid proper subset 非空真子集nonvoid set 非空集nonzero vector 非零向量norm 范数norm axioms 范数公理norm form 范形式norm of a matrix 阵的范数norm of vector 向量的模norm preserving mapping 保范映射norm residue 范数剩余norm residue symbol 范数剩余符号norm topology 范拓朴normability 可模性normal 法线normal algorithm 正规算法normal basis theorem 正规基定理normal bundle 法丛normal chain 正规链normal cone 法锥面normal congruence 法汇normal coordinates 正规坐标normal correlation 正态相关normal curvature 法曲率normal curvature vector 法曲率向量normal curve 正规曲线normal density 正规密度normal derivative 法向导数normal dispersion 正常色散normal distribution 正态分布normal distribution function 正态分布函数normal equations 正规方程normal error model 正规误差模型normal extension 正规开拓normal family 正规族normal force 法向力normal form 标准型normal form problem 标准形问题normal form theorem 正规形式定理normal function 正规函数normal homomorphism 正规同态normal integral 正规积分normal linear operator 正规线性算子normal mapping 正规映射normal matrix 正规矩阵normal number 正规数normal operator 正规算子normal order 良序normal plane 法面normal polygon 正规多角形normal polynomial 正规多项式normal population 正态总体normal probability paper 正态概率纸normal process 高斯过程normal sequence 正规序列normal series 正规列normal set 良序集normal simplicial mapping 正规单形映射normal solvable operator 正规可解算子normal space 正规空间normal surface 法曲面normal tensor 正规张量normal to the surface 曲面的法线normal valuation 正规赋值normal variate 正常变量normal variety 正规簇normal vector 法向量normality 正规性normalization 标准化normalization theorem 正规化定理normalize 正规化normalized basis 正规化基normalized function 规范化函数normalized variate 正规化变量normalized vector 正规化向量normalizer 正规化子normalizing factor 正则化因数normed algebra 赋范代数normed linear space 赋范线性空间normed space 赋范线性空间northwest corner rule 北午角规则notation 记法notation free from bracket 无括号记号notation of backus 巴科斯记号notion 概念nought 零nowhere convergent sequence 无处收敛序列nowhere convergent series 无处收敛级数nowhere dense 无处稠密的nowhere dense set 无处稠密点集nowhere dense subset 无处稠密子集nuclear operator 核算子nuclear space 核空间nucleus of an integral equation 积分方程的核null 零null class 零类null divisor 零因子null ellipse 零椭圆null function 零函数null hypothesis 虚假设null line 零线null matrix 零矩阵null method 衡消法null plane 零面null point 零点null ray 零射线null relation 零关系null representation 零表示null sequence 零序列null set 空集null solution 零解null system 零系null transformation 零变换null vector 零向量nullity 退化阶数nullring 零环nullspace 零空间number 数number defined by cut 切断数number defined by the dedekind cut 切断数number field 数域number interval 数区间number line 数值轴number notation 数记法number of partitions 划分数number of repetitions 重复数number of replications 重复数number of sheets 叶数number sequence 数列number set 数集number system 数系number theory 数论number variable 数变量numeration 计算numerator 分子numeric representation of information 信息的数值表示numerical 数值的numerical algorithm 数值算法numerical axis 数值轴numerical calculation 数值计算numerical coding 数值编码numerical coefficient 数字系数numerical computation 数值计算numerical constant 数值常数numerical data 数值数据numerical determinant 数字行列式numerical differentiation 数值微分numerical equality 数值等式numerical equation 数字方程numerical error 数值误差numerical example 数值例numerical function 数值函数numerical inequality 数值不等式numerical integration 数值积分法numerical invariant 不变数numerical mathematics 数值数学numerical method 数值法numerical model 数值模型numerical operator 数字算子numerical quadrature 数值积分法numerical series 数值级数numerical solution 数值解numerical solution of linear equations 线性方程组的数值解法numerical stability 数值稳定性numerical table 数表numerical value 数值numerical value equation 数值方程nutation 章动。
关于非线性Lipschitz 算子的Sêderlind 猜想
( f ) = r 3 ( f ) , and disproved his anot her conject ure“t here
3
is an equivalent norm ‖ ・ ‖3 such t hat L
( f) Φ r( f)” . The counterexample presented
On S derl ind Conjectures on Nonl inear Lipschitz Operators
Peng Jigen Xu Zongben
( Research Center f or A pplied M at hem atics and Instit ute f or Inf orm ation and S ystem Science , Xi ’ an Jiaotong U niversity , Xi ’ an 710049 , Chi na)
40 卷
1 引言
设 D < C m为凸的开子集 , f : D C m为 Lipschitz 连续算子 , ‖・‖ 为 C m上的严格齐次范数 (即 ‖ αx ‖= | α | ‖x ‖,α∈ C , x∈ C m) . f 的最小上界 Lipschitz 常数 ( 简称为 lub2Lipschitz 常 数) 定义为 :
第 40 卷第 5 期 1997 年 9 月
数 学 学 报
ACTA MA THEMA TICA SIN ICA
Vol. 40 , No. 5 Sept . , 1997
关于非线性 Lipschitz 算子的 S derlind 猜想
彭济根 徐宗本
( 西安交通大学应用数学研究中心及信息与系统科学研究所 ,西安 710049)
证明压缩映射原理
证明压缩映射原理压缩映射原理是现代分析数学中一个重要的定理，关于非线性算子意义下连续映射存在性和唯一性问题的关键性原理。
该原理的应用范围很广，特别是在微分方程和变分问题中占有重要的地位。
下面将系统阐述压缩映射原理的定义，证明和应用。
一、定义设$X$是一个完备的度量空间，$T:X\rightarrow X$是一个映射。
如果存在一个常数$0\leq k <1$，使得对于$X$中任意两个元素$x,y$，都满足：$$d(T(x),T(y))\leq kd(x,y)$$其中$d(x,y)$是度量空间$X$的距离。
那么$T$是$X$ 上的一种压缩映射，或者简称压缩映射。
二、证明在距离度量与完备性的基础下，压缩映射原理是比较容易证明的，可以分成两个部分来证明。
1. 映射$T$存在唯一不动点$x^*$首先需要证明映射$T$存在唯一不动点$x^*$，即$Tx^*=x^*$ 。
假设$Tx=x$，则从$Tx=T(x^*+x-x^*)$可得：$$d(Tx, Tx^*)\leq kd(x,x^*) \Rightarrow kd(x,x^*)\geqd(Tx,Tx^*)=d(T(x^*+x-x^*),T(x^*))$$根据三角不等式，上式可进一步变形：其中$n$为正整数。
因为$k<1$且$d(x_0,x^*)$为常数，所以当$n\rightarrow\infty$时，$(k+1)^n\rightarrow 0$。
$$d(x,x^*)=0\Rightarrow x=x^*$$证毕。
2. $T$ 的每个序列$x_n$都收敛于不动点$x^*$$$d(x_{n+p},x_n)\leq k^nd(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+k^{n+p-1}d(x_{n+1},x_n)$$$$=k^n(p+1)d(x_{n+1},x_n)$$因为$k<1$且$p$为固定的正整数，有$(kp+1)\rightarrow 1$。
泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函
泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。
他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 对n E 中的向量起作用来达到的。
同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。
把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。
撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。
本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。
若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。
对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。
特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。
例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。
非线性系统的动力学分析与控制
非线性系统的动力学分析与控制随着科技的发展，非线性系统在日常生活、科学研究、工程设计等领域中广泛存在。
诸如天气系统、心脏生理学、化学反应、力学振动等许多系统都是非线性的。
对于这些复杂系统的研究和控制已经成为了当今科学研究者必须面对的重要问题。
本文将探讨非线性系统的动力学分析与控制。
一、非线性系统的动力学分析非线性系统是指系统中含有一定程度的非线性关系或者包含非线性算子的系统，与线性系统不同，非线性系统有时会表现出其所特有的行为，例如周期性振动、混沌现象等。
要对非线性系统进行动力学分析，需要掌握以下几个关键要点：1. 等价性原理：等价原理是非线性系统动力学分析的基本原则之一。
核心内容在于将非线性系统转化为线性系统的形式，因此研究问题可以由简化的更容易的线性系统进行。
2. 相空间和流形：相空间是指包括系统所有状态变量的空间，而流形则是指在相空间上的一些代表着系统稳定状态的特殊表面。
相空间和流形，将动态行为抽象成几何对象，使得这些对象以更直观的方式描述系统的演变过程，为后续分析奠定基础。
3. 系统的演变过程：非线性系统的状态变量是随时间而变的，使用一组微分方程可以描述系统的动态。
如何构建模型才能准确的描述系统的动态行为是非线性系统动力学分析的重要问题之一。
4. 系统定性分析：非线性系统常常表现出很复杂的动态，使用定性分析方法可以对系统的动态特征进行研究。
例如固定点的稳定性分析、极限环的分析等。
二、非线性系统的控制方法针对非线性系统的控制方法多种多样，这里仅介绍几种常用的非线性控制方法。
1.反馈线性化控制：反馈线性化是非线性系统的一种控制方法，它通过将非线性系统近似为线性系统，来利用线性控制器解决非线性控制问题。
这种方法通常指将系统的状态用一组变换将非线性系统转化为一个动态方程更加明确的线性系统，通过线性控制器去实现对系统的控制。
2.自适应控制：自适应控制是指利用自适应系统来对非线性系统进行控制。
自适应系统通过网络启发式学习和时间相依性逐步调整系统参数，来适应系统本身具有的变化性，实现对非线性系统的控制。
基于p-Laplace算子的非线性边值问题研究
１ 问题 的提 出
假设 （ ｌ・ｌ） 实 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ＝［ ， Ｅ，Ｉ １ 是 ａａｈ空 ， ０ １， ］ 对于 Ｐ≥１且 范数 ｌ ， ｌ・
下面 分 ４步 来证 明定理 １ ． 第１ 步 证 明 。 Ａ Ｏ ）， Ａ 卢 ）≤ ． ≤ （Ｌ 且 （ 。 。
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［ 收稿 日期 ］０ １一ｌ ２１ ２一ｌ ８
（ （ Ｔ ） ：０ （ ） ； 咖 ｕ ０ （） ）一ｒ （ （ ） ＝ ； “ ）
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二 ． ， 咖
ｇ 咖 （ ｏ ０ ） （ （ ） ）≥ ０ （ （ ） ， Ｔ ） ；
［ 作者简介 ］ 汪志锋 （ ９ １ ） 男 ， １６ 一 ， 安徽太湖人 ， 副教授 ， 主要从事微分方程稳定性理论方面的研究
弓 理 １ 女 果 ０ ≤ ０ ＜ １ ∈ Ｃ ［ ， ］ Ｉ 日 （０Ｔ ， Ｒ ） 那 么边值 问题 ，
口 ｏ≤ ０ １≤ “ ≤ ｎ ’ ≤ … ≤ 卢 ≤ … ≤ １≤ 卢 ． ｏ
显然 ， 于每一个 Ｏ ， 对 Ｌ卢 满足式
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非线性科学介绍
【内容提要】非线性科学就是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科。
其主要研究内容包括混沌、分形与孤立子。
本文主要介绍了非线性科学的起源、主要内容、主要研究方法及其工程应用,并对其未来发展进行了一些思考。
【关键词】非线性科学/研究方法/工程应用非线性科学就是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科,产生于20世纪六七十年代。
其标志就是:1963年美国气象学家洛伦兹发表的《确定论的非周期流》论文,揭示确定性非线性方程存在混沌(Chaos);1965年数学家查布斯基与克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton);1975年美籍数学家芒德勃罗发表《分形:形态、机遇与维数》一书,创立了分形(Fractal)理论。
混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类,构成非线性科学的三大理论。
[1]非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。
非线性科学中的混沌理论被认为就是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命;分形几何就是继微积分以来的又一次革命;孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。
一、线性科学与非线性科学所谓线性,就是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时就是一条直线。
在数学上,主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。
如果算子Y满足:其中,α为常数,u、v为任意函数,则称算子为线性算子,否则称为非线性算子。
[2]线性系统中部分之与等于整体,描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然就是方程的解。
线性理论就是研究线性系统的理论,主要包括:牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论与量子力学理论等,它有成熟的数学工具,如线性方程、曲线,以及微积分等数学方法。
[3]虽然非线性问题自古以来就有,但人们开始只能解决线性问题,随着科学技术的发展,在解决非线性问题方面才逐步取得进展。
当代所有的科学前沿问题几乎都就是非线性问题。
从物理现象来瞧,线性现象就是在空间与时间上光滑与规则的运动,非线性现象则就是从规则运动向不规则运动的过渡与突变。
泛函分析第3章 连续线性算子与连续线性泛函
第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。
他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭对n E 中的向量起作用来达到的。
同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。
把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。
撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。
本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。
若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。
对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。
特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。
例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。
例3.2 [],x C a b ∀∈，定义()()ta Tx t x d ττ=⎰由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。
关于随机非线性算子的若干定理
关于随机非线性算子的若干定理
1.随机非线性算子定理：如果X是一个随机变量，那么X的非线性算子T（X）也是一个随机变量。
2.随机非线性算子的可逆性定理：如果X是一个随机变量，T（X）是X的非线性算子，那么T（X）是可逆的，即存在另一个非线性算子T（-1），使得T（-1）T（X）=X。
3.随机非线性算子的线性性定理：如果X是一个随机变量，T（X）是X的非线性算子，那么T（X）是线性的，即T（cX+Y）=cT（X）+T（Y），其中c是常数。
4.随机非线性算子的非线性性定理：如果X是一个随机变量，T（X）是X的非线性算子，那么T（X）是非线性的，即T（cX+Y）≠cT（X）+T（Y），其中c是常数。
容许次于最大维不变子空间的三阶非线性微分算子的分类（英文）
容许次于最大维不变子空间的三阶非线性微分算子的分类（英
文）
屈改珠
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2017(30)1
【摘要】利用不变子空间方法研究一般的三阶非线性微分算子的分类问题.证明了当三阶算子容许次于最大维(六维)不变子空间时,它可以被表示为各参量的平方形式,得到了常系数三阶非线性微分算子在六维子空间的完全分类.最后通过一些例子演示利用不变子空间方法约化方程及求精确解的过程.
【总页数】11页(P168-178)
【关键词】非线性演化方程;三阶微分算子;不变子空间;爆破解
【作者】屈改珠
【作者单位】渭南师范学院数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.容许多项式子空间的四阶非线性平方算子的分类 [J], 屈改珠
2.允许六维不变子空间的四阶非线性微分算子 [J], 张亚敏
3.保持多项式子空间的三阶非线性平方算子的分类 [J], 屈改珠
4.微分算子的不变子空间的一类应用 [J], 饶维亚;王世祥
5.一类二阶立方变系数微分算子的不变子空间 [J], 屈改珠
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非线性算子又称非线性映射，不满足线性条件的算子。
泛函分析的研究对象主要是线性算子及其特殊情况线性泛函。
但是，自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的。
数学物理中的一些线性方程其实都是在一定条件下的近似。
为研究这些非线性问题，涉及到的算子(映射)将不能只局限于线性算子。
人们从两种不同的途径研究非线性问题：①针对具体问题，考察具体非线性算子的特征，解释非线性现象。
②从一般的算子概念出发，添加适当的分析、拓扑或代数性质导出一些一般性的结论。
代数、几何、拓扑中各种非线性映射是形形色色的，分析学中经常遇到的非线性算子则大抵由乘法、函数的复合以及各种线性算子组合而成。
常见的非线性积分算子有:乌雷松算
子其中K(x,y，t)是 0≤x，y≤1，t∈R1上的连续函数;哈默
斯坦算子·，其中K是【0,1】×【0,1】上某p次可积函数，ƒ(y,t)在【0,1】×R1上可测，对固定的y关于t连续。
常见的微分算子有:KdV算子,极小曲面算子等。
许多非线性算子出现于非线性方程之中，从而有关非线性算子的理论就围绕着非线性方程的求解的研究而展开。
设T是从B空间（巴拿赫空间）X到B空间Y的算子，设y∈Y，求解x∈X，满足：
(1)
有时特别地考察y =θ（θ是Y中的零元）的情形，称解x为T的零点。
显然，若T是一个满射，则(1)总有解,于是人们讨论在什么条件下T具有满射性.又若X=Y，方程(1)的求解问题有时化归寻求算子T1x = Tx+x-y的不动点
(2)
的问题。
这样提问题有助于利用几何直观。
和线性方程的解集总是仿射集(线性子空间的平移)不同，方程(1)的解集构造很复杂，它可能对某些y是空集，而对另一些y则非空。
其个数可能只有一个,可能有有穷多个，也可能有无穷多个；可能是孤立的，可能有聚点，也可能是连续统。
以X为定义域，取值为Y（映X入Y中）的子集的映射，称为集值映射。
相应于(1)的求解问题写成下列从属关系：
(3)
算子的微分学从分析上研究一般算子的途径是把数学分析中研究函数的微积分学推广到算子。
设X、Y都是B空间，U是X中的一个开集,f:U→Y,称f在x0∈U连续，是指
相应于方向导数概念的是加托导数，简作G导数。
称f在x0处G可微,是指对任意的h∈X，存在d f(x0,h)∈Y，使得
，
当t →0,x 0+th ∈U 。
称d f (x 0,h )为f 在x 0处沿方向h 的G 导数。
相应于全微分概念的是弗雷歇导数，简作 F 导数。
称f 在x 0处F 可微,是指存在A ∈L (X ,Y ),(L (X ,Y )表示X 到Y 的线性有界算子空间)X →Y 是线性有界算子空间，使得对任意的h ∈X ，当x 0+h ∈U 时，有
当h →θ。
称A 为f 在x 0处的F 导数，并且记作)(0'x f 。
G 可微与F 可微之间的关系如下:①若ƒ:U →Y 在x 0∈U 处F 可微,则ƒ在x 0必G 可微,并且
,任意的h ∈X 。
②设 f :U →Y 在 U 内 G 可微,且d f (x ,h )关于h 线
性，即d f (x ,·∈L (X ，Y )，任意的x ∈U 。
如果d f (x ,·)还是关于x 连续的，那么ƒ在x ∈U 是F 可微的。
算子的微分学与函数的微分学很相似。
① 锁链法则 设X 、Y 、Z 、是B 空间，U ⊂X ，V ⊂Y 是开集。
若ƒ:U →Y F 可微；g :V →Z F 可微；且f (U )⊂V ，则g 。
f 在U 内F 可微，并且
②反函数定理 设 f :U →Y 在 U 上有连续的F 导数()x f ',又若式中x 0∈U ，则ƒ是x 0
的一个邻域到f (x 0)的一个邻域的微分同胚，并且
③ 隐函数定理 设 X 、Y 、Z 是B 空间，O 是X ×Y 中的一个开集，()O y x ∈00,，又设f :O →Z 连续，满足：,f 在O 上关于y 的F 导数()y x f ,'是连续的，并且
，则必存在x 0的一个邻域U 和y 0的一
个邻
域V ，以及惟一的连续映射φ:U →V ，满足
隐函数定理与反函数定理对于求解算子方程 (1)有十分重要的意义。
它们表明：对于具有连续导数的一般非线性算子，只要在一点上，它的线性化方程是可解的（在一定意义下），那么它在这点附近便是可解的。
许多非线性方程的局部可解性理论都基于这一基本事实。
为了近似求解方程，f (x )=θ，数学分析里的牛顿求根法，也被推广。
在准确解x *
∈U
的邻近任取x 0∈U ，构作迭代序列：n =0,1,2,…，可以证明：x n →x *。
然而，反函数定理有时不够用,其中的条件
不满足。
这种情形在一些微分方程理论中出现，例如，线性算子()10'-x f 不能保持值域中的函数足够光滑。
为此，J.K.
莫泽修改了牛顿求根法的迭代格式，并用它来推广反函数定理。
由此发展起来的一套技巧在好几个重要的问题中非常有效。
例如小除数问题、黎曼流形的嵌入问题等，被称之为纳什－莫泽技巧。
反函数定理给出了 f 成为局部同胚的条件。
为了得到整体性的同胚，仅用微分学是不够的，借助于紧性概念以及拓扑学中的同伦概念可以得到整体的反函数定理：为了使连续映射ƒ是一个同胚,必须且仅须它是局部同胚，并有f 是固有的。
所谓算子f 是固有的，指紧集的原像是紧集。
Y =R 1或C 1的映射称为泛函，设φ:U →R 1,x 0∈U 称为它的一个局部极小 (或极大)点，如果φ(x )≥φ(x 0)（或φ(x )≤φ(x 0)对一切x ∈V ,其中V 是x 0的某个邻域。
费马原理被自然地推广：设φ在x 0∈U 达到局部极值,且φ在x 0处G 可微，则d φ(x 0,h )=θ，对任意的h ∈X 。
在变分学中，它对应着泛函极值的必要条件即欧拉方程。
算子高阶导数的概念要求引入多线性算子，实际上，高阶 F 导数还是对称的多线性算子。
带余项的泰勒公式在形式上与函数的泰勒公式是一样的。
积分学也被推广到一般算子。
黎曼积分的定义与普通函数的积分定义一样，而勒贝格积分的推广则分强、弱两种,前者称为博赫纳积分,后者称为佩蒂斯积分。
不动点及可解性 下面是几类重要的不动点定理。
压缩型算子 一个最简单、熟知、应用最广泛的不动点定理是压缩映射定理。
在一个度量空间(X ,d )上,T 映X 至自身，称其为压缩的,如果d (Tx ,Ty ) ≤ αd (x ,y )对任意的x ,y ∈X ,式中0<α<1。
每个压缩算子在X 中必有唯一的不动点。
这个不动点可以从任意点x 0出发，通过简单迭代法求出。
令，n =1,2,…，则X n 收敛到不动点。
条件α<1一般不能去掉。
在定义中若α=1，则称T 为非扩张算子。
实直线上的一个平移显然是非扩张的，但没有不动点。
然而对于一致凸的 B 空间的一个闭、凸、有界子集C ，若T :C →C 是非扩张的,则T 在C 上必有不动点。
对于压缩算子的研究导致下列逆问题：若T :X →X ，则在什么条
件下能在X 中引入可度量化的拓扑，使得T 是一个压缩算子。
答案是：每个T n ，n =1，2，…,
在X 中都只有惟一的不动点。
单调算子 单调算子的概念起源于可微凸泛函的导数。
设φ是在B 空间X 上定义的这种函数，则()()>--<y x y x ,''ϕϕ≥0，对任意的x ,y ∈X ,其中<，>表示'
X 与X 之间的对偶。
直线上的可微凸函数的导函数是单调不减的，于是就把满足下面这些条件的算子T :X →'X ，
称为单调算子，如果α>0则称为强单调算子。
自反B 空间上弱线段连续的强单调算子是 X。