对数运算法则
ln和lg和log的运算法则
ln和lg和log的运算法则ln和lg和log是数学中常见的对数运算，它们都是用来表示数的指数和底数之间的关系。
在进行ln和lg和log的运算时，我们需要遵循一定的法则和规则。
一、ln的运算法则1. ln的定义：ln表示以自然对数的底数e为底的对数运算。
用ln(x)表示以e为底的x的对数，即ln(x) = log_e(x)。
2. ln的运算法则：(a) ln的反函数：如果e^a = x，则ln(x) = a。
(b) ln的乘法法则：ln(xy) = ln(x) + ln(y)。
(c) ln的除法法则：ln(x/y) = ln(x) - ln(y)。
(d) ln的幂法则：ln(x^a) = a * ln(x)。
二、lg的运算法则1. lg的定义：lg表示以对数的底数为10的对数运算。
用lg(x)表示以10为底的x的对数，即lg(x) = log_10(x)。
2. lg的运算法则：(a) lg的反函数：如果10^a = x，则lg(x) = a。
(b) lg的乘法法则：lg(xy) = lg(x) + lg(y)。
(c) lg的除法法则：lg(x/y) = lg(x) - lg(y)。
(d) lg的幂法则：lg(x^a) = a * lg(x)。
三、log的运算法则1. log的定义：log表示一般的对数运算，底数可以是任意正数。
用log_a(x)表示以a为底的x的对数。
2. log的运算法则：(a) log的反函数：如果a^b = x，则log_a(x) = b。
(b) log的乘法法则：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)。
(c) log的除法法则：log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)。
(d) log的幂法则：log_a(x^b) = b * log_a(x)。
综上所述，ln和lg和log都是表示对数运算的方法，它们分别以自然对数e和底数为10和任意正数a为底进行运算。
对数运算法则
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m，
则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，
③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
对数的运算法则范文
对数的运算法则范文对数是数学中的一种运算，是指一些数在一些底数下的指数。
它有很多重要的运算法则，包括对数基本定理、换底公式、幂运算法则等。
下面介绍一些常用的对数运算法则。
1.对数基本定理：对数基本定理是指对数运算可以与指数运算互相转化。
设a为正数且不等于1，x为正数，则有以下对数基本定理：- a^loga(x) = x- loga(a^x) = x这个定理的含义是：对任意正数x，如果a是底数，那么loga(x)就是满足a的x次方等于x的指数。
2.换底公式：换底公式是指可以通过改变底数来计算不同底数的对数。
设x为正数且a、b为正数且不等于1，则有以下换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)这个公式的含义是：当不同底数的对数比较时，可以通过将其转化为相同底数的对数来进行运算。
3.幂运算法则：幂运算法则是指对数运算中的幂运算具有一些重要的规律。
设a为正数且不等于1，x、y为任意实数，则有以下幂运算法则：-a^x*a^y=a^(x+y)- (a^x)^y = a^(xy)-a^x/a^y=a^(x-y)- (ab)^x = a^x * b^x这些法则的含义是：在幂运算中，对于同一个底数a，可以通过将指数相加、相乘、相减等来简化运算。
4.对数与指数的互换：对数与指数是互相转化的。
已知a为正数且不等于1，x为实数，则有以下互换关系：- a^loga(x) = x- loga(a^x) = x这个关系的含义是：对于同一个底数a，对于给定的x求a的x次方，可以通过求底数为a的对数来获得。
5.对数的乘法和除法法则：设a为正数且不等于1，x、y为正数，则有以下对数乘法和除法法则：- loga(x * y) = loga(x) + loga(y)- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)这些法则的含义是：当要计算x乘以（或除以）y的对数时，可以将其分解成计算x和y的对数，然后进行加法（或减法）运算。
log加减乘除运算法则
log加减乘除运算法则log加减乘除运算法则是指在对数运算中，对数的加减乘除的规则。
在数学中，对数是指一个数值以另一个常数为底数的幂。
对数的加减乘除法则是在处理对数运算时，遵循的一些基本规则和计算方法。
首先，对数的加法法则是：log_a(M) + log_a(N) = log_a(M*N)这意味着两个数的对数之和等于这两个数的乘积的对数。
对数的减法法则是：log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N)这表示两个数的对数之差等于这两个数的商的对数。
对数的乘法法则是：log_a(M) = p*log_a(M)表示一个数的对数等于它的幂次数乘以这个数的对数。
对数的除法法则是：log_a(M/p) = log_a(M) - log_a(p)这表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
除了以上基本的对数运算法则外，对数运算还有一些其他的规则和性质。
下面将详细介绍这些运算法则：1.对数的乘方法则：log_a(M) = p*log_a(M)这意味着一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以这个幂次数。
2.对数的换底公式：log_a(M) = log_b(M)/log_b(a)这表示一个数的对数可以用另一个底数为底的对数来表示。
3.对数的乘法公式：log_a(M*N) = log_a(M) + log_a(N)这表示两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
4.对数的除法公式：log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)这表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
5.对数的相等性质：如果log_a(M) = log_a(N)，那么M = N这表示如果两个数的对数相等，那么这两个数也相等。
6.对数的倒数性质：log_a(1/M) = -log_a(M)这表示一个数的倒数的对数等于这个数的对数的相反数。
7.对数的幂的性质：log_a(M) = p*log_a(M)这意味着一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以这个幂次数。
对数的运算记忆口诀
====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====
高中数学：对数的运算记忆口诀
用口诀法记忆对数的运算法则
（1）乘除变加减，指数提到前：
log a M·N＝log a M＋log a N
log a M/N ＝log a M－log a N
log a Mn＝nlog a M
（2）底真倒变，对数不变；
底真互换，对数倒变；
底真同方，对数一样。
（3）底是正数不为1（在log a N ＝b 中，a＞0，a≠1），
底的对数等于1（log a a＝1），
1的对数等于零（log a 1＝0），
零和负数无对数（在log a N＝b中，Ｎ＞０）。
【附】
１．用口诀法记忆实数的绝对值
“正”本身，“负”相反，“０”为圈。
同号相加一边倒；
异号相加“大”减“小”，
符号跟着“大”的跑。
首先提取公因式，
其次考虑用公式，
十字相乘排第三，
分组分解排第四，
几法若都行不通，
拆项添项试一试。
奇变偶不变，
符号看象限。
5.用口诀法记忆负指数幂的运算法则
底倒指反幂不变：a-p ＝1/ap （a≠0，p为正整数）
源-于-网-络-收-集。
对数函数加减运算法则
对数函数加减运算法则对数函数是数学中常见的几个特殊函数之一，具有独特的运算法则。
在进行对数函数的加减运算时，可以依据一些特定的规则进行运算，以简化计算和推导过程。
下面将详细介绍对数函数的加减运算法则。
1.对数函数的加减法则：（1）加法法则log_a (x·y) = log_a x + log_a y这个法则描述了对数函数过程中的乘法关系。
当对数函数的底数a不变时，对数函数的乘法运算可以转化为对数函数的加法运算。
也就是说，若两个数x和y的乘积等于n，则它们的对数之和等于对数函数n的结果。
（2）减法法则log_a (x/y) = log_a x - log_a y这个法则描述了对数函数过程中的除法关系。
当对数函数的底数a不变时，对数函数的除法运算可以转化为对数函数的减法运算。
也就是说，若两个数x和y的比值等于n，则它们的对数之差等于对数函数n的结果。
2.混合运算法则：混合运算法则指同时涉及加法和减法运算的对数函数。
在这种情况下，我们需要通过一定的步骤将对数函数的加减关系转化为简单的加法或减法运算，以便简化计算。
（1）如何将对数函数的减法转化为加法？对于任意两个数x和y，我们可以使用加法法则将对数函数的减法转化为加法：log_a (x/y) = log_a x + log_a (1/y)= log_a x + (-log_a y)= log_a x - log_a y（2）如何将对数函数的加法转化为减法？对于任意两个数x和y，我们可以使用减法法则将对数函数的加法转化为减法：log_a (x·y) = log_a x + log_a y= log_a x + [-log_a (1/y)]= log_a x - log_a (1/y)= log_a x - [-log_a y]= log_a x + log_a y3.运算法则的应用：（1）三角函数的应用：在三角函数的求解过程中，经常涉及到对数函数的运算。
对数运算法则
方程的解是x 2
简易语言表达:积的对数=对数的和
有时可逆向运用公式 真数的取值必须是(0,＋∞)
注意
loga (MN ) ≠ loga M loga N loga (M N ) ≠ loga M loga N
2、应用举例：
例1、用 log , log , log 表示下列各式： xy x2 y 3 z z (1) log ( 2 ) log a a
对数运算法则
复习
一般地，若
x
对数的概念
a N (a 0, 且a 1)
，那么数
x
叫做以a为底N的对数，记作
x loga N
a 叫做对数的底数，N叫做真数.
b a ＝N
logaN＝b
指数
x
真数
a N loga N x
底数 幂 底数 对数
对数的性质：
⑴负数与零没有对数
1 1 2 2 5 5 lg 100 lg(100) lg10 5 5 1 25 64 练习： 2 log 3 log log 27 5 2 3
(2) lg 100
5
log 5 1 2 3 (3) log 2 log 1 log 27 (3 ) 2 5 3
解：原式 1 0 log 3 1 3 25 23
解法一： 解法二：
7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 lg(2 7) 2 lg 3 3 2 lg 7 lg( 2 3 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg1 0 0
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式是如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。
其中a叫做对数的底，N叫做真数。
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。
一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
对数函数是6类基本初等函数之一。
其中对数的定义：
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。
它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.解方程
log4 (3x 1) log4 ( x 1) log4 ( x 3).
解:原方程可化为
3x 1 (x 1)(3 x)
x2 x 2 0
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
例1 计算 （1） log2 (25 47 ) 解 : log2 (25 47 )
log 2 25 log 2 47 log 2 25 log 2 214
能不能延伸到对数中来呢？
loga 1 0, loga a 1
你答对 了吗？
返回
例1 指数式化为对数式：
41 4
31 3
log4 4 1
log3 3 1
100 1
40 1
log10 1 0
log4 1 0
104 10000
log10 10000 4
⑵ log3 1 log3 3 log3 27 4
3
解法一：
解法二：
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg14 lg( 7)2 lg 7 lg18 3
lg
14 7 (7)2 18
3
lg1 0
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg(2 7) 2 lg 7 3
lg 7 lg(2 32 )
对数运算法则
对数的文化意义
恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、 微积分的建立是17世纪数学史上的3大成 就。
伽利略说，给我空间、时间及对数， 我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数 的发明，延长了天文学家的寿命。
对数的导入
y 131.01x
中，算出任意一个年头x的人口总数，那么 哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？
2
知识回顾：（1）公式
① log(M • N ) logM logN
a
a
a
②
logM a
N
logM logN
a
a
③ logM n nlogM (n R)
a
a
aloga N N
y
3 log
z
a
a
a
logx2 log
y
3 log
z
a
a
a
2logx 1 log y 1 logx a 2 a3 a
例2：求下列各式的值：
（1） log(4 7 25 ) (2) lg 5 100 2
解：（1）log (47 25） log 47 log 25
=5+14=19
（2） lg 5 100
解
:
lg 5 100
1 lg102 5
2 lg10 5
2 5
例2 用 loga x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) log a 3 z
解（1）
log a
xy z
loga (xy) loga
N
⑵
loga M n n loga M (n R) ⑶
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,＋∞)
4)注意 loga (MN ) ≠ loga M loga N
loga (M N ) ≠ loga M loga N
2
2
2
7log 4 5log 2 14 5 19
2
2
(2) lg 5 100
1
lg 5 100 lg(100)5 1 lg102 2
5
5
练习：2 log525
3log264
1 log327
(3) log 2
2
log 5
1
1 log327
log (3 3
5
)2
解：原式 1 0 log33 3 (5)2
底数 幂
底数 对数
对数的定义：
真数
ab N logaN b 对数
底数
有关性质：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ log a 1 0, loga a 1,
⑶对数恒等式 aloga N N , loga ab b
⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
z
loga x loga y loga z
1
1
解（2）loga
x2
3
y z
loga (x2 y 2 ) loga z 31 Nhomakorabea1
log a x2 log a y 2 log a z 3
2 loga
x
1 2
log a
y
1 3
log
a
z
例3计算：（1）lg14 2 lg 7 lg 7 lg18
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。
⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
（6）底数a的取值范围： (0,1) (1,)
真数N的取值范围 : (0,)
loga MN p q
即证得 loga MN loga M loga N
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N ⑴
M loga N loga M loga N ⑵ loga M n n loga M (n R) ⑶
对数的概念
常用对数 log10 N记为lg N；
自然对数 loge N记为ln N；
探究新知
联系定义，你能说说对数和指数间的关系吗？
指数 ax N
a
底数
x
指数
N
幂
对数 x loga N
底数 对数 真数
当a 0, a 1时，ax N x loga N
返回
探究新知
指数中的特殊结论 a0 1, a1 a ，
解得x 2或x 1
检验: x 1使真数3x-1和x-1分别小于或等于0
x 1舍去 方程的解是x 2
五、课堂小结:对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N ⑴
loga
M N
loga
M
loga
⑶ ln e lg100 3
⑷
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 ? 3
证明: loga MN loga M loga N
证明：①设 log a M p, loga N q, 由对数的定义可以得：
M ap, N aq ∴MN= a p aq a pq
1 3 25 23
(4)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25
解：原式 (lg 2)2 lg 2 (lg510) lg52 (lg 2)2 lg 2(lg5 1) 2 lg 5 (lg2)2 lg 2 lg5 lg 2 2lg10 2 (lg2)2 lg 2（1 lg 2） lg 2 2（1 lg 2）
18 1.01x , 20 1.01x, 30 1.01x,
13
13
13
对数的概念
一般地，若 ax N (a 0,且a 1) ，那么数 x
叫做以a为底N的对数，记作 x loga N
a 叫做对数的底数，N叫做真数.
ab＝N logaN＝b
对数的概念
指数
真数
ax N loga N x
2、应用举例：
例1、用
log
x a
,
log表ay ,示lo下g az列各式：
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
a
a
a
logx log y logz
a
a
a
x2 y
(2) log 3 z
logx2