对数运算法则

能不能延伸到对数中来呢？
loga 1 0, loga a 1
你答对 了吗？
返回
例1 指数式化为对数式：
41 4
31 3
log4 4 1
log3 3 1
100 1
40 1
log10 1 0
log4 1 0
104 10000
log10 10000 4
⑵ log3 1 log3 3 log3 27 4
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。
⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
（6）底数a的取值范围： (0,1) (1,)
真数N的取值范围 : (0,)
2
2
2
7log 4 5log 2 14 5 19
2
2
(2) lg 5 100
1
lg 5 100 lg(100)5 1 lg102 2
5
5
练习：2 log525

3log264

1 log327
(3) log 2
2

log 5
1
1 log327

log (3 3
5
)2
解：原式 1 0 log33 3 (5)2
对数的概念
常用对数 log10 N记为lg N；
自然对数 loge N记为ln N；
探究新知
联系定义，你能说说对数和指数间的关系吗？
指数 ax N
a
底数
x
指数
N
幂
对数 x loga N
底数 对数 真数
当a 0, a 1时，ax N x loga N
返回
探究新知
指数中的特殊结论 a0 1, a1 a ，
N
⑵
loga M n n loga M (n R) ⑶
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
Fra Baidu bibliotek
2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,＋∞)
4)注意 loga (MN ) ≠ loga M loga N
loga (M N ) ≠ loga M loga N
loga MN p q
即证得 loga MN loga M loga N
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N ⑴
M loga N loga M loga N ⑵ loga M n n loga M (n R) ⑶
=5+14=19
（2） lg 5 100
解
:
lg 5 100
1 lg102 5
2 lg10 5
2 5
例2 用 loga x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) log a 3 z
解（1）
log a
xy z

loga (xy) loga
底数 幂
底数 对数
对数的定义：
真数
ab N logaN b 对数
底数
有关性质：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵ log a 1 0, loga a 1,
⑶对数恒等式 aloga N N , loga ab b
⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
例1 计算 （1） log2 (25 47 ) 解 : log2 (25 47 )
log 2 25 log 2 47 log 2 25 log 2 214
1 3 25 23
(4)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25
解：原式 (lg 2)2 lg 2 (lg510) lg52 (lg 2)2 lg 2(lg5 1) 2 lg 5 (lg2)2 lg 2 lg5 lg 2 2lg10 2 (lg2)2 lg 2（1 lg 2） lg 2 2（1 lg 2）
对数运算法则
对数的文化意义
恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、 微积分的建立是17世纪数学史上的3大成 就。
伽利略说，给我空间、时间及对数， 我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数 的发明，延长了天文学家的寿命。
对数的导入
y 131.01x
中，算出任意一个年头x的人口总数，那么 哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？
2
知识回顾：（1）公式
① log(M • N ) logM logN
a
a
a
②
logM a
N
logM logN
a
a
③ logM n nlogM (n R)
a
a
aloga N N
y

3 log
z
a
a
a
logx2 log
y

3 log
z
a
a
a
2logx 1 log y 1 logx a 2 a3 a
例2：求下列各式的值：
（1） log(4 7 25 ) (2) lg 5 100 2
解：（1）log (47 25） log 47 log 25
3
解法一：
解法二：
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg14 lg( 7)2 lg 7 lg18 3

lg
14 7 (7)2 18
3
lg1 0
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg(2 7) 2 lg 7 3
lg 7 lg(2 32 )
解得x 2或x 1
检验: x 1使真数3x-1和x-1分别小于或等于0
x 1舍去 方程的解是x 2
五、课堂小结:对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N ⑴
loga
M N
loga
M
loga
z
loga x loga y loga z
1
1
解（2）loga
x2
3
y z

loga (x2 y 2 ) loga z 3
1
1
log a x2 log a y 2 log a z 3

2 loga
x

1 2
log a
y

1 3
log
a
z
例3计算：（1）lg14 2 lg 7 lg 7 lg18
2、应用举例：
例1、用
log
x a
,
log表ay ,示lo下g az列各式：
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
a
a
a
logx log y logz
a
a
a
x2 y
(2) log 3 z
logx2
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3) 0
2.解方程
log4 (3x 1) log4 ( x 1) log4 ( x 3).
解:原方程可化为
3x 1 (x 1)(3 x)
x2 x 2 0
18 1.01x , 20 1.01x, 30 1.01x,
13
13
13
对数的概念
一般地，若 ax N (a 0,且a 1) ，那么数 x
叫做以a为底N的对数，记作 x loga N
a 叫做对数的底数，N叫做真数.
ab＝N logaN＝b
对数的概念
指数
真数
ax N loga N x
⑶ ln e lg100 3
⑷
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 ? 3
证明: loga MN loga M loga N
证明：①设 log a M p, loga N q, 由对数的定义可以得：
M ap, N aq ∴MN= a p aq a pq