小学数学拓展性课程建设规划方案---神奇的数独(初级)课程

玩转数独（初级）课程
第一部分：课程背景
数独 Sudoku（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字智力拼图游戏。

拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。

在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。

数独的玩法逻辑简单，数字排列方式千变万化，它虽然与数学关系不大，但可以训练逻辑思维能力，所以玩数独是一项锻炼脑筋的游戏。

第二部分：课程目标
一、情感、态度、价值观
1.数独亦帮助大家冷静思考，纾缓压力及加强分析能力。

它能给学生成功的机会，并训练他们缜密思维，可以通过训练脑力，使脑细胞趋于年轻，从而有效延长寿命。

2.数独简单易学、便携。

是多人参与的过程，几个同学在一起、家人几口集体参与更好。

因此玩数独可以培养学生的合作精神和与人相处的那种融洽氛围。

3.培养学生坚强的意志品质。

在看似简单的九宫格上，用自己所有的想像力、逻辑推理和创新思维，去感悟游走在成功与失败一线间的体会，‘数独’为玩家提供了难得的体验机会。

数独不仅能锻炼逻辑推理能力，也能对青少年的心智锻炼起到很好的效果。

因为在游戏中只要犯了一个错误就得从头开始。

特别是如何正确面对失败、失败后如何重新来过的挫折训练。

二、知识
1.认识数独，了解数独的发展历史。

2.掌握数独的游戏规则和基本技巧。

三、能力
1.培养学生的分析、逻辑、推理能力。

它是一项有着严密逻辑思维能力的游戏, 数独的玩法逻辑简单，数字排列方式千变万化，很有挑战性。

2.提高学生记忆能力。

第三部分：课程内容
根据三、四年级学生思维年龄特点及逻辑推理能力的发展水平，神奇的数独（初级）课程以标准九宫格数独为主要学习载体，获得一些数独的基本解题技巧。

数独的基本技巧：
数独的游戏规则相当简单，这也是数独游戏风靡全世界的原因之一。

即在9×9的任意一条横、纵数列上1—9这九个数字只能出现一次而不重复，其中被分为3×3的九个区域小格中同样要遵守1-9这九个数字不重复的规则。

数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。

解题方法分两大类：直观法和候选数法。

直观法就是不需要任何辅助工具，从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。

绝不猜测。

数独直观法解题技巧主要有：唯一解法、基础摒除法、区块摒除法、唯余解法、矩形摒除法、单元摒除法,余数测试法。

候选数法就是解数独题目需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步安全的清除每个宫格候选数的不可能取值的候选数，从而达到解题的目的。

使用候选数法一般能解比较复杂的数独题目，但是候选数法的使用没用直观法那么直接，需要先建立一个候选数列表的准备过程。

所以实际使用时可以先利用直观法进行解题，到无法用直观法解题时再使用候选数方法解题。

候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，所以在进行候选数删除的时候一定要小心，确定安全的删除不合适的候选数，否则，很多时候只有重新做题了。

有了计算机软件的帮助，使得候选数表的维护变得轻松起来。

数独候选数法解题技巧主要有：唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法、关键数删减法、关连数删减法。

一、直观法：
1、唯一解法：
当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。

成为行唯一解。

当某列已填数字的宫格达到8个，那么该列剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。

成为列唯一解。

当某九宫格已填数字的宫格达到8个，那么该九宫格剩余宫格能填的数字就只剩下那个还没出现过的数字了。

成为九宫格唯一解。

下面是例题：
A行已经添入8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3，这是行唯一解。

第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，所以E1=5，这是列唯一解。

在A8所在九宫格区域已经添入8个数字，只有数字9没有出现过，所以A8=9，这是九宫格唯一解。

2、基础摒除法
基础摒除法就是利用1 ～9 的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的规则进行解题的方法。

基础摒除法可以分为行摒除、列摒除、九宫格摒除。

实际寻找解的过程为：
寻找九宫格摒除解：找到了某数在某一个九宫格可填入的位置只余一个的情形；意即找到了该数在该九宫格中的填入位置。

寻找列摒除解：找到了某数在某列可填入的位置只余一个的情形；意即找到了该数在该列中的填入位置。

寻找行摒除解：找到了某数在某行可填入的位置只余一个的情形；意即找到了该数在该行中的填入位置。

利用基础摒除法解题的过程就是依次从数字1 ～9 在行、列、九宫格寻找能放入该数唯一的一个位置。

需要综合用到行摒除、列摒除、九宫格摒除的方法。

看能用基础摒除法确定Ｂ２、Ｃ８、Ｅ７、Ｆ６、Ｉ５的数字吗？
题目如下：
A4=9，则Ａ行其它格排除９；G1=9，第1列排除数字９；D3=9，第3列排除数字９。

见下图
由基础摒除法，第A1所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定B2=9。

见下图
A4=9，则4列其它格排除９；G1=9，第G行排除数字９；H9=9，第H行排除数字９。

由基础摒除法，第G4所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定I5=9。

见下图
A4=9，则4列其它格排除９；D3=9，第D行排除数字９；I5=9，第5列排除数字９。

见下图
由基础摒除法，第D4所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定F6=9。

A4=9，则A行其它格排除９；B2=9，第B行排除数字９；H9=9，第9列排除数字９。

见下图
由基础摒除法，第A7所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定C8=9。

见下图
C8=9，则8列其它格排除９；D3=9，第D行排除数字９；F6=9，第F行排除
数字９；H9=9，第9列排除数字９。

见下图
由基础摒除法，第D7所在的九宫格内９只有一个唯一的位置，即确定E7=9。

3、区块摒除法
区块摒除法是基础摒除法的提升方法，是直观法中使用频率最高的方法之一。

所谓区块，就是将行分成3个三个相连的小方块构成，列也是分成3个三个相连的小方块构成。

九宫格同样被看成由3个三个相连的小方块构成，如下面示意图：
区块摒除法的核心思想如下面解释(以行为例)，对于在列也是相同的道理
假如(G1~G3)黄色区域区块其中之一是数字9。

则，(H4~H6)蓝色区域可能含有数字9。

否则(I4~I6)绿色区域含有数字9。

假定我们已确定(G1~G3)黄色区域区块其中之一是数字9。

(H4~H6)蓝色区域含有数字9。

则：在(I7~I9)绿色区域一定含有数字9。

如果再通过其它方法确定(I7~I9)绿色区域中某两个宫格不能为数字9，则就能确定数字9在(I7~I9)区块的具体位置。

下面举一些例子
能使用区块摒除法确定F6的数字吗?
D2=2，则E1~E3蓝色区块，或F1~F2绿色区块必包含数字2。

又有B1=2，利用列摒除法，E1、F1不能为数字1，有F2，F3已填有数字，所以，E2~E3蓝色区块必有数字2
由上面得出黄色区块,蓝色区块包含数字2,这是典型的区块摒除法,得到绿色区块必包含数字2
又G4=2,F5已添入数字,所以F6=2
4、唯余解法
唯余解法就是某宫格可以添入的数已经排除了8个，那么这个宫格的数字就只能添入那个没有出现的数字。

唯余解法道理非常简单，但在实际使用是比较困难，要注意识别。

A5=?
其实这就是唯余解法的原理，很简单吧。

但是实际使用时就不会容易发现了。

能使用唯余解法确定B7的值吗?
呵呵，等于8。

能确定E9、A9、B9、C9的值吗?
由区块摒除法可以得出E9=9。

在区块摒除法没有举这个例子，这里补充。

由唯余解法，C9=2。

同样，可得出B9=4，A9=8。

5、矩形摒除法
矩形摒除法是比较高级的排除方法，虽然矩形摒除法的原理非常简单，在实际使用时比较难于观察出来。

矩形摒除法的原理如下：
如上图，如果在第3列，我们确定数字9只能在B3或H3出现。

在第7列，数字9只能在B7或H7出现。

则B3，H3，B7，H7构成矩形，符合矩形摒除法的条件。

由上，可以得出数字"9"仅可能出现在(B3，H7)上，或者出现在(B7，H3)上
无论出现上面的那一种情况，我们都可以推断出B行，H行的红色区域都不能再为数字9了。

下面举一个使用矩形摒除法的例子
由C7=3，我们可以判断在第3列，数字3只能出现在A3和H3。

又第6列，数字3只能出现在A6和H6
由A3，H3，A6，H6形成矩形符合矩形摒除法的条件
由矩形摒除法得到H8不可能是3，又根据C7=3，所以G9=3 6、单元摒除法
单元摒除法是比较基本的排除方法,下面举例解释
能确定A8的数字吗?
由D5=7，得出D8不等于7
H9=7，得出G8、H8、I8均不等于7
显然A8=7
7、余数测试法
所谓余数测试法就是在某行或列，九宫格所填数字比较多，剩余2个或3个时，在剩余宫格添入值进行测试的解题方法。

我们看B行，B3可能添入的数为5或者6，我们从5开始测试。

我们在B3添入5进行测试，得到左图，没有得出出错的推断，所以B3=5可能是正确的判断，如果能判断出B3<>6，则才能肯定B3=5。

所以下面我们还需要用B3=6进行测试
在B3添入6，推出B8=5。

观察C行，C7，C8，C9必含有数字5。

证明B3=6是错误的。

从而得出B3=5
二、候选数法：
1、唯一候选数法
候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，当某个宫格的候选数排除到只有一个数的时候，那么这个数就是该宫格的唯一的一个候选数，这个候选数就是解了。

我们可以排除D3为12356789的可能，经过候选数的安全删除后，D3的候选数变为"4"这个唯一候选数了。

2、隐性唯一候选数法
当某个数字在某一列各宫格的候选数中只出现一次时，那么这个数字就是
这一列的唯一候选数了。

这个宫格的值就可以确定为该数字。

这时因为，按照数独游戏的规则要求每一列都应该包含数字1～9，而其它宫格的候选数都不含有该数，则该数不可能出现在其它的宫格，那么就只能出现在这个宫格了。

对于唯一候选数出现行，九宫格的情况，处理方法完全相同
这是制作好的一张候选数表，注意观察B5，B9，D1
可以看出在第1列，数字9只在D1出现。

在第5列，数字3只在B2出现。

在B9所处的九宫格里，数字9只有在B9出现。

所以“9”是第1列的隐形唯一候选数。

“3”是第5列的隐形唯一候选数。

“9”是A7九宫格的隐形唯一候选数。

所以确定D1＝3，B5＝3，B9＝9
3、三链数删减法
找出某一列、某一行或某一个九宫格中的某三个宫格候选数中，相异的数字不超过3个的情形，进而将这3个数字自其它宫格的候选数中删减掉的方法就叫做三链数删减法。

三链数删减法的原理如下面图示
在H行，H2，H5，H7的候选数（12），(23)，(13)，构成三链数，那么123这三个数在H行将只能出现在H2，H5，H7，那么本行其它宫格就可以删除这3个候选数了。

这是三链数发生在行的情况。

在G7所在九宫格，G7，H8，I9的候选数（12），(23)，(13)，构成三链数，那么123这三个数在这个九宫格将只能出现在G7，H8，I9，那么本九宫格其它宫格就可以删除这3个候选数了。

这是三链数发生在九宫格的情况。

三链数是数对的扩展，我们在对上面的三链数进行扩展，得到右边的特殊的三链数，只要保证在3个宫格内，其包含的候选数也为3个，就都符合我们的要求，比如(123，123，123)，(12，12，123)都符合要求。

我们进一步再扩充，发现只要在N个宫格内，其包含的候选数也恰为N个，那么处理和三链数是相同的道理，这样就形成了四链数，比如(12，23，34，14)，(123，123，14，1234)等。

甚至可以扩充到五链数，七链数（虽然在实际解题中作用不大了）。

平时我们用到最多的就是三链数，四链数了。

在A4所在九宫格，我们看到B4~B6，形成三链数，则本九宫格其它宫格就可以去除候选数"2"，"7"，"9"，这样就得到C6=4。

同上面完全相同的一副图，在A行，A7~A9形成由179构成的三链数，排除本行其它宫格的候选数179后得到A3=3。

4、隐性三链数删减法
隐性三链数是从隐性数对发展而来的。

在某行，存在三个数字出现在相同的宫格内，在本行的其它宫格均不包含这三个数字，我们称这个数对是隐形三链数。

那么这三个宫格的候选数中的其它数字都可以排除。

当隐形三链数出现在列，九宫格，处理方法是完全相同的。

我们进一步扩充，在某行（列，九宫格），存在N个数字出现在相同的宫格内，在本行的其它宫格均不包含这N个数字，我们称这个数对是隐形N链数。

那么这N个宫格的候选数中的其它数字都可以排除
在中间九宫格，候选数“2”，“5”，“9”仅出现在E4，E6，F4，形成隐形三链数，所以在E4，E6，F4，可以排除其它候选数，得到F4=9。

5、矩形顶点删减法
矩形顶点删减法和直观法讲到的矩形摒除法分析方法是一样的。

矩形顶点删减法在识别时比较不容易找到，所以最好先使用其它的方法。

如上图，如果在第3列，候选数“9”只能在B3或H3出现。

在第7列，候选数“9”只能在B7或H7出现。

则B3，H3，B7，H7构成矩形，符合矩形顶点删减法的条件。

由上，可以得出数字“9”仅可能出现在(B3，H7)上，或者出现在(B7，H3)上
无论出现上面的那一种情况，我们都可以推断出B行，H行的红色区域都不能再为数字9了。

可以将红色的宫格的候选数中去除数字“9”。

举例说明如下：
在第3列，数字“3”仅在A3、H3出现和第6列，数字“3”仅在A6、H6出现，A3、H3，A6、H6构成矩形，符合矩形顶点删减法要求，
则红色宫格应排除候选数“3”
6、三链列删减法
三链列删减法是矩形顶点删减法的扩展，如果不清除矩形顶点删减法，可以参考矩形顶点删减法，以便于更容易理解本节内容。

利用“找出某个数字在某三列仅出现在相同三行的情形，进而将该数字自这三行其他宫格候选数中删减掉”；或“找出某个数字在某三行仅出现在相同三列的情形，进而将该数字自这三列其他宫格候选数中删减掉”的方法就叫做三链列删减法。

如果数字“1”可能出现在B行、E行、G行的黄色宫格，则符合“某个数字在某三列仅出现在相同三行的情形”，符合三链列删减法的要求。

则红色宫格均不包含候选数“1”。

这是前图的一个变形。

其中一行的“1”只能放在这一行的两个位置。

处理和上图一样，红色宫格均可以排除候选数“1”。

举例说明：
数字"6"在第2列，第6列，第8列。

均出现在A，B,I行。

其中在第6列仅出现B,I行，仍然符合三链列删减法的要求。

则红色宫格均可以排除候选数"6"
7、关键数删减法
在进入到解题后期，利用前面讲到的唯一候选数法、隐性唯一候选数法、区块删减法、数对删减法、隐性数对删减法、三链数删减法、隐性三链数删减法、矩形顶点删减法、三链列删减法都无法有进展的时候，可以考虑使用关键数删减法。

关键数删减法就是在后期找到一个数，这个数在行（或列，九宫格）仅出现两次的数字。

我们假定这个数在其中一个宫格类，继续求解，如果发生错误，则确定我们的假设错误。

如果继续求解仍然出现困难，不妨假设这个数在另外一个宫格，看能不能得到错误。

这就是关键数删减法。

关键数删减法的本质是让我们一个个去测试，逐渐排除不可能的候选数，从而求解的过程。

第三部分：实施建议
一、教学建议
数独探索活动是建立在观察、逻辑推理基础上的一种数学游戏，因此对数独教学的建议有以下几方面：
1.教学活动要注重课程目标的整体呈现。

学生不仅要获得数独的各种解题技巧，训练逻辑思维能力，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或合作交流感悟数独的基本思想，引导学生在参与活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、严谨仔细等良好的学习习惯。

2.重视学生的活动体验。

教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。

使学生在获得间接经验的同时能够有机会获得直接经验，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数独的基本解题技巧。

3.注重对基本解题技巧的理解和掌握。

教学时要循序渐进，从易到难。

每一种解题技巧的掌握都要进过一定量的练习巩固，还要注重不同解题技巧之间的“生长点”和“延伸点”。

二、教材编写
教材既是教师开展教学活动的基本素材，又是学生学习的主要材料。

《神奇的数独》教材的编写应当以小学生认知能力发展相关的心理学理论及《校本课程
资源开发指南》等为依据，全面落实新课程理念和课程目标，使教材有利于转变学生的学习方式，有利于教师进行教学。

1.教材内容的选择应符合本课程目标的要求
教材在内容选择上应切实体现课程理念，全面落实国家关于《校本课程课程资源开发指南》中的指导性标准与要求，全面实施课程目标。

2.教材编写应当符合学生的认知规律和心理特点
教材的编写要充分考虑学生已有的知识经验，注意三、四年级学生的学习特点和心理特点，难易适度，循序渐进，重在激发学生的推理问题探求的兴趣。

3.创设问题探究情境，设计教学活动，促进学生学习方式的转变
为激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，在教材编写过程中应注意安排一定的互动性探究活动；依据教材内容设计的教学方案要体现对学生的发展有价值、能更好地促使学生的自主学习。

4.为教师和学生提供更多的选择和更大的发展空间
教材编写应给学生留有进一步探究的空间。

教材内容要具有一定的弹性，以满足不同类型学校的教学要求。

三、评价建议
1.评价目的
本课程评价的目的是为了考查学生学习目标的达到程度和教师的教学水平，帮助教师改进教学，保证课程目标的实现，使评价成为促进教师教学和学生认知能力发展的有效手段。

2.评价原则
（1）坚持鼓励性、发展性的评价原则。

评价要能够调动学生学习的积极性，增强学生的自信心和进取意识。

（2)课程评价既要考查学生能否能用掌握的方法解决一些基本的数独题目，更要注重考查学生对推理思维游戏的兴趣、多角度认识事物的习惯、自主合作探究的态度，关注学生的情感态度价值观的形成。

（3）要重视学生、教师和家长在评价过程中的作用，使评价成为学生、教师、家长等共同参与的交互活动，成为促进学生、教师、家长共同发展的过程。

3．学生的学习评价
①评价内容及标准
学习兴趣
合格：喜欢上数独课。

优秀：喜欢上数独课。

能独立坚持做完一道数独题。

上课专心。

学习习惯
合格：遵守课堂常规。

有边做边检查的习惯。

优秀：遵守课堂常规。

有整体观察的习惯。

有边做边检查的习惯。

学习成绩
合格：能独立正确地完成一道九宫数独题。

优秀：能在规定的时间内正确地完成一道九宫数独题。

②评价方法
在对学生的学习兴趣和学习习惯评价时，教师可结合平时观察、期末评议等方式，制定评价量表，展开学生自评、同伴评议和教师评议。

在对学生的学习成绩评价时，考查方式应灵活多样，如统一测查、分星级挑战、小组竞赛等，以对学生数独课程的学习及认知能力的发展做出评价。

4．教师的教学评价
对教师的教学评价，应采用多元、开放的评价方式，强调教师对自己教学工作的分析与反思。

要关注教师是否采取灵活多样的教学方式，是否注意保护学生的学习积极性和激发学生主动探究的愿望，是否完成教学任务、实现课程目标。

为了全面、客观地评价教师的教学，要与其他课程的评价改革制度和方法结合起来，建立以教师自我评价为主，学生、同事、学校领导、家长共同参与的教师评价制度。

第四部分：具体教学内容及学期进度安排
本课程共包括四个单元内容，共计18课时，具体安排如下：
第一单元数独简介（1课时）
第二单元直观法（10课时）
1.唯一解法（1课时）
2.基础摒除法（1课时）
3.区块摒除法（1课时）
4.综合练习一（1课时）
5.唯余解法（1课时）
6.矩形摒除法（1课时）
7.单元摒除法（1课时）
8.余数测试法（1课时）
9.综合练习（二）（2课时）
第三单元候选数法（5课时）
1.唯一候选数（1课时）
2.隐形唯一候选数（2课时）
3.综合练习（三）（2课时）
第四单元复习（2课时）
第五单元期末小测试（1课时）
附：教学内容及教学设计
教学设计一数独简介
教学目标：
1.认识和了解数独，初步认识各种不同形式的数独。

2.了解九宫格数独的游戏规则。

教学过程：
1.数独的历史
数独游戏最初来自18世纪末的拉丁方块游戏（Latin Square）,据说是数学家欧拉所创造。

在之后的很长时间里，游戏只限于数学工作者的研究之中，一直没有在社会上流行。

直到上个世纪70年代初，才成为一种智力游戏，在美国以
Number Place的名称逐渐流行开了。

这种游戏传到日本后，被日本人成为“数独”（SUDOKU），并在游戏杂志上加以宣传推广。

计算机普及后，人们对于数独的计算变的可行；网络的接入更使得数独游戏有了更多的爱好者。

2.数独的分类及级别
⏹第一层“快速入门” ——让你熟练应用技巧
⏹第二层“渐入佳境” ——让你锻炼逻辑思维
⏹第三层“魔鬼训练” ——让你成为数独高手
⏹第四层“终极挑战” ——让你充分挑战自我
⏹第五层“骨灰” ————
3.数独例子
（1）围棋数独
交叉点上的黑棋，在中间表示相邻四格中的数字之和
大于20，在边上表示相邻两格中的数字之和大于10，在
角上为大于5；白棋与之相反分别为小于20、10和5，等
于20、10和5，交叉点上无黑白棋。

将1～9填入空格内，
使行、列及九宫格内均无重复数。

（2）六角数独
六角数独，也是延用数独的规则，在每个大
三角都是1～9的基础上，它的规则包括水平线，
向左的斜线和向右的斜线，另外它每级线中的第
一和最后一条为不完全规则，只能填入八个数字。

（3）连环数独
（4）汉字数独
4.数独游戏规则
在理解数独游戏规则之前，让我们先来了解一下数独的基本元素有哪些，以后讲的技巧用到这些元素。

数独网格共包含八十一个单元格，这些小单元格分别组成九行，九列，同时也组成了九个小九宫格。

5.数独术语
⏹单元格：数独中最小的单元。

⏹行：横向的九个单元格的集合。

⏹列：纵向的九个单元格的集合。

⏹小九宫格：用黑线划开的包含3*3个单元格的区域。

⏹为了便于说明解题技巧，我们在数独的题目上增加了1---9行
的数字，在题的左边增加了A---I的字母。