统计专业数值分析上机实习

上机实验李雪娇章社生

武汉理工大学统计系

二零一二年二月

前言

数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。

运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。数值分析这门学科有如下特点：1.面向计算机；2.有可靠的理论分析；3.要有好的计算复杂性；4.要有数值实验；5.要对算法进行误差分析。其主要内容有插值法，函数逼近，曲线拟合，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。

数值计算离不开好的计算方法，也离不开好的编程能力。人类社会已经迈入电子计算机时代，熟练地运用计算机进行科学计算，是广大科技工作者的一项基本技能。本书基于MATLAB软件和C语言给出各种算法的程序代码，在理论知识和实际应用间建立起桥梁。本书以一个学生的角度编写，贴近大学生的思维方式，能够激励学生独立思考问题和创新的意识；把基础理论的研究、方法构造的思路与利用MATLAB和C语言有机地结合起来。虽然现在很多软件具有数值计算的能力，但是使用者不能根据自己的实际情况来进行操作，存在着固有的局限性。本书详细地给出各种算法的代码（除特别说明外，每节中的例题指令是独立完整的，因此读者可以很容易地在自己机器上实践），读者可以根据自己的使用情况加以修改，留给了读者巨大的自我创新空间。

本书利用算法编程分析、算法语言实现与说明文字配合的方式，旨在培养读者的科学精神和创新思维习惯，重视培养读者的收集处理信息的能力、获取知识的能力和分析解决问题的能力。

对于那些经过大学基本数学教程的读者来说，通过本书，MATLAB精良完善的计算指令，自然易读的程序将使他们感悟“教程”数学的基础地位和局限性，看到从“理想化”简单算例通向科学研究和工程设计实际问题的一条途径。

本书参加编写的还有李雪娇，阮向奎，肖先国，张维，张亮，江斌，朱海清，陈晓静，曹亮成，高丽莎，李营，于建华，郑洋，陈攀，马超，郑晓亮，劳展杰。

限于编著者水平，书中难免有怒当或失误之处，敬请广大读者朋友批评指正。

目录

第一章秦九韶算法 (5)

第二章插值方法 (9)

2.1 泰勒插值 (9)

2.2 拉格朗日插值 (12)

2.3 埃尔米特插值 (15)

2.4 分段插值 (18)

2.5 牛顿插值公式 (23)

2.6 埃特金（Aitken）算法 (25)

2.7 三次埃乐米特插值公式 (27)

第三章数值积分 (29)

3.1数值积分各公式的导出 (29)

3.2各积分公式的复化形式 (30)

3.3 龙贝格积分 (37)

3.4两点高斯公式及其复化公式 (39)

3.5三点导数公式 (41)

第四章常微分方程的差分方法 (43)

4.1一步欧拉方法 (43)

4.2二步欧拉方法 (45)

4.3隐式欧拉方法及其改进方法 (46)

4.4 龙格-库塔方法 (48)

4.5 四阶亚当姆斯方法 (52)

第五章方程求根的方法 (55)

5.1 二分法 (55)

5.2 简单迭代法 (57)

5.3 牛顿法 (59)

5.4 弦截法 (61)

第六章线性方程组求根的方法 (63)

6.1 雅克比迭代法 (63)

6.2 高斯--塞德尔迭代法 (64)

6.3 高斯消元法 (66)

6.4追赶法 (68)

6.5 矩阵行范数 (70)

6.6 矩阵的列范数 (71)

6.7 矩阵的2范数 (72)

6.8 矩阵的特征根根 (73)

6.9主元消元法 (74)

6.10 高斯消元法3 (75)

0章引论；

1章． 1）牛顿插值公式-江斌；2）三次埃尔米特插值-郑洋；3）三次样条函数；4）直线拟合-郑晓亮；5）多项式拟合-郑晓亮；6）多元回归；2.4埃特金算法-肖先国2章．1）龙贝格积分-江斌, 陈晓静；2）随机抽样积分法；2）二维重积分计算；3）三维重积分计算；4）三点导数公式-高丽莎；5）五点导数公式-高丽莎；6）中点加速法求导数-高丽莎

3章．1）二阶亚当姆斯方法-张亮；2）三阶亚当姆斯方法-张亮；3）四阶亚当姆斯方法-张亮；4）预报校正亚当姆斯方法-张亮；5）高阶方程差分法；6）方程组差分法-于建华；7）二阶线性边值问题差分法；

4章．F(x,y)=0计算

5章．1）矩阵的行范数-朱海清；2）矩阵的列范数-朱海清；3）矩阵的2-范数-朱海清；4）最大特征根计算-曹亮成；5）；最大特征根的特征向量计算-曹亮成；6）最小特征根计算-曹亮成；7）；最小特征根的特征向量计算-曹亮成；

6章．1）追赶法-曹亮成-张亮-伟文；2）LU分解-郑晓亮；3）平方根法-郑晓亮；4）改进平方根法-郑晓亮；松弛因子法-郑晓亮；5）主元消去法-黄伟文；6）矩阵条件数计算-李营，其后有学生名字的不要选。可以加上其它书已外的内容。

本书参加编写的还有

李雪娇，阮向奎，肖先国，张维，张亮，江斌，朱海清，陈晓静，曹亮成，高丽莎，李营，于建华，，，，，，，，

第一章 引论

1．1 秦九韶算法

秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。

本章将通过秦九韶算法来了解递推的思想。递推化的基本思想是将一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复，这种重复在算法上表现为循环。

例如，对给定的x 求解下列多项式的值

()n n x a x a x a a x p ++++= 2210(1)

先采用直接逐项求和的算法，我们用k t 表示x 的k 次幂，k u 表示式(1)右端前1+k 项的部分和，则有

k k x t =

k k k x a x a a u +++= 10

⎩⎨⎧+=⨯=--k k k k

k k t a u u t x t 11 n k ,,2,1 =(2) 作为初值，令

000,1a u t ==(3)

利用初值(3)对k=1,2,...,直到n 反复执行公式(2)，最终得到的n u 就是所要求的值()x p 。

计算上述算法的计算量为2n 次乘法，当n 很大时，这种算法的效率不高。下面我们来介绍秦九韶算法。

先将公式(1)按照降幂的次序重排为

0111)(a x a x a x a x p n n n n ++++=--

再进行降幂处理