最优化问题的数学模型及其分类

最优化问题的数学模型及其分类

例1.1.1 产品组合问题

某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1

设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+≤≤0,

18231224212121

x x x x x x 故上述问题的数学模型为

2153max

x x z +=

.

.t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤+≤≤0,

18231224212121

x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，⋅⋅t s 是受约束于（subject to ）的简写。

例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为：

⎪⎩⎪

⎨⎧=⋅

⋅+=ππππ3

422min

22

h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。

通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构：

（１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题

可归结为优选若干个被称为参数或变量的量

n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构

成了一个方案。

（２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策

变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1,

0,,,,,2,1,

0,,,2121l j x x x h m i x x x g n

j n i ===≥

（３） 目标函数（objective function ）和目标：如使

利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21

因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。

注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化

()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可

表示为：

()

()()()⎪⎩

⎪

⎨⎧===≥⋅⋅l

j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121

若记()T

n x x x x

,,21=，则（1.1.1）又可写成：

()()()

()⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=='

=≥⋅⋅l

j x h m i x g t s x f j i ,,2,1,01.1.1,,2,1,0min

其中

()()

m i x g i ,2,10

=≥称为不等式约束；

()()l j x h j ,,2,10 ==称为等式约束。()()m i x g i ,,2,1 =与

()()l j x h j ,,2,10 ==称约束函数（constraint function ）。

＊ 当目标函数和约束函数均为变量x 的线性函数时，问题（1.1.1）称为线性规划问题（linear programming problem ）。

＊ 当目标函数和约束函数中至少有一个函数是x 的非线性函数时。问题（1.1.1）称为非线性规划问题（nonlinear programming problem ）

＊ 当目标函数为x 的二次函数，约束函数均为x 的线性函数时，问题（1.1.1）称为二次规划问题（guadratic programming problem ）

＊ 如果要求某些决策变量或全部决策变量取非负整数值时，问题（1.1.1）称为整数规划问题（integer programming problem ） ＊ 若目标函数不止一个，即

()()()()()2,,,21≥=p x f x f x f x f T

p ，

＊ 则问题()'1.1.1为多目标规划问题（multiobjective

programming problem ）

＊此外，根据决策变量、目标函数和约束函数的不同特点，最优化问题还可以划分为许多其它分支。例如：动态规划（dynamical programming）

网络规划(network programming)

几何规划(geometric programming)

非光滑优化 (non-smooth optimization )

随机规划(stochastic programming)

目标规划(goal programming)

模糊规划(fuzzy programming)