第四章方阵的特征值和特征向量的计算

6 2 4 例4.2 求矩阵 A 3 9 15 4 16 36 按模最大的特征值和相应的特征向量 解 计算结果见下表
k 0
vk 1 1 1 1
uk 1 1
1
2 3
12.00
8.357 8.168
27.00
19.98 19.60
56.00
44.57 43.92
第四章
方阵的特征值和特征向量
定义4.1 对于n阶方阵A，若存在常数和n维非零向量x， 满足 Ax=x 则称为A的一个特征值，称x为A的对应于特征值的特征 向量。 注1 若是A的特征值，则有
det( I A) 0
称之为矩阵A的特征方程，所以特征值也称为特征根。 注2 特征向量不唯一，若x是特征向量，则对任意非零 实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯一的。 1
若 1 , 2 ,, n 是A的特征值， p( x) 是 x 的某 一多项式，则矩阵 p ( A) 的特征值为 p(1 ), p(2 ),, p(n ) 定理4.1
特别
(1) Ak的特征值为 1k , 2k ,, nk ; (2)若A可逆，12 n 0 1 1 1 则 ， ， ， 是A1的特征值，且相应的特征向量不变。
xi 。
§2
Jacobi方法
Jacobi方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应的特 征向量。若A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数， 不同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵Q，使
QT AQ diag (1, 2 ,, n )
其中Q 的第 j 列是
j 所对应的特征向量，且 QT Q I 一.平面旋转矩阵
4
设α 1≠0，当k充分大时有
k 1
|
2 1
| 1, ,|
n
n 1
| 1
i k [a1 x1 ai ( ) xi ] vk 1 i 2 lim k lim k k 1k 1 n lim[ a1 x1 ai ( i ) k xi ] a1 x1 k 1 i 2
v u max(v)
u0
其中 max(v) 表示向量 v 的绝对值（或模）为最大的分量， v0 因此有计算公式。
max(v0 )
7
Av0 v1 Au0 , max(v0 ) A2 v0 v2 Au1 , max( Av0 ) Ak v0 vk Auk 1 , k 1 max( A v0 )
v0 u0 max(v0 )
11
vk vk A uk 1 , uk , k 0,1, 2, max(vk ) xn 1 lim uk , lim max(vk ) k k max( xn ) n
1
注
Avk uk 1 可用解方程组 来完成，该方程组是同一个系数矩阵的一系列方程组，为 节约计算工作量，可采用三角分解法来求解。
n
n
n
n
k 1, 2,
选择矩阵序列{Tk}的准则为
(1) (2)
wk 1 wk ,
k
vk 1 vk
k
lim vk 0 lim Tk diag (1 , 2 ,, n )
k
若Tk 满足以上两个条件，则有
所以Tk的选择取决于矩阵Sk的选择，现选择平面旋转矩阵 Sk=S(p,q),它的几何意义是由S(p,q)定义的线性变换，使n维 空间的第p个坐标轴和第q个坐标轴所构成的坐标平面旋转了 k 的角度。 15
5
注1 注2
快，比值接近与1，收敛速度就越慢。
2 | 确定，比值越小收敛速度就越 收敛速度由比值 | 1
当矩阵的按模最大特征值是重根时，定理的结论仍然成立。
设1为r重根，1 2 r， |r || r 1 | | n | 且
vk A v0 [ ai xi
因此有
n k 1
Av0 v1 u1 max(v1 ) max( Av0 ) A2 v0 v2 u2 max(v2 ) max( A2 v0 ) vk Ak v0 uk max(vk ) max( Ak v0 )
i k [a1 x1 ai ( ) xi ] 1 x1 i 2 lim uk lim n k k i k max( x1 ) k max{1 [a1 x1 ai ( ) xi ]} 1 i 2
i k 1 { [ a1 x1 ai ( ) xi ]}m 1 i2 lim n k i k k {1 [ a1 x1 ai ( ) xi ]}m 1 i2
k 1 1 n
(vk 1 ) m lim k (v ) k m
( a1 x1 ) m ( x1 ) m 1 1 1 ( a1 x1 ) m ( x1 ) m
vk
反幂法也可用来计算矩阵A对应于一个给定的近似特征 值的特征向量。设 是矩阵A 的特征值 i 的一个近 似值。满足 | || | i j
i j
设矩阵
(A I)
是非奇异矩阵，对矩阵
( A I ) 利用反幂
1 法求出其按模最小特征值 ，和相应的特征向量 i
例4.3 将双曲线 解
xy 1
转化为标准形式。
进行坐标轴旋转，取
u cos 4 sin v 4
13
sin x 4 cos 4 y
x cos 4 sin y 4 xy 1
k k 1 i 1
r n k 1
r
j k [ ai xi a j ( ) x j ] r 1 vk i 1 j r 1 lim k lim ai xi k k k 1 i 1 1 r n r j k 1 k 1 {1 [ ai xi a j ( ) x j ]}m [ ai xi ]m 1 (v ) i 1 j r 1 lim k 1 m lim 1 i 1 1 r r n k (v ) k j k k k m [ ai xi ]m {1 [ ai xi a j ( ) x j ]}m 1 i 1 i 1 j r 1
0.2143
0.1875 0.1860
0.4821
0.4483 0.4463
1
1 1
4
5
8.157
8.157
19.57
19.57
43.88
43.88 10
0.1859
0.1859
0.4460
0.4460
1Hale Waihona Puke 1三、 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。 设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为
§1
一、乘幂法
乘幂法
乘幂法用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。 定理4.4 设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn， 其相应的特征值 1, 2,… , n满足
| 1 || 2 || 3 | | n |
则对任取的一初始非零向量 v0 产生的向量序列 由
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i k [a1 x1 ai ( ) xi ] 1 1 x1 i 2 lim vk lim n k k i k 1 max( x1 ) k 1 max{1 [a1 x1 ai ( ) xi ]} 1 i 2 lim max(vk ) 1
(a1 0)
vk Ak v0 a1 Ak x1 a2 Ak x2 an Ak xn a11k x1 a22k x2 an nk xn [a1 x1 a ( ) x2 a ( ) xn ]
k 1
2 k 2 1
n k n 1
16
T Tk Sk Tk 1Sk 有计算公式 由
k t (pj ) (k ) tqj (k ) tip (k ) tiq t ( k ) pp (k tqq ) t ( k ) pq (k ) tij k ( t (pj 1) cos k tqjk 1) sin k k ( t (pj 1) sin k tqjk 1) cos k ( ( tipk 1) cos k tiqk 1) sin k ( ( tipk 1) sin k tiqk 1) cos k
1 2
n
定理4.2 若A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，不 同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵Q，使
QT AQ diag (1, 2 ,, n )
其中Q 的第 j 列是
j 所对应的特征向量，且 QT Q I
定理4.3 若|P|0，B=P-1AP，称A，B相似，相似矩阵具有 相同的特征值。 2
sin u 4 cos 4 v
2 2

x y
2
2 2 2 2
u u
2 2 2 2
v v
u v ( 2)
二 n 阶实对称矩阵的对角化
Jacobi方法就是寻找一系列正交矩阵 {Sk } ，使 lim S1S 2 S k Q
k
这样就有
T T T T Tk Sk Sk 1 S2 S1T AS1S2 Sk 1Sk Sk Tk 1Sk
diag (1 , 2 ,, n )
( ( tijk ) , sijk ) 表示Tk 和Sk的元素。 {Tk}是相似矩阵序列，分别用
14
定义4.2
( ( vk (tijk ) )2 , wk (tijk ) ) 2 i 1 j 1 j i i 1 j 1
| 1 || 2 | | n1 || n |
相应的特征向量为 则A-1的特征值满足
x1 , x2 ,, xn