湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三第一学期联合测评数学试卷含答案

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《精编》湖北省高三数学第一次联考(12月)试题文新人教A版.doc

五中八校2021届高三第一次联考数学试题〔文〕命题：黄石二中考试时间：12月21日下午15:00——17:00 试卷总分值：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1、复数1iz i=-的实部为〔〕 A 、12 B 、2i C 、－12 D 、－2i2、集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，那么=⋂BC A R ( ) A.[]32， B.(]21， C.[]83， D.(]83，3、假设命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，那么对命题p 的否认是〔〕A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>C. ()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x4、某实心机器零件的三视图如以下列图，该机器零件的体积为〔〕A.π236+B.π436+C.π836+D.π1036+5、函数的图象如上图所示，为了得到g 〔x 〕＝sin2x的图象，那么只要将f 〔x0〕的图象〔〕A 、向右平移6π个单位长度 B 、向右平移12π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移12π个单位长度6、两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，那么a ＋b 的最小值为 A 、1 B 、2 C 、4 D 、22..www zxxk com7、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，那么36S S =〔〕 A.2 B.87 C.98学科网 D.45 8、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么点P 〔a ，b 〕落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3中的概率为 A 、2536 B 、16 C 、14 D 、1129、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，假设双曲线以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，那么当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 A 、2＋1 B 、3＋1 C 、2 D 、310、函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，那么实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.〔一〕必做题〔11-14题〕 11、抛物线22y ax =的准线为x ＝－14，那么其焦点坐标为＿＿＿ 12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设3a =，b ＝1，∠A ＝3π，那么∠B ＝＿＿＿ 13、长方体的所有棱长之和为48，外表积为94，那么该长方体的外接球的半径为＿＿14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否那么视为违规。

湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三第一学期联合测评数学试卷

湖北师大附中2021届高三上学期联合测评数学本试题卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}02|{2<--=x x x A , }1|||{≤=x x B , 则=B A A ．}11|{<<-x x B ．}11|{≤<-x x C ．}11|{<≤-x xD ．}11|{≤≤-x x2．=-+-i i131 A ．i 21+B ．i -2C ．i +-2D ．i 21-3．已知向量b a ,满足3||=-b a , 6|2|=+b a , 2||=a ，则=||bA ．5B ．6C ．22D ．324．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n 月的从事旅游服务工作的人数)(n f 可以近似用函数4000326cos 3000)(+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππn n f 来刻画（其中正整数n 表示一年中的月份）．当该地区从事旅游服务工作人数在5500或5500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有 A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 5．已知等差数列}{n a 对任意正整数n 都有863221+=+-++n a a a n n n ，则=2a A ．1 B ．8 C ．5 D ．4 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个数学问题：“现有刍甍，下宽3丈，长4丈；上长2丈，无宽，高1丈．问：有体积多少？”本题中刍甍是如图所示的几何体ABCD EF -，底面 ABCD 是矩形，EF AB //, 4=AB , 3=AD , 2=EF ，直线EF 到底面ABCD 的距离1=h ，则该几何体ABCD EF -的体积是 A ．5B ．10C ．15D ．257．党的十八大要求全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，劳动教育受到全社会广泛关注．某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼，每个村至少分配一位同学，则甲村恰好分配2位同学的概率为 A ．53 B ．52 C ．51 D ．54 8．已知椭圆124:22=+y x C 的左右顶点分别为B A ,，过x 轴上点)0,4(-M 作一直线PQ 与椭圆交于Q P ,两点（异于B A ,），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为21,k k ，则=21:k kA ．31B ．3C ．21 D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届湖北省荆州市高三上学期第一次质量检测数学(理)试题Word版含答案

2021届湖北省荆州市高三上学期第一次质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}20,lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则AB =（） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．[]0,1C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上为增函数的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x -=C ．()cos y x =-D ．ln y x = 3.若1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 依次成等差数列，若11a =，则5S =（）A ．16B ．31 C. 32 D ．635.设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ln ln ln x y z b b b αααα===，若,42αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b ∈，则,,x y z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >> C. z x y >> D ．x z y >>6.若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为（）A ．12πB ．3π C. 512π D ．712π 8.已知函数()()3sin 2f x ax x a R =-∈，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，则实数a 的值为（） A ．12 B ．1 C. 32D ．2 9.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是（）AB10.已知函数()()2ln 1,23f x x g x x x =-=-++，用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（）A ．1B ．2 C. 3 D ．411.在ABC ∆中，内角,,C A B 的对边分别是,,a b c，若3sin 24B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（）A ．(]2,3B ．[)3,4 C. (]4,5 D ．[)5,612.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞ D ．[)2,-+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算32112x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ ． 14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，有132435216a a a a a a ++=，则24a a += ．15.若,x y 满足约束条件0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩，且2z x y =-的最大值为4，则实数k 的值为．16.已知函数()()21x f x e x ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是．（e 为自然对数的底数）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数()21cos cos 2f x x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调区间.18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠，6,4AB AD AC ===. （Ⅰ）利用正弦定理证明：AB BD AC DC =；（Ⅱ）求BC 的长.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55S =-，且346,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()*21231n n n b n N a a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20. （本小题满分12分）已知函数()()ln xe f x a x x x=+-，e 为自然对数的底数. （Ⅰ）当0a >时，试求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知函数()()()2a x g x xea R -=∈，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若函数()()2ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<（()f x '为函数()f x 的导函数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（R α∈，α为参数），曲线2C 的极坐标方程为cos sin 50ρθθ-=. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =-+-∈.（Ⅰ）当1a =时，求()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.2021届湖北省荆州市高三上学期第一次质量检测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CDDBA 6-10: CBACC 11、12：BA二、填空题 13. 223 14. 4 15. 32- 16. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：（1）()31cos 21sin 2sin 212226x f x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令26x k ππ-=，得212k x ππ=+，故所求单调区间为50,3,6πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 18.解：（1）由正弦定理知，在ABD ∆中，sin sin AB BD ADB BAD =∠∠① 在ADC ∆中，sin sin AC DC ADC DAC=∠∠② 由ADB ADC BDA DAC ∠+∠=∠=∠π,，得sin sin ,sin sin ADB ADC BAD DAC ==由①÷②得:AB BD AC DC= （2）由（1）知32BD AB DC AC ==，设()3,20BD x DC x x ==>，则5BC x = 由cos cos 0BDA ADC ∠+∠=0182122x x+= 解得1x =，所以5BC =.19. 解：（1）由等差数列性质，5355S a =-=，所以31a =-设公差为d ，则()()()21113d d -+=-⋅-+，解得0d =或1d =-1n a =-或2n a n =-（2）①当1n a =-时，n T n =②当2n a n =-时，()()212311111212122121n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 20. 解：（1）函数的定义域为()0,x ∈+∞()()()()()()222111111x x x e ax x e x e x ax x f x a x x x x +---+-⎛⎫'=+-== ⎪⎝⎭当0a >时，对于()0,,0xx e ax ∀∈+∞+>恒成立所以，若()1,0x f x '>>，若()01,0x f x '<<<所以()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1（2）由条件可知()f x '=0，在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的根即0x e ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，且a e ≠- 令()xe g x a x =--，则()()21x e x g x x-'=- 当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，()1,2x ∈时单调递减 ∴()g x 的最大值为()()2111,222g e g g e ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭ 而2211022e e ⎛⎫---=-> ⎪⎝⎭ ∴a e -<<-21. 解：（1）由题可知，()()()()()()222221a x a x a x g x e xe a e a x ---'=+-=-+⎡⎤⎣⎦①当a <2时，令()0g x '≥，则()210a x -+≥∴12x a ≥- 令()0g x '<，则()210a x -+<∴12x a <- ②当2a =时，()0g x '>③当2a >时，令()0g x '≥，则()210a x -+≥∴12x a ≤- 令()0g x '<，则()210a x -+<∴12x a ≥- 综上：①当a <2时，()y g x =在1,2a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭上单调递增.当② 2a =时，()y g x =在R 上单调递增.③当2a >时，()y g x =在1,2a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭上单调递减. （2）∵()()()()()222ln ln 20a x f x xe ax x a x ax x -=-=+-->∴()()()()211122x ax f x a ax x x+-'=+--=，当0a ≤时，()0f x '>，()y g x =在 ()0,+∞上单调递增，与x 轴不可能有两个交点，故0a >.当0a >时，令()0f x '≥，则10x a <≤；令()0f x '<，则1x a >.故()y g x =在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.不妨设()()12,,,A x m B x m ，且1210x x a <<<，要证 ()00f x '<，需证010ax ->，即证()01221211222x x x x x f x f x a a a a ⎛⎫>⇒+>⇒>-⇒<- ⎪⎝⎭，又()()12f x f x =，所以只需证()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.即证：当10x a <<时， ()20f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭.设()()()()2ln 2ln 22F x f x f x ax ax ax a ⎛⎫=--=--+- ⎪⎝⎭则()()()22112022ax a F x a ax x x ax -'=-+=-<--，∴()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又12110F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()20F x f x f x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭. 22. 解：（1）由2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线1C 的普通方程为22184x y +=由cos sin 50ρθθ-=得，曲线2C的直角坐标方称为50x -=（2）设(),2sin P αα，则点P 到曲线2C 的距离为4d π⎛⎫ 当cos 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d，所以PQ的最小值为. 23. 解：（1）当1a =时，()121f x x x =-+-， ()21212f x x x ≤⇒-+-≤，上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4,3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩∴102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， ∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）∵()21f x x ≤+的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()21f x x ≤+恒成立，即2121x a x x -+-≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴2121x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∴22x a -≤-≤， ∴22x a x -≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()()min 22max x a x -≤≤+， ∴512a -≤≤， ∴a 的取值范围是51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高三(上)起点数学试卷(9月份)(附答案详解)

2021-2022学年湖北省新高考联考协作体高三（上）起点数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 命题“∃x 0≥0，2x +x 0−a ≤0”的否定是( )A. ∀x ≤0，2x +x −a ≤0B. ∀x ≥0，2x +x −a >0C. ∃x 0≤0，2x +x 0−a >0D. ∃x 0≥0，2x +x 0−a >02. 设集合M ={x|x 2+ax +6=0}，N ={−3,−2,−1}，若M ⊆N ，则a 的取值范围是( )A. {a|a =5或a =7〉B. {a|a =5或−2√6<a <2√6}C. {a|−2√6<a <2√6}D. {a|a =7或{2√6<a <2√6}3. 已知a >0，b >0且a +b =1，若不等式1a +1b >m 恒成立．m ∈N +，则m 的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=a 2x −a −2x +1(a >0且a ≠1)，则f(1)=( )A. −1B. 0C. 1D. 25. 已知sin(π3−α2)=−√32,−7π3<α<−4π3，则cos(7π12−α2)=( )A. −√3+√24B. √3+√24C. −√6+√24D. √6−√246. 若a =(2)25,b =325,c =(12)25,d =(13)25，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A. a >b >c >dB. b >a >d >cC. b >a >c >dD. a >b >d >c7. 已知在三棱锥S −ABC 中，SA =SB =SC =AB =2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为( )A. 32√3π27B. 4√3π9C.32π3D.16π38. 已知f(x)=12x 2−2ax ，g(x)=3a 2lnx −b ，其中a >0，设两曲线y =f(x)，y =g(x)有公共点．且在该点的切线相同，则( )A. 曲线y =f(x)，y =g(x)有两条这样的公共切线B. b =3a 22+3a 2lnaC. 当a=3e时，b取最小值D. b的最小值为−16e2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知等比数列{a n}的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，则q的值可能为()A. 12B. 1C. 2D. 310.已知a⃗=(3,−1),b⃗ =(1,−2)，则下列说法正确的有()A. a⃗在b⃗ 方向上的投影为√5B. 与a⃗同向的单位向量是(3√1010,−√1010)C. <a⃗⋅b⃗ >=π4 D. a⃗与b⃗ 平行11.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于点(π12,0)对称，则()A. f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)在[π3,π2]上单调递增C. 函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则a的最小值是5π12D. 若x1，x2∈[π4,3π4]，x1≠x2时，f(x1)=f(x2)成立，则|x1−x2|的最大值为π312.设函数f(x)=(1+1m )lnx−x+1mx(m≠0)，则()A. 当m<0时，f(x)<−1B. 当m<0时，f(x)有两个极值点C. 当0<m<1时，f(x)在(1,+∞)上不单调D. 当m>1时，存在唯一实数m使得函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设i是虚数单位，若复数2−a2−i(a∈R)是纯虚数，则a=______ ．14.已知tan(π4−α)=13，则cos2α1−sin2α=______．15.已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n，若S n+1=2S n+1，则a7=______．16. 函数f(x)=(x 2−3)e x ，关于x 的方程f 2(x)−mf(x)+1=0恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为 ______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设函数f(x)=sinx ，x ∈R ．(1)已知θ∈[0,3π2)，函数f(x +θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y =[f(x +π12)]2+[f(x +π4)]2−1,x ∈[π12,2π3]的值域．18. 已知数列{a n }为等差数列，其公差不为0，a 3=5，a 2是a 1与a 5的等比中项．(1)求{a n }通项公式； (2)记b n =1a 2n ⋅a 2n+2，求数列{b n }的前n 项之和T n ．19. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，为sinB−sinAb−c=sinC a+b．(1)求角A 的大小； (2)当a =√3时，求b+c 2的取值范围．20.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP．(1)设点M为棱PD中点，求证：EM//平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于2√105？若存在，试求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由．3521.北京时间2021年7月23日19：00，东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a+5元(5≤a≤8)的税收，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18−x)2万件．(1)求该商店一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．22.已知函数f(x)=(x+1)e x+mx，g(x)=3ncosx+3(m,n∈R)．(1)讨论函数f(x)的导数f′(x)的单调性，mx+1对x≥0恒成立，求实数m的取值(2)当n=−1时，不等式f(x)+g(x)≥14范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题“∃x0≥0，2x+x0−a≤0”的否定为∀x≥0，2x+x−a>0，故选：B．由题意根据命题的否定的定义，得出结论．本题主要考查求一个命题的否定，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：集合M={x|x2+ax+6=0}，N={−3,−2,−1}，M⊆N，当M=⌀时，即△=a2−24<0，解得−2√6<a<2√6，此时满足题意；当M≠⌀时，设方程x2+ax+6=0两根为x1，x2，则x1+x2=−a，x1x2=6，结合N={−3,−2,−1}，可−3，−2是x2+ax+6=0两根，则−a=−3−2，即a=5，综上所述a的取值范围为{a|a=5或−2√6<a<2√6}.故选：B．利用集合的包含关系和一元二次方程的根的关系可得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：a>0，b>0且a+b=1，则1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ab ⋅ba=4，当且仅当a=b=12时取等号，∴m<4，∵m∈N+，∴m的最大值为3，故选：A．恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，由此即可求解．本题考查了恒成立问题以及利用基本不等式求最值的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：因为定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=a 2x −a −2x +1(a >0且a ≠1)，所以f(1)+g(1)=a 2−a −2+1①，f(−1)+g(−1)=a −2−a 2+1，即f(1)−g(1)=a −2−a 2+1②， ①+②得2f(1)=2，所以f(1)=1．故选：C ．由已知结合函数的奇偶性可知，f(1)+g(1)=a 2−a −2+1，f(−1)+g(−1)=a −2−a 2+1，结合两式即可求解．本题主要考查了函数奇偶性的性质的简单应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵−7π3<α<−4π3，∴2π3<−α2<7π6，∴π<π3−α2<3π2，∵sin(π3−α2)=−√32，∴π3−α2=4π3．则cos(7π12−α2)= cos(π4+π3−α2)=cos π4cos(π3−α2)−sin π4sin(π3−α2) =√22×(−12)−√22×(−√32)=√6−√24，故选：D ．由题意求出π3−α2的值，再利用两角差的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查两角差的余弦公式，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：∵a =(2)25,b =325,c =(12)25,d =(13)25，函数y =x 25是(0,+∞)上的增函数，3>2>12>13，∴b >a >c >d ，故选：C ．由题意根据幂函数的单调性，得出结论．本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意求得三棱锥S −ABC 的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：如图，∵SA =SB =SC ，∴S 在底面ABC 上的射影D 为底面三角形的外心，又AC ⊥BC ，∴D 为AB 的中点，又SA =SB =AB =2，∴△SAB 外接圆的半径即为三棱锥S −ABC 外接球的半径，等于23×√22−12=2√33． ∴该三棱锥外接球的体积为43π×(2√33)3=32√3π27．故选：A ．8.【答案】D【解析】解：f(x)=12x 2−2ax ，g(x)=3a 2lnx −b ， f′(x)=x −2a ，g′(x)=3a 2x ，设两曲线的公共点为(x 0,y 0)，由题意可得，{f(x 0)=g(x 0)f′(x 0)=g′(x 0)，即{12x 02−2ax 0=3a 2lnx 0−b x 0−2a =3a 2x 0，由x 0−2a =3a 2x 0，得x 02−2ax 0−3a 2=0，解得x 0=3a 或x 0=−a(舍去)；∴曲线y =f(x)，y =g(x)有一条这样的公共切线，故A 错误； b =3a 2lnx 0−12x 02+2ax 0=3a 2ln3a −9a 22+6a 2=3a 2ln3a +32a 2，故B 错误；令F(a)=3a 2ln3a +32a 2，F′(a)=6aln3a +6a ，当0<a <13e 时，F′(a)<0，当a >13e 时，F′(a)>0， ∴当a =13e 时，b 取得最小值为F(13e )=−13e 2+32⋅19e 2=−16e 2，故C 错误，D 正确．故选：D ．设两曲线的公共点为(x 0,y 0)，由题意可得{f(x 0)=g(x 0)f′(x 0)=g′(x 0)，求解可得x 0=3a 判断A ；把b 用含有a 的代数式表示判断B ；再由导数求最值判断C 与D ．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】AC【解析】解：因为a 2，a 3+1，a 4成等差数列，所以a 2+a 4=2(a 3+1)，因此，a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14，故a 3=4．又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2+a 4=2(a 3+1)，得a 3(q +1q )=2(a 3+1)，即q +1q =52，解得q =2或12．故选：AC ．运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：∵向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√1+4=√5，∴A正确，∵与向量a⃗同向的单位向量为a⃗|a⃗ |=√9+1−1)=(3√1010,−√1010)，∴B正确，∵cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√10⋅√5=√22，<a⃗，b⃗ >∈[0,π]，∴<a⃗，b⃗ >=π4，∴C正确，∵3×(−2)≠−1×1，∴a⃗，b⃗ 不平行，∴D错误，故选：ABC．根据向量的投影公式判断A，求出向量单位向量判断B，利用向量夹角公式求出夹角判断C，根据向量共线的定义判断D．本题考查了平面向量的坐标运算，考查向量投影，单位向量，夹角，共线，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于点(π12,0)对称，当x=π12时，f(π12)=sin(π6+φ)=0，可得π6+φ=kπ，k∈Z，由于−π2<φ<π2，所以φ=−π6，故函数的解析式为f(x)=sin(2x−π6)，故函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确；对于B：由于π3≤x≤π2，所以2x−π6∈[π2,5π6]，函数在该区间上单调递减，故B错误；对于C：函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)= sin(2x−2a+π3)，由于该函数是奇函数，所以−2a+π3=kπ(k∈Z)，整理得：当k=0时，a的最小值为π6，故C错误；对于D：若x1,x2∈[π4,3π4],x1≠x2时，f(x1)=f(x2)成立，所以函数y=a与函数f(x)=sin(2x−π6)的图象有两个不同的交点，因为x1，x2∈[π4,3π4]，则2x−π6∈[π3,4π3]，因为sinπ3=sin2π3=√32，所以|x1−x2|的最大值为2π3−π3=π3，故选项D正确．故选：AD．利用三角函数的对称性，求出f(x)的解析式，然后利用周期公式判断选项A，由三角函数的对称性判断选项B，由三角函数的图形变换判断选项C，利用直线与函数f(x)有两个交点，即可判断选项D．本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数模型解析式的求解，三角函数单调性、奇偶性、对称性的应用，三角函数图形变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=(1+1m )lnx−x+1mx(m≠0)，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1+1 mx −1−1mx2=−(mx−1)(x−1)mx2，当m<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(1)=−1+1m<−1，故选项A正确；当x=1时，函数f(x)取得极大值，无极小值，所以f(x)只有一个极值点，故选项B错误；当0<m<1时，f(x)在(1,1m )上单调递增，在(1m,+∞)上单调递减，所以f(x)在(1,+∞)上不单调，故选项C正确；当m>1时，f(x)在(0,1m )上单调递减，在(1m,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=−1+1m <−1，x→+∞limf(x)→−∞，因为函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点，即方程f(x)=−2恰有两个解，即f(1m)=−2恰有两个解，整理可得3m−(m+1)lnm−1=0恰有两个解，令ℎ(m)=3m −(m +1)lnm −1，则ℎ′(m)=2−1m −lnm ， ℎ′′(m)=1−a a 2<0对m >1恒成立，所以ℎ′(m)单调递减，又ℎ′(1)=1>0且m →∞limℎ′(m)→−∞，所以存在m 0∈(1,+∞)，使得ℎ′(m 0)=0在(1,m 0)上单调递增，在(m 0,+∞)上单调递减，由ℎ(1)=2>0且m →∞lim ℎ(m)→−∞，所以存在唯一的m 1∈(m 0,+∞)，使得ℎ(m 1)=0，即存在唯一实数m 使得函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点，故选项D 正确．故选：ACD ．利用导数求出f(x)的单调性，确定最值以及极值点判断选项A ，B ，由导数的正负确定函数的单调性判断选项C ，由函数f(x)的单调性确定g(x)恰有两个零点，等价于f(1m )=−2，再构造函数ℎ(m)=3m −(m +1)lnm −1，得出其单调性，证明m 的唯一性即可判断选项D ．本题考查了导数的综合应用，导数判断函数的单调性以及最值问题的应用，函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．13.【答案】5【解析】解：∵2−a2−i =2−a(2+i)(2−i)(2+i)=2−2a+ai22+(−1)2=(2−2a5)−a5i 是纯虚数， ∴{2−2a 5=0a5≠0，解得a =5．故答案为：5．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a 值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查两角差的正切公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．由题意利用两角差的正切公式求得tanα的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：已知tan(π4−α)=13=1−tanα1+tanα，∴tanα=12，则cos2α1−sin2α=cos2α−sin2αcos2α−2sinαcosα+sin2α=1−tan2α1−2tanα+tan2α=1−141−1+14=3，故答案为：3．15.【答案】96【解析】解：由S n+1=2S n+1，得S n+1+1=2(S n+1)，∵a1=2，∴S1+1=a1+1=3，则数列{S n+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，∴S n+1=3⋅2n−1，则S n=3⋅2n−1−1．∴a7=S7−S6=3⋅26−3⋅25=96．故答案为：96．把已知数列递推式变形，可得数列{S n+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，求得S n，再由a7=S7−S6求解．本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】(6e3+e36,+∞)【解析】解：f′(x)=(x2+2x−3)e x=(x+3)(x−1)e x，令f′(x)=0得，x=−3或1，当x<−3时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞,−3)上单调递增，且f(x)>0，当−3<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)在(−3,1)上单调递减，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)极大值=f(−3)=6e3，f(x)极小值=f(1)=−2e，令f(x)=t ，则方程t 2−mt +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，且一个根在(0,6e 3)内，一个根在(6e 3,+∞)内，或者两个根都在(−2e,0)内，或者一个根在(−2e,0)内，一个根为6e 3，因为m 为正数，所以t 1+t 2=m >0，又t 1t 2=1，所以t 1，t 2 都为正根，所以两个根不可能在(−2e,0)内，令g(x)=x 2−mx +1，因为g(0)=1>0，所以只需g(6e 3)<0，即36e 6−6m e 3+1<0，得m >6e3+e 36，即m 的取值范围为：(6e 3+e 36,+∞)，故答案为：(6e3+e 36,+∞)．先利用导数得到f(x)极大值=f(−3)=6e 3，f(x)极小值=f(1)=−2e ，令f(x)=t ，则方程t 2−mt +1=0有两个不同的实数根，且一个根在(0,6e 3)内，一个根在(6e 3,+∞)内，令g(x)=x 2−mx +1，因为g(0)=1>0，所以只需g(6e 3)<0，即36e 6−6m e 3+1<0，从而解得m 的取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．17.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinx ，x ∈R ，函数f(x +θ)=sin(x +θ)是偶函数，∴θ=kπ+π2，k ∈Z ．当θ∈[0,3π2)，θ=π2．(2)函数y =[f(x +π12)]2+[f(x +π4)]2−1=sin 2(x +π12)+sin 2(x +π4)−1=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2−1=12[sin2x −cos(2x +π6)]=12(sin2x −cos2xcos π6+sin2xsin π6)=12(32sin2x −√32cos2x)=√32(√32sin2x −12cos2x)=√32sin(2x −π6).∵x ∈[π12,2π3]，∴2x −π6∈[0,7π6]，sin(2x −π6)∈[−12,1]，故√32sin(2x −π6)∈[−√34,√32]，故函数的值域为[−√34,√32].【解析】(1)由题意利用三角函数的奇偶性，求得θ的值．(2)由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查三角函数的奇偶性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则{a 22=a 1⋅a 5a 3=a 1+2d =5，即{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)a 1+2d =5，解答{d =2a 1=1或{d =0a 1=5(舍)， ∴a n =2n −1.， (2)∵b n =1a 2n ⋅a 2n+2=1(4n−1)(4n+3)=14(14n−1−14n−3)，T n =b 1+b 2+...+b n =14(13−17+17−111+...+14n−1−14n+3) =14(13−14n+3)=112−116n+12=n12n+9．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，则{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)a 1+2d =5，解答q ，a 1，即可；(2)可得b n =1a2n ⋅a 2n+2=1(4n−1)(4n+3)=14(14n−1−14n−3)，累加即可；本题考查了等差数列、等比数列的性质，考查了裂项求和，属于中档题．19.【答案】解：(1)由sinB−sinAb−c=sinC a+b及正弦定理得：(b −a)(b +a)=(b −c)c ，所以a 2=b 2+c 2−bc ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)，所以A =π3；(2)a =√3，A =π3，由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =√3sin π3=2，所以b+c 2=(sinB +sinC)=sinB +sin(2π3−B)=2sin π3cos(B −π3)=√3cos(B −π3)，因为△ABC 为锐角三角形，所以B ∈(π6,π2)，则B −π3∈(−π6,π6)，所以cos(B −π3)∈(√32,1]，所以b+c 2∈(32,√3].【解析】(1)利用正弦定理，化简sinB−sinAb−c=sinC a+b得(b −a)(b +a)=(b −c)c ，整理为a 2=b 2+c 2−bc ，利用余弦定理可得A 的大小． (2)由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =√3sin π3=2，可得b+c 2=(sinB +sinC)=sinB +sin(2π3−B)=√3cos(B −π3)，分析得到B ∈(π6,π2)，则B −π3∈(−π6,π6)，cos(B −π3)∈(√32,1]，继而可得答案．本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的三角函数关系，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ， ∴BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ， ∴直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2，0)，B(0,0，0)，D(2,0，1)，E(2,1，0)，C(0,0，1)，∴M(1,1，12)，∴EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，12)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，∵BP ⊥平面ABCD ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABCD 的一个法向量，∵EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1)×0+0×2+12×0=0，∴EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又EM ⊄平面ABCD ， ∴EM//平面ABCD ．(2)解：线段PD 上存在两个点N 使当PN =1，或53时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2√10535．理由如下：∵PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，设平面PCD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{2x =02x −2y +z =0，令y =1，得n⃗ =(0,1，2)，假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于2√10535，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,−2λ,λ)(0≤λ≤1)， ∴BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2−2λ,λ)， ∴|cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√9λ2−8λ+4=2√10535， ∴9λ2−8λ+53=0，解得λ=13，或59，∴线段PD 上存在两个点N 使当PN =1，或53时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于2√10535．【解析】(1)证明BP ⊥平面ABCD ，以B 为原点建立坐标系，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABCD 的法向量，求出EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×0+0×2+12×0=0，从而有EM//平面ABCD ； (2)假设存在点N 符合条件，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，平面PCD 的法向量n ⃗ 的坐标，令|cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√9λ2−8λ+4=2√10535解出λ，根据λ的值得出结论．本题考查了线面平行的判断，考查空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)商店一年的利润L(万元)与售价x 的函数关系式为L =(x −10−a)(18−x)2，x ∈[13,17]；(2)因为L =(x −10−a)(18−x)2，x ∈[13,17]，则L′(x)=(18−x)(38+2a −3x)，令L′(x)=0，解得x =38+2a 3或x =18，因为5≤a ≤8，则16≤38+2a 3≤18，①当16≤38+2a 3<17，即5≤a <6.5时，当x∈[13,38+2a3]时，L′(x)≥0，则L(x)单调递增；当x∈[38+2a3,17]时，L′(x)≤0，则L(x)单调递减，所以当x=38+2a3时，L(x)取得最大值L(38+2a3)=427(8−a)3；②当17≤38+2a3≤18，即6.5≤a≤8时，L′(x)≥0，则L(x)在[13,17]上单调递增，所以当x=17时，L(x)取得最大值L(17)=7−a，故Q(a)={427(8−a)3,5≤a<6.57−a,6.5≤a≤8．答：若5≤a<6.5，则当每件售价为38+2a3元时，商店一年的利润L最大，最大值Q(a)=427(8−a)3万元；若6.5≤a≤8，则当每件售价为17元时，商店一年的利润L最大，最大值Q(a)=7−a 万元．【解析】(1)由题意，列出商店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式即可，注意定义域的求解；(2)求出L′(x)，分16≤38+2a3<17和17≤38+2a3≤18两种情况，分别利用导数研究函数L(x)的单调性，确定最值即可．本题考查了函数在实际问题中的应用，利用导数研究函数最值的应用，分段函数的应用，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为数学问题进行研究，考查了逻辑推理能力与数学建模能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=(x+1)e x+mx+3，f′(x)=(x+2)e x+m，令g(x)=(x+2)e x+m，由g′(x)=(x+3)e x，当x<−3时，g′(x)<0，当x>−3时，g′(x)>0，所以f′(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,+∞)上单调递增．(2)当n=−1时，不等式f(x)+g(x)=(x+1)e x+mx−3cosx+3≥14mx+1对x≥0恒成立，等价于4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0对x≥0恒成立，令q(x)=4(x+1)e x+3mx−12cosx+8，x≥0，则q′(x)=4(x+2)e x+3m+12sinx，q(0)=0，q′(0)=8+3m，令ℎ(x)=q′(x)=4(x+2)e x+3m+12sinx，x≥0，则ℎ′(x)=4(x+3)e x+12cosx=4xe x+12(e x+cosx)>0对x≥0恒成立，从而有q′(x)在[0,+∞)上单调递增，①当m≥−83时，q′(x)≥q′(0)≥0，q(x)在[0,+∞)上单调递增，q(x)≥q(0)=0，即4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0对x≥0恒成立，②当m<−83时，q′(0)=8+3m<0，q′(1−34m)=4(3−34m)e1−34m+3m+12sin(1−34m)>12−3m+3m+12sin(1−3 4m)=12+12sin(1−34m)>0，存在x0∈(0,1−34m)，使得q′(x0)=0，当0<x<x0时，q′(x)<0，q(x)在(0,x0)上单调递减，当0<x≤x0时，q(x)<q(0)=0，故4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0不成立，综上，m的取值范围是m≥−83．【解析】(1)求导得f′(x)=(x+2)e x+m，令g(x)=(x+2)e x+m，求导得g′(x)= (x+3)e x，分析g′(x)的正负，即可得出答案．(2)当n=−1时，不等式f(x)+g(x)=(x+1)e x+mx−3cosx+3≥14mx+1对x≥0恒成立，等价于4(x+1)e x+3mx−12cosx+8≥0对x≥0恒成立，令q(x)=4(x+ 1)e x+3mx−12cosx+8，x≥0，只需q(x)min≥0，即可得出答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

湖北省武汉市2021届高三一模数学试题及答案

2021年湖北省武汉市高考数学质检试卷（3月份）一、选择题（共8小题）.1．复数z满足＝i，则复平面上表示复数z的点位于（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．实轴D．虚轴2．“tanθ＝”是“sin2θ＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设a＝30.5，b＝40.4，c＝50.3，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b4．已知正整数n≥7，若（x﹣）（1﹣x）n的展开式中不含x4的项，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（）A．B．C．D．6．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B．C．D．17．过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若△ACF与△BDF的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A．±1 B．±C．±2 D．±28．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[4，）C．[4，）D．[，）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A．（∁U A）∩B B．∁B（A∩B）C．∁U（A∩（∁U B））D．∁AUB A10．已知函数f（x）＝，则有（）A．存在x0＞0，使得f（x0）＝﹣x0B．存在x0＜0，使得f（x0）＝x02C．函数f（﹣x）与f（x）的单调区间和单调性相同D．若f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，则x1+x2≤011．两个等差数列{a n}和{b n}，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为S n和T n，则下列命题中正确的是（）A．若{}为等差数列，则d1＝2a1B．若{S n+T n}为等差数列，则d1+d2＝0C．若{a n b n}为等差数列，则d1＝d2＝0D．若b n∈N*，则{a}也为等差数列，且公差为d1+d212．设函数f（x）＝e2x﹣8e x+6x，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的x0有（）A．﹣ln2 B．ln2 C．ln4 D．ln5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省“大课改大数据大测评”2021届高三上学期12月联合测评英语试卷

“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评英语试卷2020.12. 29全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中出最佳选项。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例:How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C.1. Where is the woman probably going now?A. To a restaurant。

.B. To a gathering.C. To the office.2. What do we know about Tina?A. She likes shopping.B. She holds a high position.C. She often goes to Hong Kong.3. How's Professor Brown's lecture in the woman's eyes?A. Too long to follow.B. Difficult to understand.C. Interesting as expected.4. What does David think of the houses for sale?A. They are very good.B. They are too expensive.C. They are not worth a look.5. What does the man suggest the woman do?A. Buy a computer.B. Clean the kitchen.C. Complete the paper.第二节（共15小题;每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。

2021-2022学年湖北省新高考高三上学期联考数学试题及答案解析

2021-2022学年湖北省新高考高三上学期联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−x 2+2x+3≥0}，B={x|2 x +1≥8}，则A∩B=A. {x|x≥3}B. {x|x≥2}C. {x|2≤x≤3}D. {x|1≤x≤2}2.已知复数z=3+2i，则|z 2|=A. 340B. 2√95C. 169D. 133.已知某品牌客车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据：若x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为ŷ=1.15x+a，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为A. 7.55千元B. 8.7千元C. 9.7千元D. 10.25千元4.已知向量a⃗=(−2,0)，b⃗ =(−12,√32)，则a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角的余弦值为A. 5√714B. 528C. −5√714D. −5285.习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P=P 0·e kt(其中e是自然对数的底数，k为常数，P 0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为(参考数据：log52≈0.43)A. 9B. 11C. 13D. 156.已知F 1，F 2分别是双曲线x2−y224=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF 1||PF 2|=48.则△F 1PF 2的面积为A. 8B. 16C. 24D. 8√37.已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足a 1=1，a n +1=2S n，则a 2021=A. 32020B. 32019C. 22020D. 2×320198.若关于x的不等式e ax−x+sin2ax>1e ax −1x+sin(lnx2)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是A. (2e ,+∞) B. (1e,+∞) C. (−∞,1e) D. (−∞,2e)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则下列说法正确的是A. f(x)的图象关于直线x=−π4对称B. f(x)的图象的一个对称中心是(−π4,0)C. 将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=3sin3x的图象D. 将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到y=3sin3x的图象10.下列说法中正确的是A. 已知随机变量X服从二项分布B(4,13)，则E(X)=89B. 已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)且P(X≤5)＝0.85，则P(1＜X≤3)＝0.35C. 已知随机变量X的方差为D(X)，则D(2X-3)＝2D(X)-3D. “A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件11.在棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，M，N分别为棱A 1D 1，DD 1的中点，则下列说法正确的是A. M，B 1，N，C四点共面B. 正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为12πC. 点C到平面MNC 1的距离为23D. 直线A 1C与平面MNC 1所成的角的正弦值为√3912. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在C 上，则下列说法正确的是A. 若点P(2,−1)，则△PAF 的周长的最小值为3+√2B. 若点P(m ，2)是C 上的一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|，|FP|，|BF|成等差数列 C. 若A ，F ，B 三点共线，则y 1y 2=−2D. 若|AB|=8，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l ：2x −y −1=0与圆C ：x 2+y 2−8y +6=0相交于A ，B 两点，则|AB|=__________．14. 已知cos (θ+π4)=14，则tanθ+1tanθ=__________．15. 将语文、数学、英语、物理、化学、生物六本书排成一排，其中语文、数学相邻，且物理、化学不在语文、数学的同一侧，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)16. 在三棱锥P −ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =PB.若PC =BC =a ，且三棱锥P −ABC 体积的最大值为43，则a =__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和S n 满足S n+1=S n +a n1+2a n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1sinA +1sinB=2√6，且C=π3，c=6．(1)求证：a+b=√22ab；(2)求△ABC的面积．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SBD⊥平面ABCD，SD=√2AB=2，SB=√2SD，点E是棱SD上一点(不包含端点)．(1)求证：AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的余弦值为√33，求DE的长度．20. 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是12，甲、乙正确回答每道题的概率分别为45，35，且两人各道题是否回答正确均相互独立． (1)比赛开始，求甲先得一分的概率； (2)求甲获胜的概率．21. 已知圆O ：x 2+y 2=2，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >√2)的离心率为√22，P 是C 上的一点，A 是圆O 上的一点，|PA|的最大值为√6+√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点，PM 与圆O 相切于点N ，证明：|PO|2=|PM|·|PN|.22. 已知函数f(x)=aln x +x ，g(x)=12x 2−(a +2)x +32a(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a>1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，x 1，x 2为ℎ(x)的两个极值点，证明：ℎ(x1)+ℎ(x2)<7．2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算和解不等式，属于基础题．先解不等式求得集合A、B，然后利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={x|−x2+2x+3⩾0}={x|−1≤x≤3}，B={x|2x+1≥8}={x|x⩾2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数的模的求法，是基础题．根据复数的运算法则求出z2，再利用复数模的公式计算即可．【解答】解：因为z=3+2i，故z2=9+12i+4i2=5+12i，所以|z2|=√52+122=13．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查回归直线方程，属于基础题．由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得a ，在线性回归方程中，取x =8求得y ̂的值得答案．【解答】解：x =2+3+4+5+65=4，y =2+2.5+4.5+5+6.55=4.1，则样本点的中心坐标为(4,4.1)，代入y ̂=1.15x +a ，得a =−0.5，则y ̂=1.15x −0.5．取x =8，可得ŷ=1.15×8−0.5=8.7． ∴使用年限为8年时，维护费用约为8.7千元．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算、向量的夹角，属于基础题．根据平面向量夹角的运算公式直接求解即可．【解答】解：∵a ⃗ =(−2,0)，b ⃗ =(−12,√32)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−52,√32)， ∴|a ⃗ +b ⃗ |=√7，|a ⃗ |=2，a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=5．设a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ +b⃗ |=5√714．故选A ．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数函数模型的应用，考查指数不等式的解法，考查运算求解能力．属于中档题．由已知条件求得0.2=e4k，得k=−ln54，然后解指数方程0.25%P0=P0⋅e kt，求得t，则答案可求．【解答】解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P=P0·e kt，∴(1−80%)P0=P0·e4k，得0.2=e4k，即k=−ln54，由0.25%P0=P0·e kt，得ln0.0025=−ln54t，∴t=4ln400ln5=8log520=8(1+2log52)≈14.88．故整数n的最小值为15−4=11．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义及性质、三角形的面积公式的应用，属于中档题．由双曲线的定义可知|PF2|−|PF1|=2，|F1F2|=10，再在△PF1F2中利用由余弦定理可求出∠F1PF2=90∘，从而求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵P是双曲线左支上的点，∴|PF2|−|PF1|=2，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=(|PF2|−|PF1|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|=4+2×48−1002×48=0，∴∠F1PF2=90∘，∴△F1PF2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=12×48=24，故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式和前n 项和公式，属于中档题．根据数列的递推公式即可求出数列{a n }从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，进而求得答案．【解答】解：当n =1时，a 2=2S 1=2a 1=2，当n ≥2时，由a n+1=2S n ，可得a n =2S n−1，两式相减得a n+1−a n =2a n ，所以a n+1=3a n ，且a 2=2≠3.则数列{a n }从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，则a n =2×3n−2(n ≥2)，故a n ={1,n =1,2×3n−2,n ≥2.所以a 2021=2×32019．故选D ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的单调性、最值，考查恒成立问题，属于拔高题．令f(x)=e x −e −x +sin2x ，f(x)在R 上单调递增，不等式在(0,+∞)上恒成立，即e ax −e −ax +sin2ax >e lnx −e −ln x +sin(2lnx)在(0,+∞)上恒成立，即f(ax)>f(lnx)在(0,+∞)上恒成立，即ax >lnx 在(0,+∞)上恒成立，即a >lnx x在(0,+∞)上恒成立，利用导数可得结果．【解答】解：令f(x)=e x −e −x +sin2x ，易得f′(x)=e x +e −x +2cos2x ≥0在R 上恒成立，所以f(x)在R 上单调递增，不等式e ax −x +sin2ax >1e ax −1x +sin(lnx 2)，即e ax −e −ax +sin2ax >e lnx −e −ln x +sin(2lnx)在(0,+∞)上恒成立，即f(ax)>f(lnx)在(0,+∞)上恒成立，即ax >lnx 在(0,+∞)上恒成立，即a >lnx x在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnx x 2，令g′(x)>0，解得0<x <e ，令g ′(x)<0，解得x >e ，故g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g(e)=1e .所以实数a 的取值范围是(1e ,+∞).9.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式，依次对各选项进行判断即可．【解答】解：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T =4(5π12−π4)=2π3，则ω=2πT=3，当x =5π12时，函数y =f(x)取得最小值，则3×5π12+φ=3π2+2kπ(k ∈Z)，得φ=π4+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|<π2，所以k =0，φ=π4，则f(x)=3sin(3x +π4)，当x =−π4时，f(−π4)=3sin(−3π4+π4)=−3，故A 正确，B 错误;将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y =3sin[3(x −π12)+π4]=3sin3x ，故C 正确; 将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到y =3sin[3(x +π12)+π4]=3cos3x ，故D 错误．故选AC ．10.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查二项分布、正态分布的概率计算以及离散型随机变量的期望、方差的性质，属于中档题.由二项分布的概率计算公式可判断A ；根据正态分布的概率计算可判断B ；由离散型随机变量的期望、方差的性质可判断C ;由充要条件的判断和互斥事件与对立事件的关系可判定D . 【解答】解：已知随机变量X ~B (4,13),则E (X )=4×13=43，故A 错误；因为随机变量X ~N (3,σ2),对称轴为X =3,P (X ≤5)=0.85,所以P (X ≤1)=0.15, 所以P (1＜X ≤3)=P (X ⩽3)−P (X ⩽1)=0.5−0.15=0.35,故B 正确; 因为D (2X -3)=4D (X ),故C 错误;充分性:“A 与B 是互斥事件”⇏“A 与B 互为对立事件”,充分性不成立; 必要性:“A 与B 是互斥事件”⇐“A 与B 互为对立事件”,必要性成立.因此“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件,故D 正确. 故选BD .11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了四点共线问题，考查了正方体外接球，考查了点到平面的距离以及直线与平面所成的角，属于中档题．利用线线平行关系可判断A ，求得正方体外接球半径可判断B ，利用空间向量判断CD 即可．【解答】解：正方体中，A 1D//B 1C ，而M ，N 分别为棱A 1D 1，DD 1的中点，则MN//A 1D ，所以B 1C//MN ，所以M ，B 1，N ，C 四点共面.故A 正确；设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的半径为R ，则R =√12+12+122=√32，所以正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积S =4πR 2=3π.故B 错误；以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则C(0,1,0)，C 1(0,1,1)，M(12,0,1)，N(0,0,12)，A 1(1,0,1)，所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,0)，NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12). 设平面MNC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −y =0,n⃗ ⋅NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +12z =0,令x =2，则y =1，z =−2，所以平面MNC 1的一个法向量为n ⃗ =(2,1,−2)．所以点C 到平面MNC 1的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||=23.故C 正确;设直线A 1C 与平面MNC 1所成的角为θ，则sinθ=|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√39.故D 正确．故选ACD ．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质及几何意义，等差数列的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．根据抛物线的性质和定义即可判断AD ；根据等差数列的性质及向量的线性运算可判断B ；根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断C ．【解答】解：过A 作C 的准线的垂线，垂足为A′，则|PA|+|AF|+|PF|=|PA|+|AA′|+√2，|PA|+|AA′|的最小值即为点P 到C 的准线的距离，所以△PAF 周长的最小值为3+√2.故A 正确；因为点P(m,2)是C 上一点，所以4=4m ，解得m =1，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 2,−y 2)，因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1−x 1+1−x 2=0，可得x 1+x 2=2，则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4=2|FP|.故B 正确；若A ，F ，B 三点共线，则直线AB 不可能与x 轴重合，设直线AB 的方程为x =my +1，联立{y 2=4x,x =my +1,整理可得y 2−4my −4=0，Δ=16m 2+16>0，由韦达定理可得y 1y 2=−4，故C 错误;由|AF|+|BF|≥|AB|=8，即x 1+x 2+2≥8，即x 1+x 2≥6，所以AB的中点到y轴距离d=x1+x22≥3，当且仅当A，F，B三点共线时，等号成立，故D正确．故选ABD．13.【答案】2√5【解析】【分析】本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查计算能力，属于基础题．将圆的方程化为标准方程，可得圆心与半径，由垂径定理计算可得．【解答】解：圆x2+y2−8y+6=0化为标准方程为x2+(y−4)2=10，∴圆心坐标为(0,4)，半径为√10，∵圆心到直线2x−y−1=0的距离为√22+(−1)2=√5，∴弦AB的长等于2√10−5=2√5．14.【答案】167【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．根据已知及两角和与差的三角函数公式的计算，得sinθcosθ=716，根据同角三角函数的基本关系的计算，求出tan θ+1tan θ的值．【解答】解：由cos(θ+π4)=√22cosθ−√22sinθ=14，即cosθ−sinθ=√24，两边平方，得sinθcosθ=716，所以tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=167．15.【答案】80【解析】【分析】本题主要考查了排列与排列数公式，分步乘法计数原理的应用，属于基础题．根据已知及排列与排列数公式，分步乘法计数原理的计算，得不同的排法种数为A22×A22×(A42+C41A22)，求出不同的排法共有80种．【解答】解：将语文、数学捆绑视为一本书，考虑左右位置，共有A22种方法;物理、化学放两侧，有A22种排法;最后将英语、生物插入4个空位中的2个或者1个共A42+C41A22种排法．由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A22×A22×(A42+C41A22)=80．16.【答案】√3【解析】【分析】本题考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题．先由面面垂直的性质知AC⊥平面PBC，取PB中点M，连结CM，设AC=2x，可得CM=√a2−x2(0<x<a)然后换元可得三棱锥的体积V(t)=2a2t−2t3，利用导数求最值即可3解得a．【解答】解：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC．设AC=2x，因为PC=BC=a，PB=AC=2x(0<x<a)．取PB中点M，连结CM，M为PB的中点，又PC=BC，所以CM⊥PB，CM=√a2−x2，×2x×√a2−x2=x√a2−x2，所以S▵PBC=12所以V 三棱锥P−ABC =13×(x√a 2−x 2)×2x =2x 2√a 2−x 23．设t =√a 2−x 2(0<t <a)，则x 2=a 2−t 2，所以V 三棱锥P−ABC =V(t)=2t(a 2−t 2)3=2a 2t−2t 33(0<t <a)，所以V′(t)=2a 2−6t 23，令V′(t)=0，得t =√33a ，所以当0<t <√33a 时V′(t)>0，当√33a <t <a 时V′(t)<0，故V(t)在(0,√33a)上单调递增，在(√33a,a)上单调递减．所以当t =√33a 时，V(t)取最大值4√327a 3，此时4√327a 3=43，解得a =√3．17.【答案】解：(1)∵S n+1=S n +a n1+2a n ，a n+1=S n+1−S n ，∴a n+1=a n1+2a n ，即1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n}是首项为1a 1=1，公差为2的等差数列，可得1a n=1+2(n −1)=2n −1，即a n =12n−1．(2)由b n =a n2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n −1−12n +1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题考查数列的递推关系及等差数列通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题． (1)由题意知，1an+1−1a n=2，进一步可得数列{1a n}是以1为首项，公差为2的等差数列，即可求得1a n，从而可得{a n }的通项公式；(2)根据b n =a n2n+1=1(2n−1)(2n+1) ，利用裂项相消法求和即可得数列{b n }的前n 项和T n ．18.【答案】(1)证明：C =π3，c =6，所以csinC =4√3，根据正弦定理得sinA =4√3，sinB =4√3．又1sinA +1sinB =2√6，所以1a 4√3+1b 4√3=2√6，即a +b =√22ab ．(2)解：由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ，由(1)a +b =√22ab ，结合c =6可得(ab)2−6ab −72=0，即(ab −12)(ab +6)=0，解得ab =12或ab =−6(舍去)，所以S △ABC =12absinC =3√3．【解析】本题考查正余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题． (1)由正弦定理可得sinA =a4√3，sinB =b4√3，可得1a 4√3+1b 4√3=2√6，可得结果；(2)由余弦定理得到ab ，再由三角形面积公式可得结果．19.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，AB =√2，所以BD =2.在△SBD中，SD =2，BD =2，SB =2√2，易得SB 2=SD 2+BD 2，所以SD ⊥BD ．因为平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD ∩平面ABCD =BD ，SD ⊂平面SBD ，所以SD ⊥平面ABCD ．又AC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥AC ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥DB.又SD ∩DB =D ，SD ，DB ⊂平面SDB ，所以AC ⊥平面SDB ．又BE ⊂平面SDB ，所以AC ⊥BE ．(2)解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别作为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DE =λ，则D(0,0,0)，A(√2,0,0)，C(0,√2,0)，E(0,0,λ)，所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−λ)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−λ).设平面ACE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则由n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {n ⃗ ⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√2x −λz =0,√2y −λz =0,取z =√2，得n ⃗ =(λ,λ,√2).易知平面ADE 的一个法向量为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)．设二面角C −AE −D 的大小是θ，由图可知θ为锐角，则cosθ=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2λ2+2=√33，解得λ=√2，即DE =√2．【解析】本题考查空间中线线垂直的判定，涉及面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，考查利用空间向量解决二面角的余弦值问题，属于中档题．(1)利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面SDB ，进而得出证明； (2)建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，求解即可．20.【答案】解：(1)每道题的抢答中，记甲得一分为事件M ，∵M 发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错， ∴P(M)=12×45+12×25=35，∴比赛开始，甲率先得一分的概率35.(2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别35，25，设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5，则P(X =3)=(35)3=27125，P(X =4)=C 31(25)(35)3=162625， P(X =5)=C 42(25)2(35)3=6483125，则甲获胜的概率P =P(X =3)+P(X =4)+P(X =5)=21333125.【解析】本题主要考查概率的计算，相互独立事件概率乘法公式，属于中档题． (1)记甲得一分为事件M ，M 发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．(2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别35，25，设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．21.【答案】解：(1)解：|PA|≤|PO|+|OA|≤a +√2=√6+√2，所以a =√6．设C 的焦距是2c ，则ca =√22，解得c =√3，则b 2=a 2−c 2=3，所以C 的方程是x 26+y 23=1；(2)证明： ①当直线PM 斜率不存在时，PM 的方程为x =√2或x =−√2．当x =√2时，P(√2,√2)，M(√2,−√2)，此时OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OM; 当x =−√2时，同理可得OP ⊥OM ； ②当直线PM 斜率存在时，设PM 方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0．因为直线与圆相切，所以√k 2+1=√2，即m 2=2k 2+2，联立{kx −y +m =0,x 26+y 23=1,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．设P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k 2+km ×(−4km1+2k 2)+m 2=3m 2−6k 2−61+2k 2，代入m 2=2k 2+2整理可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OM ，综上，OP ⊥OM ，又PM 与圆O 相切于点N ，所以ON ⊥PM ，易得△PON∽△PMO ，所以|PO ||PM |=|PN||PO |，即|PO|2=|PM|⋅|PN|．【解析】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用，属于较难题． (1)由条件求出a ，b ，即可得椭圆方程；(2)分直线PM 斜率不存在和直线PM 斜率存在两种情况讨论，利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得到OP ⊥OM ，，得△PON∽△PMO ，利用相似三角形的性质即可求证．22.【答案】解：(1)∵f(x)=alnx+x(x>0)∴f′(x)=ax +1=x+ax，当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a<0时，令f′(x)>0，解得x>−a，令f′(x)<0，解得0<x<−a，所以f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增；(2)证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=alnx+x+12x2−(a+2)x+32a=alnx+12x2−(a+1)x+32a，ℎ′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(a>1)，当x>a或0<x<1，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增;当1<x<a，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，不妨设x1<x2，则x1=1,x2=a，ℎ(x1)+ℎ(x2)−72=ℎ(1)+ℎ(a)−72=12−a−1+12a2−a(a+1)+alna+3a−72=−12a2+a+alna−4．令u(a)=−12a2+a+alna−4(其中a>1)，则u′(a)=−a+2+lna，令m(a)=u′(a)，可得m′(a)=−1+1a<0，即u′(a)在(1,+∞)上单调递减，且u′(3)=ln3−1>0，u′(4)= ln4−2<0，故存在a0∈(3,4)使得u′(a0)=0，即2−a0+lna0=0．当a∈(1,a0)时，u′(a)>0，u(a)单调递增;当a∈(a0,+∞)时，u′(a)<0，u(a)单调递减，故当a=a0时，u(a)取得最大值u(a0)=−12a02+a0+a0lna0−4=−12a02+a0+a0(a0−2)−4=12a02−a0−4．因为a0∈(3,4)，结合二次函数的性质可知，u(a0)<u(4)=0，所以ℎ(x1)+ℎ(x2)−72<0，即ℎ(x1)+ℎ(x2)<72．【解析】本题考查利用导数求函数单调区间，证明不等式，属于难题．(1)对函数f(x)=alnx+x求导，对a分类讨论，利用导数f′(x)求单调区间．(2)对ℎ(x)求导，找到极值点x1=1,x2=a，将证明不等式ℎ(x1)+ℎ(x2)<72成立转化为ℎ(x1)+ℎ(x2)−72<0成立，代入极值点，得ℎ(x1)+ℎ(x2)−72=−12a2+a+alna−4，a2+a+alna−4，利用导数求此函数的最值，即可证明结论．再构造新函数u(a)=−12第21页，共21页。

湖北部分重点中学2021届高三第一次联考数学答案(16题答案修正,4页)

第2页
设平面
ABM
的法向量为
n
(x，y，z)
，则
AAMBnn 00，，即
( 3，1，0)( x，y，z)
(0，1，
3)( x，y，z)
0，
即
0，
3x y
y 3z
0，
可取
0，
n
(1，
3，1) ．
设 BD 与平面 ABM 所成的角为，则
sin
cos BD，n
BDn
23
5
．…………………………………12 分
BD n 2 3 5 5
20.解：（1）设 M (x1, y1) ，则由题意知， y1 0 ， A(2, 0) ．
由已知及椭圆的对称性，知 k 1 ，所以 AM 的方程为 y x 2 ．
将 x y 2 代入 x2 y2 1中，得 7 y2 12 y 0 ． 43
所以
y
0或
y
12 7
由19
AM
8 AN
19
，得
3 4k2
8k 3k 2
4
，即 32k 3
57k 2
24k
76
0
,即
(k 2)(32k 2 7k 38) 0 ，
又 k 0 ，所以 32k 2 7k 38 0 ，所以 k 2 ．………………………………………12 分
21.解：由图可知，1000 名高血压患者中：
被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值
200 800 29 100 300 31 50 50 33 29.8 ．
200 100 50 800 300 50
第3页
（2）由（1）及频率分布直方图知，1000 名高血压患者中有 200 100 50 350 人肥胖， 5000 名非高血压患者中有 800 300 50 1150 人肥胖，所以可得如下列联表：

2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试卷及答案

2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.全集,,,则图中阴影部分表示的集合是( )A． B．C．D．2. 从2020年起,某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E,各等级人数所占比例依次为：A等级15%,B等级40%,C等级30%,D等级14%,E 等级1%．现采用分层抽样的方法,从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本,则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A．55 B．80 C．90 D．1103．已知A＝{x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关,初行健步不为难；次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（）A．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里B．此人第六天只走了5里路C．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数,记()32a f -=,()3m b f =,()0.5log 3c f =,则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列,要得到函数()cosg x A x ω=的图象,只需将()f x 的图象（）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位 7．现有某种细胞1千个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律,1小时后,细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000,2小时后,细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000,问当细胞总数超过1010个时,所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477,lg2≈0.301)A ．38小时B ．39小时C ．40小时D ．41小时8. 若1a >,设函数()4x f x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ,则11m n+的取值范围是( )A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2021届高三数学上学期第一次联合调研考试试题文

2021届高三数学上学期第一次联合调研考试试题文考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若，则复数的实部与虚部之和为（）A．12 B．11 C．10 D．63．曲线在点处的切线的方程为（）A．B．C．D．4．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，其历史可以追溯到公元前一世纪。

明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为（）A．B．C．4 D．86．设，，，则（）A．B．C．D．7．已知，是第一象限角，则的值为（）A．B．C．D．8．已知，满足，则的值是（）A．B．C．6 D．9．函数（）的图象可能为（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则点的横坐标为（）A．B．C．D．11．函数（）的图象向左平移个单位长度得到函数，在上有且只有5个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（）①；②；③；④.A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的焦点在直线上，则实数的值为__________．14．已知实数，满足则目标函数的最大值为__________．15．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则周长的值为__________．16．某市民广场有一批球形路障球（如图1所示）。

2021届湖北省重点中学高三上学期第一次联考试数学(理)试题Word版含答案

（2）试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.
21.(本小题满分12分)
某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图:
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
2021届湖北省重点中学高三上学期第一次联考试
数学（理）试题
考试时间：120分钟试卷满分:150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1.集合A = { }，集合B={ }，则
A.( -2,3)B.(-∞,3)C.(-2,2)D.(0,2)
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.（1） ①
②
①－ ②得 4分
（2）
7分
由（1）得为公差为3的等差数列，又由
10分
18.（1）由
由
又
6分
（2）在中，由正弦定理，得
因为M是边BC的中点，所以．
故
12分
解法二：在中，由正弦定理，得
因为M是边BC的中点，所以，，
所以
19.1）连结AC，交BD于O，由于底面ABCD为菱形， O为AC中点
22.已知函数 .
（1）判断函数在区间(0, )上零点的个数；
（2）函数在区间(0, +∞)上的极值点从小到大分别为 ……，证明:
(i) ;
(ii)对一切成立.
2021届湖北省重点中学高三上学期第一次联考试
数学（理）试题参考答案
5.选择题：

湖北山东部分重点中学2021届高三12月教学质量联合检测数学试卷 (1)

{²槡注意事项:湖北山东部分重点中学*0*¹届高三¹*月教学质量联合检测数学试题¹·答题前,考生先将自己的姓名¸考生号¸座号填写在相应位置,认真核对条形码上的姓名¸考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上(²·选择题答案必须使用²B铅笔(按填涂样例)正确填涂;非选择题答案必须使用◇·’毫米黑色签字笔书写,字体工整¸笔迹清楚(³·请按照题号在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸¸试题卷上答题无效(保持卡面清洁,不折叠¸不破损(一˛单项选择题:本大题共8小题,每小题’分,共4◇分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的·¹·已知集合T={⁄*R¦¥=槡¯⁄²+²⁄+³},’={⁄*²¦¯²<⁄<²},则T M’=() A·‡¯¹,²)B·(²,³‡³·{¯¹,¹}D·{¯¹,◇,¹}²·已知直线’¹:’⁄+²¥¯³=◇,’²:(’¯¹)⁄+’¥+³=◇,则“’²+²’+¹=◇”是“’¹†’²”的() A· 充分不必要条件B·必要不充分条件³· 充要条件D·既不充分也不必要条件²⁄²¯a²4槡’=¹(a>◇,4>◇)的两条渐近线的斜率之积等于¯4,则双曲线³的离心率为()槡¹◇A·B·’³·²²D·槡¹◇4·下列关于⁄,¥的关系中为函数的是() A·¥=槡⁄¯4+槡³¯⁄B·¥²=4⁄⁄,⁄“¹³·¥=¹¯²⁄,⁄“¹D·’·已知a=(¹)¹·¹,4=¹Oå4²,‹=¹Oå’³,则a,4¸‹的大小关系为()A·a>‹>4B·a>4>‹³·‹>a>4D·‹>4>a4·在A A B³中,已知B³=²,A¯*³+A¯*B=A¯*³¯A¯*B,³O³²³+²³f i¹²A+B,则B¯*A•B¯*³=()¦¦¦¦²=¹A·¹B·³³·²D·²槡³’·已知数列{a}的前n项和为*,若对任意的正整数n,都有a“*,则称{a}为“和谐数列”,若数列{a¹}为“和谐数n n n+¹n n²n¯¹列”,则a¹的取值范围为() A·(¯¹,+8)B·‡◇,+8)³·(◇,+8)D·(¹,+8)8·已知在正三棱锥A¯B³D中,E为A D的中点,A B†³E,则正三棱锥A¯B³D的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为( )4+槡³²+槡³³+槡³³+槡³A·4¬B·4¬³·4¬D·4¬已知双曲线:³·²¥⁄¹²³4¥◇◇¯4¹¹12’4 {n 二 ˛多项选择题 :本大题共包括 4小题 ,每小题 ’分 ,共 ²◇分 ·在每小题给出的选项中 ,至少有两个选项符合题意 ,全对得 ’分 ,漏选得 ³分 ,选错不得分 · 9·若复数 >满足 >(¹¯²f i )=¹◇,则 ()A ·>=²¯4fiB ·>¯²是纯虚数³·复数 > 在复平面内对应的点在第三象限 D ·若复数 >在复平面内对应的点在角 a 的终边上 ,则 ³f i ¹a =槡’ ¹◇·如图正方体 A B ³D ¯A ¹B ¹³¹D ¹,取正方体六个面的中心 *,H ,T ,’,E ,¹ 将其连接起来就得到了一个正八面体 ,下面说法正确的是( ) A ·E H K 平面 ¹T ’B ·E T 与平面 *H T ’ 所成角为 ¬ )³·平面 ¹T ’†平面 ¹*HD ·平面 ¹H T K 平面E *’)¹¹·设角 a 的顶点与坐标原点 O 重合 ,始边与 ⁄轴的非负半轴重合 ,它的终边与单位圆交点为 P (a ,4)·记 a =L (a ),4= å(a ),则下列命题正确的是 ( )aA ·’Q ¹a = )4B ·a =L (a )为偶函数 ,4=å(a )为奇函数 ³·L (a )¯å(a )与 L (a )+å(a )的最大值均为槡² )D ·L (a )¯å(a )与 L (a )+å(a )在区间 ‡¯¬,¬‡均为单调递增函数 4 4 e ⁄¯¹,⁄“m¹²·已知函数 L (⁄)=(m *R ,e 为自然对数的底数 ),则 ( )¯⁄²¯4⁄¯4,⁄<mA ·函数 L (⁄)至多有 ²个零点 B ·函数 L (⁄)至少有 ¹个零点 )³·当 m <¯³时 ,对 6⁄ >⁄ ,总有 L (⁄¹)¯L (⁄²) ◇成立¹ ²⁄ ¯⁄ <²¹D ·当 m =◇时 ,方程 L ‡L (⁄)‡=◇有 ³个不同实数根 )三 ˛填空题 :本大题共 4小题 ,每小题 ’分 ,共 ²◇分 ·¹³·已知圆 ⁄²+¥²=4上恰有 ³个点到直线 ’:¥=⁄+4的距离为 ¹,则实数 4= · ¹4·学数学的人重推理爱质疑 ,比如唐代诗人卢纶 1塞下曲 2:“月黑雁飞高 ,单于夜遁逃 (欲将轻骑逐 ,大雪满弓刀 (”这是一首边塞诗的名篇 ,讲述了一次边塞的夜间战斗 ,既刻画出边塞征战的艰苦 ,也透露出将士们的胜利豪情 (这首诗历代传诵 ,而无人提出疑问 ,当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维 ,发现了此诗的一些疑点 ,)并写诗质疑 ,诗云 :“北方大雪时 ,群雁早南归 (月黑天高处 ,怎得见雁飞 ?”但是 ,数学家也有许多美丽的错误 ,如法国数学家费马于 ¹44◇年提出了以下猜想 ¹ =²²n+¹(n =◇,¹,²,…)是质数 ,直到 ¹’³²年才被善于计算的大数学家欧拉)算出 ¹ =44¹*4’◇◇4¹’,不是质数 ·现设 a =¹O å ‡¹O å (¹¯¹)‡(n =¹,²,…),4 = ¹ ,则表示数列 {4 }的前 n ’ 项和 *n =· n ² ² n n a n (a n +¹) n¹’·已知抛物线 ¥²=²4⁄(4>◇)的焦点为 ¹(¹,◇),过点 ¹ 的直线交抛物线于 A ,B 两点 ,且 ²A ¯*B =¯³¹¯*A ,则抛物线的准线方程为 ;¦B ¹¦的值为 ·(本题第一空 ²分 ,第二空 ³分 ) ¹4·如图 ,树顶 A 离地面 a 米 ,树上另一点 B 离地面 4 米 ,在离地面 ‹米的 ³ 处看此树 ,则距离此树米时 ,看 A ¸B 的视角 (²A ³B )最大 ·(结果用 a ,4,‹表示 )3四 ˛解答题 :本大题共 4小题 ,共 ’◇分 ,解答应写出文字说明 ˛证明过程或演算步骤 · ¹’·(本题满分为 ¹◇分 )在 A A B ³ 中 ,它的内角 A ,B ,³ 的对边分别为 a ,4,‹,且满足 ³f i ¹²(B +³)¯³f i ¹²B ¯³f i ¹²³+³f i ¹B ³f i ¹³=◇·再从条件 © 条件 © 这两个条件中选择一个作为已知 , 求 : (I )a 的值 ; (#)A AB ³ 的面积 ; 条件 ©:‹=4,a +4=4+²槡’; 条件 ©:4=4,³f i ¹(³¬ B )=¯槡’²¯ · (注 :如果选择多个条件分别解答 ,按第一个解答计分 ·)¹8·(本题满分为 ¹²分 )近年来 ,中美贸易摩擦不断 ,美国对我国华为百般刁难 ,并拉拢欧美一些国家抵制华为 ’*,然而这并没有让华为却步 (今年 ,我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力 ,计划在 ²◇²◇年利用新技术生产某款新手机 ·通过市场分析 , 生产此款手机全年需投入固定成本 ²’◇ 万元 ,每生产 ⁄ 千部手机 ,需另投入成本 R (⁄)万元 ,且 R (⁄)= ¹◇⁄²+¹◇◇⁄,◇<⁄<4◇, ‘ 由市场调研知 ,每部手机的售价为 ◇·’ 万元 ,且全年内生产的手机当年能全部销 <’◇¹⁄ ¹◇◇◇◇ ,⁄“4◇,L+ ⁄ ¯94’◇售完 ·(I )求 ²◇²◇年的利润 * (⁄)(万元 )关于年产量 ⁄(千部 )的函数关系式 (利润 =销售额 ¯成本 )· (#)²◇²◇年产量为多少时 ,企业所获利润最大 ? 最大利润是多少 ?¹9·(本题满分为 ¹²分 )已知圆台 O ¹O ²,轴截面 A B ³D ,圆台的上底面圆半径与高相等 ,下底面圆半径为高的两倍 ,点 E 为下底圆弧 ³D 的中点 ,点 ’ 为上底圆周上靠近点 A 的 A ˆB 的四等分点 ,经过 O ¹¸O ²,’ 三点的平面与弧 ³D 交于点 T ,且 E ,T ,’ 三点在平面 A B ³D 的同侧 ·(I )判断平面 O ¹O ²T ’ 与直线 ³E 的位置关系 ,并证明你的结论 ; (#)P 为上底圆周上的一个动点 ,当四棱锥 P ¯A B ³D 的体积最大时 ,求异面直线 ³P 与 D B 所成角的余弦值 ·44 ²◇·(本题满分为 ¹²分 )已知 {a n }是等差数列 ,其前 n 项和为 *n ,{4n }是正项等比数列 ,且 a ¹+4¹=³,4¹=²a ¹,a ³+4³=¹³,*’¯³4³=¹· (I )求数列 {a n }与 {4n }的通项公式 ; (#)若 ‹n =a n +(¯¹)n ,记 T n =‹¹4¹+‹²4²+…+‹n 4n ,n *’*,求 T n ·²¹·(本题满分为 ¹²分 ) :⁄² ¥²() : , ,¹已知椭圆 ³ a²+ ²=¹a >4>◇ 与直线 ’¥=¹¯⁄ 交于 P 8 两点过原点 O 与线段 P 8 中点 E 的直线的斜率为 ²·(I )求椭圆 ³ 的离心率 ; , (#)若椭圆 ³ 的短轴长为 ²槡²,点 A 为长轴的右顶点 ,求 A A P 8 的面积 ·²²·(本题满分为 ¹²分 )已知函数 L (⁄)=a e a ⁄¯槡⁄(a >◇)有两个零点 ⁄¹¸⁄²,且 ⁄¹<⁄²·(I )求 a 的取值范围 ; (#)设函数 L (⁄)的极值点为 ⁄◇,证明 :² 槡⁄¹+⁄◇>²·。

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题：“现有刍甍，下宽 3 丈，长 4 丈；上长 2 丈，无宽，高 1 丈．问：
1
有体积多少？”本题中刍甍是如图所示的几何体 EF − ABCD ，底面
ABCD 是矩形， AB // EF , AB = 4 , AD = 3, EF = 2，直线 EF
到底面 ABCD 的距离 h = 1，则该几何体 EF − ABCD 的体积是
.
4
在① a = 2 ，② b =
13
，③ ABC
的面积为
9 39 16
．这三个条件中任选一个，补在上面条件
中，若问题中三角形存在，求 ABC 的周长；若问题中三角形不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本题满分 12 分）
于 P, Q 两点（异于 A, B ），若直线 AP 和 BQ 的交点为 N ，记直线 MN 和 AP 的斜率分别为
k1, k2 ，则 k1 : k2 = A． 1
3
B．3
C． 1 2
D．2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
5．已知等差数列{an}对任意正整数 n 都有 an − 2an+1 + 3an+2 = 6n + 8 ，则 a2 =
A．1
B．8
C．5
D．4
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个数学问
确的有
A．异面直线 DE 与 A1C 所成的角可以为 90°
2
B．二面角 D − A1E − C 可以为 90°
C．直线 MB 与平面 A1DE 所成的角为定值
D．线段 BM 的长为定值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 f (x) = 2 − x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为
9．设 a 0, b 0，则下面不等式中恒成立的是
A． a2 + b2 +1 a + b
C．
1
2 +
1
ab
ab
B． | a − b | a − b D． 1 + 1 4
a b a+b
10．某一池溏里浮萍面积 y （单位： m2 ）与时间 t （单位：月）的关系为 y = 2t ，下列说法中正确
A．5
B．10
C．15
D． 5 2
7．某学校的某班级将 5 名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼，每个村至少分配一位同学，
则甲村恰好分配 2 位同学的概率为
A． 3 5
B． 2 5
C． 1 5
D． 4 5
8．已知椭圆 C :
x2 4
+
y2 2
= 1的左右顶点分别为
A,
B ，过
x
轴上点 M (−4, 0) 作一直线 PQ与椭圆交
16．若 x 0, 1 时，关于 x 不等式 ax3eax + 2ln x 0 恒成立，则实数 a 的最大值是
.
e
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分 10 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 B = 2A, c = 9 a =
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设集合 A = {x | x2 − x − 2 0} , B ={x | | x |1}, 则 A B =
A．{x | −1 x 1} B．{x | −1 x 1} C．{x | −1 x 1}
2． −1+ 3i = 1−i
A．1 + 2i
B． 2 − i
C． − 2 + i
3．已知向量 a, b 满足| a − b |= 3, | a + 2b |= 6 , | a |= 2 ，则| b |=
D．{x | −1 x 1} D．1 − 2i
湖北省“大课改大数据大测评”2021 届高三第一学期联合测评
数学
本试题卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
的说法是 A．浮萍每月增长率为 1
B．第 5 个月时，浮萍面积就会超过 30m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到 2m2, 3m2, 6m2 所经过时间分别为 t1, t2, t3 ，则 t1 + t2 = t3
11．下列函数是奇函数，且在 [−1, 1] 上单调递增的是
A． f (x) = sin x
B． f (x) = − | x +1|
C．
f
(x)
=
ex
− e−x 2
D． f (x) = sin x + cos x + 6 3
12．如图，已知平行四边形 ABCD 中， BAD = 60 , AB = 2AD, E 为边 AB 的中点，将 ADE
沿直线 DE 翻折成 A1DE . 若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折的过程中，下列命题正
.
2+ x
14．已知直线 MN
:
y
=
1 3
x
+ 2 和双曲线 C :
x2 9
−
y2 4
= 1相交于 M ,
N
两点，O 为原点，则 OMN
面积为
.
15．如图，已知 M (0, 2) ,
N 1 +
3 2
,
3 2
为圆
P
:(x
− 1)2
+
(y
−
2)2
= 1上两点，又
A(−1,
0)
,
B(2, 0)
为 x 轴上两个定点，则由线段 AM , AB, BN ，劣弧所围成的阴影部分的面积____．
A． 5
B． 6

C． 2 2
D． 2 3
4．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第 n 月的从事旅游服
务工作的人数 f (n) 可以近似用函数 f (n) = 3000cos n + 2 + 4000来刻画（其中正整数 n 6 3
表示一年中的月份）．当该地区从事旅游服务工作人数在 5500 或 5500 以上时，该地区也进入了