数的开方

第一讲 数的开方

一、【基础知识精讲】

（一）无理数的概念

无理数：无限不循环小数叫做无理数. （二）平方根

1.平方根: 如果x 2

＝a （a ≥0），那么x 叫做a 的平方根.

2.平方根的表示方法：① 当a>0时，a 的平方根记为±a ； ② 当a ＝0时，a 的平方根是a ，即0＝0； ③ 当a<0时，a 没有平方根.

3.平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根.

4.算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ； ②0的算术平方根是0.

5.算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.

6.开平方：①求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数；

②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算.

7. ① (a )2

＝a ，(a ≥0)；

②

.........(0)0.........(0)......(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩

（三）立方根

1.立方根的概念：若a x =3

，则x 叫做a 的立方根，记作3a .

2.立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数； ②零的立方根是零，记作003=； ③负数有一个立方根，仍为负数.

3.开立方：①求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫被开方数；

②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算. 4． ①33a a -=- (a>0)； ②a a =33)(； ③a a =)(33

二、【例题精讲】

A 组

（一）平方根与立方根的性质 例1、判断下列说法是否正确 ① ±6的平方根是36；( ) ② 1的平方根是1；( ) ③ －9的平方根是±3；( )

④ 19361±=； ( )

⑤ 9是2

)9(-的算术平方根；( ) ⑥ |－16|的平方根是±4；( ) ⑦ －5是25的平方根；( )

⑧ －π是2

π-的平方根．( )

变式1：下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）2

a 的算术平方根是a ；（4）2

(4)π-的算术平方根是4π-；（5）算术平方根不可能是负数， 正确的个数有 个. 变式2：（1）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是 ；

（2） 的算术平方根等于它的平方根. （3）下列各数：－2，（－3）2

，｜－0.5｜，32，0，－（－14

1），其中有平方根的有 个. 例2、下列说法中正确的是（ ）

A. －4没有立方根

B. 1的立方根是±1

C.

36

1的立方根是61

D. －5的立方根是35-

变式1：在下列各式中：327102 =3

4，3

001.0=0.1，301.0 =0.1，－33)27(-=－27，其中正确的个数

是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

变式2：下列说法中，正确的是（ ）

A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数

B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数

C. 负数没有立方根

D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1

例3、（1）若2a ＝2，则a ＝ ；若x=（35-）3

，则1--x = ．

（2）若x x -+

有意义，则1+x 的值是 ；若81-

x ＋x -8

1

有意义，则3x = ；

（3）（2012江苏）已知x 、y 都是实数，且4y =，则x

y 的平方根是 .

（4）若m<0，则m 的立方根是（ ） A.3m

B.－ 3m

C.±3m

D. 3m -

（5）如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ）

A. x<6

B. x=6

C. x ≤6

D. x 是任意数

（二）开方运算 例4、（1）求下列各数的平方根和算术平方根： 1）169； 2）2

2514； 3）10－2； 4）|－29

7|； 5）172－82．

（2）求下列各数的立方根：

1）512； 2）－0.729； 3）27

10

2-； 4）6

变式：（1）

121

4的平方根是 ； （2）(－41)2

的算术平方根是 ；

（3）9-2

的平方根是 ； （4）(－4)3

的相反数的倒数的平方根是 ； （5）4等于 ，4的平方根为 ；

（6）9的平方根是 ，81的算术平方根是 .

（三）开方的应用 例5、计算下列各题

（1）2

2

5)12(+-； （2）2

)7(-； （3）9005

136.031+； （4）81

4

24.3⨯； （5）3973.01-； （6）81643-.

例6、求下列各式中的x

（1）9（x 2＋1）＝34； （2）（3x －1）2＝25； （3）125x 3

=8；

（4）(－2+x)3=－216； （5）32-x =－2； （6）27(x+1)3

+64=0.

三、【拓展练习】

B 组

一、填空题

1. 若22

(5),5a b =-=-，则a b +的所有可能值为 .

2.设x 是16的算术平方根，2

(2)y =-，则x 与y 的关系是 .

3.4=，则（x+13）的立方根是 .

4.若3x+16的立方根是4，则2x+4的平方根是 .

5.当a<0可化简为 .

6.△ABC 的边长分别是1，k ，3则化简723k -的结果是 二、解答题

1.已知2

9160y -=，且y 是负数，求3y+5的算术平方根.

2.若实数a 、b 、c 满足23(5)0a b -++=，求代数式a

b c

+的值.

3.已知643+a +|b 3

－27|=0，求(a －b)b

的立方根.

4.x+y 的平方根.