(数学建模)小行星的轨迹问题

问题15 小行星的轨迹问题

一 、问题

一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道

平面内建立以太阳为远点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787*10^11m ），在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表2.15.1. 表2.15.1

由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，现需要建立椭圆的方程以供研究。（注：椭圆的一般方程可表示为

012225423221=+++++y a x a y a xy a x a ）。

二、实验目的

利用5个点确定二次曲线的一般方程，并求出椭圆的重要参数。

三、预备知识

线性代数方程组理论，椭圆的有关概念及性质。

四、实验内容与要求

1.用表中5个点的坐标数据分别代入椭圆的一般方程可建立5

个方程的线性代数方程组，该方程组的系数矩阵为A ，右端项为b ，这里，

21x 112y x 21y 12x 12y -1

22x

222y x 2

2y 22x

22y -1

A= 23

x 332y x

23y

32x 32y b= -1

2

4x 442y x

24y 42x 42y -1 25x 552y x 2

5y 52x

52y -1

试依据题目所给的5个点的坐标，用计算机计算出矩阵的A 的5*5个数据。

2.利用Matalb 指令A\b 求解5元线性代数方程组，写出椭圆

方程

012225423221=+++++y a x a y a xy a x a 中的

5个待定系数

5

4321,,,,a a a a a 及小行星多所对应的曲

线方程。 3.写出曲线表达式中系数所对应的二阶矩阵和三阶矩阵：

1a

2a 1a 2a 3a

C= D= 2a 3a 5a

2a 3a 4a 5a 1

并利用Matlab 指令eig （C ）求出矩阵C 的特征值，记录数据

=1λ（ ） ，

=2λ（ ）

利用Matlab 指令det （D ）计算二阶导数和三阶行列式的值；

=C （

） ， =D （ ）

4.利用公式计算椭圆的下列参数：

长半轴：a=C

D

1λ=（ ）， 短半轴：b=

C

D

2λ=（ ），

办焦距：c=22b a -=（ ）， 写出椭圆标准方程（ ），

5：利用上面的椭圆有关数据求出小行星轨道的参数：

小行星的近日点距离：h=a-c=（ ）， 小行星的远日点距离：H=2c+h=（ ）， 椭圆轨道周长近似值：L ≈π

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+ab b a )(23=（ ）

6．*试在Matlab 环境下利用参数方程： x=acos(t) (t ∈[0, 2π]) y=bsin(t)

绘制出以椭圆中心为原点的椭圆图形（图2.15.1）

图2.15.1

五．思考问题

你能否利用定积分求弧长公式推导出椭圆的周长公式？如果你所得到的是一个定积分表达式，利用这一表达式计算小行星轨道的椭圆周长。

实验15 小行星的轨道问题

一． 问题分析与建立模型

天文学家确定小行星运行的轨道时，他的依据是轨道上五点的坐标数据（x 1,y 1）,(x 2,y 2) ,(x 3,y 3) ,(x 4,y 4) ,(x 5,y 5) 由开普勒大一定律知，小行星轨道为一椭圆，而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为f （x j ，y j ）=0，或a 1x 2+2a 2xy+a 3y 2+2a 4x+2a 5y+1=0.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 f （x j ，y j ）=0 ， （j=1,2,3,4,5） 即

1222

1514213112211-=++++y a x a y a y x a x a

122225242

23222221-=++++y a x a y a y x a x a 12223534233332231-=++++y a x a y a y x a x a 12224544243442241-=++++y a x a y a y x a x a 12225554253552251-=++++y a x a y a y x a x a

这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵形式

21x 112y x 21y 12x 12y a 1 -1

22x

222y x 2

2y 22x 22y a 2 -1

23

x 332y x

23y

32x 32y a 3 = -1

2

4x 442y x

24y 42x 42y a 4 -1 25x 552y x 2

5y 52x

52y a 5 -1

求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程，为了指导小行星轨道的一些参数，还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方

程形式：

122

22=+b

y

a x 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点，这是可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴

b 计算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L

根据二次曲线理论，课的椭圆经过旋转和平移两种变换后的

方程如下：

2

221=+

+C

D y x λλ

所以，圆长半轴：C

D

a 1λ= ；椭圆短半轴：b=

C

D

1λ；椭圆的半焦

距：c=22b a -。

二，计算过程

首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵，用

Matlab 的指令求解线性代数方程组。 程序2.17.1.

x=[5.764 6.286 6.759 7.168 7.408] ′; y=[0.648 1.202 1.823 2.526 3.360] ′; b=[-1 -1 -1 -1 -1] ′;