函数的二阶不动点问题的研究与拓展

专题：函数的二阶不动点问题的研究与拓展

定义：一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =

（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；

（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点； 探究1: 若(){}|A x f x x ==,()(){}|B x f

f x x ==, 两集合之间的关系如何？

探究2: 若()y f x =有唯一稳定点，试探究()f x 是否有唯一不动点？

探究3: 若()f x 是D 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，试探究0x 是否为函数的不动点？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.

研究1：（2013年高考四川卷文科题改编）设函数()f x x a =

-（a R ∈）,若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是__________

研究2：若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且它的稳定点恰是它的不动点，则实数a 的取值范围为__________

研究3：（2013年江西高考数学压轴题）已知函数1()(12)2

f x a x =--，a R ∈且0a > （1）证明：函数()f x 的图像关于直线12

x =对称； （2）若0x 满足00(())f f x x =, 但00()f x x ≠，则0x 称为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定实数a 的取值范围.

探究4: 能否给出一阶不动点的几何解释？

探究5: 能否给出二阶不动点的几何解释？

探究6: 基于上述认识，能否给出2013年江西高考数学压轴题的优化方法？