312用二分法求方程近似解48875
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312用二分法求方程近似解48875
3.1.2用二分法求 方程的近似解
问题:
有16个大小相同,颜色相同的金币，其中有 15个金币是真的，有一个质量稍轻是假的。用
. . 天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
模拟实验室
模拟实验室 我在这里
模拟实验室
知识探究 问题：如 何 求 函 数 f( x ) l n x 2 x 6 的 零 点 ？
思考1：有何办法可以使零点所在范围 （区间）越来越小？
为了方便，我们通过取中点的方法 逐步缩小零点所在的范围（区间）。
一般地，我们把x a b 称 2
为区间(a,b)的中点.
f(x)lnx2x6
2.5
2
2.6252.75
3
思考2：按照上述思路，即不断地 “取中点”—判断—”取中点“—判 断后，在f(x 求) 函ln 数x2x6精确到0.1的零
点近似值时，何时停止“取中点”？
精 确 度 设： 经过有限次 “取中点—判断—取中点—
判间断内精 ”的确 后任度 ，何为 得一， 到个是 区 值指 间 都在 (是计 a,算 零b过 )点程 的.若中 满a|零 足点 b精落 在 确|<期 0度.间 01.,则a1,的b区上 ，
所以，原方程的近似解为1.4375（或1.375）
体验升华
口诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办?
中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其 中不能用二分法求其零点的是（ C ）
y
y
x
x
0
0
A
B
y
y
x
x
0
0
C
D
生活的数学
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥 部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多 。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有 200根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎 样工作最合理？(每50米一根电线杆)。
则 得 到 零 点 的 近 似 值 a (或 b ） ; 否 则 重 复 2 4.
课堂练习：
1、借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 3x7 的近似解（精确度0.1）.
解：原方程即：2x3x70,令 f ( x ) 2 x 3 x 7 ， f( 1 ) 2 ,f( 2 ) 3 , 零 点 x 0 ( 1 ,2 )
理论依据：
逐步逼近
零 点 存 在 性 定 理 ：
如 果 函 数 yf(x)在 区 间 a,b上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ，
且 f(a)f(b)0,那 么 函 数 y=f(x)在 区 间 a,b内 有 零 点 ， 即 存 在
ca,b,使 f(c)0， c就 是 方 程 f(x)0的 根 .
所以函数零点的近似值为: 2.5625或2.5
二.给定精确度ε，用二分法求函数 f(x)零点近似
值的步聚如下：
1 . 确 定 区 间 a , b , 验 证 f ( a ) f ( b ) 0 , 给 定 精 确 度 ；
2.求 区 间 a,b的 中 点 c;
3.计算f (c); ( 1 ) 若 f( c ) 0 ,则 c 就 是 函 数 的 零 点 ；
二分法的定义：
对 于 在 区 间 a ,b 上 连 续 不 断 且 f(a )f(b ) 0 的 函 数
y f(x ),通 过 不 断 的 把 函 数 f(x)的 零 点 所 在 区 间
一 分 为 二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 零 点
， 进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 做 二 分 法 .
次数 a b
2
1
2.5
2
2.75
3 2.625
4
2.5625
f (a b) 2
-0.084 0.512 0.215 0.066
零点所在区间
(2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625)
区间长度： ab
0.5
0.25
0.125 0.0625
注 意 ： 2 .5 6 2 5 - 2 .5 = 0 .0 6 2 5 < 0 .1 ,计 算 可 以 终 止 .
近若 似区 值间 .的 为长 方度 便： a，统b一取,则 区认 间为 端已 点达 a到 (了 或所 b给 ）作的 为精 零确 度 。
点的近似值.
给定 0 .1 ， 精 fx 求 确 ln x 2 度 x 6 零2 点 ， 3
近.似 初 始 区 间 值 ( 2 , 3 ) , 且 f ( 2 ) < 0 , f ( 3 ) > 0
次数 a b
2
1 1.5
f (a b) 2
0.328
零点所在区间 (1，1.5)
区间长度：
ab
0.5
2 1.25
-0.872 （1.25,1.5）
0.25
3 1.375
-0.281
(1.375,1.5)
0.125
4 1.4375 0.020 (1.375,1.4375) 0.0625
由 于 1 .3 7 5 -1 .4 3 7 5= 0 .0 6 2 5 < 0 .1 ,
意为止 .
逐步逼近
知识回顾
零 点 存 在 性 定 理 ：
如 果 函 数 yf(x)在 区 间 a,b上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ，
且 f(a)f(b)0,那 么 函 数 y=f(x)在 区 间a,b内 有 零 点 ， 即 存 在 ca,b,使 f(c)0， c就 是 方 程 f(x)0的 根 .
( 2 ) 若 f ( a ) f ( c ) 0 , 则 零 点 x 0 ( a , c ) ;
令 b c ,则 区 间 为 (a ,b )
( 3 ) 若 f ( c ) f ( b ) 0 , 则 零 点 x 0 ( c , b ) ;
令 a c ,则 区 间 为 (a ,b )
4 .判 断 是 否 达 到 精 确 度 ： 即若ab ,
模拟实验室 我在这里
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我在这里
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模拟实验室
哦，找到 了啊！
用天平称 4 次就可以找出这个假币.
启示
Hale Waihona Puke Baidu
要找出 假金币 ，尽量将假金币 所在的范围尽量
的缩小，我们通过 不断地 “ 平分 ” “锁定”、“、
汰” 的方法逐步缩小 假金币 所在的淘范围 ，直到满
3.1.2用二分法求 方程的近似解
问题:
有16个大小相同,颜色相同的金币，其中有 15个金币是真的，有一个质量稍轻是假的。用
. . 天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
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知识探究 问题：如 何 求 函 数 f( x ) l n x 2 x 6 的 零 点 ？
思考1：有何办法可以使零点所在范围 （区间）越来越小？
为了方便，我们通过取中点的方法 逐步缩小零点所在的范围（区间）。
一般地，我们把x a b 称 2
为区间(a,b)的中点.
f(x)lnx2x6
2.5
2
2.6252.75
3
思考2：按照上述思路，即不断地 “取中点”—判断—”取中点“—判 断后，在f(x 求) 函ln 数x2x6精确到0.1的零
点近似值时，何时停止“取中点”？
精 确 度 设： 经过有限次 “取中点—判断—取中点—
判间断内精 ”的确 后任度 ，何为 得一， 到个是 区 值指 间 都在 (是计 a,算 零b过 )点程 的.若中 满a|零 足点 b精落 在 确|<期 0度.间 01.,则a1,的b区上 ，
所以，原方程的近似解为1.4375（或1.375）
体验升华
口诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办?
中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其 中不能用二分法求其零点的是（ C ）
y
y
x
x
0
0
A
B
y
y
x
x
0
0
C
D
生活的数学
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥 部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多 。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有 200根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎 样工作最合理？(每50米一根电线杆)。
则 得 到 零 点 的 近 似 值 a (或 b ） ; 否 则 重 复 2 4.
课堂练习：
1、借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 3x7 的近似解（精确度0.1）.
解：原方程即：2x3x70,令 f ( x ) 2 x 3 x 7 ， f( 1 ) 2 ,f( 2 ) 3 , 零 点 x 0 ( 1 ,2 )
理论依据：
逐步逼近
零 点 存 在 性 定 理 ：
如 果 函 数 yf(x)在 区 间 a,b上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ，
且 f(a)f(b)0,那 么 函 数 y=f(x)在 区 间 a,b内 有 零 点 ， 即 存 在
ca,b,使 f(c)0， c就 是 方 程 f(x)0的 根 .
所以函数零点的近似值为: 2.5625或2.5
二.给定精确度ε，用二分法求函数 f(x)零点近似
值的步聚如下：
1 . 确 定 区 间 a , b , 验 证 f ( a ) f ( b ) 0 , 给 定 精 确 度 ；
2.求 区 间 a,b的 中 点 c;
3.计算f (c); ( 1 ) 若 f( c ) 0 ,则 c 就 是 函 数 的 零 点 ；
二分法的定义：
对 于 在 区 间 a ,b 上 连 续 不 断 且 f(a )f(b ) 0 的 函 数
y f(x ),通 过 不 断 的 把 函 数 f(x)的 零 点 所 在 区 间
一 分 为 二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 零 点
， 进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 做 二 分 法 .
次数 a b
2
1
2.5
2
2.75
3 2.625
4
2.5625
f (a b) 2
-0.084 0.512 0.215 0.066
零点所在区间
(2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625)
区间长度： ab
0.5
0.25
0.125 0.0625
注 意 ： 2 .5 6 2 5 - 2 .5 = 0 .0 6 2 5 < 0 .1 ,计 算 可 以 终 止 .
近若 似区 值间 .的 为长 方度 便： a，统b一取,则 区认 间为 端已 点达 a到 (了 或所 b给 ）作的 为精 零确 度 。
点的近似值.
给定 0 .1 ， 精 fx 求 确 ln x 2 度 x 6 零2 点 ， 3
近.似 初 始 区 间 值 ( 2 , 3 ) , 且 f ( 2 ) < 0 , f ( 3 ) > 0
次数 a b
2
1 1.5
f (a b) 2
0.328
零点所在区间 (1，1.5)
区间长度：
ab
0.5
2 1.25
-0.872 （1.25,1.5）
0.25
3 1.375
-0.281
(1.375,1.5)
0.125
4 1.4375 0.020 (1.375,1.4375) 0.0625
由 于 1 .3 7 5 -1 .4 3 7 5= 0 .0 6 2 5 < 0 .1 ,
意为止 .
逐步逼近
知识回顾
零 点 存 在 性 定 理 ：
如 果 函 数 yf(x)在 区 间 a,b上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ，
且 f(a)f(b)0,那 么 函 数 y=f(x)在 区 间a,b内 有 零 点 ， 即 存 在 ca,b,使 f(c)0， c就 是 方 程 f(x)0的 根 .
( 2 ) 若 f ( a ) f ( c ) 0 , 则 零 点 x 0 ( a , c ) ;
令 b c ,则 区 间 为 (a ,b )
( 3 ) 若 f ( c ) f ( b ) 0 , 则 零 点 x 0 ( c , b ) ;
令 a c ,则 区 间 为 (a ,b )
4 .判 断 是 否 达 到 精 确 度 ： 即若ab ,
模拟实验室 我在这里
模拟实验室
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模拟实验室
我在这里
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哦，找到 了啊！
用天平称 4 次就可以找出这个假币.
启示
Hale Waihona Puke Baidu
要找出 假金币 ，尽量将假金币 所在的范围尽量
的缩小，我们通过 不断地 “ 平分 ” “锁定”、“、
汰” 的方法逐步缩小 假金币 所在的淘范围 ，直到满