工科数学分析习题

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工科数学分析试卷+答案

工科数学分析试卷+答案

工科数学分析试题卷及答案考试形式(闭卷):闭 答题时间:150 (分钟) 本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题(每题2分,共20分)1.---→xx x x sin 11lim 30 3-2.若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续,则a 3- 3.设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ,则 =a 1 , =b 0 4.用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义: εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5.若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小,则=a61=b21=c 1 6.设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000,则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值? 答: 极小值姓名: 班级: 学号:遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范7.设x x y +=,则dydx x)211(+⋅8.设x x y sin =,则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9.⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10.⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题:(每题2分,共20分)1.设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ,则必有( D )(A )d b 4=;(B )c a 4-=;(C )d b 4-=;(D )c a 2-= 2.设9320:0<<>k x ,则方程112=+x kx 的根的个数为( B )(A )1 ;(B ) 2 ; (C ) 3 ; (D )03.设)(x f 连续,且0)0(>'f ,则存在0>δ使得( A )(A ))(x f 在),0(δ内单增; (B )对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >; (C )对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >; (D ))(x f 在)0,(δ-内单减。

大学工科数学分析期末考试___29(答案)B

大学工科数学分析期末考试___29(答案)B

20XX年复习资料大学复习资料专业:班级:科目老师:日期:一、 填空题1. 1,2a b ==; 2.0; 3.023 0(cos ,sin )d f d πϕρϕρϕρρ⎰⎰;4.21223(cos sin )t t x C e C e C t C t =++; 5.24()t f t π;6.22(,)2f x y x y =-+二、 选择题(B ) (C ) (B ) (D)三、 1 解:21)('f x f xz+=∂∂ϕ,………………… (4分)2212112)(']1)(')('[)('f y f y x f x yx zψψϕϕ+-+-=∂∂∂………………… (7分) 2解:添加辅助线段BA :1=y ,11 :-→x ,则BA C +构成正向封闭曲线. xy e P y 12-=,y xe Q y cos -=,x e y P y 12-=∂∂,y e xQ =∂∂,x y P x Q 12=∂∂-∂∂,…..…(3分)⎰⎰--+-=+BABAC y y dy y xe dx xy e I )cos ()12(………………… (5分) 11112(12)01Dxdxdy e x dx ex--=--=-⎰⎰⎰………………… (8分)2e =.………………… (9分)3解:记1,4:221=≤+z y x S ,并取下侧.……………… (2分) 根据高斯公式可得1122(()d d d d ()d d S S S I x z y z x z x y x x y +=--Λ+Λ++Λ⎰⎰⎰⎰2()VDdv y x dxdy =-+⎰⎰⎰⎰⎰……………… (5分)=5 1()D z dz dxdy ⎰⎰⎰2222 00sin 8412d d πθρθρρπππ+=+=⎰⎰.……………… (9分)四、解:在点P 处沿该切线方向的曲线切线方程:1191161--=-=-z y x ,………………… (5分)22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(,2,3)(0,1,4)21)2132u y yz xy xz z xy u u l ∇=----=-∂=∇-=∂…………………(20XXXX 分)五、解:解得特征根为210321===λλλ,, ……………… (3分)对应的特征向量是,021,122,201321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r r ……………… (9分)所以通解为:()X t =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022202122t tt t t e e e e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321c c c . ………………… (11分)六、解:利用积分与路径无关的条件可得0)(21)(9)(2=+'-''x f x f x x f x ………… (4分)解得7231)(x C x C x f += ………… (7分)利用初始条件得⎩⎨⎧=+=+77312121C C C C ,所以120,1,C C ==7()f x x =………… (9分)(0,3)2(1,1)[()11()]32()B A x f x xf x dy f x ydx '--⎰(0,3)877(1,1)1432324B A x dy x ydx x dx =-+=-=⎰⎰………… (20XXXX 分)七、证明:由条件(,)(,)0xx yy f x y f x y +=,(,)0xy f x y ≠易得对D 内任意点(,)x y ,(,)(,)(,)(,)(,)xx xy f xy yy f x y f x y H x y f x y f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭是不定的,………(4分)所以在D 内不存在极值点,故(,)z f x y =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得…………………(6分)。

工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

,考试作弊将带来严重后果!期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); .考试形式:闭卷;5分,共10分) (1))(lim 22x x x x x --++∞→ (2)xx x ln 1)(cot lim +→(10分)设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .(10分)设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. (10分)造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? (10分)设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.(10分)计算下列积分(每小题5分,共10分)(1)⎰+x x x )1(d 3 (2)⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七.(10分)设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八.(10分)求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.(10分)设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十.(10分)设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. (1)解:12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x(2)解:)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加(减少)有上界(下界)的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =(由极限保号性负根舍去).,考试作弊将带来严重后果!期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); .考试形式:闭卷;5分,共10分) (1))2(lim 2x x x x -++∞→ (2)x x x +→0lim二.(10分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三.(10分)设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四.(10分)试确定数列}{n n 中的最大项.五.(10分)设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六.计算下列积分(每小题5分,共10分) (1)⎰+xx e1d (2)⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七.(10分)设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八.(10分)求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.(10分)设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十.(10分)已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. (1)解:122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x(2)解:1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根 六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加(减少)有上界(下界)的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=(由极限保号性负根舍去).。

工科数学分析基础题集

工科数学分析基础题集

工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义,正确的是()A. 对于任意给定的正数ε,存在正数δ,当 0 < |x - x₀| < δ时,|f(x) - L| < ε成立,则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε,存在正数δ,当 |x - x₀| < δ时,|f(x) - L| < ε成立,则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε,存在正数δ,当 0 < |x - x₀| < δ时,|f(x) - L| ≤ε成立,则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε,存在正数δ,当 |x - x₀| < δ时,|f(x) - L| ≤ε成立,则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案:A解析:函数极限的精确定义为:对于任意给定的正数ε,存在正数δ,当 0 < |x - x₀| < δ时,|f(x) - L| < ε成立,则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。

2. 关于无穷小量的描述,正确的是()A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时,函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案:A解析:以零为极限的变量称为无穷小量。

3. 下列关于无穷大量的说法,错误的是()A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时,函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案:D解析:无界变量不一定是无穷大量,但无穷大量一定是无界变量。

4. 对于函数极限的性质,下列说法不正确的是()A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性,即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在,则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案:D解析:函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。

工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料

工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料

工科数学分析(下)期末考试模拟试题姓名:___________得分: _________一、填空题(每小题3分,满分18分)1、设()xz y x z y x f ++=2,,,则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题(每小题6分,满分18分) 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ,g 为连续可微函数,()xy x f u ,=,()xy x g v +=,求xvx u ∂∂⋅∂∂(中间为乘号).3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性(每小题4分,共8分)1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、(本小题8分)求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑: 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量; 五、(本小题7分)2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

工科数学分析下册其中考试(修改)附参考答案

工科数学分析下册其中考试(修改)附参考答案

z xv yu 2 ; 代入①即得 2 x x y
z vy xu 2 . 代入②即得 2 y x y
y2 6.(1) z x f ( ) : x
2y f
y2 2y3 2 y f ( 2 ) 2 f x x
y2 (2) z f ( x ) : x
7.在第一卦限作椭球面
的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.
x2 y2 z 2 解: 设 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, 切点为 a b c 则切平面的法向量为 2 x0 2 y0 2 z0 n ( Fx , Fy , Fz ) , 2 , 2 2 M a b c 切平面方程
z u v v u y y y
1 u ln( x 2 y 2 ) 2

由 x eu cos v, y eu sin v , 得
y v arctan x

u x 2 , 2 x x y y x y 2
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
利用行列式解出 du, dv :
du
d x e u sin v d y e u cos v e u cos v e u sin v u u e sin v e cos v
e
u
cos v
e u sin v
e u sin v
e u cos v
z u v v u x x x ① u v z v u ② y y y
期中考试参考答案
1. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线

大学工科数学分析试题A

大学工科数学分析试题A

20XX年复习资料大学复习资料专业:班级:科目老师:日期:一、 填空题:(每题4分)1. 设幂级数11nn n a x ∞=+∑()在2x =-处发散,在0x =处收敛,则幂级数11nn n a x ∞=-∑()的收敛域为 ;2. 将[]0,π上的连续函数()f x 延拓到[],ππ-上,傅里叶级数为1sin n n b nx ∞=∑,则延拓后[,0)π-上的函数表达式为 ; n b = ;3. )21211d x x x -+⎰= _______________;4. 使广义积分0d 1px x x +∞+⎰收敛的p 的取值范围是_______________;5. 曲线ln y x =与二直线(1)y e x =+-及0y =所围成的平面图形面积是_______;6.若级数111111123456p q p q p q-+-+-+绝对收敛,则,p q 的取值范围是__________;若上述级数条件收敛,则,p q 的取值范围是________________.二、 单项选择题:(每题3分)本题分数 24得 分1.满足以下哪个条件,级数1n n a ∞=∑必收敛( )(A ) 12,n n S a a a =+++数列{}n S 有界;(B )lim 0n n a →∞=;(C )()()123456a a a a a a ++++++收敛;(D )12,n n S a a a =+++lim n n S →∞存在.2.()f x 定义在[,]a b 上,对于[,]a b 的任意分割011:n n a x x x x b -∆=<<<<=,分别记1k k k x x x -∆=-,d =∆,则()f x 在[,]a b 上可积的充分必要条件是 ( )(A )对于[,]a b 的任意分割∆,()01lim nk k d k f x x →=∆∑存在;(B )对于[,]a b 的任意分割∆,[]1,k k k x x ξ-∀∈,使()01lim nk k d k f x ξ→=∆∑存在;(C )对于[,]a b 的任意分割∆,[]1,k k k x x ξ-∃∈,使()01lim nk k d k f x ξ→=∆∑存在;(D )对于[,]a b 的任意分割∆,()()1011lim lim nnk k k k d d k k f x x f x x -→→==∆=∆∑∑.3.已知()f x 非负连续,则极限1242lim ()()()nn n f a f a f a n nn →∞⎡⎤+⋅+⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦( )(A )()2expln ()d a af x x +⎰; (B )()20expln ()d f a x x +⎰;本题分数 12得 分(C )21exp ln ()d 2a a f x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰; (D )201exp ln ()d 2f x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰.4.若幂级数()11nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( )(A )条件收敛; (B )绝对收敛; (C )无法确定; (D )发散.三、 计算题:(每题6分)1. 计算积分122182sin [ln (1)]d 1x x x x --+⎰.2.求级数1(1)2nn n n ∞=+∑的和.本题分数 24得 分3. 求极限202arctan ()d lim1xx x t tx -+⎰4.求解微分方程2(6)'20y x y y -+=满足0,1x y ==的特解.四、 解答与证明题:(每题8分)1.设D 是位于曲线2(1,0)xay xa a x -=>≤<+∞下方、x轴上方的无界区域.(1)求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; (2)当a 为何值时,()V a 最小?并求此最小值.本题分数 40得 分2.已知可微()f x对任意实数,x h都满足2(1)()d()()x hxt tf x h t f xf t+++=+⎰,且(1)2f=()f x.3.若正项级数1ln(1)(2)a bn n n n∞=⎡⎤++⎣⎦∑收敛,求,a b的值.4. 将函数()2f x x =+,01x ≤≤展开为余弦级数,并由此求数项级数211n n∞=∑的和.5. 设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加,求证()d ()d 2bbaa ab xf x x f x x +≥⎰⎰.。

工科数学分析试题及答案

工科数学分析试题及答案

A一、 求解下面问题(每小题6分,满分48分)1.设),(y x f 为一连续函数,求极限.),(122220lim dxdy y x f rr y x r ⎰⎰≤+→+π解 (0,0)),(12222limf dxdy y x f r r y x r =⎰⎰≤+→+π建议:中间过程4分2. 改变累次积分的积分顺序:dy y x f dx x x ),(-21-426-2⎰⎰0820-1(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx---=+⎰⎰⎰⎰3. 计算二重积分dxdy y x D22sin +⎰⎰,其中积分区域为}.4|),{(2222ππ≤+≤=y x y x D解:D⎰⎰4. 计算三重积分dxdydz x y V⎰⎰⎰+)1(2012,其中V 由22--4y x z =与223y x z +=所成的立体.解:由于V 是关于yoz 平面对称的,且x y 2012是关于x 的奇函数,所以02012=⎰⎰⎰d x d y d z x yV,于是23220121()r VVyx dxdydz dxdydz d πθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223)r d rdr πθ=⎰2223001)()2r d d r πθ=⎰22220012(4)()62r d r d r πθ⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰34222001219(4)6236r d r πθπ⎡=⋅---=⎢⎥⎣⎦⎰ (写出对称性给2分,计算过程适当给分)2204sin 6d r rdr πππθπ==-⎰⎰5. 计算积分2(2)I x z ds Γ=+⎰,其中曲线Γ为2222,0.x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩(利用对称性)解: 利用轮换对称性知2322222212()333a a x ds y ds z ds x y z ds ds πΓΓΓΓΓ===++==⎰⎰⎰⎰⎰1()03zds xds yds x y z ds ΓΓΓΓ===++=⎰⎰⎰⎰ 所以322(2)3a x z ds πΓ+=⎰(建议:两个对称性各3分,写出参数方程直接计算适当给分)6. 计算第一型曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分. (可利用对称性) 解: 利用对称性知0xdS ydS ∑∑==⎰⎰⎰⎰设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z dS ∑++⎰⎰=zdS ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-(建议:对称性0xdS ydS∑∑==⎰⎰⎰⎰2分 ,= 1分,zdS ∑⎰⎰计算过程3分)7. 证明向量场))2(),2(),2((z y x xy z y x xz z y x yz F ++++++= 是有势场,并求其势函数.解:先验证有势场0)2()2()2(=++++++=∂∂∂∂∂∂z y x xy z y x xz z y x yz F rot zyxk j故是有势场. ---------3分.)2()2()2(.),,222000000),,(),,(),,(),,(0000000C xyz z xy yz x dz z y x xy dy z y x xz dx z y x z y RdzQdy Pdx s d F z y x zzyy xx z y x z y x z y x z y x +++=++++++++=++==⎰⎰⎰⎰⎰(φ(另一种方法也可(这里略),请判卷的时候注意。

大学工科数学分析测试试题及答案(数解几)

大学工科数学分析测试试题及答案(数解几)

20XX年复习资料大学复习资料专业:班级:科目老师:日期:专题一:数项级数的敛散性 (测试题16分,每题8分)(1) 正项级数的敛散性判定; (2) 绝对收敛与条件收敛; (3) 数项级数敛散性证明.1. 讨论下列级数的敛散性,若为变号级数收敛请指出它是条件收敛还是绝对收敛:(1) 111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; (2) ()1111n nn n∞-=⎛⎫-- ⎝∑ 解: (1) 12lim lim10111n nnnnx x nnn n n +→∞→∞==≠⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 级数发散----------(4分);(2) 设()1x f x e x =--, 则()'10x f x e =->,所以()f x 单调减则1nn a n=-单调减,且lim 0n n a →∞=,由莱布尼兹准则知级数收敛------(2分)而()22000111lim limlim 22x x x x x f x e x e x x x →→→---===,这说明1111 nn n n n与∞∞==⎛⎫- ⎝∑∑同敛散,则级数条件收敛------(4分)本题分数 30得 分2. 设级数1n n a ∞=∑收敛, 且lim 0n n na →∞=. 求证: 级数()11n n n n a a ∞+=-∑收敛,且()111n n n n n n a a a ∞∞+==-=∑∑.证:记12n n a a a σ=++, 由级数1n n a ∞=∑收敛知1lim n n n n a σ∞=→∞=∑存在------(3分)因为级数()11nn n n aa ∞+=-∑的部分和()()()12231121112 =1n n n n n n n n S a a a a n a a a a a na n a a σ++++=-+-+-=++--++-----(6分)于是由lim 0n n na →∞=知1lim lim n n n n n n a S σ→∞→∞∞===∑----(8分)专题二:幂级数及其应用 (测试题20XXXX 分,每题6分). (1) 阿贝尔(Abel)定理; (2) 幂级数的收敛域与和函数; (3) 幂级数展开.1. 已知幂级数()12nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,求幂级数()13nn n a x ∞=-∑的收敛域.本题分数 30得 分解: 记2t x =+,则由条件知1n n n a t ∞=∑在2t =处收敛,在2t =-处发散------(3分)从而得()13nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]------(6分)2. 求()()2011!nnn n x n ∞=-+∑的收敛域及和函数.解: 记()()211!nn n a n -=+,则1lim 0n n naa +→∞=,知收敛域为(),-∞+∞-----(2分)()()()()()()()()()()22000011111111!1!!1!nnnnn n n nn n n n n n n S x x x x x n n n n ∞∞∞∞====--+----===++++∑∑∑∑()()()()()1101111!!1!n nnnn n n n n x x x n n n ∞∞∞===---=-+-+∑∑∑()()()123S x S x S x =-+ -----(4分) 其中()()()()1231, 1, 1(0)x x x S x xe S x e S x x e x x---=-=-=--≠ 则()()()111, 00, 0x xx e e x S x xx --⎧-++-≠⎪=⎨⎪=⎩-----(6分)3. 将 ()2147f x x x =++ 展开成()2x +的幂级数.解: ()()22114723f x x x x ==++++------(3分) ()()210112,23233nnn n x x ∞+==-+-<<-+∑分)专题三:傅里叶级数展开及应用 (测试题14分,每题7分)(1) 狄里克雷(Dirichlet)定理; (2) 正弦级数和余弦级数; (3) 求数项级数的和.1. 设函数1, 201, 0 2x f xx在[]2, 2-上展开为傅里叶级数01(cossin)222n n n a n x n xa b ,求该傅里叶级数的和函数()S x .解: 根据狄里克雷(Dirichlet)定理得和函数()1,201,020,00,2x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪=⎨=⎪⎪=±⎩-- --------------------------(6分)2. 将(), [0,)f x x x ππ=-∈展开成余弦级数, 并求数项级数222111135+++ 的和.解: 将()f x 偶延拓:(),0,0x x F x x x ππππ-≤<⎧=⎨+-≤<⎩-------------(2分)则0, 1, 2,n b n ==()()022, 11, 1, 2,nn a a n n ππ==--=从而224cos3cos5()cos 235x xf x x ππ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭-------------(4分) 本题分数 30得 分当0x =时,()0f π=,从而22221111358π+++=.. 专题四:空间向量的知识 (测试题20分,每题5分)(1)向量的坐标; (2) 向量的运算; (3) 向量的夹角;(4) 向量法证明.1. 已知两点1(42,1)M 和2(3,0,2)M , 求向量12M M 的三个方向角以及与12M M 同方向的单位向量012M M .解: 三个方向角为23,,343πππ-----------(3分) 单位向量012121{,}22M M =-.--------(5分)2. 已知||5, ||1, ||4, a b a b a b 求. 解: 3a b -------(5分)3. 求直线1233x ty t z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩与平面2550x y z +-+=的夹角.解: 夹角为6π.--------(5分)4. 利用向量证明:三角形三中线长度的平方和等于三边长度平方和的本题分数 20XX得 分34.证: 三边向量为,,a b c ,则三中线向量为111,,,222l b c m c a n a b =+=+=+222222222111()()()2225()()4l m n b c c a a b a b c a b c a b c ++=+++++=+++⋅+⋅+⋅又0a b c ++=,则2()0a b c ++=,由此得2221()()2a b c a b c a b c ++=-⋅+⋅+⋅故2222223()4l m n a b c ++=++…--------(5分)专题五:点、直线与平面 (测试题20XX 分,每题5分)(1) 点到平面的距离公式;(2) 点到直线的距离公式;(3)求平面方程;(4)求直线方程.1. 求点(1,2,3)-到平面:5340x y z π-++=的距离.解: 距离0d =.-------(5分)2. 求点(2,3,1)-到直线1213114x y z ---==的距离. 本题分数 20XX得 分解: 距离6d =. ----(5分)3. 求经过点1(3,2,9)P -和2(6,0,4)P --, 且垂直于平面:2480x y z π-+-=的平面方程.解: {}{}129,2,13, 2,1,4PP n =--=- 所求平面法向量为{}125,10,5PP n ⨯=---------(3分) 得平面的方程为:220x y z --+=-------(5分)4.求过点(11,9,0)与直线1135:243x y z l -+-==和直线221:512x y z l -+==-都相交的直线方程和两交点12,P P 的坐标.解: 设所求直线l 与直线1l 的交点为1(12,34,53)P t t t +-++,与直线2l 的交点为2(5,2,12)P ρρρ--+,因0(11,9,0)M 与点1P ,2P 共线,所以有1002PM M P即111293453,5112912t t t λρρρ--+---===----+令① ……………(2分) 上式成为 210(511)()412(7)()35(21)()t i t ii t iii λρλρλρ-=-⎧⎪-=--⎨⎪+=-⎩将()2()i ii ⋅-得11158λρλ=- ②将()3()4ii iii ⋅-⋅得111756λρλ=-+ ③由②③有,2λ=,1ρ=代入( i )有,1t =- ……………(4分)从而得交点1(1,7,2)P --和2(5,1,1)P 两点间的直线方程为:182:681x y z l ++-==-…………(5分)专题六:求旋转曲面的方程 (测试题20XXXX 分,每题6分)(1) 坐标面内的曲线绕坐标轴旋转;(2) 一般空间曲线绕定直线旋转.1. ()22340x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩绕y 轴旋转所得旋转曲面方程.解: 旋转曲面方程为()222234x z y ±++=………(6分)2. 直线1:210x y z -Γ==绕直线:L x y z ==旋转所得旋转曲面方程. 解: 设1111(,,)M x y z 是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过1M 的纬圆方程是本题分数 20XXXX 得 分11 / 11 111222222111()()()0x x y y z z x y z x y z -+-+-=⎧⎨++=++⎩---------------(3分) 由于1111(,,)M x y z 在母线上得1111210x y z -------------(4分) 消去111,,x y z 得旋转曲面方程-----------(6分)222251(1)9x y z x y z ++-=++-。

工科数学分析上册基本题型练习

工科数学分析上册基本题型练习

极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。

3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→ 14、210)sin (lim x x xx → 15、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x Ax x x f x在0=x 点连续,则A =___________导数题1、.sin 2y x x y ''=,求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小, 这时底直径与高的比是多少?5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yx y x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ,n 为正整数,求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续,0)0(≠f ,又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=,求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续,)1,0(内可导,0)1()0(==f f ,1)21(=f . 证明:)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导,)(ln x f y =,则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ,则=dy __________ 17、xxy sin =,求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ,求22dxyd20、()xx y cos sin =,求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。

大一工科数学分析试卷及答案

大一工科数学分析试卷及答案

大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间:120 (分钟)本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题(每题3分,共30分)1.=+∞→nnnx n 42lim 22.=+-∞→xx x 1)21(lim3.设?>+≤=00)(22x x x x x x f ,则=-)(x f4.摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5.函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为: 6.若??x t dt t f dt e 11)(32,则=)(x f7.若?++=c x dx x f 2cos sin )((其中c 时任意常数),则 =)(x f8.?-=-+112)1cos (dx x x x9.设)100()2)(1()(---=x x x x f ,则=')1(f姓名: 班级:学号:遵守考试纪律注意行为规范10.若-ba xb dxα)(收敛(其中0>α),则α的取值范围是二、试解答下列各题:(每题5分,共50分)1.求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2.已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ,求b a ,。

遵守考试纪律注意行为规范3.设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ,求b a ,使)(x f 可导。

4.求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。

5.设ttte y e x ==-,,求22,dx y d dx dy 。

6.求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。

7.计算不定积分?-dx e x11。

8.计算定积分?20xdx x 。

9.设?<+≥+=011011)(x e x xx f x,求-2)1(dx x f 。

工科数学分析习题答案(下)

工科数学分析习题答案(下)

习题6.11.(1)(a )23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+>+⎰⎰⎰⎰ (b )23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+<+⎰⎰⎰⎰(2)(a)2()()e d e d xyxy σσσσ<⎰⎰⎰⎰, (d )2()()e d e d xy xy σσσσ>⎰⎰⎰⎰2.(1)02I ≤≤; (2)0I ≤≤ (3)e I ππ≤≤ (4)3075I ππ≤≤习题6.21.(1)221; (2)3221; (3)4(3115-; (4)62e 9e 4--;(5)54ln 22-; (6)425-; (7)21)15; (8)3cos1sin1sin 42+-2.(1)2 44 04d (,)d d (,)d yy xI x f x y y y f x y x ==⎰⎰⎰⎰;(2) sin 1 arcsin 0 0 0 arcsin d (,)d d (,)d ;xyyI x f x y y y f x y x ππ-==⎰⎰⎰⎰(3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==21212121211d ,d d ,d d ,d yyxxx y x f y x y x f y y y x f x I(4)21 01 01 21d (,)d d (,)d I x f x y y y f x y x ---==⎰⎰⎰⎰.3.(1)2 10 d (,)d xx x f x y y ⎰⎰; (2) 1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰; (3) 1eed (,)d y y f x y x ⎰⎰;(4)1220 0 1d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰; (5) 132 0d (,)d yy f x y x -⎰;(6)22 2 2 00 22d (,)d d (,)d d (,)d aa aa aay y a aaay f x y x y f x y x x f x y x +++⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(7)214d (,)d yy f x y x -⎰⎰; (8) 12 01d (,)d yy f x y x -⎰⎰。

最新工科数学分析(下)考试题(带答案)

最新工科数学分析(下)考试题(带答案)

工科数学分析(下)期末考试模拟试题姓名:___________得分: _________一、填空题(每小题3分,满分18分)1、设()xz y x z y x f ++=2,,,则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y =⎰+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题(每小题6分,满分18分) 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ,g 为连续可微函数,()xy x f u ,=,()xy x g v +=,求xvx u ∂∂⋅∂∂(中间为乘号).3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性(每小题4分,共8分)1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、(本小题8分)求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑:222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量; 五、(本小题7分)2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

工科数学分析练习题

工科数学分析练习题
一、填空题 1. u f ( x , y , z ) xy 2 yz 3 在点 M (2, 1,1) 处的梯度为______________.
2. 设 A ( x 2 yz ) i ( y 2 xz ) j ( z 2 xy ) k ,则 div A
是球面 x 2 y 2 z 2 R 2 的外侧. 11.计算二次积分 dy
1 4 2 y
ln x dx . x2 1
12.求 ( x 2 y 2 )dV ,其中 是由曲面 4 z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域.
. .
x 2 y 2 介于 z 0, z 1 之间的部分,则曲面积分 I ( x 2 y 2 )dS

x 2 y 2 z 2 3x 0 在点 (1,1,1) 处的切线方程是 13. 曲线 2 x 3 y 5 z 4 0
.
14. 球面 z a 2 x 2 y 2 在柱面 x 2 y 2 a x 内部的部分的表面积 A= 15. 函数 u ln( xy z ) 2 yz 2 在点 (1,3,1) 处沿方向 l (1,1,1) 方向的方向导数
a
n 0

n
( x 1) n , 2 x 0 ,则 a n
7. 已知
( x a y )dx y dy 是某函数的全微分,则常数 a ( x y )2
2
8.设函数 f ( x ) x ,0 x 1 , 而 S ( x )
b
n1

n
sin n x , x . 其中

)

工科数学分析习题课

工科数学分析习题课

(接着证单调性)
当 n 1 时, n 1 xn x xn ( 3 xn ) xn

( xn ( 3 xn ) xn )( xn ( 3 xn ) xn ) xn ( 3 xn ) xn

xn ( 3 2 xn ) . 0, { xn }单调(增) xn ( 3 xn ) xn
n 取 N max ( 2 N 1 1, 2 N 2 ) ,则当 N 时,
有 x n a ,故 lim x n a 。
n
综上可知, lim xn a lim x2n1 lim x2n a 。
n n n
8.证明: lim
n
n a n
0 (a 1) 。
n 1
| x2 x1 |
| xn p xn p1 | | xn p1 xn p 2 | | xn1 xn |
k n p 2 | x2 x1 | k n p 3 | x2 x1 | k n1 | x2 x1 |
{ xn }的极限存在 .
(接着求极限)
记 lim xn a , 由xn 1
n
xn ( 3 xn ) ,
2 2 有xn 1 xn ( 3 xn ), 令 n , 得 a a ( 3 a ),
3 解得a ,a 0 (舍去) n 1 时, xn 且单调增) . ( 0 . 2 3 lim xn . n 2

则存在唯一一点满足 I n
n 1

lim an lim bn
n n
[ [ [ ... [ ... ] ... ] ] ]
a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1
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即 从而。
(B)若,则。由,故对,存在,当时有,即, 从而存在,当时有,即严格递减的, 故由可得,即
(C)若,令,利用(B)可证明。 (2)严格增,且,若,则 证明:(A)若,则, 令,即,故对,则存在使得当时 由得得(使用迭代)
即 两边除以,再同时减去得 故当时 又,则存在使得当时 对,取使得当时 故 (B)若,则。由,故对,存在,当时有,即 故严格增的,再由得,从而时,,从而由(A)得,故 (C)若,令,利用(B)可证明。 2设证明 (1) 证明 利用O.Stolz公式(2)只需令,,则 故。 或利用定义直接证明。 (2)利用O.Stolz公式可得,或均成立。但,不成立,例,故时 O.Stolz公式也不成立。 (3)见附录参考答案及提示。
16 设,且,则 证明:对,由知使得当时, 故对,取,当时,故 17.求极限 (1) (2) (3) (4)
习题1.1(B)
1 O.Stolz公式 (1)设,且严格减。若,则 证明:(A)若,对,则存在使得当时,即 从而当时 ······ 把上式不等式相加的 其对成立 又,故当时由得当时有 故对,取,当时有
,,欲使,只需,即。 故对,取当时有 故 (注意:若用夹逼法:) 2.证明:的充分必要条件是对,只有的有限多项不在 中。 证明:(必要性)若,则,, 时有,故至多有项在不在中。 (充分性)对,只有的有限多项不在中,不妨设不在 中项为,取(即取不在 中项脚标的最大者,故当时有,即。 4.证明若,则。反之不一定,举例说明。但若,则有
单调性:显然,设,则 求极限:设,由取极限得,解出
(3)见学习辅导“例25” (4), 解 有界性:
单调性:
,若,则,否则 求极限:设,由得,故。 15 试判断数列的敛散性: (1),其中; 解 欲使,只需
故对,取,当时,对都有
即是基本列,故收敛。 (2) 证明: 故是单调增的。又 故也是有界的,故存在,设为。 ,故 由习题1.1(A)8(2)知道收敛。 (3) 证明:,对,取,则有 故不是基本列,则发散。 (4) 解 取,对,存在,且满足 故 从而 这说明不是基本列,故发散。
证明:由 ,有对,,时有, 故对,取 时有,故。
反之不一定,例数列。 由,有对,,时有。 故对,取 时有,故 5:证明 设,,证明 证明由 ,有对,,时有 故对,取 ,当时有 故 6证明:若,有界,则 证明:有界,故可设 由,有对,,时有 故对,取 当时有,故。 7.若是否一定有或。
解:否。例, 8(1)设,均收敛,问是否必然收敛。 解:否,例。 (2)设,满足,则。 证明:由,则有对,,时有 ,则有对,,时有 故对,取(注意不能取,当时有,故。 (3)设,,收敛,这时能否保证一定收敛? 解:能。不妨设,由有,故 即,故由8(2)一定收敛. 9证明:若单调数列有收敛子列,则 证明:不妨设是单调增的。设子列(也是单调增的)收敛 于, 从而对,,时有 对,取,当时有,故 10.求极限 (1) 解 (2) 解
(3) 解: (公式
(4)解: ,Fra bibliotek故 (5) 解 由 ,有
(6) 解 由,有 (7) 解 11求下列极限(夹逼法) (1) 解 ,又,故 (2)见学习辅导“例12(2)” (3) 解 ,又 (4) 解, 又,故 12 设令都是非负实数,证 解:不妨设,则。
, 故 13 求(必须先证明存在性再设),其中 (1)见学习辅导“例22” (2) , 解:有界性:,设,则
习题1.1A(P15)提示(仅供参考)
1.用定义(语言)证明: (1) 证明:,故对,欲使,只需,即。 故对,取(注意:不能写成,以下几个类似),当时有 故 (2) 证明:,故对,欲使,只需,即。 故对,取,当时有 故 (3) 证明:,故对,欲使,只需, 即。故对,取当时有 故 (4) 证明:,故对,欲使,只需, 即。故对,取当时有 故 (5) 证明:,故对,欲使,只需,即。 故对,取当时有 故 (注意:若用夹逼法:) (6) 证明:,注意到,故
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