多边形的内角和PPT课件
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多边形的内角和ppt课件
多边形的边数
4
5
6
7…
n
从一个顶点引出的 对角线的条数
1
2
3
4 … n-3
分成三角形的个数 2
3
4
5 … n-2
根据教材p84页图9.2.4所示，填写p85页表9.2.1，探究多边形的内角和 是多少？
多边形的边数
3
分成的三角形的个 数
1
多边形的内角和 180°
4 2 360°
5
6
7…
n
3
4
5 … n-2
D
对角线 (连接不相邻两个顶点的线段)
4.观察下面多边Байду номын сангаас，它们的边、角有什么特点？
特点： 各边相等，各内角都相等的多边形.
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形.
合作提升
1.三角形的内角和是多少度？ 2.正方形的内角和是多少度？ 3.长方形的内角和是多少度？
4.那像这样一般的四边形的内角和是多少度？你是怎样 验证的？
1.什么叫三角形？
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。
2.什么叫四边形？五边形？六边形？……n边形呢？
一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形称为n边形，又称为多边形。
3.你能说一说下面多边形的元素有哪些？
A
内角 外角
顶点
E
B
边
C 表示：五边形ABCDE
540° 720° 900° … (n-2)•180°
提炼概念
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个
三角形. 多边形的内角和为（n-2）•180°
多边形多边形的内角和ppt课件
解: 设这个多边形的边数为n (n-2) × 180° =1260 °
n=9 答:这个多边形的边数是9.
19
例3.已知一个多边形的每个内角都是160°， 请问它是几边形？
解:设这个多边形的边数为n
(n-2) × 180 =160 n
n=18
答:这个多边形的边数是18.
20
1.一个多边形的一个顶点处共有4条对角线,则 它是几边形? 2.一个多边形一共有35条对角线,则它是几边形?
B
D
B
C
C
12ADEFAEA D
B C
B
B
C
D
C
多边形的 3
4
5
6
7…
n
边数
分成的三 角形的
个数
多边形的 内角和
1 180°
2 360 °
n边形的内角和为
3
4
5…
540 ° 720 ° 900 ° …
(n-2)×180 °
n-2
(n-2)×180 °
13
.
A
D
E
F
A
E
A D
B C
B
D
B
C
C
14
A
定义
多边形的边，顶点，内角
多边形的对角线
结论 n边形的内角和为（n-2）× 180º
24
1、一课一练22.1(1)
25
课件部分内容来源于网络，如对内容有 异议或侵权的请及时联系删除！ 此课件可编辑版，请放心使用！
B
C
D
E
A
B
B D
C C
A F
E D
这种分割方式，将多边形分成（n-1）个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为
n=9 答:这个多边形的边数是9.
19
例3.已知一个多边形的每个内角都是160°， 请问它是几边形？
解:设这个多边形的边数为n
(n-2) × 180 =160 n
n=18
答:这个多边形的边数是18.
20
1.一个多边形的一个顶点处共有4条对角线,则 它是几边形? 2.一个多边形一共有35条对角线,则它是几边形?
B
D
B
C
C
12ADEFAEA D
B C
B
B
C
D
C
多边形的 3
4
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7…
n
边数
分成的三 角形的
个数
多边形的 内角和
1 180°
2 360 °
n边形的内角和为
3
4
5…
540 ° 720 ° 900 ° …
(n-2)×180 °
n-2
(n-2)×180 °
13
.
A
D
E
F
A
E
A D
B C
B
D
B
C
C
14
A
定义
多边形的边，顶点，内角
多边形的对角线
结论 n边形的内角和为（n-2）× 180º
24
1、一课一练22.1(1)
25
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B
C
D
E
A
B
B D
C C
A F
E D
这种分割方式，将多边形分成（n-1）个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为
多边形的内角和公开课ppt课件
的角叫做多边形的外角。
对角线： 连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的
对角线。
精选ppt课件
2
为了求得n边形的内角和，请根据下图所示，完成表格。
多边形的 边数
3 4 56…
n
分成的三 角形个数
1
2
3 4…
多边形的 内角和
180°
… 360° 540° 720°
精选ppt课件
3
n 边形的内角和公式：
求多边形的边数、
（n －2）·180 = 1440
角度的常用方法:
n －2 = 8
利用公式列方程.
n = 10
∴这是十边形。
精选ppt课件
11
学以致用
1、七边形内角和为（900°） 2、十边形的内角和是（144）0°; 如果十边形的各个内 角都相等，那么它的一个内角是（ 1）44° 3、多边形内角和为1080°则它是（ 八 ）边形。 4、多边形内角和为1800°则它是（十二）边形。
精选ppt课件
12
课堂练习
求下列图形中x的值：
140 0
x0
x0
(1)
80 0
120 0
E
75 0
(3)
x0
精选ppt课件
150 Байду номын сангаас 2 X 0 120 0
x0
(2)
D
x0
150 0
135 0
A (4) B
60 0
C
AB∥CD
13
19.1多边形内角和
精选ppt课件
1
❖多边形：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形。
对角线： 连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的
对角线。
精选ppt课件
2
为了求得n边形的内角和，请根据下图所示，完成表格。
多边形的 边数
3 4 56…
n
分成的三 角形个数
1
2
3 4…
多边形的 内角和
180°
… 360° 540° 720°
精选ppt课件
3
n 边形的内角和公式：
求多边形的边数、
（n －2）·180 = 1440
角度的常用方法:
n －2 = 8
利用公式列方程.
n = 10
∴这是十边形。
精选ppt课件
11
学以致用
1、七边形内角和为（900°） 2、十边形的内角和是（144）0°; 如果十边形的各个内 角都相等，那么它的一个内角是（ 1）44° 3、多边形内角和为1080°则它是（ 八 ）边形。 4、多边形内角和为1800°则它是（十二）边形。
精选ppt课件
12
课堂练习
求下列图形中x的值：
140 0
x0
x0
(1)
80 0
120 0
E
75 0
(3)
x0
精选ppt课件
150 Байду номын сангаас 2 X 0 120 0
x0
(2)
D
x0
150 0
135 0
A (4) B
60 0
C
AB∥CD
13
19.1多边形内角和
精选ppt课件
1
❖多边形：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形。
《多边形及其内角和》ppt课件
证明过程
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
多边形内角各和ppt
THANKS
感谢观看
05
多边形内角和定理的扩展思考
如何推广多边形内角和定理？
从三角形开始，每增加一个边，增加180度，以此类推，可以 推断出任意n边形的内角和为(n-2)x180度。
另一种推广方法是利用分割法，将多边形分割成若干个三角 形，通过计算每个三角形的内角和，再相加得到多边形的内 角和。
如何证明多边形的外角和为360度？
内角和定理的应用
平面几何问题
利用多边形内角和定理可以解决平面几何中的一些问题，例 如判断多边形的形状、计算多边形的面积等。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用多边形内角和定理来计算建筑物各 个面的角度和形状，以达到美观和功能性的要求。
内角和定理的推广
凹多边形内角和定理
对于凹多边形，可以利用三角形内角和定理和多边形内角和定理推导出凹多 边形内角和定理。
在几何作图中的应用
1 2 3
定理的证明
多边形内角和定理是几何学中的基本定理之一 ，对于证明其他几何命题和解决几何问题有重 要作用。
作图辅助
在几何作图中，多边形内角和定理可以用于确 定多边形的形状和大小，以及用于作图的辅助 工具。
简化作图
通过利用多边形内角和定理，可以将一些复杂 的作图问题转化为简单的作图问题，从而简化 了作图的过程。
将多边形分割成若干个三角形，每个三角形的外角和为 360度，因此多边形的外角和为360度。
也可以利用圆周角的性质证明，因为多边形的外角和等于 圆周角，而圆周角为360度。
如何利用多边形内角和定理解决实际问题？
在几何学中，多边形内角和定理可以用于计算多边形的内角大小，从而判断多边 形的形状。
在建筑设计、城市规划、交通运输等领域中，多边形内角和定理也可以用于计算 角度大小、优化路径等方面的问题。
多边形的内角和ppt课件
∵∠2＋∠ FAD ＋∠ F ＋∠ E ＝360°，
∴∠2＝360°－∠ FAD －∠ F －∠ E ＝48°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11.3.2
多边形的内角和
课堂学练
4. 如图，五边形 ABCDE 的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4.求
∠ CAD 的度数.
解：∵五边形 ABCDE 的每个内角都相等，
45 °；
(2)正八边形的每个外角为
(3)一个多边形的每个内角都等于108°，求这个多边形的边数.
解：∵多边形的每个内角为108°，
∴每个外角为180°－108°＝72°，
∴多边形的边数为360°÷72°＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
11.3.2
多边形的内角和
分层检测
A基础
°，外角和为
1 260
6
7
8
9
10
11
12
11.3.2
多边形的内角和
课堂学练
3. 【例】如图，已知六边形 ABCDEF 的每个内角都相等，连接 AD . 若
∠1＝48°，求∠2的度数.
解：∵六边形 ABCDEF 的各内角相等，
(−)×°
∴∠ E ＝∠ F ＝∠ FAB ＝
＝120°.
∵∠1＝48°，
∴∠ FAD ＝∠ FAB －∠1＝120°－48°＝72°.
的平分线相交于点 P ，且∠ ABP ＝60°，那么∠ APB 的度数是( D )
A. 36°
《多边形的内角和》ppt说课课件
探究式教学
鼓励学生自主探究多边形内角 和的规律，培养他们的探究精
神和创新思维。
教学手段
PPT演示
使用PPT展示多边形的 图片、内角和的计算过 程等内容，使教学更加
直观、生动。
实物模型
准备多边形的实物模型， 让学生亲手操作，感受 多边形的内角和特点。
互动式白板
利用互动式白板进行动 态演示，增强学生的参
与感和互动性。
教学视频
提供关于多边形内角和 计算方法的视频资料， 方便学生课后复习巩固。
05
CHAPTER
教学反思与总结
教学反思
教学内容的反思
本次课程主要围绕《多边形的内角和》展开，通过PPT演示和讲解，使学生掌握多边形内角和的计算方法。在教学内容上，我 力求深入浅出，通过实例和图解帮助学生理解，但在实际教学中，我发现部分学生在理解多边形内角和的公式推导过程中存 在困难。
《多边形的内角和》ppt说课 课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 多边形的内角和公式 • 公式应用与例题解析 • 教学方法与手段 • 教学反思与总结
01
CHAPTER
引言
主题简介
主题名称
《多边形的内角和》
主题内容
探讨多边形内角和的计算方法和规律
主题目标
帮助学生掌握多边形内角和的计算方法，理解内 角和与多边形边数之间的关系
教学反思
教学方法的反思
在教学方法上，我采用了讲解与互动相结合的方式，通过提问和小组讨论来引导 学生思考。但在实际操作中，我发现部分学生缺乏主动参与的意识，需要进一步 加强引导和激励。
教学反思
教学目标的反思
教学目标方面，我希望学生能够掌握多边形内角和的计算方法，理解其几何意义。但从学生的反馈来 看，部分学生对于几何图形的敏感度不够，需要加强这方面的训练和引导。
11.3.2多边形的内角和 课件(共21张PPT)
知识点二：多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各 取一个外角，这些外角的和叫做五边 形的外角和．
1A
B
5
2
E
C3
4 D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
5×180°=900°
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
方法1：如图，连接AC,
A
D
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
1
2
3
计算规律
1
1 ×180°
2
2 ×180°
3
3 ×180°
4
4 ×180°
…
… …
… … …
n边形
n
n－3
n－2 (n－2) ·180°
总结归纳 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_(_n__－___3_)_
条对角线，它们将n边形分为_（__n__－___2_)_个三角形，n边形 的内角和等于_(_n__－___2_)_×_1__8_0_°.
解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180，
解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形.
课堂小结
多边形的内角和课件ppt
想一想
你知道n边形的内角和吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 …… n边形
边数
3
4
5
6
7
……
n
？ 内角和 180° 360° 540° 720° 900° ……
五边形的内角和180° ×5－ 360° = 540° 六边形的内角和180° ×6－ 360° = 720° 七边形的内角和180° ×7－ 360° =900°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
议一议
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
想一想
A B
D
如图1，连接四边形 ABCD的一条对角线AC， 将四边形分成两个三角 形，四边形内角和等于 180°×2 = 360°
C
120 0
75 0
你知道n边形的内角和吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 …… n边形
边数
3
4
5
6
7
……
n
？ 内角和 180° 360° 540° 720° 900° ……
五边形的内角和180° ×5－ 360° = 540° 六边形的内角和180° ×6－ 360° = 720° 七边形的内角和180° ×7－ 360° =900°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
议一议
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
想一想
A B
D
如图1，连接四边形 ABCD的一条对角线AC， 将四边形分成两个三角 形，四边形内角和等于 180°×2 = 360°
C
120 0
75 0
多边形的内角和ppt课件
6. 一个多边形的每个内角都等于144°，求这个多边 形的边数． 解：设这个多边形的边数为n， 则144°n＝(n－2)×180°. 解得n＝10. ∴这个多边形的边数为10.
7.一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的 边数． 解：设这个多边形的边数为n， 则135°n＝(n－2)×180°. 解得n＝8. ∴这个多边形的边数为8.
∴∠E＝∠EDC＝∠C
(5 2)180
＝ 5 ＝108°.
∴∠1＝180
2
108
＝36°，
180 108
∠3＝ 2 ＝36°.
∴x＝108°－(∠1＋∠3)＝108°－72°＝36°.
13.(RJ八上P29改编)如图，在四边形ABCD中，∠B＝ ∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分 线，则AE与FC有什么关系？请说明理由． 解：AE∥FC.理由如下：
∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＋∠BCD＝360°－2×90°＝180°.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAE＋∠BCF＝ 12∠BAD＋ 12∠BCD
1
＝2 (∠BAD＋∠BCD)＝90°. ∵∠BAE＋∠BEA＝90°， ∴∠BEA＝∠BCF. ∴AE∥FC.
11. 如图，画出五边形ABCDE的全部对角线． (1)从一个顶点可以作_2___条对角线，五边形一共有 __5__条对角线；
(2)从n边形的一个顶点可以作__n_-_3_条对角线，n边
n(n 3)
形共有___2___条对角线．
12.如图，五边形ABCDE的内角都相等，∠1＝∠2，∠3 ＝∠4，求x的值． 解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
第十一章 三角形 11.3.1 多边形的内角和
多边形及其内角和ppt课件
五边形的外角和=5×180°-五边形内角和
探讨：多边形的外角和
1 5
五边形的外角和=5×180°-五边形内角和 =5×180°-（5-2）×180°
=2×180°
2
=360°
4
3
探讨：多边形的外角和
1 5
2
4
3
相邻的内角和外角是一对邻补角 ∠1=180°-∠N1 ∠2=180°-∠N2 …… ∠n=180°-∠Nn
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：C
【例题】 正十二边形的外角和是________.
答案：360°
【例题】 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是________.
答案：18
【例题】
已知一个多边形的各个内角都是150°，这个多边形的边数是________.
解析： 方法一：利用多边形的内角和 （n-2）×180°=n×150° 解得n=12
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形 11 . 3 . 2 多 边 形 的 内 角 和
学习目标
1.多边形的定义及相关概念 2.正多边形的定义及判断 3.多边形的多角线的定义及特点 4.多边形的内角和 5.多边形的外角和
定义：多边形
在平面内，由一些线段（n≥3）首尾顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形。
定义：正多边形
等边三角形
正方形
正五边形
正十二边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
定义：多边形的对角线
思考：过一个顶点可以做出几 条对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
定义：多边形的对角线
过n边形一个顶点，可画（n-3）条对角线 思考：n边形一共有几条对角线？
多边形的内角和ppt课件
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
A
C
B
11.3.2 多边形的内角和
已知：四边形 ABCD， 求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° . 方法1 证明：如图，连接 AC， ∠BAD +∠B +∠BCD +∠D =∠1 +∠2 +∠B +∠3 +∠4 +∠D =(∠1 +∠3 +∠B) +(∠2 +∠4 +∠D) = 180°+180° = 360°.
互补
A
1
B
2
C3
5
E
4
D
2.五边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？
5×180°=900°
11.3.2 多边形的内角和
解： 五边形的任何一个外角加上与它相邻的内
角都等于 180°，因此六边形的 5 个外角加上它们
A
相邻的内角，所得的总和等于 5 × 180°.
1
5
B
E
这个总和就是五边形的外角和加上内角和，所以 2
外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
4
C3
D
5× 180° - ( 5 - 2 ) × 180°= 2 × 180°=360°
结论：五边形的外角和等于360°.
11.3.2 多边形的内角和
思考
如果将五边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结
果吗？ n边形外角和
归纳 n边形的外角和等于360°.
E
A
A
F
类比上面的过程， 你能推导出五边形
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A5
A4 多边形的任何一个内角加上与它相邻的 内角都等于180°（平角），n个外角连同 它们的各自相邻的内角，共有n个180°， 总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的 和，剩下的就是多边形的外角和了！
n 180 0 (n 2) 180 0
21800 3600
多边形的外角和等于
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过 的角度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样 得到的？
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ D'
C'
1A
B
5
2EBiblioteka C 34 D结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于 360ْ
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
A、不变
B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于7_2__°.每一个内角等于
144°
_____,
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个
多边 形的边 数是__6___
3.如果一个正多边形的一个A内角等于150°,则 这个多边形的边数是_____
A.12 B.9 C. 8 D.7
3.如果一个多边形的每一个外角等 于30°,则这个多边形的边数是 _1_2___
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和
A B
C
D 在探究四边形的内角和时，有的 同学不是用量角器度量、计算得 到，而是 按照如图所示，利用辅
助线将四边形分割成两个三角形 的方法，利用三角形内角和等于 180°，得到四边形内角和等于 360°。你能说明它的合理性吗？ 并且能否启发你借助辅助线找到 解决其他多边形的方法吗？
学习了本节课你有 哪些 收获？
作 业
1. P24-25 2，3，
5，6，7，8，9，10
2.阅读 P26
课后思考
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于
粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，
你能否求得正确结果呢？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。 将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到 多边形的内角和将会（ ）
六边形
七边形
4× 180°
=7200
5× 180°
=9000
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360° 五边形的内角和 （5－2）× 180°=540° 六边形的内角和（6－2）× 180°=720° 七边形的内角（7－2）×180°=900°
这探种探索索方多法边你掌形握了的吗内？请角完成和下表
等于180° ×3－ 180° = 360°
其 他 方 案
P D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
边数 3 4 5 6 7 …
n
三角形个数 1 2
3 4 5 … n-2
… 内角和
1×1800
2×180
0
3×1800 4×1800 5×1800
(n-2)x180
An A1
A8 A7
试一试 找规律
A2 A3
A6
说明： 从n边形的一个顶点出 发可以引(n-3) 条对角线，这些 A5 对角线把n边形分成 (n-2) 个 三角形,内角和为 (n-2)x180 A4
那么如何求说此说五你边的形探的索内思角路和？呢?
3× 180°
=5400
—从一个顶点出发
添两条对角线，目的是把 五边形分割成三个三角形， 再利用三角形的内角和求 得。
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
四边形
A D
B
CB
C
2× 180°
= 3600
五边形 A
E
C
D
3× 180°
=5400
那么六边形、七边形的内角和呢？
百家争鸣 其他方法
C
P
图1
D 图2 B
C B
图3
C
B
A A P D A
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和
AB∥CD
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n 边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° （8-2）×180°
5
6
8
=108° =120°
=135°
（n-2）×180° n
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？
多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一 个外角，它们的和叫做这个多边 形的外角和。
多边形的外角和等于 360ْ
An A1
A2 A3
A8 A7
各抒己见
多边形 外角与内角有何关 A系6 ？还有其他方法可以推 导出多边形外角和？
所以 : B D 360 0 (A C) 180 0
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
随堂练习
求下列图形中x的值：
1400
x0
x0
(1)
1200 800
750
x0
(3)
1500
2x0
1200
x0
(2)
D
E
x0
1500
600
C
1350
AB (4)
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角有什么关系？
C
解：如图四边形ABCD中， D
A C 1800
A
B
因为：
A B C D (4 2)1800 3600
多边形及其内角和
想一想
诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内 角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
A4 多边形的任何一个内角加上与它相邻的 内角都等于180°（平角），n个外角连同 它们的各自相邻的内角，共有n个180°， 总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的 和，剩下的就是多边形的外角和了！
n 180 0 (n 2) 180 0
21800 3600
多边形的外角和等于
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过 的角度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样 得到的？
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ D'
C'
1A
B
5
2EBiblioteka C 34 D结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于 360ْ
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
A、不变
B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于7_2__°.每一个内角等于
144°
_____,
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个
多边 形的边 数是__6___
3.如果一个正多边形的一个A内角等于150°,则 这个多边形的边数是_____
A.12 B.9 C. 8 D.7
3.如果一个多边形的每一个外角等 于30°,则这个多边形的边数是 _1_2___
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和
A B
C
D 在探究四边形的内角和时，有的 同学不是用量角器度量、计算得 到，而是 按照如图所示，利用辅
助线将四边形分割成两个三角形 的方法，利用三角形内角和等于 180°，得到四边形内角和等于 360°。你能说明它的合理性吗？ 并且能否启发你借助辅助线找到 解决其他多边形的方法吗？
学习了本节课你有 哪些 收获？
作 业
1. P24-25 2，3，
5，6，7，8，9，10
2.阅读 P26
课后思考
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于
粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，
你能否求得正确结果呢？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。 将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到 多边形的内角和将会（ ）
六边形
七边形
4× 180°
=7200
5× 180°
=9000
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360° 五边形的内角和 （5－2）× 180°=540° 六边形的内角和（6－2）× 180°=720° 七边形的内角（7－2）×180°=900°
这探种探索索方多法边你掌形握了的吗内？请角完成和下表
等于180° ×3－ 180° = 360°
其 他 方 案
P D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
边数 3 4 5 6 7 …
n
三角形个数 1 2
3 4 5 … n-2
… 内角和
1×1800
2×180
0
3×1800 4×1800 5×1800
(n-2)x180
An A1
A8 A7
试一试 找规律
A2 A3
A6
说明： 从n边形的一个顶点出 发可以引(n-3) 条对角线，这些 A5 对角线把n边形分成 (n-2) 个 三角形,内角和为 (n-2)x180 A4
那么如何求说此说五你边的形探的索内思角路和？呢?
3× 180°
=5400
—从一个顶点出发
添两条对角线，目的是把 五边形分割成三个三角形， 再利用三角形的内角和求 得。
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
四边形
A D
B
CB
C
2× 180°
= 3600
五边形 A
E
C
D
3× 180°
=5400
那么六边形、七边形的内角和呢？
百家争鸣 其他方法
C
P
图1
D 图2 B
C B
图3
C
B
A A P D A
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和
AB∥CD
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n 边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°（6-2）×180° （8-2）×180°
5
6
8
=108° =120°
=135°
（n-2）×180° n
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？
多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一 个外角，它们的和叫做这个多边 形的外角和。
多边形的外角和等于 360ْ
An A1
A2 A3
A8 A7
各抒己见
多边形 外角与内角有何关 A系6 ？还有其他方法可以推 导出多边形外角和？
所以 : B D 360 0 (A C) 180 0
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
随堂练习
求下列图形中x的值：
1400
x0
x0
(1)
1200 800
750
x0
(3)
1500
2x0
1200
x0
(2)
D
E
x0
1500
600
C
1350
AB (4)
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角有什么关系？
C
解：如图四边形ABCD中， D
A C 1800
A
B
因为：
A B C D (4 2)1800 3600
多边形及其内角和
想一想
诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内 角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）