近世代数学习系列二 群(续)

近世代数学习系列二群

近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。

群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。乘法被要求满足下面三个条件：

1.结合律。a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c

2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a

3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e

如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。显然 ( a-1 ) -1 = a。

在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。

群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。这样的群称为置换群。一般来说，一个“对称”就对应了一个群。所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。

群也出现在各种基本的代数对象中。所有整数关于加法做成可换群。所有非 0 有理数关于通常的乘法做成可换群。所有n阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当n≥ 2 时这群是不可交换的。

置换群的元如前所述是映集合A到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合A上的一个置换。一般来说，如果一个集合Γ的每个元都对应了映集合A到其自身的一个映射，我们就说Γ作用在A上。而Γ的某个元γ所对应的这个映射，就被称为γ在A上的作用。在很多时候，Γ是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时A具有某种结构，Γ的每个元在A上的作用都保持这结构不变。由于群的每个元都有逆元，这时Γ的每个元都是同构。这样的Γ有时被称为A的自同构群。

同样对于某个群G来说，如果有一个集合Γ的每个元都对应了映G到其自身的一个同态映射，我们就说Γ作用于G上，或说G是“Γ上的群”，简称为“Γ-群”。这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。Γ-群G到Γ-群H的Γ-同态映射定义为与Γ的作用可换的同态映射f，即f是从G到H的同态映射，并且满足：对于Γ中任意一元γ和G中任意一元σ，总有f ( γσ ) = γf ( σ )。

一个群是可换的还是非可换的，这中间是有巨大差别的。非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万

页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。

子群，正规子群，商群

定义。对于一个Γ-群G，其子群定义为满足下列条件的G的子集H：

1.H中任意两元的积仍然属于H

2.H中的元的逆元属于H

3.对于Γ中任意一元γ和H中任意一元h，γh属于H

注意由条件 1、 2 立即得到单位元属于H。

设一个Γ-群G有子群H，则对于G的任意两元σ、τ，G的子集σH和τH（σH定义为形如σh ( h∈H ) 的元所组成的集。τH也是一样）要么不交，要么相等。这是因为如果σH和τH相交，即存在h1、h2∈H满足σh1 = τh2，则对于H中任意一元h，都有σh = τh2h1-1h，而根据子群的定义h2h1-1h是H的元。这说明σH⊆τH，而显然根据对称性反方向σH⊇τH也是成立的，于是σH = τH。

形如σH的G的子集称为H的（左）旁系。由上可知左旁系将G分成几个互不相交的部分。对于右旁系也是一样。左旁系和右旁系一般说来是不同的，当它们相同的时候子群H称为G的正规子群。更具体的说，正规子群是指G中满足这样条件的子群H：对于G中任意一元σ都有σH = Hσ。如果G是可换的，当然G的任意子群都是正规的。

设一个Γ-群G有正规子群H，则H的所有旁系做成的集合自然地具有Γ-群的结构。换句话说，在G上规定这样一个等价关系 ~：σ ~ τ当且仅当σH = τH。关于这个等价关系的等价类（即旁系）所做成的集合（即商集合）自然地具有Γ-群的结构。如我在前文《关系》中所说的，一个集合的商集合可以理解为“还是那个集合，只不过把其中的一些元看成是一样的”，或者说同样的元有不同的表示。现在在G中已经定义了乘法和Γ的作用，我们所要确认的只是这定义在商集合中仍然是well-defined的——即不管我们采用什么样的表示，结果都是一样的。为了看出这一点，把形如ab ( a∈σH, b∈τH ) 的所有元组成的集合记为 ( σH )( τH )，则 ( σH )( τH ) = ( σH )( Hτ ) = σ ( HH ) τ⊆σHτ = στH，即不管我们从σ和τ