近世代数学习系列二 群(续)
近世代数第二章 群
:明证,元逆可是都 S � na , � , 2a , 1a ,群半的元位单有个一是 S 设.4
1�
ba � i) a b( �
1�
a � ai � a ) b b( � b) a b( � ab b � ) ba ( b � ab � ba
1� 1� 1� 1�
1�
ba � ) bb () a b( �
.a � b � 2 � a � b � 2 � b � a � b � a
, 2 � 2 � ) a � 4( � a � b � a ,a�2�2�a�2�a
2 � ) 2 � c � b( � a � 2 � c � ) 2 � b � a ( � c � )2 � b � a ( � c � ) b � a (
.群加个一成作法加的数于关 G ,说们我此因,记标
,律换交和律合结合适法加的数于由.闭封法加的数于关 G 且并, � � G 然显 明证 , } Z � k | km{ � G
于由.群半换交个一成作法加的数于关 G 此因 .群加个一成作法加的数于关 G :明证 令, N � m 设.1
义定的群 2.2§
1�
. 1� b1� acb1� a � x 是就解个这,解个一有仅且有中 G 在 程方以所. 1� b1� acb1� a � ' x 得, 1� b1� a 乘右, 1� a 乘左边两式上将 得可,律去消用利,此由. cb ' x � ab ' xa ' x 则,解的中 G 在
cbx � abxax cbx � abxax cbx � abxax
� .� � 1 0 � �1 � �, � � � �0 1� � � 0 � �1 � 0� � �, � 1� � 0 � �1 0 � � �, � 1� � �0 � 0� � 1�
近世代数课件群的概念
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数(2)-2
子群(续 子群 续) 生成元集
•
•
是一个群,S⊆ 记 的全体包含 的全体包含S的 定义 设G是一个群 ⊆G.记G的全体包含 的 是一个群 子群的交为(S),称为 生成的子群.特别地 称为S生成的子群 特别地,若 子群的交为 称为 生成的子群 特别地 若 (S)=G,则称 是G的生成元集 循环群是由一个 则称S是 的生成元集 的生成元集.循环群是由一个 则称 元素生成的群. 元素生成的群 例 S4=((123),(1234)) 证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14), (1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324), (1324)-1(14)(1324)=(13), 故((123),(1234))=((12),(13),(14))= S4.
•
循环群 循环群是由一个元素生成的最简单的群. 要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群 • 定义 群G如果仅含某一个元 的方幂 则G称为 如果仅含某一个元a的方幂 如果仅含某一个元 的方幂,则 称为 生成的循环群,记为 的阶也称为a的 由a生成的循环群 记为 生成的循环群 记为G=(a),G的阶也称为 的 的阶也称为 阶. • 例1. 整数加群 是一个无限循环群 生成元为 整数加群Z是一个无限循环群 生成元为1. 是一个无限循环群,生成元为 • 2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元 .整数模 剩余类加群Z 也是循环群,生成元 整数模n剩余类加群 阶为n. 是[1],阶为 阶为 • 定理 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于 整数模n剩余类加群 剩余类加群. 整数模 剩余类加群 • 证 设G=(a).作影射ϕ:Z→G使i → ai .若 |a|无限 作影射ϕ → 使 若 无限, 作影射 无限 是群同构Z≅ 若 则ϕ是群同构 ≅G.若|a|=n,则ϕ(kn)=1, ϕ是群同 则 构Zn ≅G.
近世代数课件(全)--2-11 图形的对称变换群、群的应用
nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
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定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
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容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
2019/1/20
二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
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B
A
7：
C D
D
A
C
B
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B
A
8：
C D
B
C
A
D
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近世代数--群的概念
所以+与
都是Z
上旳代数运算.
m
定义1.2.2 设G是一种非空集合，“ ”G是 上旳 一种代数运算，即对全部旳a,b G,有 a b G. 如 果G旳运算还满足
(G1) 结合律，即对全部旳a,b,c G, 有； (a b) c a (b c);
(G2) G中有元素e，使对每个a G ，有 e a a e a;
(5) 在群中消去律成立，即设 a,b, c G ，
假如 ab ac ，或 ba ca ，则 b c ．
证 (1) 假如 e1,e2都是 G旳单位元，则 e1 e2 e2（因为e1是G旳单位元）， e1 e2 e（1 因为e2是G旳单位元），
所以
e2 e1 e2 e1,
所以单位元是惟一旳．
对任意旳正整数 n ，定义 an a a a
n个a
再约定
a0 e， an (a1)n，（n为正整数） 则 a n对任意整数都有意义，而且不难证明：
对任意旳 a G，m,n Z， 有下列旳指数法则 (1) an am anm ； (2) (an )m anm； (3) 假如 G是互换群，则 (ab)n anbn
所以结合律成立.
(3) 因为(1, m) 1，从而 1 Zm ，且对任意旳 a U (m),
a 1 a1 a,
且
1a 1a a, 所以1是U (m)旳单位元．
(4) 对任意旳 a U (m),，有(a, m) 1 ， 由整数旳性质可知，存在 u,v Z ，使au mv 1, 显然(u, m) 1, 所以 u U (m) ，且
易知， Z*p 1, 2, , p 1
(2) 由初等数论可知（参见[1]），U (m)旳阶等于
(m) 这里 (m) 是欧拉函数．假如
近世代数学习系列-b3-2 群笔记
近世代数群（续一）作用设有集合G作用于集合A上。
如果G是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群G作用于A上。
如果G是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。
对于G的两个元σ、τ，先把σ作用于A再把τ作用于A，这个合成是由στ来对应还是由τσ来对应呢？我们把前者称为G从右边作用于A，后者则称为G 从左边作用于A。
左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于A的元a，把先作用σ再作用τ写成τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是στ了。
如果把群G本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群G在集合G 上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘” σ。
即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。
这显然是从左边的作用。
这作用有时被称为“左移动”。
同样的我们也可以定义“右移动”。
一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。
于是群G就可以看成是集合G上的置换群的一个子群。
于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。
G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ-1。
这作用的特点是它保持G的群结构不变。
也就是说，把G的任意元g映到σgσ-1是G的一个自同构。
这是因为对于G 的任意两元f、g，我们显然有 ( σfσ-1 )( σgσ-1 ) = σ ( fg ) σ-1。
这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ-1gσ。
对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ-1的元和形如σUσ-1的子群分别称为g和U的共轭。
于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。
一般的如果X是具有某种结构的集合，则X的所有自同构关于映射的合成做成一个群。
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
近世代数第二章
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
群论的分类是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群
定理 4 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是： (1)G 有右单位元素 e : ∀a ∈ G, a e = a ； (2)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个右逆元 a−1 : a a−1 = e 。 定理 5 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是：∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 结论 设 (G, ) 是一个么半群，令 H = {g g ∈ G且g可逆} ，证明 (H , ) 是一个群. 注 从上述讨论中自然知道：若 e 是群 G 的单位元 ⇒ e−1 = e, ∀a ∈ G ⇒ (a−1)−1 = a ，若 a,b 可逆 ⇒ ab 也可逆且 (ab)−1 = b−1a−1 . 4.有限半群作成群的条件 推论 有限半群 G 作成群的充分必要条件是：在 G 中两个消去律成立。 命题 有限半群 (G, ) 作成群 ⇔ 乘法满足消去律
41
南阳师院《近世代数》教案
批注
(1)任一个群 G 中都在唯一的单位元 e ，特别的，如果 G 是加法群时，G 中的单
位元换叫做“零元” (2)群 G 中任一个元素 a，都在 G 中有唯一的逆元 a−1 .如果 G 是加法群时，a 的逆 元改叫做“负元”，并记为“ −a ”.
作业 习题 2.1：1－2;4;6 （3 例题）
批注
Ⅰ群的定义 1.定义 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足:
(1)结合律 ∀a,b, c, (a b) c = a (b c) ； (2)G 中有左单位元素 e : ∀a ∈ G, e a = a ； (3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个左逆元 a−1 : a−1 a = e 。 则称 G 对于代数运算 作成一个群，记为 (G, ) 。 如果还满足 (4) ∀a,b ∈ G, a b = b a 则称 G 对于代数运算 作成一个交换群(Abel 群)，否则称为非交换群(非 Abel 群)。 2.例子 (1) (Z , +), (Q, +), (R, +), (C, +), (nZ, +) 均为群，更一般的， (F, +)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 0，每个元素 a 的左逆元素-a. 但是 (N, +) 不是群，非零元的左逆元素 不存在。 (2) (Q* ,×), (R*,×), (C*,×) 均为群，更一般的， (F * ,×)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 1，每个元素 a 的左逆元素 a−1 。 (3) F 为数域，F 上的 n 级方阵集合 M n (F ) 关于矩阵加法作成交换群：
近世代数基础 第二章 群论
第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课件--置换群2
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍 一种记法.设有 8
2 4 6 8 1 3 5 7 元置换 4 5 1 7 , 3 2 6 8
数学与计算科学学院
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） ；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） ，大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
2013-8-7 数学与计算科学学院
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置 换的分解定理。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置
换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。 2013-8-7
1 2 3 k
2013-8-7
数学与计算科学学院
例 3 在 S 中.
5
2 4 1 3 5 2 2 1 5 1 3 3 4
叫作 3—循环置换3 5 2 4 2 4 1 1 3 5 3 5 2 4 1 3 5 1 3 5 1 2 4
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例 如.
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.
对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
近世代数第二章答案讲解学习
近世代数第二章群论答案§1.群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。
例如()321110--=-=--=-=()321312()()--≠--3213212.举一个有两个元的群的例。
解：令G=,e a{},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) ()(),,= ∈x y z x y z x y z G因为，由于ea ae a==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。
(参考第一章，§4，习题3。
)若是e不在(1)中出现，那么有()aa a ea a==a aa ae a==()而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。
所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的定义：IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让=ae a对于G 的任何元a 都成立；V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让1=aa e -解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2. 单位元、逆元、消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。
解：令a 和b 是G 的任意两个元。
由题设()()()2==ab ab ab e另一方面()()22====ab ba ab a aea a e于是有()()()()=ab ab ab ba 。
利用消去律，得=ab ba所以G 是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。
解：令G 是一个有限群。
设G 有元a 而a 的阶>2n 。
考察1a -。
我们有()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数<m n 而()1=ma e -，那么同上可得=m a e ，与n 是a 的阶的假设矛盾。
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
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近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
有一种结构就有保持这种结构的映射。
从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。
这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。
容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。
如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。
映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。
这样的群称为置换群。
一般来说，一个“对称”就对应了一个群。
所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。
这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。
可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。
群也出现在各种基本的代数对象中。
所有整数关于加法做成可换群。
所有非 0 有理数关于通常的乘法做成可换群。
所有n阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当n≥ 2 时这群是不可交换的。
置换群的元如前所述是映集合A到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合A上的一个置换。
一般来说，如果一个集合Γ的每个元都对应了映集合A到其自身的一个映射，我们就说Γ作用在A上。
而Γ的某个元γ所对应的这个映射，就被称为γ在A上的作用。
在很多时候，Γ是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时A具有某种结构，Γ的每个元在A上的作用都保持这结构不变。
由于群的每个元都有逆元，这时Γ的每个元都是同构。
这样的Γ有时被称为A的自同构群。
同样对于某个群G来说，如果有一个集合Γ的每个元都对应了映G到其自身的一个同态映射，我们就说Γ作用于G上，或说G是“Γ上的群”，简称为“Γ-群”。
这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。
如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。
显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。
Γ-群G到Γ-群H的Γ-同态映射定义为与Γ的作用可换的同态映射f，即f是从G到H的同态映射，并且满足：对于Γ中任意一元γ和G中任意一元σ，总有f ( γσ ) = γf ( σ )。
一个群是可换的还是非可换的，这中间是有巨大差别的。
非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。
但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。
这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。
这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。
子群，正规子群，商群定义。
对于一个Γ-群G，其子群定义为满足下列条件的G的子集H：1.H中任意两元的积仍然属于H2.H中的元的逆元属于H3.对于Γ中任意一元γ和H中任意一元h，γh属于H注意由条件 1、 2 立即得到单位元属于H。
设一个Γ-群G有子群H，则对于G的任意两元σ、τ，G的子集σH和τH（σH定义为形如σh ( h∈H ) 的元所组成的集。
τH也是一样）要么不交，要么相等。
这是因为如果σH和τH相交，即存在h1、h2∈H满足σh1 = τh2，则对于H中任意一元h，都有σh = τh2h1-1h，而根据子群的定义h2h1-1h是H的元。
这说明σH⊆τH，而显然根据对称性反方向σH⊇τH也是成立的，于是σH = τH。
形如σH的G的子集称为H的（左）旁系。
由上可知左旁系将G分成几个互不相交的部分。
对于右旁系也是一样。
左旁系和右旁系一般说来是不同的，当它们相同的时候子群H称为G的正规子群。
更具体的说，正规子群是指G中满足这样条件的子群H：对于G中任意一元σ都有σH = Hσ。
如果G是可换的，当然G的任意子群都是正规的。
设一个Γ-群G有正规子群H，则H的所有旁系做成的集合自然地具有Γ-群的结构。
换句话说，在G上规定这样一个等价关系 ~：σ ~ τ当且仅当σH = τH。
关于这个等价关系的等价类（即旁系）所做成的集合（即商集合）自然地具有Γ-群的结构。
如我在前文《关系》中所说的，一个集合的商集合可以理解为“还是那个集合，只不过把其中的一些元看成是一样的”，或者说同样的元有不同的表示。
现在在G中已经定义了乘法和Γ的作用，我们所要确认的只是这定义在商集合中仍然是well-defined的——即不管我们采用什么样的表示，结果都是一样的。
为了看出这一点，把形如ab ( a∈σH, b∈τH ) 的所有元组成的集合记为 ( σH )( τH )，则 ( σH )( τH ) = ( σH )( Hτ ) = σ ( HH ) τ⊆σHτ = στH，即不管我们从σ和τ的等价类中选择了哪两个元，它们的积最后都是属于στ的等价类的，于是我们看到积是well-defined的。
同样，对于Γ中任意一元γ，因为γ是群的同态映射，所以γ ( σH ) = ( γσ )( γH )，而由子群的条件 3 我们有γH⊆H，所以γ ( σH ) ⊆ ( γσ ) H，于是γ的作用也是well-defined的。
这样在G的商集合上乘法和Γ的作用都定义好了，由于这是由原来的群G上的乘法和作用诱导出来的，显然它们确实满足乘法和作用所应该满足的条件（结合律什么的），因此这确实做成了一个Γ-群。
这群称为G的商群，记为G / H。
同构定理定义。
设有Γ-群G、H以及Γ-同态映射f: G→ H，我们把f ( G ) 称为f的像，记为 Im f。
把f-1 ( e )（e是H的单位元）称为f的核，记为 Ker f。
定理。
Im f是H的子群， Ker f是G的正规子群。
证明。
由Γ-同态映射的定义，这基本上是显然的。
Ker f是正规的，因为对于G的任意一元σ，有σ ( Ker f ) = f-1 ( f ( σ ) ) = ( Ker f ) σ。
（证毕）设一个Γ-群G有正规子群H，则从G到G / H的标准映射（把G的元σ映到σ的旁系）显然是一个全射并且是Γ-同态，而它的核显然是H。
这件事的反之也是成立的，这就是第一同构定理。
（总共有三个同构定理，它们是如此的显然以至于我几乎都不知道该如何写证明。
请你也把它们如同常识一样融入自己的血液里）定理。
（第一同构定理）设有Γ-群G、H以及全射Γ-同态映射f: G → H。
把 Ker f记为U，则f自然诱导出从G / U到H的同构。
更一般的，“G中包含U的子群” M与“H的子群” N之间存在一一对应，这对应由M|→ f ( M ) 和N|→ f-1 ( N ) 给出。
如果G中某个包含U的子群P 像这样对应于H的一个子群Q，则f自然诱导出从P / U到Q的同构。
证明。
对于G的任意一元σ，其关于U的旁系正是G中其像与σ相同的所有那些元的的集合。
因此f自然诱导出从G / U到H的全单射。
接下来只要确认在G / U中定义的乘法和Γ的作用是与H中的一致的，这由f 是Γ-同态立得。
后半部分子群的一一对应，只要注意对于G中任意一个包含U的子群M，如果x∈M，就一定有xU⊆M。
因此M一定是由若干个U的旁系拼成的。
（证毕）定理。
（第二同构定理）设有Γ-群G和G的正规子群U。
则对于G的任意子群M，MU = UM（MU定义为形如ab ( a∈M, b∈U ) 的所有元组成的集合，UM也是一样）是G的子群，M∩ U是M的正规子群，并且MU / U 与M / ( M∩ U ) 同构。
进一步，如果M也是正规的，则MU和M∩ U都是G的正规子群。
证明。
因为U是正规的，MU = UM是显然的。
不难确认MU关于乘法、取逆元、Γ的作用都是封闭的，于是MU是子群。
对于M的元m，显然m ( M ∩ U ) = ( mM) ∩ ( mU ) = M∩ ( Um ) = ( M∩ U ) m，所以M∩ U 是M的正规子群。
如果M是正规的，则对于G的任意元σ都有σ ( MU ) = ( σM ) U = MσU = ( MU ) σ和σ ( M∩ U ) = ( σM) ∩ ( σU ) = ( Mσ) ∩ ( Uσ ) = ( M∩ U ) σ，于是MU和M∩ U都是G的正规子群。
剩下我们要证明MU / U与M / ( M∩ U ) 同构，为了看到这一点我们考虑标准映射f: G→ G / U，容易知道f-1 ( f ( M ) ) = MU，于是由第一同构定理我们知道MU / U与f ( M ) 同构。
另一方面如果把f限制在M 上，考虑全射f |M: M→ f ( M )，显然f |M的核是M∩ U，于是再次根据第一同构定理，我们有M / ( M∩ U ) 与f ( M ) 同构。
（证毕）定理。
（第三同构定理）设有Γ-群G和G的正规子群U，并设M是G 的包含U的子群。
则M / U是G / U的正规子群当且仅当M是G的正规子群，进一步当这条件成立时我们有G / M与 ( G / U ) / ( M / U ) 同构。
证明。
考虑商群的定义，这基本上是显然的。
（证毕）Jordan-Hölder定理和极大极小条件同构定理的一个几乎是立即的应用体现在Jordan-Hölder定理中。